Fibonacci
El seu nom real era Leonardo de Pisa (Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo) (1170 -1250). El seu pare, Guglielmo, tenia el malnom de Bonacci (“ben intencionat”, en italià) i Leonardo va rebre, al morir, el malnom de Fibonacci (“fill de Bonacci”) que ha quedat per a la posteritat.
En vida va ser famós per difondre a Europa el sistema de numeració indo-aràbic utilitzat encara avui en dia, amb la notació decimal que tots coneixem.
El 1202 publica el seu llibre “Liber Abaci” on descriu la seva famosa successió, amb el conegut “problema dels conills” (que es tractarà més endavant).
El llibre és posteriorment universalment conegut gràcies al reconegut matemàtic francès François Édouard Anatole Lucas (1842-1891) que va realitzar nombrosos estudis sobre la successió numèrica de Fibonacci i és autor d’un test de primalitat per als nombres de Mersenne, bassat en l’algorisme de primalitat de Fibonacci. També va inventar jocs de matemàtica recreativa, com les famoses “Torres de Hanoi”. A més, va estudiar en profunditat les successions generalitzades de Fibonacci, que comencen per dos enters positius qualsevol [1].
També hi ha successions de tribonacci, tetrabonacci, pentabonacci, etc. totes convergents cap a un nombre irracional, en el límit de la divisió entre dos dels seus nombres consecutius. Per exemple, la constant de tribonacci té el valor aproximat de \(1.839286755214161...\), una arrel del polinomi \(x^3 - x^2 - x - 1 = 0\). [2]
La successió de Fibonacci es molt coneguda entre afeccionats i matemàtics professionals. Permet fer nombroses conjectures i és una font inesgotable de noves propietats i teoremes matemàtics. El 1963 es va crear pel seu estudi, i de les successions derivades, la “Fibonacci Association” que publica el “Fibonacci Quaterly” dedicat a articles relatius a aquestes successions numèriques.
La successió de Fibonacci
S’anomena successió de Fibonacci a la successió ordenada de nombres enters positius: \(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...\)
És coneguda des de fa milers d’anys però va ser Fibonacci (Leonardo de Pisa) qui la va popularitzar, sense formalitzar-a matemàticament, al utilitzar-la per resoldre el famós “problema dels conills”.
"Quantes parelles de conills hi haurà a l’acabar l’any si el comencem amb una parella que procrea cada mes una altra parella capaç de procrear de nou, en la mateixa proporció, als dos mesos de vida?"
Fibonacci, amb mentalitat financera, ho va representar en forma de taula, amb les sis generacions obtingudes —els conills procreen cada dos mesos— a les columnes i els dotze mesos de l’any a les files, sumant cada mes el nombre total de parelles:
A la successió de Fibonacci els dos primers termes són definits arbitràriament com: \(a_0=0\) i \(a_1=1\). La resta de la successió s’obté posteriorment de manera recurrent sumant per a cada nou terme els dos termes anteriors: \(a_{n+1}=a_{n-1}+a_n \), amb \(n\geq1\)
Per exemple: \(a_6=8, a_7=13 \rightarrow a_8=a_6+a_7=8+13=21\)
Algunes de les propietats de la successió de Fibonacci
La successió presenta nombres i curioses propietats, entre elles en podem citar:
- Com s’ha vist anteriorment, és una successió homogènia recurrent de segon ordre. Cada terme s’obté de la suma dels dos termes anteriors. Sent definits 0 i 1 com els dos valors inicials de la successió.
- No és una successió ni aritmètica ni geomètrica. No hi ha cap relació constant entre dos termes consecutius. Si fos aritmètica, la diferència entre dos termes consecutius seria constant. Si fos geomètrica, ho seria el quocient entre dos termes consecutius.
- Tanmateix, hi ha una relació de caire geomètric entre dos termes consecutius: el seu quocient s’aproxima cada cop més al nombre auri. El nombre irracional \(\varphi =\frac{1+ \sqrt{5}}{2}\approx 1.618033989\). De manera que: \(\lim_{{n \to \infty} \atop {n>0}} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \varphi \), començant la successió per qualsevol valor excepte el \(0\) [Robert Simson, 1753].
- Donada la successió de Fibonacci: \(a_0, a_1, a_2,···, a_{n-1}, a_n, ··· \rightarrow 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,···\), s’acomplirà sempre la relació: \(\varphi^n=a_n·\varphi+a_{n-1}\)
- És una successió creixent. Com cada nou terme s’obté, per definició, de la suma dels dos termes anteriors el seu nou valor és sempre superior o igual a tots els anteriors.
