Introducció

L’espai és limitat? El temps és etern? Quin és el nombre més gran de tots? L’infinit ens planteja preguntes com aquestes i el seu estudi físic i matemàtic pot arribar ser molt lluny del sentit comú. En contra de tota intuïció.

L’infinit, al llarg de la història, ha estat un mal de cap per a la ciència. Cap a l’extrem del més petit la físic quàntica planteja grans interrogants i el mateix passa cap al més gran quan els cosmòlegs es plantegen la mida, la forma i els límits de l’Univers, segons la teoria general de la relativitat de Einstein. Plantejant-se un intens debat sobre si l’espai-temps és corbat a escala global o bé pla i euclidià. Fent distinció entre l’univers observable i l’univers en la seva totalitat. En tot cas resulta inconcebible intuïtivament que l’univers pugui ser infinit i també que no ho sigui. Aleshores la pregunta seria, en aquest cas: què hi ha més enllà? El mateix ens passa amb el temps. Ens és inconcebible l’eternitat però també que el temps deixi de ser.

La física quàntica planteja la “longitud de Planck” i el “temps de Planck”. Amb un espai-temps quàntic, no continu. La longitud de Planck planteja que l’espai més petit possible és \(1.6·10^{−35}\) metres —la centmilionèsima part de la bilionèsima part del diàmetre del protó—i el temps de Planck, —el que tarda la llum en recórrer una longitud de Planck— és menys de \(10^{−43}\) segons ^[1].

A més, les matemàtiques, segons el famós teorema de Georg Cantor, ens demostren que no tots els infinits són iguals.

L’infinit dins la filosofia

L’infinit ha estat tractat des de l’antiguitat ja pels filòsofs hindús i grecs.

La filosofia hindú

Els matemàtics hindús utilitzen el sistema decimal ja en textos datats en 1000 anys aC i cap al 600 aC hi inclouen el nombre cero. Constaten aleshores que al dividir quelcom en parts cada cop més petites el resultat és una quantitat de parts cada cop més gran i al arribar al cero els resultat serà una infinitud de parts. El text jainista Surya Prajnapti recull (entre els s. IV i VI dC) les tradicions orals del primer mil·lenni aC.

L'infinit al jainisme

El jainisme té una aproximació sofisticada a l'infinit, que s'integra en els seus textos filosòfics i cosmològics:

• Tipus d'infinit: Els jainistes reconeixen múltiples tipus d'infinit, com ara:
• Numerable (Sankhyata): Una quantitat infinita que es pot concebre com a enumerable.
• Innumerable (Asankhyata): Una quantitat infinita més enllà de la numeració, però encara limitada conceptualment.
• Infinit absolut (Ananta): Un infinit sense cap límit, propi del temps, l'espai o l'ànima.
• Temps infinit: El Surya Prajnapti tracta del temps com una dimensió infinita i cíclica, amb eons (kalpas) que es repeteixen eternament. Això ressona amb la noció moderna de l'infinit temporal.
• Espai infinit: La cosmologia jainista divideix l'univers en regions finites i infinites, considerant que l'espai s'estén més enllà de la part habitada (lokakasha) fins a l'espai buit infinit (alokakasha).

Matemàtica al Surya Prajnapti

El text, com molts altres del cànon jainista, utilitza divisions extremadament precises del temps i l'espai que impliquen conceptes infinits o quasi infinits. Alguns exemples rellevants:

• Unitats minúscules i immenses: El Surya Prajnapti descriu el temps des d’unitats infinitesimalment petites (com els kshanas, que poden recordar els conceptes matemàtics d'un límit o una partició en càlcul) fins a cicles de durada infinita.
• Seqüències matemàtiques: Els jainistes també conceptualitzen les grans seqüències de nombres, moltes de les quals impliquen nombres tendents a l'infinit, com les descripcions de les dimensions còsmiques.

