Índex
- Introducció
- Una mica d'història
- Definicions prèvies i notació
- Notació geomètrica, definicions i teoremes bàsics
- Oposat, conjugat i mòdul d’un nombre complex
- Formes d’expressar un nombre complex
- Forma binòmica o rectangular
- Forma cartesiana
- Forma polar o mòdul-argument
- Producte de dos nombres complexos en forma polar. Fòrmula de De Moivre
- Quocient de dos nombres complexos en forma polar
- Forma exponencial
- Arrels n-èsimes d’un nombre complex
- Potència d’un nombre complex
- Canvis de forma d’expressió d’un nombre complex
- Canvi de forma polar a forma binòmica
- Canvi de forma binòmica a forma polar
- Canvi de forma exponencial a forma binòmica
- Problemes resolts
Introducció
Els nombres complexos apareixen en matemàtiques en el moment en que una operació no té solució en el cos \( \mathcal{R} \) dels nombres reals.
Vegem-ne dos casos:
- L’equació \(x^2 - 4 = 0 \) té dues solucions en \( \mathcal{R} \):
- \(x^2 - 4 = 0 \implies x^2=4 \implies x = \sqrt{4} \implies \begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = -2 \end{cases} \) En efecte: \( \begin{cases} x_1^2 = 2^2 =4 \\ x_2^2 = -2^2 = 4 \end{cases} \)
- L’equació \(x^2 + 4 = 0 \) no té cap solució en \( \mathcal{R} \):
- \(x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4 \implies x = \sqrt{-4} \), que no té cap solució possible en \( \mathcal{R} \)
- Aleshores, es planteja el canvi: \( \sqrt{-1} = i \), amb \( i \) el nombre imaginari.
- De manera que: \( x = \sqrt{-4} = \sqrt{\left({4} \right)·\left( {-1} \right)} = \sqrt{4} · \sqrt{-1} = \sqrt{4}·i \)
- I l'equació té ara dues solucions possibles dins el cos \( \mathcal{C} \) dels nombres complexos: \( x = \sqrt{-4} \rightarrow \begin{cases} x_1 = 2·i = 2i \\ x_2 = -2·i = -2i \end{cases} \)
Molt important!: \( \sqrt{-1} = i \implies \left( \sqrt{\left( -1 \right)} \right)^2 = i^2 \implies i^2 = -1 \). Igualtat notable que serà utilitzada en molts casos.
Exemple 1:
Resolguis l’equació de segon grau \( z^2 - 2z + 5 = 0 \).
Solució
\(Z = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} \), que no té solució en \( \mathcal{R} \) però sí que té solució en \( \mathcal{C} \).
Fem el canvi: \( Z = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16 \cdot (i^2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16} \sqrt{i^2}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i \), amb dues solucions complexes:
\( \begin{cases} z_1 = 1 + 2i \\ z_2 = 1 - 2i \end{cases} \)
Exemple 2:
Resolguis l’equació de quart grau \(z^4 + 16 = 0 \).
Solució
\( z = \sqrt[4]{-16} \), que no té solució en \( \mathcal{R} \) però sí que té solució en \( \mathcal{C} \). [gràfic a)]
Passem \( z \) a la forma polar: \( \left| z \right| = 16 \) i \( \theta=180^\circ \),
per tant tenim que \( z = \sqrt[4]{16_{180^\circ}} \), amb quatre solucions complexes, que conformen un quadrat [gràfic b)]: \( \left\{\begin{array}{l} z_1 = 2 \cdot \frac{180 + 360 \cdot 0}{4} = 2_{45^\circ} \\ z_2 = 2 \cdot \frac{180 + 360 \cdot 1}{4} = 2_{135^\circ} \\ z_3 = 2 \cdot \frac{180 + 360 \cdot 2}{4} = 2_{225^\circ} \\ z_4 = 2 \cdot \frac{180 + 360 \cdot 3}{4} = 2_{315^\circ} \\ \end{array} \right. \)
Exemple 3:
Resolguis l’equació de tercer grau \( z^3 + 27i = 0 \).
Solució
\( z = \sqrt[3]{-27i} \), que no té solució en \( \mathcal{R} \) però sí que té solució en \( \mathcal{C} \).
\( z = \sqrt[3]{-27i} = \sqrt[3]{27_{270^\circ}} \), amb tres solucions complexes, que conformen un triangle equilàter: \( \left\{\begin{array}{l} z_1 = 3 \cdot \frac{270 + 360 \cdot 0}{3} = 3_{90^\circ} \\ z_2 = 3 \cdot \frac{270 + 360 \cdot 1}{3} = 3_{210^\circ} \\ z_3 = 3 \cdot \frac{270 + 360 \cdot 2}{3} = 3_{330^\circ} \\ \end{array} \right. \)
Una mica d'història
A l’antiguitat, hi ha poques referències d’arrels de nombres negatius. Al segle I, Heró d’Alexandria, en la seva obra Stereometrica, vol calcular de manera exacta l’alçada d’una piràmide truncada de base quadrada i es troba amb l’expressió \( \sqrt{81-144} \).
Ja al segle III, Diofant d’Alexandria es troba amb una equació d’arrels de nombres negatius al intentar construir un triangle rectangle, d’àrea set unitats, amb una corda de dotze nusos equidistants i li apareix l’arrel \( \sqrt{-167} \).
Els matemàtics hindú Mahavira (any 850) i Bhaskara (any 1050) precisen la impossibilitat de l’arrel quadrada d’un nombre negatiu, donat que cap quadrat pot tenir el costat negatiu.
Posteriorment Gerard de Cremona (1114-1187) i Leonard de Pisa (1170-1250), més conegut com Fibonacci, tradueixen al llatí de l’obra del matemàtic, astrònom i geògraf persa al-Khwarizmi (780-850). El 1225, li proposen a Fibonacci trobar la solució de l’equació de tercer grau: \( x^3 + 2x^3 + 10x = 20 \), que pot ser reduïda a la forma, més simple, \( x^3 = px + q \). Amb el canvi de variable \( x' = x + a/3 \). Traslladant el punt d’inflexió de la cúbica a l’origen de coordenades [1].
Tartaglia confia la fórmula a Gerolamo Cardano (1501-1576), sense la seva demostració. Cardano troba la demostració per sí mateix, confirma que Del Ferro la coneixia i la publica en la seva obra "Ars Magna" (1545), mencionant Del Ferro com a primer autor i Tartaglia com a descobridor independent.
Cardano observa que, al resoldre l’expressió \( x^3 = px + q \), quan \( q > 0 \) apareixen arrels quadrades de nombres negatius. També proposa un mètode per a solucionar equacions de quart grau, conjuntament amb Ludovico Ferrari (1522-1565). I és el primer matemàtic en introduir els nombres complexos \( a + \sqrt{-b} \) dins l’àlgebra. Encara que ell mateix tenia seriosos dubtes al respecte.
Els nombres complexos són doncs, en els seus inicis, una creació bàsicament algebraica. Posteriorment es va anar constatant, com una conjectura, que els nombres imaginaris, resultants d’admetre i com un nombre real més, resolien qualsevol equació polinòmica.
Rafael Bombelli (1526-1572), a la seva obra "L’Àlgebra" (1572), introdueix la notació per \( \sqrt{-1} \), que nomena più di meno (més menys). Estudia l’obra de Cardano i discuteix l’equació \( x^3 = 15x + 4 \) que, a partir de la fórmula de Cardano, condueix a l’expressió:
\( x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}} \).
Observa que \(x = 4 \) és solució de la cúbica donada (de fet les altres dues arrels, \( -2\pm \sqrt{3} \), són també reals) i indica, de manera agosarada, que:
\(\sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} = x + y \cdot \sqrt{-1}\)
\(\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}} = a - b \cdot \sqrt{-1}\).
Considera \( a,b\in\left\{1,2\right\} \), amb la única combinació possible, \(a=2 \) i \(b=1 \). Així que \(x=2+\sqrt{-1}+2-\sqrt{-1}=4 \).
Trobant així, casualment, la bona solució real.
René Descartes (1596-1650), a la seva obra "Discurs del Mètode" (dins l’apèndix La Géométrie) indica que l’expressió \(x+y·\sqrt{-1} \) és una impossibilitat geomètrica. I expressa per primer cop el terme "imaginari": “... en molts casos no existeix cap quantitat que correspongui al que un imagina.” (referint-se a les arrels d’una equació de grau n).
És Leonhard Euler (1707-1783) qui introdueix la notació moderna: \( \sqrt{-1} = i \). Euler visualitza els nombres complexos mitjançant coordenades rectangulars.
Euler utilitza la fórmula \( x + iy = r \left (\cos{\theta}+i\sin{\theta}\right) \) amb \( r>0 \) i observa que les arrels de \(z^n = 1 \), amb \( n \in \mathcal{N} \), tenen per afixos els vèrtex d’un polígon regular de \( n \) costats i centre l’origen de coordenades. No dona però un tractament rigorós als nombres complexos.
Tanmateix, defineix l’exponencial complexa \( e^{i\theta} \), amb \( \theta\in \mathcal{R} \), i demostra que \( e^{i\theta} = \cos {\theta} + i \sin{\theta} \).
Aleshores, prenent \( \theta=\pi \), s’obté la identitat notable \( e^{\pi i} + 1 = 0 \), que relaciona els cinc nombres fonamentals: \( e, \pi, i, 1, 0 \).
Abraham de Moivre (1167-1754) estableix la seva famosa fórmula (a partir del treball previ de Roger Cotes (1682-1716) i possiblement coneguda ja per Newton des de 1676):
\( \left(\cos{\theta+\sqrt{-1}}·\sin{\theta}\right)^n=\cos{\left(n\theta\right)+\sqrt{-1}}·\sin{\left(n\theta\right)} \), amb \( n\in \mathcal{N} \).
Els nombres complexos s’utilitzen ja de manera freqüent en el segle XVIII. Per exemple per Gottfried von Leibniz (1646-1716) i per Johann Bernouilli (1667-1748). Tanmateix, continuaven sent inexplicables, impossibles, imaginaris, sense sentit, incomprensibles o sofisticats per a un gran nombre de matemàtics.
John Wallis (1616-1703) representa expressions amb arrels quadrades de nombres negatius fora de l’eix real. Jean-Robert Argand (1768-1822) representa \( x + iy \) en el pla cartesià com el punt de coordenades \( \left( x,y \right ) \), el conegut com a diagrama d’Argand, aproximació als actuals vectors, també descoberta de manera independent per Caspar Wessel (1745-1815). William Rowan Hamilton (1805-1865) estableix la notació actual de la variable complexa en termes de parells ordenats \( \left( x,y \right ) \) i defineix també la suma i el producte, tal com és a l’actualitat.
És Carl Friedrich Gauss (1999-1855) qui, a la seva tesi doctoral, demostra el seu teorema fonamental de l’àlgebra: "tot polinomi amb coeficients complexos es descompon en factors lineals". És a dir: té totes les seves arrels en \( \mathcal{C} \). Introdueix el terme "nombre complex" i demostra que l’aritmètica dels nombres complexos, introduïda formalment a partir de \( i=p-1 \), té una interpretació geomètrica senzilla si s’identifiquen els elements de \( \mathcal{C} \) amb els punts del plànol [2]. Es pot doncs considerar \( \mathcal{C} \) com un espai vectorial isomorf a \( \mathcal{R}^2 \).
Gauss obté també que \( {(0,1)}^2 = (-1,0) \), el que proporciona sentit geomètric a l’expressió \( i^2 = -1 \), fent notar que i no es representa necessàriament amb un punt a la recta real. També és el propi Gauss qui defineix els nombres complexos com el conjunt quocient \( \mathcal{R}[x]/(x^2+1) \).
Augustin Louis Cauchy (1789-1857) inicia l’estudi de la teoria de funcions de variable complexa, conjuntament amb Gauss, Karl Weierstrass (1815-1897) i Bernhard Riemann (1826-1866).
Ja al segle XX, Jacques Hadamard (1865-1963) afirma que “...el camí més curt entre dues veritats en el camp real passa a través del camp complex”.
Els nombres complexos són universalment acceptats i àmpliament utilitzats en àlgebra, anàlisi, geometria i teoria de nombres. Sent absolutament imprescindibles en el camp de la mecànica quàntica i l’anàlisi de circuits elèctrics.
Definicions prèvies i notació
\( (\mathcal{C}, +, ·) \) té estructura de cos abelià
Considerem \( \mathcal{C} \) com el conjunt dels parells ordenats de nombres reals \( z = (x,y) \). Format per \( \mathcal{C} = \left\{ \{ i \}, \{ \mathcal{R} \} \right\} \) i definit com: \( \mathcal{C} = \left\{ \left\{ z = x + iy \right\} : x, y \in \mathcal{R} \right\} \). Amb les operacions suma (\( + \)) i producte (\( · \)), heretades de \( \mathcal{R} \). Aleshores \( (\mathcal{C}, +, ·) \) té estructura de cos abelià, sent un cos algebraicament tancat [3] i no ordenat [4].
Demostració
En efecte:
\( \forall x, y, v, w \in \mathcal{R}, i \in \mathcal{C} \),
Definim l’operació \( (+) \) heretada de \(\mathcal{R}\), de manera que s’acompleix [5]
\( (x + iy) + (v + iw) = x + iy + v +iw = (x + v) + i(y + w) \).
Definim l’operació \( (·) \) heretada de \(\mathcal{R}\), de manera que s’acompleix
\( (x + iy)·(v + iw) = xv + i·xw + i·yv + i^2·yw = (xv + yw) + i(xw + yv) \)
Aleshores
- \( (\mathcal{C},+) \) té estructura de grup abelià
- Propietat associativa: \( \{ z_1, z_2, z_3 \} \subset \mathcal{C} \rightarrow z_1 + (z_2 + z_3) = (z_1 + z_2) + z_3 \)
- Propietat commutativa: \( \{ z_1, z_2 \} \subset \mathcal{C} \rightarrow z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \)
- Element neutre: l’element \( 0 + 0·i \), que anotarem com: \( 0 = 0 +i0 \), el parell \( (0,0) \)
- Element oposat: donat \( z = x + iy \), amb \( z\in \mathcal{C} \), es defineix \( -z\in \mathcal{C} \), element oposat de \( z \), com: \( -z = (-x) + i(-y) = -x -iy \), el parell \( (-x,-y) \)
- \( (\mathcal{C},·) \) té estructura de grup abelià
- Propietat associativa: \( \{ z_1, z_2, z_3 \} \subset \mathcal{C} \rightarrow z_1·(z_2·z_3) = (z_1·z_2)·z_3 \)
- Propietat commutativa: \( \{ z_1, z_2 \} \subset \mathcal{C} \rightarrow z_1 · z_2 = z_2 · z_1 \)
- Element neutre: l’element \( 1 \subset \mathcal{C} \), donat per \( 1 + i0 \), el parell \( (1,0) \)
- Element invers: donat \( \{ z = x + iy \} \in \mathcal{C} \), amb \( z \neq 0, \exists (1/z) \in \mathcal{C} \), el seu invers, donat per:
- \( \frac{1}{z} = \frac{1}{(x + iy)} = \frac{(x - iy)}{(x + iy)(x - iy)} = \frac{(x - iy)}{(x^2 - i^2 y^2)} = \frac{(x - iy)}{(x^2 + y^2)} = \frac{x}{(x^2 + y^2)} - i \frac{y}{(x^2 + y^2)} \), el parell \( \left( \frac{x}{x^2 + y^2}, \frac{-y}{x^2 + y^2} \right) \)
- Propietat distributiva del producte respecte la suma: \( \{z_1, z_2, z_3\} \subset \mathcal{C} \rightarrow z_1·(z_2 + z_3) = z_1·z_2 + z_1·z_3 \)
Per tant, \( (\mathcal{C}, +, ·) \) té estructura de cos abelià o grup commutatiu.