- És una successió infinita, donat que sempre es podrà sumar l’últim terme amb l’anterior per tal d’obtenir-ne el següent. És per tant una successió divergent, no té límit superior (no és acotada superiorment) i creix indefinidament de manera monòtona.
- Cada terme és igual a la mitjana del terme a dues posicions anteriors a l’actual i el terme següent a l’actual: \(a_n=\frac{a_{n-2}+a_{n+1}}{2}\)
- Es demostra fàcilment amb àlgebra bàsica:
- \( \forall \cdots, a, b, x, y, \cdots\), termes consecutius de la successió de Fibonacci \(\rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = a + b \\ y = b + x \end{array} \right. \rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = a + b \\ x = y - b \end{array} \right. \rightarrow 2x = a + y \rightarrow x = \frac{a + y}{2} \)
- La suma d’un terme amb el terme tres posicions més endavant és igual al doble del valor del terme dues posicions més endavant del prime: \(a_n+a_{n+3}=2·a_{n+2}\)
- En efecte, siguin: \(a_n=x; a_{n+1}=a; a_{n+2}=b;a_{n+3}=y\), termes consecutius de la successió de Fibonacci, aleshores:
- \(\forall \cdots, x, a, b, y, \cdots \rightarrow \left\{\begin{array}{l} y = a + b \\ b = x + a \end{array} \right. \rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = a + b \\ -x = a - b \end{array} \right. \rightarrow \left\{\begin{array}{l} y = a + b \\x = -a + b \end{array} \right.\)
- Sumant ordenadament, tenim: \(x+y=2b\) i substituint pels valors definits inicialment tenim finalment: \(a_n+a_{n+3}=2·a_{n+2}\).
- De manera semblant demostrariem que: \(a_{n+3}-a_n=2·a_{n+1}\). I també que: \(\left(a_n\right)^2= \left(a_{n-1}.a_{n+1}\right)+1\) [Identitat de Cassini 1680]
- Tot enter positiu s’escriu, de manera única, com a suma de nombres de Fibonacci no consecutius (la descomposició de Zeckendorf del nombre en qüestió). [Teorema de Zeckendorf, 1972] [3]. Per exemple: \(30 = 21 + 8 +1; 64 = 55 + 8 + 1; 100 = 89 + 8 + 3; \cdots \)
- La suma \(S_n\), dels \(n\) primers termes, fins al terme \(a_n\) inclòs, és igual al valor del terme \(\left(a_{n+2}-1\right)\).
- \(\sum_{i=0}^{n} a_i = a_{i+2} - 1\), per exemple, amb la successió \(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,\cdots\):
- \(\sum a_7=0+1+1+2+3+5+8+13=33=a_9-1\)
- Es demostra fàcilment per inducció. S’ha de restar 1 perquè l’1 està repetit a la successió.
- Altra propietat de la successió és: \(a_{2n}=\left(a_n\right)^2+2·a_{n-1}·a_n\). Per exemple, amb \(0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55, \cdots\) i \(n=3\) tenim: \(a_6=8=\left(a_3\right)^2+2·a_2·a_3=2^2+2·1·2=8\)
Demostració
- La fórmula és vàlida per \(n=1\): \(a_{2n}=a_2={1=\left(a_1\right)}^2+2·a_0·a_1=1^2+2·0·1=1+0=1\)
- La fórmula és vàlida per \(n=2\): \(a_{2n}=a_4={3=\left(a_2\right)}^2+2·a_1·a_2=1^2+2·1·1=1+2=3\)
- Hipòtesis d'inducció: si la fórmula és valida per \(\left(n-1\right)\) i \(\left(n-2\right)\) aleshores és vàlida per a \(n\)
- \(a_{2(n-2)}={a_{2n-4}=\left(a_{n-2}\right)}^2+2·a_{n-3}.a_{n-2} \) (a)