Relació amb el concepte d'infinit matemàtic modern

• Similitud conceptual: Tot i que el jainisme tracta l'infinit més des d'una perspectiva filosòfica i cosmològica que no pas matemàtica, hi ha una sorprenent correspondència amb les idees modernes:
• La distinció entre infinits numerables i innombrables recorda la diferència entre nombres infinits en els treballs de Cantor (infinits numerables com els naturals i innombrables com els reals).
• El concepte d'infinit absolut en el jainisme s'aproxima a la idea de l'infinit com un límit inabastable.
• Particions infinites: L'èmfasi del Surya Prajnapti en la divisió contínua del temps i l'espai pot recordar les bases del càlcul, on conceptes com la divisió infinita són fonamentals.

La filosofia grega

Anaximandre (610-546 aC) introdueix en la filosofia occidental el terme “apeiron”, que significa “allò que no té límits”, tant externs (espacial i quantitativament infinit) com interns (“el que és qualitativament indeterminat”). Precisament perquè no és limitat quantitativament i qualitativa, el “principi-apeiron” pot donar origen a totes les coses, delimitant-se en diverses formes. Totes les coses es generen d’ell, consisteixen i són en ell. D’aquesta manera el propi món neix i mor d’acord amb determinats cicles temporals, indefinidament. Amb infinits mons que neixen viuen i moren de manera indefinida.

Pitàgores(586-569 aC) i els pitagòrics descobreixen que la diagonal del quadrat podia no ser mesurable amb el seu costat per valer aquella un nombre irracional, fet per a ells totalment inadmissible del qual no en podien parlar sota pena de mort. Pels pitagòrics l’infinit simplement no existia i per tant qualsevol nombre havia de tenir una quantitat de decimals limitada o periòdica i poder-se així representar com una fracció o proporció entre dos nombres enters, i l’arrel quadrada de 2 no es pot expressar com la relació de dos nombres enters per ser un nombre irracional.

Zenó d’Elea (490-430 aC), amb les seves famoses paradoxes ^[2], nega l’existència de l’infinit, i de retruc, del moviment. Ja sigui per reducció ad absurdum o per contradictio, des d’una perspectiva matemàtica.

Èudox de Cnidos (408 ?-355 aC ?). Com ja s’ha vist, l'infinit era un concepte problemàtic per als grecs antics, ja que el seu pensament filosòfic, influenciat per Parmènides i Zenó, tendia a rebutjar l'existència d'entitats infinites en el món real. Tot i això, Èudox va trobar una manera enginyosa de treballar amb magnituds infinites mitjançant el seu mètode d’exhaustió. Mètode consistent en apropar-se al valor d'una àrea o volum desconegut utilitzant figures geomètriques conegudes, cada vegada més properes. Es divideix una figura en parts successivament més petites, sumant-ne les àrees o volums, evitant així la necessitat d'usar directament el concepte d'infinit. De fet, un precursor del càlcul integral. Va també abordar el problema dels nombres irracionals, introduint una teoria de proporcions que permetia comparar magnituds sense dependre de la seva representació numèrica. Fet crucial per a tractar relacions que implicaven magnituds no commensurables, com la diagonal d'un quadrat respecte al seu costat.

Aristòtil (384-322 aC) nega l’existència d’un infinit "en acte" (avui en dia en diríem "real"). Per Aristòtil, l’espai és el contenidor d’un cos físic. No va pensar mai l’infinit com a una noció immaterial. Sempre el relacionava amb la categoria de “la quantitat” i aquesta és únicament vàlida en l’ordre sensible. Per Aristòtil, com pels pitagòrics i els grecs en general, “el finit” és perfecte i “l’infinit” és imperfecte. Argumenta que l’infinit és quelcom que s’estén sobre tot un cos físic infinit que ell nega que pugui existir “en acte”. L’infinit només existeix per ell “en potència” (avui en dia en diríem “en teoria”). Així, per exemple, el nombre (la numeració) és un infinit “en potència” sempre es pot afegir un nombre de més i mai s’arribarà a l’infinit “en acte”. Així, també l’espai és infinit “en potència”, perquè és divisible fins l’infinit, donat que sempre es pot fer “la meitat de la meitat”. “[···] veiem clarament que hi ha un sentit en el qual l’infinit existeix i un altre en el que no.”

Per Aristòtil el temps és també un infinit potencial: no pot existir tot a la vegada en acte, però es desenvolupa i creix sense fi.

