La circumferència

Segons el diccionari, una circumferència és la corba plana tancada formada pel conjunt de tots els punts del pla la distància dels quals a un punt donat del pla (el centre) és constant i anomenada radi. De manera equivalent, és la corba tancada que descriu un punt que es mou sobre el pla amb la condició que la distància entre ell i un punt fixat sigui constant.

S'anomena radi (\(r\)) a qualsevol dels segments amb un extrem al centre i l'altre sobre la circumferència i també, per extensió, a la longitud d'aquests segments. S'anomenan diàmetre (\(D\)) a qualsevol segment que tingui els seus extrems a la circumferència i que passi pel seu centre. Tots els diàmetres de la mateixa circumferència tenen la mateixa longitud, igual a dues vegades el seu radi (\(D = 2r\))

La fórmula de la longitud (\(L\)) d'una circumferència és:

\[L = 2 \pi r\]

Es defineix el nombre irracional i transcendent \(\pi\) com la relació matemàtica entre la longitud de la circumferència (\(C\)) i el seu diàmetre (\(D\)). de manera que \(\pi = C / D\). De manera intuitiva, és la constant de proporcionalitat entre la longitud de la circumferència i el seu diàmetre (\(L = \pi \cdot D\)). Modernament es defineix trigonomètricament com el doble de l'angle (en radians) necessari perquè una funció trigonomètrica com el sinus o el cosinus completi un cicle (\(2\pi\) radians); i analíticament mitjançant sèries infinites, com la sèrie de Leibniz: \(\pi = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{-1^n}{2n+1}\); integrals com: \(\pi = 2 \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx\); o límits com: \(\pi = \displaystyle \lim_{n \to \infty} n \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\).

Un nombre \(x\) és irracional si \(x \in \mathbb{R}\) i \(x \notin \mathbb{Q}\). És a dir, un nombre real que no pot expressar-se com el quocient de dos nombres enters. Un nombre transcendent és un nombre real o complex que no és arrel de cap polinomi no nul amb coeficients racionals. És doncs un nombre "no algebraic".

Longitud de la circumferència. El nombre \(\pi\).

La història del càlcul de la longitud d'una circumferència està profundament lligada a l'evolució de les matemàtiques i a la comprensió del nombre \(\pi\). Aquesta constant matemàtica fonamental ha estat una font d'inspiració i investigació al llarg de mil·lennis.

Les antigues civilitzacions de Mesopotàmia i Egipte (3000-2000 aC) ja tenien una aproximació rudimentària a la relació entre la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre. Els babilonis utilitzaven \(\pi \approx 3\), com si la circumferència fos un hexàgon; els egipcis, segons consta al papir Rhind (~1650 aC), calculaven ja \(\pi \approx 3.16\).

Ja a la Grècia clàssica, és Arquímedes, de manera recursiva amb el seu mètode ja comentat anteriorment, qui acota \(\pi\) dins l'interval obert \(\left(\frac{223}{71}; \frac{22}{7}\right) \approx (3.140845; 3.142857)\), utilitzant un polígon de 96 costats. N'obté així dos decimales exactes de \(\pi\) dins l'interval (\(\pi = 3.14\)).

S'ha de dir que utilitzant un polígon de 1000000 de costats el mètode d'Archímedes obtindria únicament 9 decimals exactes de \(\pi\) dins l'interval (\(\pi = 3.141592653\)).

A continuació es mostren els resultats de l'algorisme d'Archímedes. L'algorisme codificat en llenguatge PHP el podeu descarregar aquí: archimedes_pi.php.

Implementació de l'algorisme d'Archímedes pel càlcul de \(\pi\)
Introduïu el nombre de costats del polígon:

Cap a l'any 20 aC Marcos Pollio Vitruvius escriu el tractat "De Architectura" en el que utilitza el valor mesopotàmic \(\pi = 25/8\). Pel seu compte no va poder millorar el valor d'Archímedes. Més de cent anys més tard Claudio Ptolomeo en millora el resultat, utilitzant un polígon de 120 costats, arribant a \(\pi = 377/120 \approx 3.141666\) un resultat prou bo.