- \(a_{2(n-1)}={a_{2n-2}=\left(a_{n-1}\right)}^2+2·a_{n-2}.a_{n-1} \) (b)
- Per ser una successió de Fibonacci:
- \(\left\{\begin{array}{l} (1) \rightarrow a_{2n} = a_{2n-1} + a_{2n-2} \\ (2) \rightarrow a_{2n-1} = a_{2n-2} + a_{2n-3} \\ (3) \rightarrow a_{2n-2} = a_{2n-3} + a_{2n-4} \quad \rightarrow \quad a_{2n-3} = a_{2n-2} - a_{2n-4} \end{array} \right. \)
- Per tant, substituint a (1)(2)(3),
- \( (1) + (2) \rightarrow a_{2n}=a_{2n-2}+a_{2n-3}+a_{2n-2}=2·a_{2n-2}+a_{2n-3} \)
- \( [(1) + (2)] + (3) \rightarrow a_{2n}=2·a_{2n-2}+a_{2n-2}-a_{2n-4}=3·a_{2n-2}-a_{2n-4} \)
- Substituint de (a)(b),
- \(a_{2n}=3 \left[ \left(a_{n-1} \right)^2+2·a_{n-2}·a_{n-1} \right]-\left[ \left(a_{n-2} \right)^2+2·a_{n-3}·a_{n-2} \right] \)
- \(a_{2n}=3 \left(a_{n-1} \right)^2+6·a_{n-2}·a_{n-1}- \left(a_{n-2} \right)^2-2·a_{n-3}·a_{n-2} \) (3)
- Per Fibonacci,
- \( \left\{\begin{array}{l} a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \quad \rightarrow \quad a_{n-2} = a_n - a_{n-1} \\ a_{n-1} = a_{n-2} + a_{n-3} \quad \rightarrow \quad a_{n-3} = a_{n-1} - a_{n-2} \\ a_{n-3} = a_{n-1} - a_n + a_{n-1} = 2 \cdot a_{n-1} - a_n \end{array} \right. \)
- Substituint a (3),
- \(a_{2n}=3\left(a_{n-1}\right)^2+6\left(a_n-a_{n-1}\right)·a_{n-1}- \left(a_n-a_{n-1} \right)^2-2 \left(a_{n-1}-a_{n-2} \right)·\left(a_n-a_{n-1} \right) \)
- Desenvolupant i simplificant es demostra finalment la hipòtesis d’inducció inicial: \(a_{2n}=\left(a_n\right)^2+2·a_{n-1}·a_n\)
- Altra propietat és: \(a_{n-2}+a_{n+2}=3·a_n \), per \(n \geq 2 \)
- En efecte. Siguin: \(a=a_{n-2};\space b=a_{n-1};\space x=a_n;\space c=a_{n+1};\space y=a_{n+2} \)
- Aleshores, substituint valors progressivament,
- \(\left\{\begin{array}{l} a + b = x \quad \rightarrow \quad b = x - a \\ c = b + x = x - a + x = 2x - a \\ y = x + c = x + 2x - a = 3x - a \quad \rightarrow \quad a + y = 3x \rightarrow \mathbf{a_{n-2}+a_{n+2}=3·a_n} \end{array} \right.\)
- També: \(mcd \left(a_m, a_n \right)=a_{mcd(m,n)} \)
- Per exemple, donada la successió de Fibonacci: \(0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89,\ 144,··· \), amb \(a_3=2;\ a_6=8 \rightarrow mcd\left(2,\ 8\right)=2 \)
- \(mcd\left(3,\ 6\right)=3\ i\ a_3=2=mcd\left(2,\ 8\right)=mcd\left(a_3,\ a_6\right) \)
- Amb quatre termes consecutius qualsevol, per exemple: \((2, 3, 5\ i\ 8)\), es pot formar sempre una terna pitagòrica \((a,\ b,\ c)\) , amb valors que s'ajusten als costats d'un triangle rectangle. En el cas de l'exemple: \((\mathbf{a}=2·8=\mathbf{16},\ \mathbf{b}=2·(3·5)=\mathbf{30},\ \mathbf{c}=(2·5)+(3·8)=\mathbf{34})\).
Càlcul del terme enèsim de la successió de Fibonacci. La proporció àuria
S’anomena terme general d’una successió a la fórmula que permet el càlcul del terme enèsim sense necessitar conèixer prèviament cap altre valor de la successió.
La successió de Fibonacci, tal com s’ha vist abans, es defineix per recurrència, es calcula cada terme a partir dels dos anteriors.