Observis que el vector \( (0,1) \) verifica \({(0,1)}^2 = -(1,0) = -1 \), és a dir: \( (0,1) = \sqrt{-1} = i \)
De manera semblant es demostra que \( (\mathcal{R}^2, +, ·) \) també té estructura de cos abelià. Ambdós cossos són en essència iguales i se’ls nomena cos \( \mathcal{C} \) dels nombres complexos.
Notació geomètrica, definicions i teoremes bàsics
S’associa al número complex \( z = x + iy \), amb \( x,y \in \mathcal{R} \); \( i \) la unitat imaginària, amb \( i^2 =-1 \); el punt \( Z \), de coordenades rectangulars \( (x;y) \) en un plànol cartesià fix. Associació que estableix una correspondència biunívoca entre el conjunt de tots els nombres complexos i el conjunt de tots els punts reals ordinaris del plànol.
El punt \( Z \) s’anomena imatge o punt representatiu, del nombre complex \( z \) i rep el nom d’afix, o coordenada complexa del punt \( Z \).
El plànol en que els punts reals s’associen d’aquesta manera amb els nombres complexos s’anomena plànol de Gauss [6].
L’eix de les \( x \), com a lloc geomètric de les imatges dels nombres reals, rep el nom d’eix real del plànol de Gauss; mentre que l’eix de les \( y \), com a lloc geomètric de les imatges dels nombres imaginaris purs, rep el nom d’eix imaginari del plànol de Gauss.
Es designen els punts d’un plànol de Gauss amb lletres majúscules i els seus afixos per les lletres minúscules corresponents. L’origen de coordenades s’indica per \( O \).
Si \( z \) és el complex \( x + iy \), aleshores el complex \( x - iy \) s’anomena conjugat de \( z \) i es representa per \( \bar{z} \). La imatge de \( \bar{z} \) s'indica com \( \bar{Z} \).
Teorema 1:
Si el punt \( Z \) té com a coordenades polars \( (r;\theta) \), amb \( r \geq 0 \) i \( (x;y) \) són les coordenades cartesianes rectangulars corresponents de \( z \), aleshores:
\( z = r(\cos \theta +i \sin \theta) \); \( r = \sqrt {(x^2 + y^2)} \); \( \tan \theta = y / x \)
Teorema 2:
Si s’abrevia l’expressió \( (\cos \theta + i \sin\theta) \) com a \(\text{cis}\ \theta \), aleshores:
- \( z = \text{cis}\ \theta \implies \bar{z} = r\ \text{cis}(-\theta) \)
- \( \text{cis}\ \theta_1 \cdot \text{cis}\ \theta_2 = \text{cis}(\theta_1 + \theta_2) \)
- \( \text{cis}\ \theta_1\ /\ \text{cis}\ \theta_2 = \text{cis}(\theta_1 - \theta_2) \)
Teorema 3:
Si dos nombres complexos, \( z_1,\ z_2 \), tenen per imatges els punts \( Z_1,\ Z_2 \), aleshores la seva suma \( z = z_1 + z_2 \) té per imatge el punt Z, amb Z el quart vèrtex del paral·lelogram que té \( (\overline{OZ_1},\ \overline{OZ_2}) \) com a parell de costats adjacents.
Teorema 4:
Si dos nombres complexos, \( z_1,\ z_2 \), tenen per imatges els punts \( Z_1,\ Z_2 \), i si \( U \) és la imatge del punt unitat \( (1,0) \) de l’eix real, aleshores el producte \( z =z_1·z_2 \) té per imatge el punt \( Z \) tal que el triangle \( \widehat{OZ_1Z} \) sigui directament semblant al triangle \( \widehat{OUZ_2} \).
Teorema 5:
- Si \( z = rz_1 \), amb \( r \in \mathcal{R} \), aleshores \( Z \) està sobre \( OZ_1 \), de manera que \( OZ = rOZ_1 \)
- Si \( z = tz_1 \), amb \(\left|t\right| = 1 \), aleshores \( Z \) s’obté per la rotació de \( Z_1 \), al voltant d’\( O \), d’ \( \arctan t \)
- Si \( z = \pm\ iz_1 \), aleshores \( Z \) s’obté per la rotació \( \pm \frac{\pi}{2}\ de Z_1 \) al voltant d’\( O \).
Teorema 6:
Si \( z =1\ /\ z_2 \), aleshores \( Z \) és el conjugat de l’invers de \( Z_2 \) en la circumferència unitat amb centre a \( O \).
Definició 1:
Si \(rcis\ \theta \) és la forma polar d’un nombre complex \( z \), aleshores \( re^{i\theta} \) s’anomena forma exponencial del complex \( z \)./p>
Teorema 7:
\( e^{i\theta} \) és un gir d’argument \( \theta \).
Teorema 8:
Si \( P \) és un punt d’afix \( p \), aleshores \( (OP)^2 = p \bar {p} \). Més generalment, si \(A \) i \( B \) són punts amb afixos \( a \) i \( b \), respectivament, aleshores \( (AB)^2 = (b-a)·(\bar{b}-\bar{a}) \).
Teorema 9:
Si \( A;\ B;\ C;\ D \) són quatre punts diferents d’afixos \(a;\ b;\ c;\ d \) respectivament, aleshores \( \overline {AB} \) serà perpendicular a \( \overline {CD} \) sí i només sí \( (b-a)·(\bar{d}-\bar{c}) + (\bar{b}-\bar{a})·(d-c)=0 \).
Teorema 10:
Si \(a;\ b \) són els afixos de dos punts \( A;\ B \) i \( p \) és el punt \( P \) que divideix al segment \( \overline {AB} \) en la raó \( k \), aleshores \( p = a + kb\ /\ 1 + k \).
Teorema 11:
Les triades de punts \( A;\ B;\ C \) i \( U;\ V;\ W \) són directament semblants sí i només sí
\( \begin{vmatrix} a & u & 1 \\ b & v & 1 \\ c & w & 1 \end{vmatrix} = 0 \)
Corol·lari
El triangle \( \widehat{ABC} \) és equilàter sí i només sí
\( \begin{vmatrix} a & b & 1 \\ b & c & 1 \\ c & a & 1 \end{vmatrix} = 0 \)
Equivalent a \( \widehat{ABC} \) és equilàter sí i només sí \( a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca \).
Teorema 12:
Si \( A;\ B \) són dos punts d’afixos \( a;\ b \) respectivament aleshores \( p = a + e^{i\theta}(b-a) \) és l’afix del punt \( P \) que s’obté al girar en un angle \( \theta \) el punt \( B \) al voltant del punt \( A \).
Teorema 13:
L’equació general d’una recta real del plànol de Gauss és de la forma: style="margin-left:60px"> \( az + \overline{az} + b = 0 \), on \( a \neq 0 \) i \(b \in \mathcal{R} \).
La recta conté al punt d’afix \( (-b\ /\ 2a) \) i és perpendicular a la recta que uneix \( O \) amb el punt d’afix \( \bar{a} \).
Teorema 14:
La recta determinada pels punts \( V;\ W \), amb afixos \(v;\ w \) respectivament, té l’equació:
\( \begin{vmatrix} z & \bar z & 1 \\ v & \bar v & 1 \\ w & \bar w & 1 \end{vmatrix} = 0 \)
Corol·lari:
Els punts \(U;\ V\ ;W\ \) amb afixos \(u;\ v;\ w \)respectivament, són col·lineals sí i només sí:
\( \begin{vmatrix} u & \bar u & 1 \\ v & \bar v & 1 \\ w & \bar w & 1 \end{vmatrix} = 0 \)
Oposat, conjugat i mòdul d’un nombre complex
Oposat
Definim l’oposat d’un nombre complex com el seu simètric respecte l’origen de coordenades, és a dir, si \( z = a + ib \), aleshores l’oposat de \( z \) és: \( -z = -a - ib \).
En forma cartesiana, l’oposat de \( (a,b) \) és \( (-a,-b) \). En forma polar, l’oposat del nombre complex \( z = re^{i\theta} \) és: \( -z=re^{i(\theta +\pi)} \). [7]
Observis que, en aquest tipus de representació, la suma de dos nombres complexos es correspon amb la suma de dos vectors. Donats dos vectors \( z_1 = x_1 + iy_1 \) i \( z_2 = x_2 + iy_2 \), aleshores: \( z_3 = z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 +y_2) \)
Conjugat
Definim el conjugat d’un nombre complex com el seu simètric respecte l’eix real, és a dir, si \( z = a + ib \), aleshores el conjugat de z és: \( \bar{z} = a - ib \) [8].
En forma cartesiana, el conjugat de \( (a,b) \) és: \( (a,-b) \). [9]
Observis que és fàcilment demostrable que \( z·\bar{z} = |z|^2 \), de manera que l’invers d’un nombre \(z \neq 0 \) es pot expressar com: \( z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} \)
Propietats
- El conjugat del conjugat d’un nombre complex \( z \) és igual al mateix nombre complex \(z \): \( \bar{{\bar z}} = z \)
- En efecte: \( z = x +iy \implies \bar z = x - iy \implies \bar{{\bar z}}= x - (- iy) = x + iy = z \)
- El conjugat de la suma és igual a la suma dels conjugats: \( \overline{(z_1+z_2)} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \)
- En efecte: siguin \( (z_1 = x +iy) \) i \( (z_2 = v + iw) \), aleshores: \( (\overline{z_1} = x -iy) \) i \( (\overline{z_2} = v - iw) \),
- per tant: \( \overline{z_1} + \overline{z_2} = x - iy + v -iw = (x + v) -i(y + w) = \overline{(z_1+z_2)} \)
- El conjugat de l’oposat és igual a l’oposat del conjugat: \( \overline{(-z)} = - \bar{z} \).
- En efecte, si \( z = x + iy \), aleshores: \( -z = -x -iy \implies \overline{(-z)} = -x + iy = -(x - iy) = -\bar{z} \)
- El conjugat del producte és igual al producte dels conjugats: \( \overline{(z_1·z_2)} = \overline{z_1}·\overline{z_2} \)
- En efecte, siguin: \( (z_1 = x + iy) \) i \( (z_2 = v + iw) \), aleshores: \(z_1·z_2 = (xv - yw) + i(xw + yv) \),
- d’on es desprèn que: \( \overline{(z_1·z_2)} = (xv - yw) - i(xw + yv) \), i per tant:
- \( \overline{z_1}·\overline{z_2} = (x - iy)·(v - iw) = [xv - (-y)(-w)] + i[x(-w) + v(-y)] = (xv - yw) + i(-xw - yv) = (xv - iw) -i(xw + iv) = \overline{(z_1·z_2)} \)
- El conjugat de l’invers és igual a l’invers del conjugat: \( \overline{1\ /\ z} = 1\ /\ \bar{z} \)
- En efecte, sigui: \( z = x + iy \), aleshores: \( \bar{z} = x -iy \implies 1\ /\ \bar{z} = [x - i(-y)]\ /\ (x^2 + y^2) = (x + iy)\ /\ (x^2 + y^2) \).
- Per tant: \( 1\ /\ z = (x - iy)\ /\ (x^2 + y^2) \implies \overline{(1\ /\ z)} = (x + iy)\ /\ (x^2 +y^2) = 1\ /\ \bar{z} \).
- El conjugat del quocient és igual al quocient dels conjugats: \( \overline{(z_1\ /\ z_2)} = \overline{z_1}\ /\ \overline{z_2} \)
- \( z \in\mathcal{R} \implies z = \bar{z} \)
- \(z \) és un nombre imaginari pur \implies z = - \bar{z} \)
Observis que les equacions polinomials complexes, com \( iz + 4 = 0 \) o \( z^3 + 2z^2 + 3z = 4 \), tenen un nombre finit de solucions, però les equacions que involucren a \( z \) i al seu conjugat \( \bar{z} \) poden tenir infinites solucions:
— Les solucions de \(z + \bar{z} = 1 \), formen una recta vertical: si \( z = x + yi \), l’equació és: \( (x + yi) + (x - yi) = 1 \), o sigui: \( 2x = 1 \).
— Les solucions de \( z ·\bar{z} = 4 \), formen un cercle de radi \( 2 \) i centre en \( O \): \( (x + yi)(x - yi) = 4 \), o sigui: \( x^2 + y^2 = 4 \).
Lema 1: Les solucions de \(cz + \overline{cz} = r \), — amb \(c \in\mathcal{C} \) i \(r \in\mathcal{R}\) —, formen una recta, i totes les rectes tenen equacions d’aquest tipus.
En efecte: si \( c = a + bi \), aleshores:
\( (a + bi)·(x + yi) + (a - bi)·(x - yi) = r \implies (ax - by) + (ay + bx)i + (ax - by) + (-ay - bx)i = r \implies \mathbf{2}\mathbf{ax}-\mathbf{2}\mathbf{by}=\mathbf{r} \).
Equació d’una recta. Observis a més que \( c = a - bi \) és ortogonal a la recta.
Exemple 4:
Trobis l’expressió complexa de l’equació de la recta: \( 2x + 3y = 4 \).
Solució
\(2x + 3y = 4 \implies 2(1)x - 2 (-\frac{3}{2})y = 4 \)
Per tant, si \( a = 1;\ b = -\frac{3}{2} \implies c = 1 - i \frac{3}{2} \), i l’expressió complexa de la recta \(2x + 3y = 4 \) és: \( (1 - i\frac{3}{2})z + (1 + i\frac{3}{2})\bar{z} = 4 \).