Al llunyà Orient, concretament a la Xina, Chan T'sang (220 aC) estableix el valor de \(\pi\) en 3; Zhang Heng, cap a l'any 100, calcula \(\pi \approx 3.1724\). Wang Fang, l'any 250, calcula \(\pi \approx 3.155555\). Liu Hui, l'any 263, troba una fòrmula recurrentque calcula els cantons d'un polígon regular de \(3 \cdot 2^k\) costats i recomana utilitzar \(\pi = 3.14\), encara que arriba a calcular el seu valor com \(\pi = 3.141592104\) utilitzant un polígon de 3072 costats. Uns segles més tard Zu Chongzhi (429-500) acota \(\pi\) com (\(3.1415926 < \pi < 3.1415927\)), un resultat extraordinari

A l'Índia, Ayabhata (476-550) obté el valor \(\pi = 3.1416\), utilitzant un polígon de 384 costats; Brahmagupta (596-665), un gran matemàtic hindú, ens decepciona una mica amb el valor \(\pi = \sqrt{10} \approx 3.162277\); Bhaskara II, "el mestre" (1114-1185) aproxima \(\pi = 3927/1250 \approx 3.1416\). Madhava de Sangamagrama (1350-1425) calcula \(pi\) amb tretze decimals cap a l'any 1400. Madhava utilitza pel càlcul, per primer cop en la història coneguda, una sèrie recurrent:

\[\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots\]

Sèrie coneguda molt més tard al món occidental com a "fòrmula d Leibniz". La convergència d'aquesta sèrie és molt petita i Madhava la va transformar pels seus càlculs en la sèrie:

\[\ \pi = \sqrt{12} \left(1 - \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \frac{1}{9 \cdot 3^4} - \cdots \right)\]

L'any 1424 , el persa Jamshïd al-Kãshĩ (1380-149), conegut com "el de Samarcanda" calcula \(2\pi\) utilitzant un sistema numeric sexagesimal i troba 16 decimals de \(\pi\)

Al mon islàmic és de destacar Abũ Muhammad ibn Mũsã al-Khwãrizmĩ (780-850) que recomana utilitzar el valor \(\pi = 3.14\) pels càlculs fàcils i \(\pi = 3.1416\) per a càlculs més complexos, com els astronòmics.

Al Renaixement i Època Moderna, ja al món Occidental, l'alemany Valentin Otho recomana, l'any 1573, utilitzar \(\pi = 355/113 \approx 3.1415929\). El francès François Viète troba el novè decimal exacte de \(\pi\) utilitzant la tècnica d'Archímedes, amb un polígon de \(6 \cdot 2^{16}\) costats. També va trobar una fòrmula infinita que permetria trobar qualsevol nombre de decimals de \(\pi\), però de molt difícil aplicació a la seva època.

\[\pi = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}} \cdots\]

Per la mateixa època l'holandès Adriaan van Roomen (1561-1615), nomenat Adrianus Romanus, utilitza un polígon de \(2^{30}\) costats i calcula \(\pi\) l'any 1593 amb 16 decimals exactes. Resultat que va quedar ràpidament empetitit l'any pel càlcul de Ludolph van Ceulen (1540-1610) amb 35 decimals \(\pi = 3.14159265358979323846264338327950288\). Durant un temps el nombre \(\pi\) es va nomenar "el nombre ludolfí" en el seu honor.

Progressivament es van refinant els càlculs i augmentant el nombre de decimals exactes de \(\pi\). Amb Newton i Leibniz s'inicia una nova època amb l'anàlisi matemàtic. El càlcul de \(\pi\) deixa definitivament de ser una qüestió geomètrica.