Per Demòcrit (460-370 aC ?), com els àtoms són infinits, també ho són els mons que se’n deriven d’ells, diferents o repetits [en infinites combinacions]. Tots els mons neixen, es desenvolupen i després es corrompen, per tal de donar origen a altres mons, cíclicament i sense final.

Per Epicur (341-270 aC) i Lucreci (94-55 aC), és infinita la quantitat global d’àtoms. Dels infinits principis atòmics se’n deriven infinits mons; alguns són iguals o anàlegs al nostre, mentre que altres són molt diferents. Tots aquests infinits mons neixen i desapareixen, uns amb rapidesa i altres lentament al llarg del temps. Per tant, els mons no només són infinits en la infinitud de l’espai, en un moment determinat del temps, sinó que també ho són en la infinita successió temporal. Encara que a cada instant hi hagi mons que neixen i moren, Epicuri pot afirmar que el tot no canvia. No només els elements constitutius de l’univers segueixen sent per sempre tal qual són, sinó que totes les seves combinacions possibles es troben sempre actualitzades, precisament per la infinitud de l’univers que sempre permet l’actualització de totes les possibilitats. No hi ha cap intel·ligència, cap projecte, cap finalitat que es situï a l’arrel d’aquesta constitució d’infinits universos. Ni tan sols la necessitat, sinó el clinamen, és a dir, el casual i el fortuït.

Del Renaixement ençà

Durant tota l’Edat Mitjana la cultura occidental és sota la influència de la filosofia grega, en particular d’Aristòtil, traduïda i interpretada pels àrabs i el cristianisme.

Els matemàtics es centren en l’infinit potencial i desenvolupen conceptes crucials com series infinites, límits i infinitesimals, arribant al càlcul sense admetre que el propi infinit fos un objecte matemàtic.

Tanmateix, ja en l’Edat Mitjana es plantegen paradoxes que indiquen que l’infinit actual no és fàcil de deixar de banda. Es constata que és possible la numeració dels elements d’un conjunt amb els d’un altre de la mateixa mida (d’igual cardinalitat). Aquest fet, aplicat a conjunts indefinidament grans (com el dels nombres naturals) s’oposava obertament al sentit comú i a la idea ja expressada per Euclides cap al 300 aC de que “el tot és sempre més gran que qualsevol de les seves parts”. Es pot, per exemple, aparellar (amb una bijecció) el conjunt \(\mathcal{N}\) dels nombres naturals amb els nombres naturals parells, de manera que resultava que el cardinal de \(\mathcal{N}\) era igual al del seu subconjunt de nombres parells ^[3]. Galileo (1564-1642), ja havia considerat aquest problema al observar la correspondència biunívoca entre el conjunt dels nombres naturals i el format pels seus quadrats i havia manifestat que: “L’infinit ha d’obeir a una aritmètica diferent a la dels nombres finits”.[“Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze" ("Discursos i demostracions matemàtiques al voltant de dues noves ciències"), 1638].

El 1584 Giordano Bruno (1548-1600), en la seva obra “De l’infinit univers i mons”, es planteja la infinitud del cosmos, un univers infinit sense cap centre definit. Suggereix l’existència d’infinits mons (plurivers) similars al nostre, alguns habitats, una idea que anticipa la noció moderna d'exoplanetes. Les seves idees són vistes com herètiques, no només per qüestionar la cosmologia aristotèlica sinó també per desafiar conceptes teològics fonamentals. Això el porta a ser arrestat per la Inquisició el 1592 i, després d'un llarg procés, és executat a la foguera el 1600 a Roma.

Un gran matemàtic com Carl Gauss(1777-1855) expressa el seu horror a l’infinit actual, tot dient: “Protesto contra l’ús de la magnitud infinita com quelcom complet, que mai és permissible en matemàtiques. L’infinit és únicament una forma de parlar, amb el veritable significat de límit al que s’aproximen indefinidament certes proporcions, en tant que a altres se les permet créixer sense restricció”. [Carta de Gauss a Heinrich Christian Schumacher el 12 d'agost de 1831].

En aquesta època molts matemàtics debatien l'ús de l'infinit i el seu rigor matemàtic. Contemporanis de Gauss, com Bolzano i posteriorment Cantor, comencen a tractar l'infinit des d'un punt de vista més formal, però el tema era encara força controvertit.