Lema 2: Les solucions de \( (z + c)·\overline{(z + c)} = r \), — amb \(c \in\mathcal{C} \) i \(r \in\mathcal{R}\) —, formen un cercle, i tots els cercles del plànol tenen equacions d’aquesta forma.
En efecte: si \( c = a + ib \), aleshores:
\( [(x + iy) + (a + ib)]·[(x - iy) + (a - ib)] = r \implies [(x + a) + i(y + b)]·[(x + a) - i(y + b)] = r \implies {(\mathbf{x} + \mathbf{a})}^\mathbf{2} + {(\mathbf{y} + \mathbf{b})}^\mathbf{2} = \mathbf{r} \)
Exemple 5:
Trobis l’expressió complexa de la circumferència: \( {(x + 2)}^2 + {(y + 3)}^2 = 4 \), l'eqüació dun cercle amb centre a \( (-2, -3) \) i radi 2.
Solució
Tenim, en aquest cas: \( a = 2,\ b = 3 \rightarrow c = 2 + 3i \), d’expressió complexa: \( [z + (2 + 3i)][(\bar{z} + (2 - 3i)] = 4 \), que espot escriure com: \( [x + 2 + (3 + y)i][x + 2 - (3 + y)i] = 4
Mòdul
Definim el mòdul d’un nombre complex com el mòdul del vector que el representa.
S’anota com \( |z| \) i és igual a l’arrel quadrada positiva del producte de \( z \) pel seu conjugat: \( |z| = + \sqrt{z·\bar z} \)
En efecte: \( z = a + ib \rightarrow {|z|}^2 = (a + ib)·(a + ib) = a^2 +i^2b^2 = a^2 + b^2 \implies \bar z = \sqrt{a^2·b^2} \). Expressió analítica del mòdul [10] d’un nombre complex.
Propietats
- \( |z| = 0 \Rightarrow z = 0 \)
- \( |-z| = |z| \)
- \( |\bar{z}| = |z| \)
- \( |z_1 + z_2| < |z_1| + |z_2| \) (Propietat triangular)
- \( |z_1| - |z_2| < |z_1 - z_2| \)
- \( |z_1·z_2| = |z_1|·|z_2| \)
- Si \( c\ \in\ \mathcal{R} \), aleshores: \( |cz| =|c|·|z| \), on \( |c| \) és el valor absolut de \( c \)
Formes d’expressar un nombre complex
Forma binòmica o rectangular
Siguin \( z,i \in \mathcal{C} \) i \(a,b \in \mathcal{R} \), aleshores direm que \( \mathbf{z} = \mathbf{a} + \mathbf{i} \), on \( \mathbf{b} \) és la representació en forma binòmica [11] de \(\mathbf{z}\). Amb \( \mathbf{a} \) la part real i \( \mathbf{i}\mathbf{b} \) la part imaginària, de \( \mathbf{z}\).
Considerem \( \mathcal{C} \) com un espai vectorial isomorf a \( \mathcal{R}^2 \) i representem gràficament \( \mathcal{R}^2 \) (i per tant \( \mathcal{C}) \) en un plànol: el plànol complex.
Si \( a = 0 \), quan \( z \) no té part real, direm que \( z \) és un nombre imaginari pur de la forma \( z = ib \).
Observis que \( \forall x \in \mathcal{R},\ \exists z\in\mathcal{C}\ : z = x + i0 \). És a dir: tot nombre real és a la vegada un nombre complex que no té part imaginària [12].
A més, és obvi que dos nombres complexos són iguals sí i només sí ho són a la vegada les parts reals i imaginàries.
Exemple 6:
Calculis \( x \) per tal de que es verifiqui que \( (2 + xi)(1 - i) \) sigui: a)un nombre real; b) un nombre imaginari pur.
Solució
Separem la part real de la part imaginària: \( (2 + xi)(1 - i) = 2 - 2i + xi -xi^2 = ··· = (2 + x) + (-2 + x)i
a) És un nombre real, aquell que no té part imaginària: \( (-2 +x) =0 \implies \mathbf{x = 2} \).
b) És un nombre imaginari pur, aquell que no té part real: \( (2 + x) = 0 \implies \mathbf{x = - 2} \).
Exemple 7:
Siguin els nombres \( z_1 = 2-6i; z_2 = x + 3i \). Calculis \( x \) per tal de que \( (z_1\ /\ z_2) \) sigui: a) un nombre real; b)un nombre complex.
Solució
Separem la part real de la part imaginària: \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{2 - 6i}{x + 3i} = \frac{2 - 6i}{x + 3i}·\frac{x - 3i}{x - 3i} = \frac{2x - 6i -6xi + 18(i)^2}{x^2 -(3i)^2} = ··· = (\frac{2x - 18}{x^2 + 9})(\frac{-6 - 6x}{x^2 + 9})i \)
a) És un nombre real, aquell que no té part imaginària: \( (\frac{-6 - 6x}{x^2 + 9}) = 0 \implies \mathbf{x = -1} \).
b) És un nombre imaginari pur, aquell que no té part real: \( (\frac{2x - 18}{x^2 + 9}) = 0 \implies \mathbf{x = 9} \).
Exemple 8:
Donat \( z = 2 + 3i \): a) calculis: \( |z|, -z,\ \bar{z} \) (mòdul, oposat i conjugat); b) representis gràficament.
Solució
\( |z| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13};\ \ -z = -2 - 3i;\ \ \bar{z} = 2 - 3i \)
Exemple 9:
Donats \( z_1 = 2 + 3i;\ \ z_2 = 4 - 2i \), calculis: a) \( z_1 + z_2 \); b) \( z_1 - z_2 \); c) \( z_1 · z_2 \); d) \( z_1 / z_2 \); e) \( z_2 / z_1 \)
Solució
a) \(z_1 + z_2 = (2 + 3i) + (4 - 2i) = (2 + 4) + (3 - 2i) = 6 + i \)
b) \(z_1 - z_2 = (2 + 3i) - (4 - 2i) = (2 - 4) + (3 + 2i) = -2 + 5i \)
c) \(z_1 · z_2 = (2 + 3i)·(4 - 2i) = ··· = 14 + 8i \)
d) \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{(2 + 3i)}{(4 - 2i)} = \frac{(2 + 3i)(4 + 2i)}{(4 - 2i)(4 + 2i)} = \cdots = \frac{1}{10} + \frac{4}{5}i \)
e) \(\frac{z_2}{z_1} = \frac{(4 - 2i)}{(2 + 3i)} = \frac{(4 - 2i)(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \cdots = \frac{2}{13} - \frac{16}{13}i \)
A cada nombre complex \( z = a + bi \) se'l pot associar una matriu: \( \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \) de determinant: \( a^2 + b^2 ={|z|}^2 \).
Matriu que es correspon a una homotècia pel factor \( |z| \) seguida d’una rotació per l’angle \( arg(z) \).
Donats dos nombres complexos \( z_1 = (a + bi) \) i \( z_2 = (c + di) \), el seu producte \( z_1·z_2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \), es correspon amb la multiplicació de matrius:
\( \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac - bd & -ad - bc \\ ad + bc & ac - bd \end{pmatrix} \)
Observis que, en particular, la matriu corresponent a l’invers de \( z\) és la inversa de la matriu corresponent a \(z \).
Lema 3: \( |z_1·z_2| = |z_1|·|z_2| \) i \(arg(z_1·z_2) = arg(z_1) + arg(z_2) \)
En efecte, la matriu del producte \( |z_1·z_2| \) és igual al producte de les matrius \( |z_1| \) i \(|z_2| \). El determinant del producte, \( |z_1·z_2|^2 \), és el producte dels determinants, igual a \( |z_1|^2·|z_2|^2 \). L’argument de \(z_1·z_2 \) és l’angle de rotació de la matriu de \( z_1·z_2 \), que és la suma dels angles de rotació de les matrius de \(z_1\) i \(z_2\), els arguments de \(z_1\) i de \(z_2\).
Vegem-ho amb uns exemples:
- \( z_1 = \sqrt{3}+i;\ z_2 = \sqrt{5}+2i \rightarrow z_3 = z_1·z_2 = (\sqrt{3}·\sqrt{5} - 2) + (2\sqrt{3} + \sqrt{5})i \) [13]
- \( |z_1| = 2;\ |z_2| = 3 \rightarrow |z_1|·|z_2| = 2 · 3 = 6 \)
- \( \theta_{z_1} = 30^\circ;\ \theta_{z_2} = 41.81^\circ \rightarrow \theta_{z_1z_2} = \theta_{z_1} + \theta_{z_2} = 30^\circ + 41.81^\circ = 71.81^\circ \)
El lema anterior implica a més, per exemple, que:
- \( |z^2| = |z|^2 \)
- \( arg (z^2) = 2·arg(z) \)
- \( |1/z| = 1/|z| \)
- \( arg(1/z) = -arg(z) \)
Forma cartesiana
Siguin \( z \in \mathcal{C} \) i \(a,b \in\mathcal{R} \), aleshores direm que \( z = (a,b) \) és la representació en forma cartesiana de \(z\)
Forma polar o mòdul-argument
Si s’utilitzen coordenades polars en lloc de coordenades cartesianes, es té la forma de representació dels nombres complexos nomenada forma polar o mòdul-argument: \(z = r(\cos {\theta + i \sin{\theta}}) \), amb \( r = |z|\geq 0\).
És a dir: \( \theta \) és l’argument de \(z \), \(|z| \) és el seu mòdul i \( \theta = arg\ (z) \).
Observis que: \( \theta \) és un angle tal que \( \cos{\theta} = x\ /\ |z| \) i \( sin{\theta} = y\ /\ |z| \)
Cada nombre complex \( z \), no nul, té infinits arguments. Podem definir l’argument de \( z \) com el conjunt de tots els possibles valors de que verifiquen el paràgraf anterior:
\( \arg\ (z) = { \theta \in \mathcal{R} : \cos\ (\theta) = x\ /\ |z|, \sin\ (\theta) = y\ /\ |z| } \)
Si \( \theta_0 \), valor particular de l’argument de \( z\), aleshores: \( \arg\ (z) = \left\{ \theta_0 + 2k\pi,\ k \in \mathcal{Z} \right\} \).
S’anomena argument principal de \(z \), l’únic valor \( \theta \in arg\ (z)\ :\ \theta \in(-\pi,\pi) \). S’anota com \( Arg\ (z) = \theta\) i es verifica que \(arg\ (z) = \left\{ Arg\ (z) + 2k\pi,\ k \in \mathcal{Z} \right\}\).
Observis que dos nombres complexos \( z_1 = |z_1|(\cos\ (\theta_1) + i\sin\ (\theta_1) \) i \( z_2 = |z_2|(\cos\ (\theta_2) + i\sin\ (\theta_2) \), representats en forma polar, són iguales sí i només sí els seus mòduls són iguals: \( |z_1| = |z_2|\), i els seus arguments es diferencien en un nombre enter de voltes: \( \theta_1 = \theta_2 + 2k\pi,\ k \in \mathcal{Z} \).
Producte de dos nombres complexos en forma polar
La forma polar d’un nombre complex és especialment útil a l’hora de multiplicar: es multipliquen els mòduls i es sumen els arguments.
Donats \( z_1 = |z_1|(\cos\ (\theta_1) + i\sin\ (\theta_1) \) i \( z_2 = |z_2|(\cos\ (\theta_2) + i\sin\ (\theta_2) \), es calcula el seu producte com: \( z_1·z_2 = |z_1||z_2|(\cos\ (\theta_1 + \theta_2) + i\sin\ (\theta_1 + \theta_2) \).
Generalització del producte de nombres complexos. Fórmula de Moivre.
La fórmula anterior es pot generalitzar, a \(n \) nombres complexos, \( |z_i|(\cos\ \theta_i + i\sin\ \theta_i),\ i = 1, 2,···, n \) com:
\( \displaystyle \prod_{i=1}^{n} z_i = \prod_{i=1}^{n} |z_i| \left[ \cos\left( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \theta_i \right) + i \sin\left( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \theta_i \right) \right] \)
Observis que, en el cas de que tots els factors siguin iguals, s’obté la fórmula de Moivre: \( z^n = {|z|}^n(\cos\ n\theta + i\sin\ n\theta) \), vàlida també per exponents negatius, sempre que \( z \neq 0 \).
Quocient de dos nombres complexos en forma polar
De manera similar, per calcular el quocient de dos nombres complexos en forma polar, es divideixen els mòduls i es resten els arguments.
Donats \( z_1 = |z_1|(\cos\ (\theta_1) + i\sin\ (\theta_1) \) i \( z_2 = |z_2|(\cos\ (\theta_2) + i\sin\ (\theta_2) \), amb \( z_2 > 0 \), es calcula el seu quocient com: \( z_1\ /\ z_2 = |z_1|\ /\ |z_2|(\cos\ (\theta_1 - \theta_2) + i\sin\ (\theta_1 - \theta_2)) \).
Forma exponencial
Al considerar la fórmula d’Euler \( e^{i\theta} = (\cos\ \theta + i\sin\ \theta) \), amb \( \theta \in\ mathcal{R} \), s’obté la forma exponencial de representació d’un nombre complex \( z = re^{i\theta} \), amb \( r= |z| \).
La forma exponencial és útil per a representar la potència i el quocient d’un nombre complex:
\( z^n = {|z|}^n\ e^{i\theta} \)
\(z^{-1} = {|z|}^{-1}(\cos\ \theta +i\sin\ \theta) \)
Arrels n-èsimes d’un nombre complex
Sigui \( z = |z| e^{i\theta} \) un nombre complex expressat en forma exponencial. Definim \( \omega= \sqrt[p]{z} = z^\frac{1}{p} \), amb \( p \in \mathcal{N} \).
Aleshores: \( \omega = |\omega|\ e^{i\theta} \implies \omega^p = z \), donat que \(\omega = z^\frac{1}{p} \), per definició. Per tant: \( |\omega|^p = |z| \implies |\omega| = |z|^\frac{1}{p} = \sqrt[p]{|z|} \).
A més: \( p\ \varphi = \theta\ 2k\pi \implies \varphi = \frac{\theta\ 2k\pi}{p} \), amb \(k \in \mathcal{Z} \) i únicament \(p\) valors consecutius diferents. La resta són repeticions. Per tant, un nombre complex té sempre \( p \) arrels \(p\)-èsimes diferents:
\( \omega_k = \sqrt[p]{\left|z\right|}\ e^{i\ \frac{\theta\ 2k\pi}{p}} \), amb \(k = 0, 1, 2,···, p-1\).
Observis que totes les \(p\) arrels\(p\)-èsimes tenen el mateix mòdul i els seus arguments es diferencien en \(\frac{2\pi}{p}\) cadascuna respecte la següent arrel. És a dir: cada arrel \(p\)-èsima representa el vèrtex d’un polígon regular de \(p\) costats, inscrit en una circumferència de centre \(0\) i radi \(\sqrt[p]{\left|z\right|}\).
