Definició

En sentit estricte, un “quadrat màgic” d’ordre “n” és, per definició, una taula amb n files i n columnes en la que es distribueixen tots els nombres de l’interval [1,n²] ∈ N de manera que la suma de totes les columnes, files i diagonals de la taula sumin el mateix, la constant màgica (s). El conjunt Q_n del quadrat màgic d’ordre n serà doncs Q_n = { [1, n²] } ⊂ N.

El valor de la constant màgica ha de ser sempre s = n·(n² + 1)/2, el resultat de dividir per n la suma dels primers n² nombres naturals. Per exemple, amb n = 5, s = 5·(5² + 1)/2 = 65.

La constant màgica també es pot calcular com s = n·c, amb c el valor de la casella central del quadrat que es pot calcular com c = (n²/2) + 0.5. De manera que, amb n = 5, s = 5·[(25/2) + 0.5] = 5·13 = 65. ^[1]

En matemàtiques, s’anomena quadrat grecollatí, quadrat d'Euler o quadrat llatí ortogonal d'ordre n a la disposició en una quadrícula quadrada n × n dels elements de dos conjunts S i T, tots dos amb n elements, on cada cel·la conté un parell ordenat (s,t), amb s ∈ S i t ∈ T, de manera que cada element de S i cada element de T aparegui exactament una vegada en cada fila i en cada columna i que no hi hagi dues cel·les que continguin el mateix parell ordenat. De manera que un quadrat màgic és un cas particular de quadrat grecollatí amb restriccions afegides.

En un context més ampli, també es pot considerar un quadrat màgic aquell en que la matriu numèrica és formada por nombres naturals, sense la restricció de ser nombres consecutius —a excepció de no ser repetits—.

Història

El 1838, Bernard Violle publica el seu “Traité complet des carrés magiques pairs et impairs, simplex et composés, a bordures, compartiments, châssis, équerre, etc., suivi d’un traité des cubes magiques”.

Quadrats màgics famosos

El quadrat màgic més conegut, i el més senzill de tots, és el quadrat de Lo Shu, del III mil·lenni aC. Un quadrat màgic d’ordre 3. ^[3]

Aquesta solució és única, amb vuit representacions equivalents per simetries o rotacions:

S’ha de fer notar que el nombre de solucions possibles creix exponencialment amb l’ordre del quadrat màgic. El nombre de quadrats màgics estrictes diferents amb n = 4, sense comptar rotacions i reflexions, és de 880 ^[4], amb n = 5 ja són 2.75305224 x 10^{8 [5]}. Per a quadrats màgics d'ordre 7, el càlcul és ja extraordinàriament més complex i el nombre exacte no es coneix amb precisió, però s'estima que és extremadament alt, de l’ordre de (1.7745 ± 0,0016) × 10^{19 [6]}. Ordres superiors són fora de l’abast de la potència actual de computació. No es coneix cap fórmula general de càlcul per determinar el nombre de quadrats màgics possibles de qualsevol ordre.

Tal com ja s'ha comentat abans, és força conegut el quadrat màgic que el pintor renaixentista Albert Durero va incloure en la seva obra “Malenconia”.

La seva constant màgica és 34 i les dues xifres centrals de l'última fila, 15 i 14, formen l'any en què es va pintar el quadre.

A més de files, columnes i diagonals principals, hi ha altres parts del quadrat que sumen la constant màgica. Aquesta peculiaritat fa que sovint se’l consideri un quadrat satànic o quadrat diabòlic ^[7]. Tanmateix, un quadrat diabòlic té la propietat de que les diagonals trencades i moltes altres parts del quadrat màgic sumen també la constant màgica. Per exemple:

Els quadrats màgics que segueixen sent-ho al elevar tots els seus valors a les k potències de l’interval [1, p] ^[8] s’anomenen quadrats p-màgics. El menor quadrat bi-màgic és d'ordre 8, amb constants màgiques 260 (per k = 1) i 11180 (per k = 2). El quadrat de la dreta es forma elevant al quadrat els valors de l’esquerra. Es conjectura que no existeixen quadrats bi-màgics d'ordre inferior.

El major quadrat p-màgic construït fins ara és del matemàtic xinès Li Wen, un quadrat penta-màgic d'ordre 729.

Altres quadrats màgics són també força curiosos, com els de l’esquerra a la imatge següent, que ho segueix sent —i amb la mateixa constant màgica— tot jugant amb les simetries dels seus nombres. També com el del centre, de constant màgica igual a 666 i construït únicament amb nombres primers. O el de la dreta, dissenyat per Benjamin Franklin, que no és ben bé un quadrat màgic donat que les diagonals no sumen 260 —la constant màgica—, però si que ho fan files i columnes i també ho fa la suma de la diagonal ascendent més la diagonal descendent, o viceversa, dels quadrats de 4x4 —partint de qualsevol cantonada—. A més, tots els quadrats de 2x2 sumen 130.