De mica en mica s’abandona la idea, promoguda pel concepte d’infinit potencial, de que ens podem anar aproximant a l’infinit fent cada cop més gran, o més petit, un determinat valor. En realitat, mai serem ni més a prop ni més lluny de l’infinit. Estem tant lluny, o tant a prop, de l’infinit a partir del nombre més petit com del més gran que es pugui imaginar. Només es pot abordar matemàticament l’infinit prescindint del nombre.

El matemàtic David Hilbert (1862-1943) va presentar la seva famosa paradoxa de “L’hotel Hilbert” en una conferència del 1924 titulada "Über das Unendliche" ("Sobre l'infinit"). Tot i que inicialment no es va publicar, la metàfora es va popularitzar gràcies al llibre "One Two Three... Infinity" de George Gamow, publicat el 1947. La paradoxa subratlla les propietats contraintuïtives dels conjunts infinits i ha estat objecte de debat en matemàtiques, filosofia i teologia. ^[4]

La paradoxa és un exemple sorprenent de com d’estranya i contraintuitiva pot ser l’aritmètica de l’infinit. Imaginem un hotel amb un nombre infinit d’habitacions on sempre hi cabrà un client més. Al «Gran Hotel de Hilbert» si l’hoste que ocupa l’habitació 1 es trasllada a la habitació 2, i així successivament, l’habitació 1 queda sempre lliure per a un nou hoste. De fet es poden allotjar sempre un nombre infinit d’hostes més, per exemple traslladant tots els hostes a l’habitació que correspongui al doble de la seva, quedant així lliures totes les infinites habitacions amb numeració senar. Aquest procés és pot recórrer fins l’infinit, de manera que l’hotel podria allotjar a un nombre infinit d’autocars en els que en cadascun hi hagués un nombre infinit de passatgers.

Sembla doncs que la intuïció i el sentit comú no funciona ni en els fenòmens extremadament grans (fenòmens còsmics) ni en els extremadament petits (fenòmens quàntics).

Ja a finals del segle XIX Richard Dedekind (1831-1916) i Karl Weierstrass (1815-1897), amb els inicis de la teoria de conjunts, i, sobretot, Georg Cantor (1845-1918), en contra de la majoria dels matemàtics de l’època, varen proporcionar una lògica matemàtica als conjunts infinits.

Georg Cantor va haver d’enfrontar-se a les mofes de molts dels seus col·legues contemporanis i a la implacable oposició del seu mentor i professor Leopold Kronecker (1823-1891. Kronecker va dir en una ocasió: “Déu va crear els deu primers nombres; la resta és obra de l’home”. Tot procés matemàtic havia de ser construït amb elements coneguts, perfectament definits i amb un nombre finit de pasos. No en volia saber res de l’infinit actual (real) que considerava: “··· futilitat perniciosa heretada de la filosofia anticuada i teologies confuses, podent arribar sense ell on es volgués ···”. Era doncs finitista i operacionista: “··· l’especulació matemàtica unilateral i introspectiva condueix a camps esterils”.

Kronecker s’oposa a la publicació científica dels treballs de Cantor i el desqualifica públicament com a “renegat”, “xerraire” i “corruptor de la joventut estudiosa” ^[5].

Cantor perd la feina a la Universitat de Berlín i va a parar a la Universitat de Halle on s’hi quedarà la resta de la seva vida.

Es va dedicar també a la filosofia i a intentar demostrar, l’any 1889, que les obres de Shakespeare havien estat escrites en realitat per Francis Bacon. Va invertir part de la seva fortuna en reunir una biblioteca d’autors anglesos dels segles XVI i XVII.

S’ha especulat amb que Cantor patia de trastorn bipolar. Abans de casar-se, li va dir a la seva futura esposa: “··· hauràs d’aprendre que , sense motius aparents, puc ser vençut pel pes de la vida”. Va passar com a pacient voluntari per diverses institucions mentals al llarg de la seva vida i finalment va morir en un sanatori l’any 1918, amb Alemanya en guerra. Hilbert va dir a la seva mort: “Ja ningú podrà expulsar-nos mai del paradís que Cantor va crear per a nosaltres”. ^[6]

Cantor defensava la matemàtica “lliure”: “La matemàtica és completament lliure en el seu desenvolupament, i els seus conceptes únicament es veuen restringits per la necessitat de ser no contradictoris i coordinats amb els conceptes prèviament introduïts amb definicions precises. L’essència de la matemàtica és la seva llibertat”. Un concepte molt actual de les matemàtiques.