Abraham Sharp (1651-1742) calcula \(\pi\) amb 71 decimals exactes utilitzant la següent sèrie infinita, de la que en va sumar uns 300 termes.

\[\pi = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{2(-1)^k \cdot 3^{({\frac{1}{2}}-k})}{2k+1}\]

John Machin (1686-1751) dona a conèixer, l'any 1706, la seva famosa "fòrmula de Machin". Amb ella va calcular fins a cent decimals de \(\pi\).

\[\frac{\pi}{4} = 4\ arc\ tan\ \frac{1}{5} - arc\ tan\ \frac{1}{239}\]

La fòrmula de Machin va obrir la porta a tot un seguit de sèries infinites basades en ella. William Rutherford (1798-1871), basant-se en la següent fòrmula de Machin, calcula inicialment 152 decimals correctes de \(\pi\) i finalment, l'any 1853, en calcula 440.

\[\frac{\pi}{4} = 4\ arc\ tan\ \frac{1}{5} - arc\ tan\ \frac{1}{70} + arc\ tan\ \frac{1}{99}\]

Com anècdota, Johann Martin Zacharias Dase (1824-1861), una mena de calculadora humana, troba mentalment el valor de \(\pi\) fins a 200 decimals, utilitzant la següent fòrmula de Machin que li proporciona un amic seu.

\[\frac{\pi}{4} = 4\ arc\ tan\ \frac{1}{2} + arc\ tan\ \frac{1}{5} + arc\ tan\ \frac{1}{8}\]

D.F. Ferguson, un enginyer hindú, calcula, l'any 1945, 620 decimals exactes de pi amb una calculadora mecànica. L'any 1947 en calcula primer 710 i posteriorment 808. El 1949, amb John Wrench i una calculadora electromecánica en calculen 1120. Utilitzen també una fòrmula de Machin

\[\frac{\pi}{4} = 3\ arc\ tan\ \frac{1}{4} + arc\ tan\ \frac{1}{20} + arc\ tan\ \frac{1}{1985}\]

L'any 1882 Ferdinand von Lindemann (1852-1939) demostra, amb el teorema de Lindemann-Weierstrass, la transcendència del nombre \(\pi\). Al ser doncs un nombre no algebraic queda així definitivament demostrada la irresolubilitat de la quadratura del cercle.

Matemàtics com Srinivasa Ramanujan (1887-1920) obren la porta al càlcul avançat de \(\pi\) amb algorismes famosos, com aquest seu de 1910, que no es va ni molestar en demostrar —va ser demostrat 75 anys més tard—:

\[\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!\ (1103+26390\ k)}{(k!)^4\ 396^{4k}}\]

Bill Gosper (1943-) va obtenir amb l'algorisme de Ramanujan disset milions de decimals de \(\pi\). L'algorisme original produia 8 xifres decimals exactes de \(\pi\) per cada terme (\(k\)) afegit. Bill Gosper va utilitzar la fòrmula perfeccionada pels germans Chudovsky que hi afegia 14 decimals més per cada terme afegit:

\[\frac{1}{\pi} = 12 \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^n\ (6n)!\ (13591406+545140134\ n)}{(n!)^3\ (3n)!\ (640320^3)^{n+0.5})}\]

Amb l'arribada dels ordinadors, els càlculs de \(\pi\) van avançar enormement. Programes informàtics com el d'ENIAC en van calcular milions de dígits.

Avui dia, algorismes moderns (com, per exemple, el de Chudnovsky) permeten calcular trilions de dígits de \(\pi\) en superordinadors, o també força decimals en un ordinador personal. Com per exemple amb la implementació en Python de l'algorisme de Chudnovsky que es mostra a continuació:

from mpmath import mp
def calcular_pi(digits):
    # Configurem la precisió en dígits
    mp.dps = digits # Digits de precisió decimal
    # Calculem pi amb l'algorisme de Chudnovsky
    pi = mp.pi
    return pi
# Exemple: 1000000 decimals de pi
digits = 1000000
pi = calcular_pi(digits)
# Guardar pi en un fitxer
with open("pi.txt", "w") as f:
    f.write(str(pi))

Demostració moderna de la fòrmula de la lòngitud de la circumferència amb càlcul infinitesimal