Entreteniments amb quadrats màgics i quadrats grecollatins

El calendari màgic

Es planteja un joc d’endevinalla amb un calendari qualsevol, on els nombres dels dies són sempre disposats en ordre creixent. Diríem que, en certa manera, un calendari també té una constant màgica.

Procediment:

1. Selecciona un mes d’un calendari qualsevol en el que es pugui formar un quadrat de 4 x 4 amb els dies del mes —16 dies consecutius del mes formant un quadrat de 4 x 4—.
2. Selecciona un dia qualsevol de cada fila del quadrat 4 x 4 format, sense repetir cap columna.
3. Suma els quatre números escollits.

Al exemple anterior s’han escollit els dies 2, 11, 17 i 26, que sumen 56. A veure si jo soc capaç d’endevinar quin quadrat has escollit del teu calendari:

El quadrat màgic reversible:

El quadrat màgic instantani

Compliquem ara una mica més el joc. Escolliu a l’atzar un nombre natural qualsevol més gran que 30 com a constant màgica i vegem si soc capaç de construir un quadrat màgic gairebé perfecte, o perfecte, amb la constant màgica escollida ^[10].

El quadrat màgic de l’aniversari

Segons una idea original de Leslie Vincent, publicada per Alan Shaxon a la revista “Linking Ring”, et diré quins són els teus quadrats màgics i les seves constants màgiques, a partir de la teva data de naixement (Dia/Mes/Any).

El Sudoku

Hi ha una relació estreta entre els quadrats màgics i els populars sudokus. En un sudoku, a cada fila i columna s’han de disposar tos els números de l’interval [1, 9] sense repetir-ne cap, de manera que, al ser resolt, totes les fileres i totes les columnes sumaran el mateix —exactament 45, la suma de tots els números de l’1 al 9 ^[11]—. Tindrem així un quadrat semimàgic. Si a més aconseguim que les dues diagonals també sumin 45, tindrem un quadrat màgic de 9 x 9, com el sudoku de l’esquerra.

La idea és de Werner Miller, un professor de matemàtiques jubilat austríac, autor de cents d’articles i jocs sobre la divulgació de les matemàtiques. Es tracta de construir ràpidament un sudoku partint exclusivament dels números, de l’1 al 9, col·locats aleatòriament en les caselles indicades amb les lletres A ··· I —per exemple, com a la imatge de la dreta—.

Intentem-ho.

Mètodes de construcció

La construcció d’un quadrat màgic es podria plantejar inicialment com la solució d’un sistema format per (2n + 2) equacions lineals —sent “n” l’ordre del quadrat màgic—. Aquest plantejament és ràpidament massa costós en potència de càlcul incalculable i presenta incògnites no definides unívocament.

Hi ha però mètodes alternatius, més o menys enginyosos, que s’han anat desenvolupant al llarg de la història de la humanitat.

El 1356, el matemàtic hindú Narayana Pandit —citat anteriorment—classifica els quadrats màgics en quatre grups segons el seu ordre: 4n, 4n + 1, 4n + 2 i 4n + 3 i troba mètodes per a la seva resolució —alguns generals i altres particulars d’un grup en concret—. Per exemple, utilitzar el salt del cavall d’escacs en els quadrats d’ordre 4n.

Avui en dia, els quadrats màgics es classifiquen generalment en quadrats d’ordre parell (4k + 4 i 4k + 2) i quadrats d’ordre senar.

Notació

Un quadrat màgic d’ordre senar tindrà sempre una casella central (E, en color taronja), quatre cantonades (A, C, G, I) i les posicions (B, D, F, H). Començant per la casella A (la casella superior esquerra del quadrat) i assignant-li l’índex i = 0, la resta de les posicions vindran sempre determinades segons la següent taula (on ceiling representa el arrodoniment a l’alça i floor l’arrodoniment a la baixa). Amb i ∈ [0, (n² – 1)]:

L’ordre parell mínim d’un quadrat màgic és quatre, de manera que es poden classificar els quadrats màgics d’ordre parell en quadrats d’ordre 4k i quadrats d’ordre 4k + 2, amb k ∈ N. En aquesta mena de quadrats màgics no hi haurà mai ni filera ni columna centrals. Únicament ens fixarem doncs en anotar correctament les quatre cantonades.

En tots dos casos, ordre parell o ordre senar, la posició relativa respecte a una casella d’índex igual a “i”, situada en un quadrat d’ordre “n” serà: (i – n), la casella superior, i (i + n), la casella inferior; (i + 1), la casella següent, i (i -1) la casella anterior.