Lema 4: Les arrels \(n\)-èsimes d’un nombre complex són els vèrtex d’un polígon regular de \(n\) costats.
En efecte: Si el complex \(z\) té per mòdul \(|z| \) i argument \(\theta \), aleshores les arrels \(n\)-èsimes de \(z\) són els \(n\) nombres complexos de mòdul \(\sqrt{|z|} \) i arguments \( \frac{\theta}{n},\ \theta+\frac{2\pi}{n},\ \theta + \frac{4\pi}{n},\ \theta + \frac{6\pi}{n},...\) totes a la mateixa distància de l’origen i amb el mateix angle entre elles: \(\frac{2\pi}{n}\). Per tant, són els vèrtex d’un polígon regular.
Exemple 10:
\( \sqrt[2]{4i} = \sqrt[2]{4_{90^\circ}} \rightarrow \left\{ \begin{array}{l} z_1 = \frac{90 + 2\pi \cdot 0}{2} = 2_{45^\circ} = \sqrt{2} + \sqrt{2}i \\ z_2 = \frac{90 + 2\pi \cdot 1}{2} = 2_{225^\circ} = -\sqrt{2} - \sqrt{2}i \end{array} \right.\)
Exemple 11:
Calculis \( \sqrt[3]{\left(1-i\right)\ /\ \left(1+i\right)} \)
Solució
Es simplifica l’expressió multiplicant pel conjugat del denominador:
\( \frac{1 - i}{1 + i} = \frac{(1 - i)}{(1 + i)} \cdot \frac{(1 - i)}{(1 - i)} = \frac{1 - i - i + i^2}{(1)^2 - (i)^2} = \frac{1 - 2i - 1}{1 - (-1)} = \frac{-2i}{2} = -i \)
Per tant \( \sqrt[3]{\left(1-i\right)\ /\ \left(1+i\right)} = \sqrt[3]{-i} \). Geomètricament, el punt \(P\), d’afix \(p\), representa al nombre imaginari pur \(-i\). Per tant:
\( \sqrt[3]{-i} = \sqrt[3]{1_{{270}^\circ}} \), amb \(|p|= 1\) i \(arg\ (p) = {270}^\circ \) i tres solucions possibles, que defineixen geomètricament un triangle equilàter: \( \left\{ \begin{array}{l} z_1 = \frac{270 + 360 \cdot 0}{3} = 1_{90^\circ} = \text{cis } 90 \\ z_2 = \frac{270 + 360 \cdot 1}{3} = 1_{210^\circ} = \text{cis } 210 \\ z_3 = \frac{270 + 360 \cdot 2}{3} = 1_{330^\circ} = \text{cis } 330 \end{array} \right.\)
Exemple 12:
Calculis \( \sqrt[3]{-1} \)
Solució
Com \(|-1| = 1 \) i \(arg\ (-1) = \pi\), els complexos que satisfan \(z^3 = 1\) són tals que \(|z| = 1\) i \(arg\ (z) = \frac{\pi}{3} = 60^\circ; \frac{3\pi}{3} = 180^\circ; \frac{5\pi}{3} = 300^\circ \) i conformen el triangle equilàter de la figura següent:
Potència d’un nombre complex
Siguin \(z \in \mathcal{C}\) i \(n \in \mathcal{Z}\). Aleshores:
- \(z^n = +1 \leftarrow \) si \(n\backslash 4 = 0 \), (\(n\) és \(\dot{4}\))
- \(z^n = +i \leftarrow \) si \(n\backslash 4 = 1 \), (el residu de \(n/4 \) és \(1\))
- \(z^n = -1 \leftarrow \) si \(n\backslash 4 = 2 \), (el residu de \(n/4 \) és \(2\))
- \(z^n = -i \leftarrow \) si \(n\backslash 4 = 3 \), (el residu de \(n/4 \) és \(3\))
Per a calcular la potència \(n\)-èsima d’un nombre complex \(z = x + iy\), en forma binòmica, s’utilitza el binomi de Newton: \(z^n = {(x + iy)}^n\).
\( z^n = \binom{n}{0} x^n + \binom{n}{1} x^{(n-1)} (iy)^1 + \binom{n}{2} x^{(n-2)} (iy)^2 + \cdots + \binom{n}{n-1} x^{(n-(n-1))} (iy)^{(n-1)} + \binom{n}{n} (iy)^n \)
Les potències d’un complex \(z\) formen una espiral creixent si \(|z| > 1 \) i decreixent si \(|z| < 1 \), si \(|z| = 1 \) totes les potències de \(z\) es situen en el cercle unitari.
Exemple 13:
Canvis de forma d’expressió d’un nombre complex
Canvi de forma polar a forma binòmica
Donat \( z = |z|_\theta \), es calculen \( x =|z|cos\ (\theta) \) i \(y = |z|sin\ (\theta)\), representant \(z = x + iy \)
Canvi de forma binòmica a forma polar
Donat \(z = x + iy \) , es calcula \(|z| = \sqrt{x^2 + y^2} \) i \(\theta = arctg\ (y\ /\ x) \), de manera que:
- \(cos\ (\theta) = \frac{x}{|z|} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \)
- \(sin\ (\theta) = \frac{y}{|z|} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \)
Canvi de forma exponencial a forma binòmica
Donat \( z = |z|\ e^{i\theta} \) un nombre complex expressat en forma exponencial, tenim: \( z = |z|(cos\ \theta + i\ sin\ \theta) \)
Problemes resolts
1 - Mòdul i argument. Representació geomètrica.
A cada nombre complex \( z = x + iy \) se li assigna unívocament un punt \((x,y) \in \mathcal{R}^2 \), és la notació en coordenades cartesianes.
Els parells \((x,0)\) s’identifiquen amb els nombres reals i els parells \((0,y)\) són els nombres imaginaris purs.
Un nombre complex \(z\) queda també determinat per la distància entre els punts \((0,0)\) i \((x,y)\), en el plànol bidimensional [14] i l’angle que forma el semieix positiu de les abscisses amb la recta que conté el vector [15].
Qualsevol nombre complex es pot escriure com \(z = |z|(\frac{x}{|z|} + i\frac{y}{|z|}) \) i aleshores, com \((\frac{x}{|z|} + \frac{y}{|z|}) \) és un punt en la circumferència real, s’arriba a la forma \(z = |z|(cos\ (\theta + i)\ sin\ (\theta)) \) per algun \(\theta \in \mathcal{R}\) que coincideixi amb un dels infinits arguments de \(z\).
Tenim així les formes trigonomètrica: \(z = |z|(cos\ (\theta + i)\ sin\ (\theta)\) i polar: \(|z|_\theta\), on \(\theta\) és un dels arguments de \(z = x + iy \neq 0 \).
Una altra forma, no elemental, de representar un nombre complex és la forma exponencial \(z = {re}^{i\theta}\), on \(r = |z|\) i \(\theta\) és un dels arguments de \(z = x + iy \neq 0\).
Problema 1.1
Trobis els mòduls i els arguments dels següents nombres complexos: a) \(3i\); b)\(3 + 7i\); c) \( yi,\ y \in \mathcal{R} \setminus \{0\}\); d) \(x + iy,\ x \in\mathcal{R}\ \{0\},\ y \in \mathcal{R}\); e) \(3x - 4xi,\ x < 0 \)
Solució
Problema 1.2
Sigui \(z_0 \in \mathcal{C} \setminus \{0\}\), provis que \(z_0, {-z}_0, 1/z_0, -1/z_0 \) i \(0 \) són col·lineals.
Solució
Problema 1.3
Donat \(z_x = (x^2-9) + i(\frac{1}{x} - x)\), amb \(x \in \mathcal{R}\ \setminus \{0\}\), quins valors possibles del paràmetre \(x\) fan que \(z_x\) pertany al segon quadrant?
Solució
S’han de complir les següents condicions: \( (x^2 - 9) < 0 \) i \( (\frac{1}{x} - x) > 0 \). Aleshores:
\( (x^2 - 9) < 0 \implies x \in (-3,3 ) \)
\( (\frac{1}{x} - x) > 0 \implies x \in [(-\infty,-1)\ \bigcup\ (0, 1)] \)
Per tant:
\( x \in [(-3, -1)\ \bigcup\ (0, 1)] \)
Problema 1.4
Els mòduls dels nombres complexos \(z_1, z_2, z_3, z_4 \) formen una progressió geomètrica i els seus corresponents arguments una progressió aritmètica. Si \(z_1 = \sqrt{2}\) i \(z_4 = 4i\), calculis \( z_2\) i \(z_3\).
Solució
Es considera:
- \( z_j = {r_je}^{i\theta_j} \), amb \(r_j >0 \) i \(j \in {1,2,3,4} \)
- \(-\pi <\theta_j < \pi\), amb \(j \in {1,2,3,4}\)
- \(q\), la raó de la progressió geomètrica dels mòduls
Aleshores:
- \( |z_1| = r_1 = \sqrt{2}\)
- \( |z_2| = r_2 = q \sqrt{2}\)
- \( |z_3| = r_3 = q^2 \sqrt{2}\)
- \( |z_4| = r_4 = q^3 \sqrt{2}\)
Per tant, donat que necessàriament \(q > 0\), es té \( q = \sqrt{2}\). Amb:
- \( r_1 = \sqrt{2}\)
- \( r_2 = q \sqrt{2} = \sqrt{2}\ \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 = 2\)
- \( r_3 = q^2 \sqrt{2} = (\sqrt2)^2 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}\)
- \( r_4 = q^3 \sqrt{2} = (\sqrt{2})^3 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}\ \sqrt{2} =2(\sqrt{2})^2 = 2·2 = 4\)
Per altra banda, sigui \(d\) la diferència de la progressió aritmètica determinada pels corresponents arguments \( \theta_1,\theta_2,\theta_3,\theta_4 \) de \(z_1,z_2,z_3,z_4\). Com \(z_1 = \sqrt{2}\), es té que:
- \( \theta_1 = 0 \)
- \( \theta_2 = 0 + d =d \)
- \( \theta_3 = d + d = 2d \)
- \( \theta_4 = 2d +d =3d \)
Per tant, es té que:
- \( [z_4 = 4i;\ r_4 = 4;\ \theta_4 =3d] \implies e^{i3d} = i \implies \cos\ (3d) = 0 \) i \( \sin\ (3d) = 1 \implies 3d = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies d = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}\), amb \(k \in \mathcal{Z} \).
I, com \( -\pi < \theta_2 = d < \pi\), s’obtenen els possibles valors de \(d\): \( [d = \frac{\pi}{6};\ d = \frac{5\pi}{6};\ d = -\frac{\pi}{2}]\), amb tres possibles solucions a l’enunciat:
- \( z_2 = 2e^{\frac{\pi}{6}i}\) i \( z_3 = 2{\sqrt2\ e}^{\frac{\pi}{3}i} \)
- \( z_2 = 2e^{\frac{5\pi}{6}i}\) i \(z_3 = 2{\sqrt2\ e}^{\frac{5\pi}{3}i} \)
- \( z_2 = 2e^{-\frac{\pi}{2}i} = -2i \) i \( z_3 = 2{\sqrt2\ e}^{-\pi i} = -2\sqrt2 \)
Problema 1.5
Determinis geomètricament els conjunts:
- \( \{z \in \mathcal{C}\ :\ |z - i + 3| = 4 \} \)
- \( \{z \in \mathcal{C}\ :\ |z - i + 3| \le 4 \} \)
Solució
La circumferència de centre \( z_0 \in \mathcal{C}\) i radi \( r > 0 \) ve donada en el plànol complex per l’equació \(|z - z_0| = r\). Per tant, el disc tancat centrat en \(z_0\) i radi \(r\) ve donat per la desigualtat \( |z - z_0| \le r\).
Geomètricament:
- Si \( z = x + yi \), aleshores: \(|x - yi +3| = 4 \implies |(x + 3) + (-yi)| = 4 \implies \sqrt{(x + 3)^2 + y^2} = 4 \), elevant al quadrat, es té l’equació del cercle obert: \( (x+3)^2 + y^2 = 16\ \ \ (a, b) = (-3, 0),\ \ r = 4 \)
- De la mateixa manera, s’obté l’equació del cercle tancat: \((x + 3)^2 + y^2 \le 16,\ \ \ (a, b) = (-3, 0),\ \ r = 4 \)
Problema 1.6
Determinis geomètricament el conjunt: \( \{z \in \mathcal{C}\ :\ |z + 2| + |z - 2| = 5\}\ \).
Solució
Segons l’enunciat, tenim: \( \sqrt{(x + 2)^2 + y^2} + \sqrt{(x - 2)^2 + y^2} = 5 \)
Eliminant les arrels i simplificant, s’obté: \( 0.36x^2 + y^2 = 2.25 \), equació de l’el·lipse: \( \frac{x^2}{\frac{25}{4}} + \frac{y^2}{\frac{9}{4}} = 1 \).
Elipse de paràmetres: \( [ (h, kt) = (0, 0);\ \ a = \sqrt{25\ /\ 4} = 2.5;\ \ b = \sqrt{9\ /\ 4} = 1.5]\).
Problema 1.7
Trobis l’equació en coordenades cartesianes i l’àrea del lloc geomètric definit per l’equació: \( |z - 2| + |z + 3| = 10 \)
Solució
Problema 1.8
Trobis les corbes de les equacions:
- \( Re(1/z) =1/4 \)
- \( Im(z^2) = 2 \)
Solució
Sigui la forma binòmica, \( z = x + iy\ \setminus x, y \in \mathcal{R}.
- Donat que, segons les propietats del conjugat d’un nombre complex, \( \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{\left|z^2\right|} \implies Re(\frac{1}{z}) = \frac{1}{4} \iff 4x = x^2 + y^2 \iff (x - 2)^2 + y^2 = 4 \). Equació del cercle \( [a, b) = (2, 0);\ r = 2]\).
- Donat que \( Im(z^2) = Im(x^2 - y^2 + 2xyi) = 2xy\), es té que \( Im(z^2) = 2 \iff y = 1/x \), equació d’una hipèrbole.
Problema 1.9
Trobis la regió del plànol complex determinada per: \( \{z \in \mathcal{C}\ :\ |z| \le {2},\ \ \frac{\pi}{2} \le arg(z) \le \frac{3}{4}\pi\}\)
Solució
La regió és definida utilitzant l’expressió trigonomètrica d’un nombre complex, amb el mòdul menor o igual a \(2\) i l’argument entre els valors indicats. Observis que \(z=(0, 0)\) no s’inclou per no tenir argument.