Avui en dia és considerat el matemàtic més gran pel que es refereix a la teoria de conjunts i la comprensió de l’infinit.

La matemàtica de Georg Cantor

Cantor va partir inicialment de la idea de la correspondència biunívoca entre conjunts finits per tal de numerar-los i calcular-ne la seva “cardinalitat” i va intentar aplicar-ho als conjunts infinits.

Dos conjunts tenen la mateixa cardinalitat si es pot establir una correspondència biunívoca (o bijectiva) entre ells. És a dir, si tots els elements d’ambdós conjunts es poden aparellar un a un, sense que en sobri ni en falti cap. En aquest cas es diu que els dos conjunts són equipotents, tenen el mateix nombre d’elements.

Si tenim, per exemple un conjunt \(Y\) i podem establir una correspondència biunívoca amb un conjunt \(Z = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) direm que Card(\(Y\)) = Card(\(Z\)) = 7. Expressió que s’escriurà formalment com: \(|Y| = |Z| = 7\).

El concepte de la cardinalitat permet definir exactament la infinitud d’un conjunt:

“Un conjunt \(A\) és infinit si existeix un subconjunt propi \(B\) de \(A\) amb el mateix cardinal que \(A\), en altre cas \(A\) és un conjunt finit”.

Es defineix com a conjunt de les parts d’un conjunt \(A\), escrit \(\mathcal{P}(A)\) el conjunt format per tots els seus subconjunts, inclòs el conjunt buit \(\{\emptyset \}\) i el propi \(A\).

Per exemple, si \(A = \{ a, b, c, d \}\) :

\(\mathcal{P}(A) = \left\{ \{\emptyset\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\}, \{a, b\}, \{a,c\}, \{a,d\}, \{b,c\}, \{b,d\}, \{c,d\}, \{a, b, c\}, \{a, b, d\}, \{a, c, d\}, \{b, c, d\}, \{a, b, c,d\}\right\}\)

\(|A|= 4 \implies |\mathcal{P}(A)|=2^{|A|} = 2^4 = 16\)

Cantor aplica la definició i el concepte de cardinalitat al conjunt \(\mathcal{N}\) dels nombres naturals i demostra que és un conjunt infinit sense necessitat de numerar-lo. Demostrant que el tot no és sempre més gran que qualsevol de les seves parts, com ens dicta el sentit comú. Es pot establir una correspondència biunívoca, per exemple, entre el conjunt \(\mathcal{N}\) i el subconjunt format amb els nombres parells: 1 → 1·2, 2 → 2·2, 3 → 3·2, ···, n → n·2, ···. De manera que el tot i la part tenen la mateixa cardinalitat.

Cantor nomena \(\aleph_0\) (aleph zero) a aquest primer conjunt infinit, \(\mathcal{N}\). Aquest concepte és fonamental en la teoria dels conjunts i és relacionat amb la metàfora de l’Hotel infinit de Hilbert. Representa la cardinalitat de l’infinit comptable, que és la mida del conjunt dels nombres naturals \(\mathcal{N}\).

Infinit comptable és qualsevol conjunt que es pot posar en correspondència bijectiva amb els nombres naturals i té com a cardinal \(\aleph_0\). Exemples de conjunts infinits amb cardinalitat \(\aleph_0\) són:

• Els nombres naturals \(\mathcal{N}\)
• Els nombres enters \(\mathcal{Z}\)
• Els nombres racionals \(\mathcal{Q}\)

La correspondència amb \(\mathcal{Z}\) és immediata, la correspondència amb \(\mathcal{Q}\) la demostra Cantor amb el seu famós esquema de diagonalització:

Si s’afegeix o es multiplica un infinit comptable per qualsevol quantitat, finita o infinita, el resultat segueix sent sempre de cardinalitat \(\aleph_0\). Com es posa de manifest a la paradoxa de l’Hotel Hilbert, donat que:

• \(\aleph_0 + n = \aleph_0\);\(\aleph_0 + \aleph_0 = \aleph_0\); \(\aleph_0 · \aleph_0 = \aleph_0\).
• Si n és finit, \(\aleph_0 - n = \aleph_0\) i \(\aleph_0 / n = \aleph_0\).
• Si n és infinit, el resultat depèn de les propietats del conjunt que elimines. En general, \(\aleph_0 - \aleph_0\) i \(\aleph_0 / \aleph_0\) no són ben definits en la teoria dels cardinals.