Considerem la representació paramètrica d'una circumferència:

\[ x(\theta) = r \cos(\theta), \quad y(\theta) = r \sin(\theta)\]

on \(\theta\) és l'angle que varia de \(0\) a \(2\pi\). La longitud de la corba es calcula com:

\[L = \int_0^{2\pi} \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} \, d\theta\]

Les derivades són:

\[\frac{dx}{d\theta} = -r \sin(\theta), \quad \frac{dy}{d\theta} = r \cos(\theta)\]

Substituint:

\[L = \int_0^{2\pi} \sqrt{r^2 \sin^2(\theta) + r^2 \cos^2(\theta)} \, d\theta\]

Com que \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\), tenim:

\[L = \int_0^{2\pi} r \, d\theta = r \int_0^{2\pi} d\theta = r [\theta]_0^{2\pi} = 2\pi r\]

El cercle

Un cercle es pot definir com la regió del pla limitada per una circumferència.

Superfície del cercle

Es pot considerar un cercle com un polígon regular d'infinits costats l'apotema del qual és el radi del cercle, i el perímetre la circumferència. Aleshores, tenint en compte que l'àrea d'un polígon regular és igual a la meitat del producte del seu perímetre (\(P\)) per la seva apotema (\(ap\)), tenim:

\[A_{cercle} = A = \frac {P \cdot {ap}}{2} = \frac {2\pi\ r \cdot r}{2} = 4\pi\ r^2\]

Demostració moderna amb anells concèntrics

Podem imaginar el cercle com una suma d'anells infinitesimals concèntrics amb radi variable \(x\) i espessor infinitesimal \(dx\).L'àrea d'un anell és:

\[dA = 2\pi x \, dx\]

Integrant des de \(x = 0\) fins a \(x = r\):

\[A = \int_0^r 2\pi x \, dx\]

La integral és:

\[A = 2\pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^r = \pi r^2\]

Altre enfocament similar seria definir la superfície del cercle com un radi que gira completament al voltant del centre. Cada moviment del radi genera una àrea infinitesimal proporcional a \(r\ dr\) on \(dr\) és el desplaçament radial. La superfície seria igual —com ja s'ha vist— a la integració de totes les àrees infinitesimals:

\[A = \int_0^r 2\pi x \, dx = \pi r^2\]

També es pot aproximar el cercle amb la superfície de polígons regulars de \(n\) costats inscrits i circumscrits. De manera que:

\[A_{inscrit} = \frac{1}{2}nr^2\ sin\ \left(\frac{2\pi}{n}\right)\]\[A_{circumsscrit} = \frac{1}{2}nr^2\ tan\ \left(\frac{\pi}{n}\right)\]

Quan \(n \rightarrow \infty\) les dues aproximacions convergeixen cap a \(A = \pi r^2\), l’àrea exacta del cercle.

També es pot considerar que el cercle és la suma infinita de sectors circulars molt petits d'àrea: \(\frac {angle}{2\pi} \cdot (\pi r^2)\). Al completar, i sumar, \(2\pi\) radians, el cercle complert, és té: \(A = \pi r^2\)

L'esfera

Segons el diccionari, en geometria, una esfera és la superfície formada per tots els punts que es troben a una mateixa distància (anomenada radi) d'un punt donat (anomenat centre) de l'espai. El segment que uneix un punt de l'esfera amb el seu centre també rep el nom de radi. Una recta que passa pel centre de l'esfera la talla en dos punts; el segment que determinen s'anomena diàmetre. Tots els diàmetres tenen la mateixa longitud, també anomenada diàmetre. El diàmetre val el doble que el radi, i és la màxima distància entre dos punts de l'esfera.

En un sistema de coordenades ortogonal i unitari, l'equació de l'esfera unitària centrada a l'origen de coordenades és: \(\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\)

Equació que s'obté, elevant al quadrat a ambdós costats, considerant que un punt \(\displaystyle (x,y,z)\) és de l'esfera unitat si té mòdul unitari, és a dir, si:

\(\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=1 \implies \displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\)

Generalitzant a l'esfera de radi \(\displaystyle r\) i centre \(\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})\) s'obté l'equació:

\(\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}\)

, i, anàlogament al cas anterior, aquesta equació s'obté de considerar que un punt és de l'esfera si la distància euclidiana entre el centre i el punt és exactament \(\displaystyle r\).