Problema 1.10
Trobis el lloc geomètric definit pels nombres complexos \( z=re^{i\theta}\), amb \(r \geq {0} \) i \( \theta \in \mathcal{R} \), satisfent \( |z -2 -i| = |z|\sin\ (\frac{\pi}{2} + \theta) \).
Solució
Sigui \( z = re^{i\theta} = x + iy\), amb \(x,y \in \mathcal{R}\). Satisfer \( |z -2 -i| = |z|\sin\ (\frac{\pi}{2} + \theta) \) equival a satisfer \( (x - 2)^2 + (y - 1)^2 =r^2 \cos^2{\theta}\).
I, aleshores, \( (x-2)^2 + (y - 1)^2 = x^2 \iff 4x - 4 = (y-1)^2 \),
ens proporciona l’equació de la paràbola en coordinades cartesianes: \( 4·1(x - 1) = (y - 1)^2\), amb paràmetres \([(h, k) = (1, 1),\ \ \ p = 1]\).
Problema 1.11
Expressis el nombre \(962\) com a suma de dos quadrats.
Solució
\( 962 = 2·13·37 = 13·74 = (4 + 9)·(25 + 49) = (2^2 + 3^2)·(5^2 + 7^2) \)
Siguin \( z = 2 + 3i\) i \( w = 5 + 7i \), aleshores: \(962 = |zw|^2 = |(2 + 3i)·(5 + 7i)|^2 = |(10 - 21)·i(15 + 14)|^2 = 11^2 + 29^2 \)
Problema 1.12
Sigui \( z \in \mathcal{C}\ \setminus \mathcal{R} \). Provis que l’argument de \(z\) duplica al de \( z + |z|\).
Solució
Sigui \( z = |z|e^{i\theta}\), amb \(|z| > 0,\ \ 0 < \theta<2\pi,\ \ \theta \neq \pi \).
Aleshores: \( (z/|z|) = e^{i\theta} \implies [(z/|z|) + 1]^2 = (e^{i\theta} + 1)^2 = (1 + \cos\ \theta)^2 - \sin^2\ \theta + 2i · \sin\ \theta·(1 + \cos\ \theta) = 2 · \cos\ \theta · (1 +\cos\ \theta) + 2i · \sin\ \theta\ (1 + \cos\ \theta) = 2·(1 + \cos\ \theta)·e^{i\theta}\)
Per tant, \( Arg\ [(z/|z|) + 1]^2 = Arg\ (z + |z|)^2 = Arg\ (z)\).
Fet que, donat que \( \theta \neq \pi\) i \(\theta \neq 0\), prova que l’argument de \(z\) duplica al de \(z + |z|\).
Per exemple:
- \( z = (4, 4) \longrightarrow 4 \sqrt{2}·e^{i \cdot \frac{1}{4} \cdot \pi}\).
- \( z + |z| = (4 + 4\sqrt{2},4) \longrightarrow \sqrt{64+32\sqrt{2}}·e^{i \cdot \frac{1}{8} \cdot \pi}\).
- \( Arg\ (z) = \frac{1}{4}\pi = 2·\frac{1}{8}.\pi = 2·Arg\ (z + |z|) \)
Problema 1.13
Sigui \( z \in \mathcal{C}\) tal que \(\frac{z-1}{z+1} \) té argument \( \frac{\pi}{4}\). Determinis el lloc geomètric de z.
Solució
Sigui \(z = x + iy \), amb \(x, y \in \mathcal{R}\), aleshores: \( \frac{z - 1}{z + 1} = \frac{x - 1 + iy}{x + 1 + iy} = \frac{x^2 - 1 + y^2 + 2iy}{(x - 1)^2 + y^2} \).
La condició de l’enunciat sobre l’argument de \(z\) implica que les parts real i imaginària coincideixen és a dir: \( 2y = x^2 - 1 + y^2 \), de manera que:
\( x^2 + (y -1)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2\)
Equació del cercle de paràmetres: \( \left[(a, b) = (0, 1),\ \ r = \sqrt{(\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} \right] \)
Nota: En aquest problema es plantegen les transformacions fraccionàries lineals o de Möbius. Aplicacions injectives que responen a la forma \( f(z) = \frac{az + b}{cz + d}\), amb \( a,b,c,d \in \mathcal{C}\), tals que \( (ad - bc) \neq 0\). Aquí es tracta de calcular la imatge inversa de la transformació donada.
Problema 1.14
Pels següents conjunts definits en el plànol complex: a) \( |Arg\ (z)| < \frac{\pi}{4}\), b) \( {Re}^2 (z) > 1\).
Es demana:
- Dibuixar el conjunt en el plànol complex.
- Especificar si és obert.
- Especificar si és domini.
- Especificar si està acotat.
- Descriure la frontera del conjunt.
Solució
- \( |Arg\ (z)| < \frac{\pi}{4}\) \longrightarrow -\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}\), amb \(z = re^{i\theta}\)
- El conjunt és obert, tots els seus punts són interiors.
- Com és obert i connex per poligonals, és connex.
- Per tant, al ser obert i connex, és domini.
- No és acotat.
- La frontera és formada pels punts de les rectes \( \left\{z \in \mathcal{C}\ |\ y = x, x \geq 0\right\}\) i \(\left\{z \in \mathcal{C}\ |\ y = -x,\ x > 0\right\}\)
- \( {Re}^2 (z) > 1 \longrightarrow x^2 >1 \longrightarrow x <-1\) o bé \(x > 1 \)
- El conjunt és obert, tots els seus punts són interiors.
- No és connex.
- Els conjunts \( \left\{ A_1 = x + iy\ \mathcal{C}\ |\ x < -1 \right\} \) i \( \left\{A_2 = x + iy\ \mathcal{C}\ |\ x > 1 \right\} \) són oberts.
- Al no ser connex, no és domini.
- No és acotat.
- La frontera és formada pels punts de les rectes \( \left\{z \in \mathcal{C}\ |\ x = 1 \right\}\) i \(\left\{z \in \mathcal{C}\ |\ x = -1 \right\} \)
2 - Operacions bàsiques
Definides les operacions —amb: \(i ^ 2 = -1\); \(i^3 = -i\); \(i^4 = 1\); \(i^5 = i\); \(1/i = -i\)—:
- Suma: \( (x_1 + y_1 i) + (x_2 + y_2 i) = (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2)i \)
- Resta: \( (x_1 + y_1 i) - (x_2 + y_2 i) = (x_1 - x_2) + (y_1 - y_2)i \)
- Producte: \( (x_1 + y_1 i)·(x_2 + y_2 i) = (x_1·x_2 - y_1·y_2) + (x_1·y_2 + x_2·y_1)i \)
- Quocient: \( \frac{(x_1 + y_1 i)}{(x_2 + y_2 i)} = \frac{(x_1 x_2 + y_1 y_2) + i (y_1 x_2 - x_1 y_2)}{x_2^2 + y_2^2}\), sempre que \( {x_2^2 + y_2^2} > 0 \)
Propietats
- Igualtat: \( (x_1 + y_1 i) = (x_2 + y_2 i) \iff (x_1 = x_2),\ (y_1 = y_2)\)
- Clausura:: \( (z_1 + z_2), (z_1·z_2) \in\mathcal{C} \)
- Commutativa: \( (z_1 + z_2) = (z_2 + z_1) \) i \( (z_1·z_2) = (z_2·z_1) \)
- Associativa: \( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) \) i \( (z_1·z_2)·z_3 = z_1·(z_2·z_3) \)
- Distributiva: \( z_1· (z_2 + z_3) = (z_1·z_2) + (z_1· z_3) \)
- Element neutre, suma: \( \forall z \in \mathcal{C} \rightarrow 0 + z = z + 0 = z\)
- Element oposat, suma: \( \forall z \in \mathcal{C} \rightarrow z + (-z) = (-z) + z = 0\)
- Element neutre, producte: \( \forall z \in \mathcal{C} \rightarrow 1·z = z·1 = z \)
- Element invers, producte: \( \forall z = (x + y i) \in \mathcal{C} \rightarrow z^{-1} = \frac{(x - y i){x^2 + y^2) \)
- Conjugat: \( \forall z = (x + y i) \in \mathcal{C} \rightarrow \bar z = x - y i \)
Nota: En la pràctica la divisió de dos nombres complexos es realitza multiplicant el numerador i el denominador pel conjugat del denominador: \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{(x_1 + y_1 i)}{(x_2 + y_2 i)} = \frac{(x_1 + y_1 i)(x_2 - y_2 i)}{(x_2 + y_2 i)(x_2 - y_2 i)} = \frac{(x_1 x_2 + y_1 y_2) + i (x_2 y_1 - x_1 y_2)}{x_2^2 + y_2^2} \)
Problema 2.1
Donats els nombres \(z_1 = 2 + 3i,\ z_2 = -1 + 4i,\ z_3 = 2 - 5i\), calculis:
a) \(z_1 + z_2\)
b) \(z_1 + z_3\)
c) \(z_1 - z_2\)
d) \(z_3 - z_2\)
e) \(3z_2 - 2z_3\)
f) \(2z_1 - 3z_2\)
g) \( z_3 - 3z_1 + 4z_2\)
h) \(z_1 + \overline z_2\)
Solució
- \( z_1 + z_2 = (2 + 5i)(3 + 4i) = (2 \cdot 3 - 5 \cdot 4) + (2 \cdot 4 + 5 \cdot 3)i = (6 - 20) + (8 + 15)i = -14 + 23i \)
- \( z_1 + z_3 = (2 + 3i) + (2 - 5i) = (2 + 2) + (3i - 5i) = 4 - 2i \)
- \( z_1 - z_2 = (2 + 3i) - (-1 + 4i) = (2 - (-1)) + (3i - 4i) = 3 - i \)
- \( z_3 - z_2 = (2 - 5i) - (-1 + 4i) = (2 - (-1)) + (-5i - 4i) = 3 - 9i \)
- \( 3z_2 + 2z_3 = 3(-1 + 4i) + 2(2 - 5i) = (-3 + 12i) + (4 - 10i) = ( -3 + 4 ) + (12i - 10i) = 1 + 2i \)
- \( 2z_1 - 3z_2 = 2(2 + 3i) - 3(-1 + 4i) = (4 + 6i) - (3 - 12i) = (4 - 3) + (6i - (-12i)) = 1 + 18i \)
- \( z_3 - 3z_1 + 4z_2 = (2 - 5i) - 3(2 + 3i) + 4(-1 + 4i) = (2 - 5i) - (6 + 9i) + (-4 + 16i) = (2 - 6 - 4) + (-5i - 9i + 16i) = -8 + 2i \)
- \( z_1 + \overline{z_2} = (2 + 3i) + (-1 - 4i) = (2 - 1) + (3i - 4i) = 1 - i \)
Problema 2.2
Calculis:
a) \(2 + 5i)(3 + 4i) \)
b) \(1 + 3i)(1 + i) \)
c) \(1 + i)(-1 -i) \)
d) \(2 - 5i)i \)
e) \(3 + 5i)^2 \)
f) \(-2 - 5i)(-2 + 5i) \)
Solució
- \( (2 + 5i)(3 + 4i) = (2 \cdot 3 - 5 \cdot 4) + (2 \cdot 4 + 5 \cdot 3)i = (6 - 20) + (8 + 15)i = -14 + 23i \)
- \( (1 + 3i)(1 + i) = (1 \cdot 1 - 3 \cdot 1) + (1 \cdot i + 3 \cdot i) = (1 - 3) + (1i + 3i) = -2 + 4i \)
- \( (1 + i)(-1 - i) = (1 \cdot (-1) - 1 \cdot (-1)) + (1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1))i = (-1 + 1) + (-1 - 1)i = -2i \)
- \( (2 - 5i) \cdot i = 2i - 5i^2 = 2i - 5(-1) = 5 + 2i \) o també: \( (2 - 5i) \cdot i = (2 \cdot 0 - (-5) \cdot 1) + (2 \cdot 1 - 5 \cdot 0)i = 5 + 2i \)
- \( (3 + 5i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5i + (5i)^2 = 9 + 30i + 25 \cdot (-1) = 9 - 25 + 30i = -16 + 30i \)
- \( (-2 - 5i)(-2 + 5i) = (-2)^2 - (5i)^2 = 4 - (25 \cdot (-1)) = 4 + 25 = 29 \)
Problema 2.3
Demostris la següent igualtat de Leibniz: \( \sqrt{1 + \sqrt{3} \cdot i} + \sqrt{1 - \sqrt{3} \cdot i} = \sqrt{6} \)
Solució
Tenim l'expressió següent: \( \sqrt{1 + \sqrt{3}i} + \sqrt{1 - \sqrt{3}i} \)
Pas 1: Convertim els nombres complexos a forma polar. Per al nombre complex \( 1 + \sqrt{3}i \): \[ r_1 = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 \] \[ \theta_1 = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3} \]
Així, podem escriure \( 1 + \sqrt{3}i \) en forma polar com: \[ 1 + \sqrt{3}i = 2e^{i\pi/3} \]
Per al nombre complex \( 1 - \sqrt{3}i \): \[ r_2 = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2 \] \[ \theta_2 = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3} \]
Així, podem escriure \( 1 - \sqrt{3}i \) en forma polar com: \[ 1 - \sqrt{3}i = 2e^{-i\pi/3} \]
Pas 2: Aplicar l'arrel quadrada. Per obtenir l'arrel quadrada dels nombres complexos en forma polar, fem l'arrel quadrada de la magnitud i dividim l'angle per 2:
Per \( \sqrt{1 + \sqrt{3}i} \): \[ \sqrt{1 + \sqrt{3}i} = \sqrt{2}e^{i\pi/6} \]
Per \( \sqrt{1 - \sqrt{3}i} \): \[ \sqrt{1 - \sqrt{3}i} = \sqrt{2}e^{-i\pi/6} \]
Pas 3: Sumar les arrels quadrades. Sumem les dues expressions: \[ \sqrt{2}e^{i\pi/6} + \sqrt{2}e^{-i\pi/6} \]
Sabem que \( e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos(\theta) \), així que: \[ \sqrt{2}(e^{i\pi/6} + e^{-i\pi/6}) = \sqrt{2}(2\cos(\pi/6)) = \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6} \]
Per tant, tenim finalment: \[ \sqrt{1 + \sqrt{3}i} + \sqrt{1 - \sqrt{3}i} = \sqrt{6} \]
Problema 2.4
Passis a forma polar els següents nombres complexos:
a) \( 4 + 4\sqrt{3}\ i) \)
b) \( \sqrt{3} - i \)
c) \( -5 + 12i \)
d) \( -\sqrt{2} - \sqrt{2}\ i \)
e) \( 3 + 2i \)
f) \( 8 \)
Solució
a) \( 4 + 4\sqrt{3}\ i) = 8_{60^\circ }\)
b) \( \sqrt{3} - i = 2_{-30^\circ} = 2_{330^\circ} \)
c) \( -5 + 12i = 13_{112.62^\circ} = 13_{112^\circ\ 37'} \)
d) \( -\sqrt{2} - \sqrt{2}\ i = 2_{-135^\circ} = 2_{225^\circ} \)\)
e) \( 3 + 2i = \sqrt{13}_{33.69^\circ} = = \sqrt{13}_{33^\circ\ 41'}\)
f) \( 8 = 8_{0^\circ}\)
Per exemple, vegem el cas a) i les representacions gràfiques de a), c), i f):
- \( 4 + 4\sqrt{3}\ i) \)
- \( |z|= \sqrt{4^2+\left(4\sqrt3\right)^2}=\sqrt{16+48}=\sqrt{64}=8 \)
- \( cos\ \theta = \frac{x}{|z|} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \longrightarrow \theta =\arccos\ \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ \)
Problema 2.5
Trobis \(m\) per tal de que el nombre complex \(z = m + 3i \) tingui \( |z| = 5 \). Per quin valor de \(m\) l’argument de \(z\) és \(60^\circ \)?