\(\aleph_0\) és el més petit dels cardinals infinits. Hi infinits més grans, com \(\aleph_1\) que es correspon a la cardinalitat del conjunt \(\mathcal{R}\) dels nombres reals, segons la hipòtesi del continu.

Hi ha, segons Cantor, infinits alephs: \(\aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, ...\) cadascun infinitament més gran que l’anterior.

Hipòtesi del continu

La hipòtesi del continu proposa que no hi ha cap cardinalitat estrictament entre \(\aleph_0\) (l'infinit comptable) i \(2^{\aleph_0}\) (la cardinalitat del conjunt dels nombres reals, sovint denotada com \(\mathfrak{c}\).

És a dir: \(\mathfrak{c} = \aleph_1\), amb \(\aleph_1\) el següent cardinal més gran després de \(\aleph_0\).

Resultats clau sobre la hipòtesi del continu són:

1. Gödel (1940): Va demostrar que la hipòtesi és consistent amb els axiomes de ZF+AC ^[7], sempre que aquests axiomes siguin consistents. Això significa que no es pot refutar dins d'aquest marc axiomatic.
2. Cohen (1963): Va demostrar que la hipòtesi també és independent de ZF+AC, utilitzant la tècnica del forcing. Això implica que no es pot demostrar dins d'aquesta mateixa teoria.

Els resultats anteriors impliquen que la hipòtesi del continu no es pot demostrar ni refutar utilitzant només els axiomes de ZF+AC i que és possible construir models de la teoria dels conjunts on la hipòtesi sigui certa: \(\mathfrak{c} = \aleph_1\), i també models on sigui falsa \(\mathfrak{c} > \aleph_1\).

L'estat actual de la qüestió és que la hipòtesi del continu es considera una qüestió de decisió axiomàtica: depèn de quins axiomes addicionals s'acceptin en la teoria dels conjunts. Alguns matemàtics han explorat sistemes alternatius (com la teoria de conjunts de determinació o axiomes de grans cardinals) per abordar aquesta qüestió, però no hi ha consens universal sobre quins axiomes són "els correctes".

Diferència entre cardinal i ordinal en conjunts infinits

El cardinal d’un conjunt ens indica quants elements té aquest conjunt, els ordinals ens diuen l’ordre dels elements dins el conjunt. Es obvi i de sentit comú que no podem tenir un vuitè element en un conjunt finit de cardinal 7. De manera que el llenguatge ordinari s’utilitzen els mateixos símbols per cardinals i ordinals i es confon la cardinalitat d’un conjunt amb la longitud del mateix: així, per exemple, un conjunt de cardinal 8 té vuit elements ordenables de l’1 al 8, el que sembla tota una bajanada.

En conjunts infinits aquest fet ja no és obvi i és, en canvi, força contradictori. S’ha d’entendre en primer lloc el que és un conjunt ben ordenat. Un conjunt \(A\) es considera ben ordenat si satisfà dues condiciones:

• \(A\) te un primer element definit;
• cadascun dels elements de \(\mathcal{P}(A)\) te també un primer element definit.

El conjunt finit \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) és ben ordenat. El conjunt \(\mathcal{Z}\) dels nombres enters no ho és, no té un primer element definit. El conjunt \(\mathcal{N}\) dels nombres naturals sí que és un conjunt ben ordenat.

La clau és que tots els conjunts infinits ben ordenats i amb el mateix cardinal poden tenir diferent ordinal (longitud). Considerem, per exemple, els conjunts infinits \(\{0, 1, 2, 3, 4 ···\}\) i \(\{0, 1, 2, 4 ···, 3\}\), ambdós conjunts tenen per cardinal \(\aleph_0\) (contenen tots els infinits nombres naturals) però el segon conjunt té un element més. Si eliminéssim el 3 del segon conjunt si que coincidirien en ambdós conjunts la cardinalitat i l’ordinalitat.