Altres exemples de successions recurrents serien:
- La successió \(2,\ 5,\ 8,\ 11,\ 14,\ 17,… \), de terme general \(a_n=f_n=3n-1 \)
- La successió \(3,\ 8,\ 15,\ 24,\ 35,\ 48,… \), de terme general \(a_n=f_n=n^2+2n \)
- La successió \(5,\ 10,\ 20,\ 40,\ 80,....\), de terme general \(a_n=f_n=5·2^{\left(n-1\right)} \)
- ···
Existeix doncs una fórmula per a calcular el terme general de la successió de Fibonacci. Aquesta es representa habitualment amb la notació de Lucas: \(f_n= \frac{\varphi^n-\left(1-\varphi\right)^n}{\sqrt{5}} \)
O amb la notació de Binet: \(f_n=\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right] \) representada també habitualment com : \(f_n = \frac{(1 + \sqrt{5})^n - (1 - \sqrt{5})^n}{2^n \cdot \sqrt{5}} \), o també com: \(f_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ (-1)^{n+1} \cdot \varphi^n + \frac{1}{\varphi^n} \right] \)
Demostració
Partim d’Euclides d’Alexandria (325-265, aC), concretament de la traducció que fa el cosmògraf de Felip II, Rodrigo Zamorano, l’any 1576 del seu llibre “Elements de Geometria”:
“Dize se ser dividida una línea recta con razón extrema y media quando fuere que como se ha toda a la mayor parte, así la mayor a la menor”.
És a dir: “Es diu que una recta està dividida en mitjana i extrema raó quan la longitud de la línia total és a la part major, com aquesta és a la part menor”.
D’aquesta simple frase se’n deriva el nombre \(\varphi \). En efecte, suposem una línia recta de longitud \(x\), dividida en un segment de longitud \(1\) i altre segment de longitud \(\left(x-1\right)\) (de manera que \(1+\left(x-1\right)=x)\):
La frase anterior explicita aleshores, sobre aquesta recta, la relació: \(\frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}\), equivalent a l’equació: \(x^2-x-1=0\), que té com a solucions una arrel positiva i una arrel negativa:
\(x_1=\frac{1+\sqrt5}{2}\) i \(x_2=\frac{1-\sqrt5}{2}\)
Com la successió és homogènia, la seva solució general serà de la forma [4]:
\(f_n = C_1 \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n + C_2 \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n\)
Sabem, per definició de la successió, que: \(f_1=f_2=1\), per tant es pot definir el sistema d’equacions:
\(\left\{\begin{array}{l} 1 = C_1 \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^1 + C_2 \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^1 \\ 1 = C_1 \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^2 + C_2 \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^2 \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \left\{\begin{array}{l} 1 = C_1 \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + C_2 \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \\ 1 = C_1 \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^2 + C_2 \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^2 \end{array} \right.\)
D’on es ressol finalment: \(C_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\) i \(C_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}\)
Per tant, l’expressió del terme general, amb la notació de Binet, serà: \(f_n=\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right] \), tal com s'ha expressat anteriorment.
L’arrel positiva és el valor irracional: \(x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi\approx 1.618033989···\)
La relació s’anomena proporció àuria i tindrà el mateix valor \(\left(\varphi\right)\) independentment del valor del segment inicial.
L’espiral de Fibonacci
L’espiral de Fibonacci es dibuixa unint amb semi-arcs els quadrats que es van dibuixant al dividir una rectangle inicial amb cantons segons dos termes seguits de la successió de Fibonacci —per exemple: 13x8, 21x13, 34x21, etc—. A cada divisió es divideix el nou rectangle generat, girant en el sentit de l’espiral.
Vegem-ho amb un rectangle inicial de 233x144 (clicant sobre la imatge es generarà en una nova pestanya amb un script de php).
El rectangle inicial de 233x144 es subdivideix en un quadrat de 144x144 i un rectangle rotat de 144x89. El procés continua onze cops (el 233 és onze posicions mes a la dreta del segon 1 de la successió de Fibonacci), segons els valors successius, fins arribar a dos quadrats d’1x1 i finalitzar el procés. La espiral es dibuixa amb semiarcs sobre cada quadrat generat, centrats en l’extrem de la línia divisòria de cada rectangle segons la proporció àuria.
El triangle de Tartaglia (triangle de Pascal)
El triangle de Tartaglia, anomenat també triangle de Pascal, és un esquema matemàtic utilitzat per a la potenciació de binomis.