Solució
- \( |z| = \sqrt{m^2+3^2} =5 \implies m = \sqrt{25 - 9} \implies m = \pm4 \)
- Donat que \( arccos\ \frac{1}{2} = 60^\circ \longrightarrow \frac{m}{\sqrt{m^2 + 3^2}} = \frac{1}{2} \implies m = \sqrt{3} \)
Problema 2.6
Trobis \(z_1\) d’argument \(45^\circ\) tal que sumat a \(z_2 = 1 + 2i\) resulti un complex \(z_3\) de mòdul \(5\)
.Solució
Sigui \(z_1 = x + iy \), aleshores: \( Arg\ (z_1) = 45^\circ \implies x = y = m \)
Sumat a \( z_2 = 1 + 2i \) en resulta \( z_3= (1 + m) + (2 + m)i \) i, per tant, \(|z_3| = \sqrt {(1 + m)^2 + (2 + m)^2} = 5 \implies m = 2 \)
De manera que \( z_1 = 2 + 2i \)
Problema 2.7
Trobis \(z\) tal que \( |z| = 3 \) i \(Im(z) = -2\). Justifiquis gràficament.
Solució
Sigui \( z = a + bi \), segons l’enunciat: \( |z| = \sqrt{a^2 + (-2)^2} = 3 \implies a = \pm \sqrt{5} \), per tant: \( z_1 = \sqrt{5}-2i = 3_{-41.81^\circ},\ \ z_2 = -\sqrt{5} - 2i = 3_{221.81^\circ} \)
Problema 2.8
Efectuïs les següents operacions en forma polar i passis el resultat a forma binòmica.
a) \( 3_{45^\circ} \cdot 2_{15^\circ} \)
b) \( 3_{150^\circ} \cdot 4_{45^\circ} \)
c) \( 1_{33^\circ} \cdot 2_{16^\circ} \cdot 3_{41^\circ} \)
d) \( 3_{12^\circ} \cdot 4_{17^\circ} \cdot 2_{1^\circ} \)
e) \( 2_{106^\circ} \cdot 1_{61^\circ} = 2_{45^\circ} \)
f) \( 9_{37^\circ} \cdot 3_{97^\circ} \)
g) \( (2_{40^\circ})^3 \)
h) \( 1_{33^\circ} \cdot 2_{16^\circ} \cdot 3_{41^\circ} \)
j) \( 3_{12^\circ} \cdot 4_{17^\circ} \cdot 2_{1^\circ} \)
Solució
Recordis que per multiplicar dos nombres complexos en forma polar es multipliquen els mòduls, per l’invers si és una divisió, i es sumen, o resten si és una divisió, els arguments (si l’argument final resultant és negatiu, es resta de \(360^\circ\)).
Posteriorment es calculen \( x = |z|·cos\ \theta \) i \( y = |z|·sin\ \theta \), per a representar \(z = x + iy \).
- \( 3_{45^\circ} \cdot 2_{15^\circ} = 6_{60^\circ} = (6 \cdot \cos 60^\circ) + i (6 \cdot \sin 60^\circ) = 3 + 3 \sqrt{3} i \)
- \( 3_{150^\circ} \cdot 4_{45^\circ} = 12_{195^\circ} = (12 \cdot \cos 195^\circ) + i (12 \cdot \sin 195^\circ) \approx -11.59 - 3.11i \)
- \( 1_{33^\circ} \cdot 2_{16^\circ} \cdot 3_{41^\circ} = 6_{90^\circ} = (6 \cdot \cos 90^\circ) + i (6 \cdot \sin 90^\circ) = 6i \)
- \( 3_{12^\circ} \cdot 4_{17^\circ} \cdot 2_{1^\circ} = 24_{30^\circ} = (24 \cdot \cos 30^\circ) + i \cdot (24 \cdot \sin 30^\circ) = 12\sqrt{3} + 12i \)
- \( 2_{106^\circ} \cdot 1_{61^\circ} = 2_{45^\circ} = (2 \cdot \cos 45^\circ) + i (2 \cdot \sin 45^\circ) = \sqrt{2} + \sqrt{2} i \)
- \( 9_{37^\circ} \cdot 3_{97^\circ} = 3_{-60^\circ} = 3_{300^\circ} = (3 \cdot \cos 300^\circ) + i (3 \cdot \sin 300^\circ) = \frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2} i \)
- \( (2_{40^\circ})^3 = 8_{120^\circ} = (8 \cdot \cos 120^\circ) + i (8 \cdot \sin 120^\circ) = -4 + 4 \sqrt{3} i \)
- \( 1_{33^\circ} \cdot 2_{16^\circ} \cdot 3_{41^\circ} = 1.5_{58^\circ} = (1.5 \cdot \cos 58^\circ) + i (1.5 \cdot \sin 58^\circ) \approx 0.8 + 1.27i \)
- \( 3_{12^\circ} \cdot 4_{17^\circ} \cdot 2_{1^\circ} = \left(\frac{3}{8}\right)_{-6^\circ} = \left(\frac{3}{8}\right)_{354^\circ} = \left(\frac{3}{8} \cdot \cos 354^\circ\right) + i \left(\frac{3}{8} \cdot \sin 354^\circ\right) \approx 0.373 - 0.04i \)
Problema 2.9
Calculis el resultat en forma binòmica, aplicant el mètode més apropiat (en forma polar o binòmica).
a) \( (1 + i)^2 \)
b) \( (2 + 3i)^3 \)
c) \( (-2 + 2\sqrt{3}\ i)^6 \)
d) \( \frac{(1 + i)^2}{4 + i} \)
Solució
Per passar de forma binòmica \( z = x + iy \) a forma polar es calcula \( |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \) i \( \theta = arctg\ \frac{y}{x} \).
- \( (1 + i)^2 = 1^2 + 2·1·i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \)
- \( (2 + 3i)^3 \approx (\sqrt{2^2 + 4^2})_{56.31^\circ})^3 = (13 \sqrt{13}_{168.93^\circ} = 13 \sqrt{13} \cos\ 168.93 + i(13 \sqrt{13} \sin\ 168.93) \approx -46 + 9i \)
- Aplicant el mètode polar i el Teorema de De Moivre:
- \( r = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16} = 4 \)
- \( \theta = \arctan\ \left(\frac{2\sqrt{3}}{-2} \right) = \arctan\ \left(-sqrt{3}\right) = \pi - \arctan\ \left(sqrt{3}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \)
- \( \left[r(cos\ \theta + i\ sin\ \theta)\right]^6 = r^6 \left[cos\ 6\ \theta + i\ sin\ 6\ \theta \right] \), amb:
- \( r^6 = 4^6 = 4096 \)
- \( 6\ \theta = 6\ \frac{2\pi}{3} = 4 \pi \)
- \( \cos\ 4\pi = \cos\ 0 = 1 \)
- \( \sin\ 4\pi = \sin\ 0 = 0 \)
- Per tant:
- \( (-2 + 2\sqrt{3}\ i)^6 = 4096(\cos\ 0 + i\ \sin\ 0) = 4096(1 + 0\ i) = 4096 \)
- Aplicant el Teorema del Binomi [16]:
- El Teorema del Binomi ens diu que: \( (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \, a^{n-k} \, b^{k} \) nbsp;On: \( a = -2;\ b = 2\sqrt{3}\ i;\ n = 6;\ \)
- Els coeficients binomials per \( n = 6 \) són: \( \binom{6}{0} = 1;\ \binom{6}{1} = 6;\ \binom{6}{2} = 15;\ \binom{6}{3} = 20;\ \binom{6}{4} = 15;\ \binom{6}{5} = 6;\ \binom{6}{6} = 1\ \)
- Calculem cada terme \( T_k \) de la suma, on \( k \) varia de 0 a 6:
- \( T_0 = \binom{6}{0} \cdot (-2)^{6} \cdot (2\sqrt{3}\ i)^{0} = 1 \cdot 64 \cdot 1 = 64 \)
- \( T_1 = \binom{6}{1} \cdot (-2)^{5} \cdot (2\sqrt{3}\ i)^{1} = 6 \cdot (-32) \cdot (2\sqrt{3}\ i) = -192 \cdot 2\sqrt{3}\ i = -384\sqrt{3}\ i \)
- \( T_2 = \binom{6}{2} \cdot (-2)^{4} \cdot (2\sqrt{3}\ i)^{2} = 15 \cdot 16 \cdot \left( (2\sqrt{3}\ i)^2 \right) = 15 \cdot 16 \cdot \left( (2\sqrt{3})^2 \cdot i^2 \right) = 15 \cdot 16 \cdot \left( 12 \cdot (-1) \right) = 15 \cdot 16 \cdot (-12) = -2880 \)
- Calculem primer \( (2\sqrt{3}\ i)^3 = (2\sqrt{3}\ i) \cdot (2\sqrt{3}\ i)^2 = (2\sqrt{3}\ i) \cdot (-12) = -24\sqrt{3}\ i \)
- Ara calculem \( T_3 = \binom{6}{3} \cdot (-2)^{3} \cdot (2\sqrt{3}\ i)^{3} = 20 \cdot (-8) \cdot (-24\sqrt{3}\ i) = -160 \cdot (-24\sqrt{3}\ i) = 3840\sqrt{3}\ i \)
- Calculem \( (2\sqrt{3}\ i)^4 = \left( (2\sqrt{3}\ i)^2 \right)^2 = (-12)^2 = 144 \)
- Ara calculem \( T_4 = \binom{6}{4} \cdot (-2)^{2} \cdot (2\sqrt{3}\ i)^{4} = 15 \cdot 4 \cdot 144 = 8640 \)
- Calculem \( (2\sqrt{3}\ i)^5 = (2\sqrt{3}\ i) \cdot (2\sqrt{3}\ i)^4 = (2\sqrt{3}\ i) \cdot 144 = 288\sqrt{3}\ i \)
- Ara calculem \( T_5 = \binom{6}{5} \cdot (-2)^{1} \cdot (2\sqrt{3}\ i)^{5} = 6 \cdot (-2) \cdot 288\sqrt{3}\ i = -12 \cdot 288\sqrt{3}\ i = -3456\sqrt{3}\ i \)
- Calculem \( (2\sqrt{3}\ i)^6 = \left( (2\sqrt{3}\ i)^2 \right)^3 = (-12)^3 = -1728 \)
- Ara calculem \( T_6 = \binom{6}{6} \cdot (-2)^{0} \cdot (2\sqrt{3}\ i)^{6} = 1 \cdot 1 \cdot (-1728) = -1728 \)
- Ara sumarem tots els termes, separant les parts reals i imaginàries.
- \( \text{Re} = T_0 + T_2 + T_4 + T_6 = 64 - 2880 + 8640 - 1728 = (64 - 2880) + (8640 - 1728) = (-2816) + 6912 = 4096 \)
- \( \text{Im} = T_1 + T_3 + T_5 = -384\sqrt{3}\ i + 3840\sqrt{3}\ i - 3456\sqrt{3}\ i = \left( -384 + 3840 - 3456 \right) \sqrt{3}\ i = 0\ i \)
- Sumant les parts reals i imaginàries, obtenim el resultat final: \( (-2 + 2\sqrt{3}\ i)^6 = 4096 + 0i = 4096 \)
- \( \frac{(1+i)^2}{4+i} = \frac{(1+i)^2(4-i)}{(4+i)(4-i)} = \frac{(1+2i+i^2)(4-i)}{4^2 - i^2} = \frac{(1+2i+(-1))(4-i)}{16 - (-1)} = \frac{2i(4-i)}{17} = \frac{8i - 2(i^2)}{17} = \frac{2}{17} + \frac{8}{17} i \)
Problema 2.10
Expressis en forma binòmica els següents nombres complexos:
a) \( \frac{ 3 + 5i}{2 - i}\ \ \ \) b) \(\frac{1 + i^3}{(1 + i)^3} \)
Solució
- Simplifiquem l'expressió: \( \frac{3 + 5i}{2 - i} \)
- Primer, multipliquem tant el numerador com el denominador pel conjugat del denominador, \( (2 + i) \), per tal d'eliminar la part imaginària del denominador: \( \frac{(3 + 5i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} \)
- Expandim tant el numerador com el denominador, utilitzant que \( i^2 = -1 \):
- Numerador: \( (3 + 5i)(2 + i) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot i + 5i \cdot 2 + 5i \cdot i = 6 + 3i + 10i + 5i^2 = 6 + 3i + 10i + 5(-1) = 6 + 13i - 5 = 1 + 13i \)
- Denominador: \( (2 - i)(2 + i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5 \)
- De manera que l'expressió es converteix en: \( \frac{1 + 13i}{5} \). Que podem expressar com: \( \frac{1}{5} + \frac{13}{5}i \)
- Simplifiquem l'expressió: \( \frac{1 + i^3}{(1 + i)^3} \)
- Numerador. Comencem per calcular \( i^3\). Sabem que \(i^2 = -1 \), així que: \( i^3 = i \cdot i^2 = i \cdot (-1) = -i \), i, per tant, el numerador es converteix en: \( 1 + i^3 = 1 - i \)
- Denominador. Calculem el denominador \((1 + i)^3\). Primer trobem \((1 + i)^2\): \( (1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i + (-1) = 2i \). Multipliquem aquest resultat per \((1 + i)\): \( (1 + i)^3 = (2i)(1 + i) = 2i + 2i^2 = 2i + 2(-1) = 2i - 2 \). Per tant, l'expressió es converteix en: \( \frac{1 - i}{-2 + 2i} \)
- Multipliquem el numerador i el denominador pel conjugat del denominador \(-2 - 2i)\): \( \frac{(1 - i)(-2 - 2i)}{(-2 + 2i)(-2 - 2i)} = \frac{-2 - 2i + 2i + 2i^2}{(-2)^2 - (2i)^2} \)
- Expandim el numerador: \( -2 - 2i + 2i + 2(-1) = -2 + (-2) = -4 \). I expandim el denominador: \( (-2)^2 - (2i)^2 = 4 - (-4) = 4 + 4 = 8 \)
- Així que l'expressió es converteix en: \( \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \)
Problema 2.11
Representis en forma exponencial els nombres \( (1 + i),\ (1 - i),\ (-1 + i),\ (-1 - i) \).