El pla tangent al punt \(\displaystyle (x',y',z')\) té com a vector normal un múltiple del radi, com per exemple: \(\displaystyle (x'-x_{0},y'-y_{0},z'-z_{0})\)

Aleshores, imposant que el pla passa per \(\displaystyle (x',y',z')\) s'obté l'equació del pla tangent:

\(\displaystyle (x'-x_{0})(x'-x)+(y'-y_{0})(y'-y)+(z'-z_{0})(z'-z)=0\)

L'esfera de radi \(\displaystyle r>0\) i centre \(\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})\) es pot parametritzar com:

\(\displaystyle {\begin{aligned}x=&x_{0}+r\cos \theta \cos \varphi \\y=&y_{0}+r\cos \theta \sin \varphi \quad \quad \quad \theta \in [0,\pi ]),\ \varphi \in [0,2\pi )\\z=&z_{0}+r\sin \theta \\\end{aligned}}.\)

Observem que si fixem la variable \(\displaystyle \theta \) de la parametrització i fem variar \(\displaystyle \varphi \), obtenim una parametrització dels paral·lels de l'esfera.

Anàlogament, fixant \(\displaystyle \varphi \) i fent variar \(\displaystyle \theta \), obtenim una parametrització dels meridians de l'esfera.

Volum de l'esfera

La fórmula del volum d'una esfera és: \[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Demostració pel mètode d'Arquímedes

Arquímedes (287-212 aC) va ser el primer en demostrar la fòrmula del volum d'una esfera, partint de que ja coneixia prèviament les fòrmules per calcular el volum d'un con (\(V_{con}=\frac{1}{3}\pi h^3\)) i d'un cilindre (\(V_{cilindre}=\pi r^2 h\)), amb \(h\) l'alçada respectiva. Aleshores, va colocar un al costat de l'altre una semiesfera de diàmetre \(2r\), un con i un cilindre —ambdós últims de diàmetres de la base iguals a \(2r\) i alçades iguals a \(r\)—, tal com es mostra a la següent figura:

Arquímedes va observar que qualsevol plànol paral·lel al plànol de la base —com el representat per la línia vermella— talla els tres cossos i hi dibuixa unes superfícies en cadascun que guarden sempre la proporció: \[S_{esfera} = S_{cilindre} - S_{con}\], i per tant va deduir que la mateixa relació hi hauria entre els volums de les tres figures. De manera que:

\[V_{esfera} = V_{cilindre} - V_{con} = 2 \cdot \left[\pi r^2 \cdot r - \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot r \right] = 2 \cdot \left[\frac{3}{3} \cdot \pi r^3 - \frac{1}{3} \pi r^3 \right] = 2 \cdot \left[ \frac{2}{3} \pi r^3 \right] = \frac{4}{3}\pi r^3 \]

Arquímedes s'avança en gairebé 2000 anys a Bonaventura Cavalieri (1598-1648), deixeble de Galileo Galilei, i el seu famós "teorema de Cavalieri" [1] que estableix que "dos sòlids tenen el mateix volum si les àrees de les seves seccions transversals, realitzades a la mateixa alçada i de manera paral·lela a una base comuna, són iguals". Principi fonamental en l'evolució de la geometria y el càlcul.

Segons el teorema de Cavalieri els dos cilindres de la figura següent tenen el mateix volum i el mateix succeeix amb els dos prismes —sempre que les seccions corresponents tinguin igual superfície—.