La longitud més curta del conjunt \(\mathcal{N}\) dels nombres naturals és omega \((\omega)\). Així, la ordinalitat del conjunt \(\{0, 1, 2, 4 ···, 3\}\) és \(\omega + 1\), on el signe \(+\) no significa suma sinó el nombre d’ordinals posteriors a \(\omega\), en aquest cas 1. Observis, com ja s’ha vista anteriorment, que la ordinalitat de \(\mathcal{N}\) no pot ser inferior a \(\omega\), donat que \(\aleph_0 – n = \aleph_0\). En canvi es pot incrementar infinitament, per exemple el conjunt format per tots els nombres senars seguits de tots els nombres parells. Podent-se efectuar torres de potències de \(\omega\) d’alçada \(\omega\). Més enllà de les quals hi trobem \(\epsilon_0\) l’ordinal de Cantor més petit que hi ha més enllà de qualsevol ordinal que pugui expressar-se en termes de \(\omega\) per addició, multiplicació i exponenciació.

\(\epsilon_0\) obre la porta al regne dels infinits nombres èpsilon que ens porta als \(\zeta_0\), ··· i així infinitament. Amb els ordinals de Feferman-Schütte, de Veblen, de Bachmann-Howard, de Church-Kleene, etc. Aquest últim és tan incomprensiblement gran que ni tan sols existeix notació matemàtica per arribar-hi.

Tanmateix, tots els ordinals anteriors són comptables. Amb la possibilitat d’establir una bijecció amb el conjunt \(\mathcal{N}\) dels nombres naturals i, per tant, tots són de cardinal \(\aleph_0\).

\(\omega + 1\) seria l’ordinal més petit de \(\aleph_1\), el cardinal del conjunt de tots els ordinals comptables. Cantor interpretava \(\aleph_1\) com la mida tangible del conjunt de tots els punts matemàtics d’un segment qualsevol de qualsevol línia matemàtica, de qualsevol polígon i de qualsevol figura tridimensional. “Ho veig i no ho crec”, va escriure Cantor a Dedekind l’any 1877. Els resultats de totes aquestes correspondències un a un entre figures de diferents dimensions anava en contra de tot sentit comú. La conclusió final és que en un únic segment, per més petit que sigui, hi ha el mateix nombre de punts que en tot l’Univers. Dins l’infinitament petit s’hi troba l’infinitament gran. Aquesta infinitud de punts espacials és coneguda com la potència del continu, \(\mathfrak{c}\). És també el conjunt de tots els nombres reals (\(\mathcal{R}\)) (tots els nombres racionals més tots els nombres irracionals). El conjunt \(\mathcal{R}\) dels nombres reals és incomptable. A més, segons la conjectura del continu: \(|\mathcal{R}|= \mathfrak{c}=2^{\aleph_0} = \aleph_1\)

El teorema de Cantor: \(|A| < |\mathcal{P}(A)|\) permet ordenar els infinits a partir de \(|\mathcal{N}| = \aleph_0\): \( |\aleph_0| < |\mathcal{P}(\aleph_0)| < |\mathcal{P}(\aleph_1)| < |\mathcal{P}(\aleph_2)|···\)

De manera que tenim ordenats els nombres aleph, els nombres transfinits \(\aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, ···\), amb: \(\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < ···\)

Els nombres transcendents

Els nombres transcendents són un tipus especial de nombres reals o complexos que no són solucions de cap equació algebraica amb coeficients racionals. Això vol dir que no existeix cap polinomi no nul \(P(x)\) amb coeficients racionals tal que \( P(\alpha) = 0 \), on \(\alpha\) és un nombre transcendent.

Els nombres transcendents presenten les característiques següents:

1. No algebraics: Els nombres transcendents són el complement dels nombres algebraics, que són els nombres que satisfan alguna equació polinòmica amb coeficients racionals.
2. Infinitud: Els nombres transcendents són molt més abundants que els algebraics. De fet, els nombres algebraics formen un conjunt numerable, mentre que els nombres transcendents són no numerables (segons la teoria de conjunts de Cantor).
3. Dificils de trobar: Tot i que són immensament més abundants, identificar un nombre concret com a transcendent pot ser molt complicat.