És molt important tenir sempre en compte que el quadrat es considera “multidimensional” de manera que si ens sortim per un dels cantons laterals anem a parar a la primera casella del cantó contrari i el mateix succeeix amb els cantons superior i inferior.

La figura següent il·lustra totes les possibilitats de sortida i entrada de una determinada casella (i):

Quadrats d’ordre senar

Mètode “Lozenge” de Conway

Aquest mètode segueix el següent procediment :

1. Es selecciona el rombe central.
2. S’omple el rombe, d’esquerra a dreta i de baix a dalt amb els nombres senars consecutius —aquest pas no presenta cap complicació, donat que mai ens sortim del quadrat—. Una possible estratègia es construir-lo de manera simètrica seguint la filera o la columna centrals.
3. Es col·loquen els nombres parells de manera que es respecti sempre el valor de la constant màgica —igual a (n·c), amb ”c” el valor de la casella central—.

Trobareu una descripció detallada d’un algorisme per generar els quadrats amb aquest mètode a la url: https://www.magischvierkant.com/two-dimensional-eng.

Mètode “siamès” —“hindú” o “de La Loubère”—

El procediment general a seguir és el següent:

1. Es col·loca l’1 a la casella central de qualsevol dels cantons del quadrat.
2. Es van col·locant en diagonal i ordre creixent tots els nombres consecutius a partir de l’1 fins a omplir totalment el quadrat tot seguint les indicacions anteriors establertes anteriorment quan ens sortim del quadrat. La lògica serà una mica diferent segons on s’hagi col·locat l’1 inicial i segons les diagonals siguin la orientació que es doni a les diagonals. Si s’ha fet bé, en el centre del quadrat tindrem el valor correcte per a calcular la constant màgica —s’assenyalen amb fons gris els canvis forçats per ser ja ocupada la casella següent—.

Mètode de Bachet, “del rombe” o de Yang Hui

Dissenyat pel matemàtic francès Claude-Gaspar Bachet de Méziriac (1581-1638). El procediment general a seguir és el següent ^[12]:

1. Sent n l’ordre del quadrat màgic, es col·loca l’1 al centre de qualsevol dels cantons del quadrat ampliat a (2n – 1), centrat al voltant del quadrat màgic a construir.
2. Es van col·locant en diagonal i ordre creixent tots els nombres consecutius a partir de l’1 fins a omplir totalment el quadrat ampliat d’ordre na = 2n-1 —tal com es mostra a la imatge següent—.
3. La lògica serà una mica diferent segons on s’hagi col·locat l’1 inicial i segons les diagonals siguin la orientació que es doni a les diagonals. Si s’ha fet bé, en el centre del quadrat tindrem el valor correcte per a calcular la constant màgica.

Quadrats parells d’ordre n = 4k + 4

Mètode dels 9 blocs

Es segueix el següent procediment:

1. Es construeix un quadrat de dimensió n x n i s’hi col·loquen ordenadament tots els números naturals de l’interval [1, n²], començant per la primera casella i continuant per fileres.
2. Es divideix el quadrat de dimensió n x n en 9 blocs (A, B, C, D, E, F, G, H, I) ordenats d’esquerra a dreta i de dalt a baix. Les mides dels blocs seran: A, C, G, I : (n/4)x(n/4); B, H: (n/4)x(n/2); D, F: (n/2)x(n/4); i el bloc central E: (n/2)x(n/2).
3. Es deixen en la mateixa posició tots els nombres col·locats en els quadrats A, C, E, G, I —alternant un sí i un no dins el quadrat inicial—.
4. Els quadrats restants s’omplen amb els valors del quadrat buit oposat, de manera simètrica respecte al centre del quadrat inicial, respecte als dos eixos de simetria —B → H i D → F—.

Tot el procés es pot observar a la imatge següent amb un quadrat de 8 x 8.

Mètode d’inversió de les diagonals

Es segueix el següent procediment:

1. Es construeix un quadrat de dimensió n x n i s’hi col·loquen ordenadament tots els números naturals de l’interval [1, n²], començant per la primera casella i continuant per fileres.
2. Es divideix el quadrat en k blocs de 4 x 4.
3. Els nombres situats en les diagonals de cada bloc són intercanviats amb els seus simètrics girats respecte al centre del quadrat inicial. La resta dels seus nombres no es mou.

Vegem-ho amb uns exemples:

Els famosos quadrats de Durero i de Subirachs s’obtenen a partir d’aquest mètode amb petites modificacions posteriors.