Arquímedes desenvolupa el "mètode de l'exhaustió", iniciat per Èudox de Cnidos (408-355 aC), un enfocament per trobar àrees i volums de figures utilitzant una aproximació progressiva [2]. Mètode que aplica, per exemple, per calcular el volum d'una esfera, l'àrea d'una paràbola o el valor de pi. El mètode de Cavalieri es pot veure com una evolució conceptual del mètode de l'exhaustió d'Arquímedes, ja que també busca dividir una figura en parts cada cop més petites. Tanmateix, Cavalieri treballa amb una visió més algebraica i infinitesimal. Tant el mètode de l'exhaustió d'Arquímedes com el dels indivisibles de Cavalieri utilitzen particions infinitament petites per aproximar àrees i volums. Arquímedes utilitza un enfocament rigorós, però finit, mentre que Cavalieri, influenciat pel pensament del segle XVII, treballa amb infinitesimals, un gran salt conceptual que indicarà posteriorment el camí a Newton i Leibniz per a desenvolupar el càlcul modern [3].

Demostració moderna del volum de l'esfera amb càlcul infinitesimal

Representem l'esfera com una suma d'àrees de seccions circulars perpendiculars a l'eix \(z\). L'àrea d'una secció a una alçada \(z\) és: \[A(z) = \pi (r^2 - z^2)\]

El volum total és:

\[V = \int_{-r}^r \pi (r^2 - z^2) \, dz\]

Separant la integral:

\[V = \pi \int_{-r}^r r^2 \, dz - \pi \int_{-r}^r z^2 \, dz\]

Càlcul de les integrals:

\[\int_{-r}^r r^2 \, dz = r^2 \cdot 2r = 2r^3, \quad \int_{-r}^r z^2 \, dz = \frac{2r^3}{3}\]

Substituint:

\[V = \pi \left(2r^3 - \frac{2r^3}{3}\right) = \pi \frac{4r^3}{3} = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Superfície de l'esfera

La fórmula de la superfície d'una esfera és:

\[S = 4\pi r^2\]

Èudox de Cnidos i Arquímedes s'interessen també pel càlcul de la superfície de l'esfera, aplicant el mètode de l'exhaustió, i és Arquímedes qui en calcula el seu valor correcte.

Demostració moderna per revolució d'un semicercle

Considerem el semicercle \(x = \sqrt{r^2 - z^2}\) al pla \(xz\), que es revoluciona al voltant de l'eix \(z\). La superfície és:

\[S = 2\pi \int_{-r}^r x \sqrt{1 + \left(\frac{dx}{dz}\right)^2} \, dz\]

La derivada és:

\[\frac{dx}{dz} = \frac{-z}{\sqrt{r^2 - z^2}}, \quad \left(\frac{dx}{dz}\right)^2 = \frac{z^2}{r^2 - z^2}\]

Simplificant:

\[\sqrt{1 + \frac{z^2}{r^2 - z^2}} = \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - z^2}}\]

Substituint:

\[S = 2\pi \int_{-r}^r r \, dz = 2\pi r \int_{-r}^r dz = 4\pi r^2\]

Fonts consultades

  • Joaquín Navarro, "La magia de las matemáticas: Un descubrimiento sin fin", Edit. RBA 2010

Jordi Coll Vera - 2024


[1]
Cavalieri és conegut, sobretot, per introduir el denominat "mètode dels indivisibles", un precursor de l'actual càlcul infinitesimal. Aquest mètode és explicat en la seva segona obra, "Geometria indivisibilibus continuorum", i matisat i ampliat en la darrera, "Exercitationes geometricae sex".[Katz, Victor. "A History of Mathematics". Harper Collins, 1993, p. 435-437]
[2]
El mètode es basa en inscriure i circumscriure figures conegudes (com polígons) dins d'una figura desconeguda (com un cercle) per aproximar el resultat des de dues bandes.
[3]
El càlcul infinitesimal modern comença amb les idees intuïtives d’Éudox de Cnidos i Arquímedes, evoluciona amb els mètodes pràctics de Kepler, Cavalieri i Fermat, es sistematitza amb les aportacions de Wallis, Pascal i Barrow, i culmina amb el càlcul formal de Newton i Leibniz, que matemàtics posteriors com Bernoulli, Cauchy i Weierstrass perfeccionen i formalitzen.