Exemples coneguts de nombres transcendents són:

• \(e\): La base dels logaritmes naturals és transcendent (provat per Charles Hermite el 1873).
• \(\pi\): La relació entre el perímetre i el diàmetre d'un cercle és transcendent (provat per Ferdinand von Lindemann el 1882). Fet que descarta per sempre més la famosa quadratura del cercle.
• Nombres de Liouville: Els primers exemples de nombres transcendents van ser descoberts per Joseph Liouville, com ara: \(\displaystyle \sum_{1}^\infty \frac{1}{10^{n!}}=0.110001000000000000000001 \cdots\)

Els nombres transcendents són fonamentals en diverses àrees de la matemàtica, com l'anàlisi i la teoria de nombres. També tenen aplicacions en física, computació i teoria de la complexitat. Presenten encara avui en dia diversos problemes oberts. Tot i els èxits, encara hi ha moltes preguntes obertes sobre ells. Per exemple:

• No se sap si nombres com \((e + \pi)\) o \((e \cdot \pi)\) són transcendents.
• L'estudi dels nombres transcendents és part de la teoria de Galois i la geometria diofantina.

La relació entre els nombres transcendents i \(\aleph_1\), el cardinal del primer infinit no numerable, es basa en la comparació entre la mida dels conjunts de nombres transcendents i altres conjunts infinits, com els nombres reals o algebraics.

1. Els nombres reals i \(\aleph_1\)
• El conjunt de tots els nombres reals té de cardinalitat \(\mathfrak{c}\), coneguda com el cardinal del continu.
• Segons la hipòtesi del continu \(\mathfrak{c} = \aleph_1\). El que vol dir que no hi ha cap conjunt amb una cardinalitat estrictament entre \(\aleph_0\) (els enters o racionals) i \(\mathfrak{c}\).
2. Els nombres algebraics són numerables
• Els nombres algebraics són solucions de polinomis amb coeficients racionals. Com que hi ha una quantitat numerable de polinomis i cadascun té un nombre finit de solucions, els nombres algebraics formen un conjunt numerable \(\aleph_0\).
• Per tant, el conjunt de nombres algebraics té cardinalitat \(\aleph_0\).
3. Els nombres transcendents són no numerables
• Els nombres transcendents són el complement dels nombres algebraics dins dels reals.
• Com que els nombres reals tenen cardinalitat \( \mathfrak{c} \) i els algebraics són numerables \( \aleph_0 \), el conjunt de nombres transcendents ha de tenir la mateixa cardinalitat que els reals, és a dir: \( \mathfrak{c}\).
• Si s'accepta la hipòtesi del continu, el conjunt de nombres transcendents també té cardinalitat \( \aleph_1\).

En resum: Els nombres algebraics són numerables \(\aleph_0\). Els nombres transcendents són no numerables i tenen la mateixa cardinalitat que els nombres reals \(\mathfrak{c}\). Si la hipòtesi del continu és correcte, aquesta cardinalitat és igual a \(\aleph_1\).

En una context més ampli, aquesta connexió il·lustra com els nombres transcendents exemplifiquen el "gran infinit, Ω"^[8] dels reals respecte als nombres algebraics, que són un subconjunt petit i numerable. Això també posa de manifest la riquesa dels nombres transcendents: encara que semblin difícils d'identificar explícitament, constitueixen gairebé tots els nombres reals.

Fonts consultades

• Enrique Gracián, "La magia de las matemáticas: Un descubrimiento sin fin", Edit. RBA 2010
• Gustavo Ernesto Piñeiro, "El infinito en matemáticas, Cantor: lo incontable es lo que cuenta", Edit. RBA 2016
• David Darling y Agnijo Banerjee, "El sorprendente libro de las rarezas matemáticas: en el limite del infinito y mas allá", Edic. Paidós 2019
• José Antonio Prado-Bassa, "Historia del infinito", Edit. Pinolia 2024

Jordi Coll Vera - 2024