Solució
En els quatre casos: \( |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \). Calculem ara \(Arg\) de cada cas:
- \( z = 1 + i = \sqrt{2} e^{i (\frac{\pi}{4} + 2k\pi)},\ k \in \mathcal(Z) \)
- \( Arg\ (z) = \arctan\ (\frac{1}{1}) = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \)
- \( z = 1 - i = \sqrt{2} e^{-i (\frac{\pi}{4} + 2k\pi)},\ k \in \mathcal(Z) \)
- \( Arg\ (z) = \arctan\ (\frac{-1}{1}) = -45^\circ = -\frac{π}{4} \)
- \( z = -1 + i = \sqrt{2} e^{i (\frac{3\pi}{4} + 2k\pi)},\ k \in \mathcal(Z) \)
- \( Arg\ (z) = \arctan\ (\frac{1}{-1}) = 135^\circ = \frac{3π}{4} \)
- \( z = -1 - i = \sqrt{2} e^{-i (\frac{3\pi}{4} + 2k\pi)},\ k \in \mathcal(Z) \)
- \( Arg\ (z) = \arctan\ (\frac{-1}{-1}) = -135^\circ = -\frac{3π}{4} \)
3 - Arrels n-èsimes d’un nombre complex i representació gràfica
Problema 3.1
Trobis tots els valors de l’arrel \(n\)-èsima \( \sqrt[3]{8} \).
Solució
La forma polar de \(8\) és \(8(cos\ 0 + i·sin\ 0) \).
Segons la fórmula de De Moivre, totes les arrels \(n\)-èsimes d’un nombre complex \( r(cos\ 0 + i\ sin\ 0)\) venen donades per l’expressió: \(\sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\theta + 2\pi k}{n} + i \cdot \sin \frac{\theta + 2\pi k}{n} \right)\), amb \( k = 0,\ 1,...,\ n - 1 \)
Segons l’enunciat, \(n = 3,\ r = 8,\ \theta = 0 \).
Per tant, segons el valor de \(k\), tenim:
- \( k = 0 \longrightarrow \sqrt[3]{8} \left( \cos \frac{0 + 2\pi \cdot 0}{3} + i \cdot \sin \frac{0 + 2\pi \cdot 0}{3} \right) = 2 \left( \cos(0) + i \cdot \sin(0) \right) = 2 + 0 \cdot i \)
- \( k = 1 \longrightarrow \sqrt[3]{8} \left( \cos \frac{0 + 2\pi \cdot 1}{3} + i \cdot \sin \frac{0 + 2\pi \cdot 1}{3} \right) = 2 \left( \cos(\frac{2\pi}{3}) + i \cdot \sin(\frac{2\pi}{3}) \right) = -1 + \sqrt{3}·i \)
- \( k = 2 \longrightarrow \sqrt[3]{8} \left( \cos \frac{0 + 2\pi \cdot 2}{3} + i \cdot \sin \frac{0 + 2\pi \cdot 2}{3} \right) = 2 \left( \cos(\frac{4\pi}{3}) + i \cdot \sin(\frac{4\pi}{3}) \right) = -1 - \sqrt{3}·i \)
Problema 3.2
Trobis tots els valors de l’arrel \(n\)-èsima \(\sqrt[4]{-1}\).
Solució
Vegis el problema 3.1
La forma polar de \( -1\) és \(cos\ \pi + i·sin\ \pi\).
Segons l’enunciat, \(n = 4,\ r = 1,\ \theta = \pi\).
Per tant, segons el valor de \(k \), tenim:
- \( k = 0 \longrightarrow \sqrt[4]{-1} \left( \cos \frac{0 + 2\pi \cdot 0}{4} + i \cdot \sin \frac{0 + 2\pi \cdot 0}{4} \right) = \cos(\frac{\pi}{4}) + i \cdot \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot i \)
- \( k = 1 \longrightarrow \sqrt[4]{-1} \left( \cos \frac{0 + 2\pi \cdot 1}{4} + i \cdot \sin \frac{0 + 2\pi \cdot 1}{4} \right) = \cos(\frac{3\pi}{4}) + i \cdot \sin(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot i \)
- \( k = 2 \longrightarrow \sqrt[4]{-1} \left( \cos \frac{0 + 2\pi \cdot 2}{4} + i \cdot \sin \frac{0 + 2\pi \cdot 2}{4} \right) = \cos(\frac{5\pi}{4}) + i \cdot \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot i \)
- \( k = 3 \longrightarrow \sqrt[4]{-1} \left( \cos \frac{0 + 2\pi \cdot 3}{4} + i \cdot \sin \frac{0 + 2\pi \cdot 3}{4} \right) = \cos(\frac{7\pi}{4}) + i \cdot \sin(\frac{7\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot i \)
Problema 3.3
Trobis tots els valors de l’arrel \(n\)-èsima de \(\sqrt[3]{-2+2i}\).
Solució
Vegis el problema 3.1 i 3.2
La forma polar de \(-2 + 2i \) és \( 2\sqrt{2} \left[cos\ \frac{3π}{4} + i \cdot \sin\ \frac{3π}{4}\right] \). Segons l’enunciat, \( (n = 3;\ r = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2};\ \theta = \arctan\ \left(\frac{2}{-2}\right) = \arctan\ (-1) =\frac{3\pi}{4}) \).
Per tant, segons el valor de \(k \), tenim:
- \( k = 0 \longrightarrow \sqrt[3]{2\sqrt{2}} \left[ \left( \cos \left( \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 \right) \right) + i \cdot \sin \left( \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 \right) \right] = \sqrt{2} \left[ \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) + i \cdot \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \right] = 1 + i \)
- \( k = 1 \longrightarrow \sqrt[3]{2\sqrt{2}} \left[ \left( \cos \left( \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 1 \right) \right) + i \cdot \sin \left( \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 1 \right) \right] = \sqrt{2} \left[ \cos \left( \frac{11\pi}{12} \right) + i \cdot \sin \left( \frac{11\pi}{12} \right) \right] = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} + i \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
- \( k = 2 \longrightarrow \sqrt[3]{2\sqrt{2}} \left[ \left( \cos \left( \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 2 \right) \right) + i \cdot \sin \left( \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 2 \right) \right] = \sqrt{2} \left[ \cos \left( \frac{19\pi}{12} \right) + i \cdot \sin \left( \frac{19\pi}{12} \right) \right] = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + i \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \right) \)
Problema 3.4
Utilitzant la fórmula de De Moivre, expressis \(\cos\ 3\ \theta \) i \( \sin\ 3\ \theta \) en potències de \( cos\ \theta \) i \( sin\ \theta \).
Solució
La fòrmula de De Moivre estableix que: \( (\cos\ \theta + i \cdot \sin\ \theta)^n = cos\ (n\ \theta) + i \cdot \sin\ (n\ \theta) \), per tant, amb \(n = 3 \) tenim, aplicant l'expansió binomial:
\( cos\ 3\ \theta + i\ \sin\ 3\ θ = (cos\ \theta + i\ \sin\ θ )^3 = {cos}^3\ \theta + 3i·{cos}^2\ \theta \cdot \sin\ \theta - 3 \cdot \cos\ \theta \cdot {sin}^2\ \theta - i \cdot {sin}^3\ \theta = ({cos}^3\ \theta - 3 \cdot \cos\ \theta \cdot {sin}^2\ \theta) + i \cdot (3 \cdot {cos}^2 \theta \cdot \sin\ \theta - {sin}^3\ \theta) \)
Aleshores, igualant les parts real i imaginària:
- \( \cos\ 3\ \theta = {cos}^3\ \theta - 3 \cdot \cos\ \theta \cdot {sin}^2\ \theta \)
- \( \sin\ 3\ \theta = 3 \cdot {cos}^2 \theta \cdot \sin\ \theta - {sin}^3\ \theta \)
Problema 3.5
Les solucions de l’equació \( z^4 + 4z^3i - 6z^2 - 4zi - i = 0 \) són els vèrtex d’un polígon convex en el plànol. Trobis l’àrea d’aquest polígon.
Solució
Observem que: \( z^4 + 4z^3i - 6z^2 - 4zi - i = (z^2 + 2zi - 1)^2 = (z + i)^4 \). Per tant, l'equació de l'enunciat es pot escriure com: \( (z + i)^4 = 1 + i \)
I aleshores: \( z + i = \sqrt[8]{2} e^{i\left(\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{4}\right)}, \quad k = 0, 1, 2, 3 \)
Els afixos de les quatre solucions determinen un quadrat. L'àrea d'aquest quadrat es pot calcular com la meitat del quadrat de la longitud de la seva diagonal.
La longitud de la diagonal és \( 2^{8/2}\sqrt{2} \), de manera que l'àrea serà:
\[ \text{Àrea} = \frac{(2\sqrt{2})^2}{2} = 2 \cdot \frac{1 \cdot 24}{2^4} = 2.37841423 \]
Problema 3.6
Trobis tots els valors de l’arrel \(n\)-èsima \( \sqrt[3]{8i} \).
Solució
Vegis els problemes 3.1, 3.2 i 3.3.
La forma polar de \(8i\) és: \( 8 \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{π}{2}\right)\right) = 8\ (\cos\ 90) + i \cdot \sin\ 90) \).
A més, segons l’enunciat, \(n = 3;\ r = 8;\ \theta = \frac{\pi}{2} \). Per tant, segons el valor de \(k\), tenim:
- \( k = 0 \longrightarrow \sqrt[3]{8} \left[ \left( \cos \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 \right) \right) + i \cdot \sin \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 \right) \right] = 2 \left[ \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) + i \cdot \sin \left(\frac{\pi}{6} \right) \right] = \sqrt{3} + i \)
- \( k = 1 \longrightarrow \sqrt[3]{8} \left[ \left( \cos \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 \right) \right) + i \cdot \sin \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 1 \right) \right] = 2 \left[ \cos \left( \frac{5\pi}{6} \right) + i \cdot \sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) \right] = -\sqrt{3} + i \)
- \( k = 2 \longrightarrow \sqrt[3]{8} \left[ \left( \cos \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 2 \right) \right) + i \cdot \sin \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 2 \right) \right] = 2 \left[ \cos \left( \frac{3\pi}{2} \right) + i \cdot \sin \left( \frac{3\pi}{2} \right) \right] = -2i \)
Problema 3.7
Una de les arrels cúbiques d’un nombre complex \(Z\) és \(1 + i\). Trobis \(Z\) i les altres arrels cúbiques.
Solució
En forma polar: \( 1 + i = \left(\sqrt{1^2 + 1^2}\right)_{\arctan{\left(\frac{1}{1}\right)}} = \sqrt {2}_{45^\circ} \). Les altres arrels seran:
- \(\sqrt {2}_{45^\circ + 120^\circ} = \sqrt {2}_{165^\circ} \)
- \(\sqrt {2}_{165^\circ + 120^\circ} = \sqrt {2}_{285^\circ} \)
Per tant:
- \( \sqrt[3]{z} = 1 + i \implies z = (1 + i)^3 = \sqrt {2}_{45^\circ} \)
- \( Z = (\sqrt {2}_{45^\circ})^3 = \sqrt {8}_{135^\circ} = \sqrt{8}\ (\cos\ 135^\circ + i \cdot \sin\ 135^\circ) = \sqrt{8}\ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -2 + 2i\)
Problema 3.8
Expressis en forma binòmica les arrels \( \sqrt{3-4i}\)
Solució
Busquem les arrels quadrades de \( 3 - 4i \) expressant \( z \) com \( z = x + yi \) (amb \( x \) i \( y \) reals).
Aleshores, podem escriure: \( z^2 = (x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = 3 - 4i \)
Sistema amb dues equacions:
- Part real: \( x^2 - y^2 = 3 \)
- Part imaginària: \( 2xy = -4 \quad \Rightarrow \quad xy = -2 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{2}{x} \)
Substituim i ressolem per determinar \(x\):
- Substituïm \( y = -\frac{2}{x} \) en l'equació de la part real \( x^2 - y^2 = 3 \)
- \( \longrightarrow x^2 - \left( -\frac{2}{x} \right)^2 = 3 \longrightarrow x^2 - \frac{4}{x^2} = 3 \)
- Multipliquem tot per \( x^2 \) per eliminar el denominador: \( x^4 - 3x^2 - 4 = 0 \)
- Ressolem aquesta equació quadràtica en termes de \( x^2 \):
- \( x^2 = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \)
- Les solucions són: \( (x^2 = 4) \) o \( (x^2 = -\frac{1}{2}) \). Només la solució \( (x^2 = 4) \) és vàlida, ja que \( x \) ha de ser un nombre real.
- Per tant, \( x = 2 \) o \( x = -2 \).
Determinem \( y \). Substituïm aquests valors de \( x \) en \( y = -\frac{2}{x} \):
- Si \( x = 2 \longrightarrow y = -1 \).
- Si \( x = -2 \longrightarrow y = 1 \).
Per tant, les dues arrels quadrades són: \( (z_1 = 2 - i) \quad \text{i} \quad (z_2 = -2 + i) \)
Problema 3.9
Un pentàgon regular centrat en l’origen de coordinades té un dels seus vèrtex en el punt \( (\sqrt{2},\ \sqrt{2}) \). Trobis els altres vèrtex i calculis la longitud del cantó del pentàgon regular.
Solució
El punt \( (\sqrt{2},\ \sqrt{2}) \quad \text {es correspon a l’afix del nombre complex:} \quad z_1 = \sqrt{2} + \sqrt{2i} =\left(\sqrt{{\sqrt2}^2 + {\sqrt2}^2}\right)_{\arctan{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)}} = 2_{45^\circ} \).