Quadrats parells d’ordre n = 4k + 2

Mètode LUX de Conway

Es segueix el següent procediment:

1. Sobre quadrat auxiliar de dimensions (2k + 1) x (2k + 1), es col·loca una lletra “L” en les (k + 1) primeres fileres, la lletra “U” a la filera següent —la filera (k + 2)— i la lletra “X” en les últimes (k - 1) fileres.
2. Se intercanvia la “U” central amb la “L” que hi té al damunt.
3. Es comença per la “L” central de la primera filera i es va construint el quadrat màgic, de dimensions (4k + 2)x(4k + 2) —format per la divisió de cada casella del quadrat auxiliar en quatre caselles —numerades com 1, 2, 3 i 4— , segons el mètode siamès.
4. En la casella de destí es substitueixen les caselles 1, 2, 3 i 4 segons l’esquema que es mostra a continuació —segons quin sigui el quadre auxiliar: “L” (en forma d’L), “U” (en forma d’U) o “X” (en forma d’X)—.

Per exemple, amb k = 2, dissenyem la matriu auxiliar de 5 x 5 i la matriu buida del quadrat màgic final de 10 x 10 —s’hi assenyala quin tipus de substitució s’ha d’efectuar, segons el color corresponent en el quadre auxiliar—:

Transformacions trivials a partir d’un altre quadrat màgic

Tal com ja s’ha comentat anteriorment, es pot construir un quadrat màgic a partir de bijeccions, rotacions o simetries de un altra quadrat màgic. Per exemple:

• Sumar o restar la mateixa quantitat a tots els seus nombres.
• Multiplicar o dividir tots els seus nombres per la mateixa quantitat.
• Sumar tots els termes corresponents de dos o més quadrats màgics.
• Intercanviar dues files i dues columnes a la mateixa distància del centre del quadrat.
• Dividir el quadrat, de mida parella, en quatre quarts iguals i intercanviar, sense cap gir, els quarts oposats.

Referències

• BERLEKAMP, E.R., CONWAY, J.H. (John H. y GUY, R.K., 1985. Winning ways, for your mathematical plays. 3rd print. with corrections. London [etc: Academic Press. ISBN 0120911019.
• BESADA, J.L., GUICHAOUA, C. y ANDREATTA, M., 2022. From Dürer’s Magic Square to Klumpenhouwer Tesseracts: On Melencolia (2013) by Philippe Manoury. Music analysis, vol. 41, no. 1, ISSN 0262-5245. DOI 10.1111/musa.12176.
• CARLAVILLA, J. L., FERNÁNDEZ, M., 2000: Cuadrados Mágicos I. Proyecto Sur de Ediciones. ISBN: 978-84-8254-996-5
• CARLAVILLA, J. L., FERNÁNDEZ, M., 2000: Cuadrados Mágicos II. Proyecto Sur de Ediciones. ISBN: 978-84-8254-997-2
• CRILLY, T., 2002. Gardner’s workout: training the mind and entertaining the spirit, by Martin Gardner. Pp. 336. 2001. £25. ISBN 1 56881 120 9 (A. K. Peters). 2002. S.l.: s.n.
• DE LAS CUEVAS, G., NETZER, T. y VALENTINER-BRANTH, I., 2023. Magic squares: Latin, semiclassical, and quantum. Journal of mathematical physics, vol. 64, no. 2, ISSN 0022-2488. DOI 10.1063/5.0127393.
• GARDNER, M., 2010. Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas. 1a ed. en esta colección. Barcelona: RBA. ISBN 9788498677546.
• KLEE, P. y MULLER, J.-É., 1956. Klee : cuadrados mágicos. Barcelona: Gustavo Gili.
• PASLES, P.C., 2008. Benjamin franklin’s numbers : an unsung mathematical odyssey. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-22370-X.
• PICKOVER, C.A., 2002. The Zen of magic squares, circles, and stars an exhibition of surprising structures across dimensions. Core Textbook. Princeton, N.J: Princeton University Press. ISBN 1-283-33990-0.
• SESIANO, J., 2019. Magic Squares: Their History and Construction from Ancient Times to AD 1600. 1st ed. 2019. Cham: Springer Nature. ISBN 3030179931.
• SESIANO, J., 2019. Sesiano, Jacques, [Carrés magiques dans les pays islamiques. Anglès]
  Magic squares : their history and construction from ancient times to AD 1600. Cham, Switzerland: Springer. ISBN 9783030179939.
• SIMON, W., 1993. Mathematical magic. New York: Dover. ISBN 0486275930.
• SO, A.T.P., LEE, E., LI, K.L. y LEUNG, D.K.S., 2015. Luo Shu: Ancient Chinese Magic Square on Linear Algebra. SAGE open, vol. 5, no. 2, ISSN 2158-2440. DOI 10.1177/2158244015585828.
• WILSON, R., 2024. Magic Squares. The Mathematical intelligencer, vol. 46, no. 1, ISSN 0343-6993. DOI 10.1007/s00283-023-10301-6.

Jordi Coll Vera - 2024