Niccolò Fontana, anomenat Tartaglia (“El Quec”) (1499, 1557), matemàtic italià, va destacar en la resolució d’equacions algebraiques de tercer grau [5] i en el càlcul de la trajectòria de projectils d’artilleria. Va expressar la fórmula de Tartaglia, que desenvolupa la coneguda fórmula d’Herò per al càlcul de l’àrea d’un triangle al càlcul del volum d’un tetraedre a partir de la longitud dels seus costats.
L’any 1556 publica l’obra “Trattato”, on mostra el seu famós triangle aritmètic i el relaciona amb el desenvolupament del binomi de Newton. [6]
Blaise Pascal (1623-1662) va ser un filòsof, matemàtic, físic, inventor, escriptor, moralista, místic i teòleg occità, brillant i destacat en primera línia en totes les disciplines citades. L’any 1654 redescobreix el triangle de Tartaglia i formalitza el desenvolupament del binomi de Newton.
En el triangle es busca la filera \(n\) —l’exponent del binomi— on hi trobarem tots els coeficients binomials dels termes del seu desenvolupament.
Per exemple:
\((a + b)^2 = \binom{2}{0} \cdot a^2 \cdot b^0 + \binom{2}{1} \cdot a^1 \cdot b^1 + \binom{2}{2} \cdot a^0 \cdot b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
A l’exemple anterior s’utilitza la segona filera del triangle: “1 2 1”, que ens facilita el càlcul dels coeficients binomials:\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
Per exemple, començant per la posició 0:
- quarta fila, segona posició: \(\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6\)
- setena fila, quarta posició: \(\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = 35\)
El triangle de Pascal s’inicia amb un 1 i dos 1 més a sota, col·locant a continuació, a cadascuna de les fileres posteriors, el resultat de sumar els dos nombres immediatament superiors. Mostra moltes propietats curioses, entre elles el càlcul de la successió de Fibonacci, tal com es mostra en color vermell al gràfic següent.
El triangle és simètric. La primera diagonal són tot uns. La segona diagonal ens mostra la successió dels nombres naturals. La tercera diagonal la successió dels nombres triangulars —amb els que podríem construir un triangle— sumant cada nombre triangular amb l’anterior s’obté la successió dels nombres quadrats —que expressen l’àrea d’un quadrat i són, per tant, quadrats perfectes—. La quarta diagonal es correspon a la successió dels nombres tetraèdrics —amb els que podríem construir un tetraedre—. A la cinquena diagonal, els nombres pentatòpics, que representen el nombre d'elements dels pentatops —nombres figurats representables en quatre dimensions mitjançant un politop constituït per un apilament de tetràedres regulars—.
A més, com a curiositat notable, al pintar els nombres segons si són senars (verd) o parells (groc), apareix el triangle de Sierpinski, vegem-ho en un triangle de 512 fileres (clicant sobre la imatge es generarà el triangle en una nova pestanya amb un script de php).
La proporció àuria en la naturalesa i l’art
A la natura hi trobarem la proporció àuria en la relació de mascles i femelles d’un rusc d’abelles, en la disposició dels pètals de les flors, en la relació entre els nervis del tall d’una fulla, en la relació entre els diàmetres de les pipes de girasol, en l’espiral dels cargols “nautilus”, en alguns cristalls minerals, en el vol d’algunes aus, i en un llarg etcètera.
La proporció àuria s’aplica almenys des de l’antiga Grècia, però es popularitza a partir del Renaixement, quan Luca Pacioli publica “Divina Proportione” (1509), on es demostra la seva aplicació en l’arquitectura de l’antiguitat. Posteriorment nombrosos artistes l’apliquen a les seves obres. En particular, Leonardo da Vinci a obres tan conegudes com l’Home de Vitruvi i La Gioconda. S’ha aplicat així a disciplines artístiques diverses com la pintura, la música, l’arquitectura, el disseny o l’escultura, entre d’altres. Avui en dia s’aplica a objectes molt més quotidians i funcionals com poden ser una targeta de crèdit bancària o el disseny de cartells publicitaris. Tant és així que la proporció àuria ens ha marcat uns cànons de bellesa que, conscientment o inconscient, ens condiciona, ens influeix i ens fa gaudir de la bellesa en les obres d’art.
Tot plegat es pot observar als següents vídeos d’en Cristobal Vila:
Jordi Coll Vera - 2024
"Método de la ecuación característica para recurrencias homogéneas lineales de segundo orden con coeficientes constantes (raíces reales)”