Els altres vèrtex es troben afegint successivament, \(\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ \), a \(z_1 \) :
- \( z_1 = 2_{45^\circ} = 2 \left( \cos 45^\circ + i \cdot \sin 45^\circ \right) = \sqrt{2} + i \cdot \sqrt{2} \rightarrow (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \)
- \( z_2 = 2_{117^\circ} = 2 \left( \cos 117^\circ + i \cdot \sin 117^\circ \right) = -0.908 + i \cdot 1.782 \rightarrow (-0.908, 1.782) \)
- \( z_3 = 2_{189^\circ} = 2 \left( \cos 189^\circ + i \cdot \sin 189^\circ \right) = -1.975 - i \cdot 0.313 \rightarrow (-1.975, -0.313) \)
- \( z_4 = 2_{261^\circ} = 2 \left( \cos 261^\circ + i \cdot \sin 261^\circ \right) = -0.313 - i \cdot 1.975 \rightarrow (-0.313, -1.975) \)
- \( z_5 = 2_{333^\circ} = 2 \left( \cos 333^\circ + i \cdot \sin 333^\circ \right) = 1.782 - i \cdot 0.908 \rightarrow (1.782, -0.908) \)
Ho representem gràficament (figura anterior) i calculem \( L\) aplicant el teorema del cosinus:
- \( L^2 = 2^2 + 2^2 -2·2 \cdot cos\ 72 = 8 - 4 \cdot cos\ 72 \)
- \( \longrightarrow L = \sqrt{8 - 4 \cdot \cos\ 72} = \sqrt{8 - 1.236} = \sqrt{6.764} = 2.6 \)
Problema 3.10
Sabent que \( (-i) \) és una arrel del polinomi \( P_1(z) = z^3 - (3 - i)z^2 + (2 - 3i)z + 2i = 0 \), trobis les arrels del polinomi \( P_2(z) = z^3 - (3 + i)z^2 + (2 + 3i)z - 2i = 0 \).
Solució
Observem que \( P_2(z) \) és el polinomi conjugat de \( P_1(z)\). Per tant, com \( (-i) \) és una arrel de \( P_1(z) \), aleshores \(i\) ho serà de \( P_2(z)\).
Factoritzant \( P_2(z) \) tenim: \( P_2(z) = (z^3 -3z^2 + 2z) + (-z^2 + 3z - 2)i = z(z-1)(z-2) - (z-1)(z-2)i = (z-2)(z-1)(z-i) \)
Per tant, les seves arrels són: \( z = 2, \quad \quad z = 1, \quad \quad z = i \)
Problema 3.11
Trobis les arrels de \( (1 - i)^{3/2} \)
Solució
\( z = 1 - i \implies \begin{cases} z = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \\ \text{Arg}(z) = \arctan\left(\frac{-1}{1}\right) = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases} \)
Aleshores:
\( z = \sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{4} i} \implies z^3 = 2^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{3\pi}{4} i} \implies (z^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{4}} e^{\frac{3\pi}{8} + 2\pi k i}, k = 0, 1 \implies z^2 = \begin{cases} z_1 = 2^{\frac{3}{4}} e^{\frac{3\pi}{8} i} \\ z_2 = 2^{\frac{3}{4}} e^{-\frac{5\pi}{8} i} \end{cases} \)
4 - Resolució d’equacions amb nombres complexos
Problema 4.1
Comprovis que els nombres complexos: \(2 \pm 3i \) verifiquen l’equació: \( x^2 - 4x + 13 = 0 \)
Solució
\( x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36} \cdot \sqrt{-1}}{2} = \frac{4 \pm 6i}{2} \)
\( x_1 = 2 + 3i, \quad x_2 = 2 - 3i \)
Problema 4.2
Determinis els valors de \(a\) i \(b\) per tal que el complex \(z = a + bi\) satisfaci l’equació \(z^2 = \bar{z}\).
Solució
S'ha de satisfer \( (a + bi)^2 = (a^2 + (bi)^2) + 2abi = (a^2 - b^2) + 2abi = a - bi \)
Per tant, s'ha de satisfer que \( (a^2 - b^2) = a \), i que: \( 2ab = -b \) i es planteja el sistema d'equacions:
\[ \left| a^2 - b^2 = a \atop 2ab = -b \right| \implies \left( \begin{array}{cc} a = 1 & b = 0 \\ a = 0 & b = 0 \\ a = -\frac{1}{2} & b = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ a = -\frac{1}{2} & b = -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right) \implies \left\{ \begin{array}{l} z = 1 \\ z = 0 \\ z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \\ z = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \end{array} \right.\]
Problema 4.3
Calculis \(x, y\) per tal de que \( (2 + xi) + (y + 3i) = 7 + 4i \)
Solució
Reescrivim l’equació en la seva forma binòmica: \( (2 + y) + (x + 3)i = 7 + 4i \). Ho reescrivim tot com un sistema d’equacions, tenint en compte que les parts reals i imaginàries han de ser iguals, i el resolem:
\[ \left\{\begin{array}{l} 2 + y = 7 \\ x + 3 = 4 \end{array} \right. \quad : \quad y = 7 - 2 = 5, \quad x = 4 - 3 = 1 \quad \left[ x = 1, y = 5 \right] \]
Problema 4.4
Calculis \(x, y\) per tal de que \( (x + i)( y - 3i) = 7 - 11 i \)
Solució
Desenvolupem l’expressió: \( (x + i)(y - 3i) = 7 -11 i \longrightarrow (xy + 3) + (y - 3x)i = 7 - 11 i
Ho reescrivim tot com un sistema d’equacions, tenint en compte que les parts reals i imaginàries han de ser iguals, i el resolem:
\[ \left\{\begin{array}{l} xy + 3 = 7 \\ y - 3x = -11 \end{array} \right. \quad : \quad x_1 = 4, \quad y_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{1}{3}, \quad y_2 = -12 \quad \left[ (x_1 = 4, y_1 = 1), (x_2 = -\frac{1}{3}, y_2 = -12) \right] \]
Problema 4.5
Trobis tots els parells de nombres complexos d’igual part imaginària, tals que la seva suma i el seu quocient siguin imaginaris purs.
Solució
Considerem dos nombres complexos \(z_1 = a + bi \) i \(z_2 = c + bi\), on \(a\) i \(c\) són parts reals i \(b\) és la part imaginària comuna, amb la condició de que la suma ha de ser un nombre imaginari pur.
\[ z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + bi) = (a + c) + 2bi \]
Per tal què aquesta suma sigui un nombre imaginari pur, la part real ha de ser zero, el que implica que: \( a + c = 0 \quad \text{o sigui} \quad c = -a \)
Altra condició és que el quocient \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + bi} \) ha de ser un nombre imaginari pur
Utilitzem la conjugada del denominador per racionalitzar:
\[ \frac{a + bi}{c + bi} \cdot \frac{c - bi}{c - bi} = \frac{(a + bi)(c - bi)}{(c + bi)(c - bi)} = \frac{ac - abi + bci + b^2}{c^2 + b^2} \]
- Simplifiquem el numerador: \(ac - abi + bci + b^2 = ac + b^2 + i(bc - ab) \)
- El denominador és: \( c^2 + b^2 \)
Per tant, el quocient es pot escriure com: \( \frac{ac + b^2 + i(bc - ab)}{c^2 + b^2} \)
Perquè aquest quocient sigui un nombre imaginari pur, la part real ha de ser zero, el que implica que: \( ac + b^2 = 0 \quad \text{o sigui} \quad ac = -b^2 \)
Utilitzant \(c = -a\), substituïm a l'equació: \( a(-a) = -b^2 \quad \Rightarrow \quad -a^2 = -b^2 \quad \Rightarrow \quad a^2 = b^2 \)
El que implica que: \( a = \pm b \)
Els dos nombres complexos són \(z_1 = a + bi\) i \(z_2 = -a + bi\), on \(a = \pm b\). Per tant, els parells de nombres complexos que satisfan aquestes condicions són:
\[ z_1 = b + bi \quad \text{ i } \quad z_2 = -b + bi \quad \text{ o bé } \quad z_1 = -b + bi \quad \text{ i } \quad z_2 = b + bi\]
, amb \( b \in \mathcal{R} \)
Problema 4.6
Trobis tots els nombres complexos \(z\) tals que \( z^3\cdot \bar{z} = -1 \).
Solució
Sigui \(z\), en forma exponencial, \( z^3 = r^3 e^{3i\theta}, \quad \overline{z} = r e^{-i\theta} \).
Tenim, aleshores que \( z^3 \cdot \overline{z} = (r^3 e^{3i\theta})(r e^{-i\theta}) = r^{(3+1)}e^{(3i\theta - i\theta)} = r^4 e^{2i\theta} \)
Sabem que: \( -1 = e^{i\pi} \). Per tant, \( z^3 \cdot \overline{z} = -1 \iff r^4 e^{2i\theta} = e^{i\pi} \). El que implica:
\( r^4 = 1 \quad \text{i} \quad e^{2i\theta} = e^{i\pi} \). I, per tant, \( r = 1 \quad \text{i} \quad 2\theta = \pi + 2k\pi \iff \theta = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
Els nombres complexos que satisfan la condició de l'enunciat són:
- \( z_1 = 1 e^{i\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)} = -i, \quad \text{si} \, k \in \{0, 1, 3, \dots\} \subset \mathbb{Z} \)
- \( z_2 = 1 e^{i\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)} = i, \quad \text{si} \, k \in \{0, 2, 4, \dots\} \subset \mathbb{Z} \)
Problema 4.7
Trobis tots els parells de nombres complexos \(z\) tals que la seva suma sigui igual a \(-6i\) i el seu producte sigui igual a \(6 - 8i\).
Solució
S’han de verificar, segons l’enunciat, les equacions \[ \begin{cases} z_1 + z_2 = -6i \\ z_1 \cdot z_2 = 6 - 8i \end{cases} \]
Tot polinomi real de segon grau: \( x + ax + b = (x - x_1)(x - x_2) ha de satisfer \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = a \\ x_1 \cdot x_2 = b \end{cases} \]
El mateix s’aplica amb coeficients complexos, de manera que \[ (z - z_1)(z - z_2) = 0 \implies z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1 \cdot z_2 \implies z^2 + 6iz + (6 - 8i) = 0 \]
Substituïm \(z\) per \( x + yi \), desenvolupem, simplifiquem \(i^2 = -1\) i redistribuïm l’expressió resultant agrupant les parts reals i imaginàries:
- \( (x + yi)^2 + 6i(x + yi) + (6 - 8i) = 0 \)
- \( x^2 + 2xyi + (yi)^2 + 6xi + 6yi^2 + 6 - 8i = 0 \)
- \( x^2 + 2xyi - y^2 + 6xi -6y +6 - 8i = 0 \)
- \( (x^2 -y^2 -6y + 6) + (-8 + 6x + 2xy)i = 0 = 0 + 0i \)
Ho reescrivim i resolem el sistema d’equacions, igualant les parts reals i imaginàries
\( \left\{\begin{matrix}x^2-y^2-6y+6=0\\-8+6x+2xy=0\\\end{matrix}\right.\longrightarrow\left(\begin{matrix}x_1=1&y_1=1\\x_2=-1&y_2=-7\\\end{matrix}\right) \)
De manera que els nombres complexos proposats són: \( (z_1 = 1 + i,\ \ z_2 = -1 - 7i) \)
Problema 4.8
Trobis tots els parells de nombres complexos \(z\) tals que el seu quocient és imaginari pur, la seva suma és igual a cinc i el mòdul de l’un és igual al doble del de l’altre.
Solució
Siguin \( z_1 \) i \( z_2 \) els nombres buscats, aleshores, segons l'enunciat \[ \begin{cases} \frac{z_1}{z_2} = bi \\ z_1 + z_2 = 5 \\ |z_1| = 2|z_2| \quad \Rightarrow \quad \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = 2 \end{cases} \]
Per tant: \( \frac{z_1}{z_2} = bi \quad \Rightarrow \quad bi = 2 \quad \Rightarrow |b| = 2 \quad \Rightarrow b = \pm 2 \)
- Si \( b = 2 \)
- \[ \begin{cases} \frac{z_1}{z_2} = 2i \quad \Rightarrow z_1 = 2iz_2 \\ z_1 + z_2 = 5 \end{cases} \quad \Rightarrow 2iz_2 + z_2 = z_2(2i + 1) = 5 \quad \Rightarrow z_2 = \frac{5}{1 + 2i} \cdot \frac{1 - 2i}{1 - 2i} = \frac{5(1 - 2i)}{1 + 2^2} = 1 - 2i \]
- I, per tant: \( z_1 = 5 - (1 - 2i) = 4 + 2i \)
- Si \( b = -2 \)
- \[ \begin{cases} \frac{z_1}{z_2} = -2i \quad \Rightarrow z_1 = -2iz_2 \\ z_1 + z_2 = 5 \end{cases} \quad \Rightarrow -2iz_2 + z_2 = z_2(-2i + 1) = 5 \quad \Rightarrow z_2 = \frac{5}{1 - 2i} \cdot \frac{1 + 2i}{1 + 2i} = \frac{5(1 + 2i)}{1 + 2^2} = 1 + 2i \]
- I, per tant: \( z_1 = 5 - (1 + 2i) = 4 - 2i \)
Els parells de nombres buscats són doncs: \[ (z_1 = 4 + 2i, \quad z_2 = 1 - 2i) \] \[ (z_1 = 4 - 2i, \quad z_2 = 1 + 2i) \]
Problema 4.9
Calculis tots els nombres \(z \in \mathcal{C} \) tals que:
a) \( |z - 1| = |z - 3| \)
b) \( |z - 1| = \text{Re}(z) + 1 \)
Solució
- \( |z - 1| = |z - 3| \)
- Escrivim \( z = x + iy \), on \( x \) és la part real i \( y \) és la part imaginària de \( z \). Llavors:
- \( |(x - 1) + iy| = |(x - 3) + iy| \)
- Desenvolupem els mòduls: \( \sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + y^2} \)
- Elevem al quadrat ambdues bandes: \( (x - 1)^2 + y^2 = (x - 3)^2 + y^2 \)
- Cancel·lem \( y^2 \) i simplifiquem: \( (x - 1)^2 = (x - 3)^2 \)
- El resultat és \( x = 2 \). Per tant, el nombre complex és: \( z = 2 + iy \)
- \( |z - 1| = \text{Re}(z) + 1 \)
- Escrivim \( z = x + iy \) i la part real \( \text{Re}(z) = x \). L'equació es converteix en: \( |(x - 1) + iy| = x + 1 \)
- Desenvolupem el mòdul: \( \sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = x + 1 \)
- Elevem al quadrat ambdues bandes: \( (x - 1)^2 + y^2 = (x + 1)^2 \)
- I tenim: \( x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1 \)
- Cancel·lem termes i simplifiquem: \( -2x + y^2 = 2x \)
- Per tant: \( y^2 = 4x \])
- El que implica que \( x = \frac{y^2}{4} \), i el nombre complex és: \( z = \frac{y^2}{4} + iy \)
Jordi Coll Vera - 2023