Introducció. Teorema d'incompletesa de Gödel.

Les matemàtiques són en realitat una “ciència exacta”? El que es demostra matemàticament és cert per tota l’eternitat en tot l’Univers? Dues rectes paral·leles no es tallaran mai? Els angles d’un triangle sumen sempre 180º? El teorema de Pitàgores s’acomplirà per sempre més?

Estrictament, la resposta a totes les preguntes anteriors és que no. Tot depèn dels postulats o axiomes inicials en que es fonamentin les demostracions.

En matemàtiques, els axiomes són proposicions o enunciats acceptats com a veritables sense necessitat de demostració prèvia. Són la base fonamental sobre la qual es construeixen teories matemàtiques. Els axiomes proporcionen un conjunt inicial de regles o principis que permeten deduir altres proposicions o teoremes.

El teorema d'incompletesa de Gödel (1931) és un resultat fonamental de la lògica matemàtica que mostra les limitacions inherents de qualsevol sistema formal suficientment poderós per contenir l'aritmètica. El teorema es divideix en dos enunciats principals:

Primer Teorema d'Incompletesa

“En qualsevol sistema formal consistent i recursivament enumerable que sigui prou poderós per descriure l'aritmètica dels nombres naturals, hi ha enunciats veritables dins del sistema que no poden ser demostrats dins d'aquest sistema”.

Dins la lògica matemàtica i la teoria de conjunts, un sistema formal és consistent si no es pot demostrar dins d'aquest sistema una contradicció, és a dir, una proposició \(P\) i la seva negació alhora \(\neg P\). No es pot arribar a un teorema fals dins del sistema. En un sistema inconsistent és podria demostrar qualsevol cosa i la contraria. Un conjunt de teoremes (o proposicions) és recursivament enumerable si existeix un algorisme (o una funció computable) que, donat un enunciat, pot enumerar (enumerar o llistar un a un) totes les seves demostracions possibles, tot i que aquest algorisme no necessàriament s'aturi per als enunciats no demostrables. És possible generar totes les afirmacions certes del sistema seguint un mètode sistemàtic (computacional). Això no vol dir que tots els teoremes puguin ser trobats ràpidament, però sí que el sistema pot anar generant demostracions una per una amb el temps suficient.

Gödel demostra que, sota aquestes condicions, hi ha enunciats veritables que no són demostrables dins del sistema. El sistema no pot provar la seva pròpia consistència. El primer teorema d’incompletesa assegura que el sistema té una estructura ordenada, però limitada. Cap sistema formal pot ser complet si és capaç de representar l'aritmètica. Sempre hi haurà proposicions veritables (en un sentit intuïtiu) que no es poden demostrar dins del propi sistema.

Segon Teorema d'Incompletesa

“En qualsevol sistema formal consistent i recursivament enumerable que sigui prou poderós per descriure l'aritmètica dels nombres naturals, la consistència del sistema no pot ser demostrada dins del mateix sistema”.

Per provar que un determinat sistema no conté contradiccions, s’ha de recórrer a un sistema més potent, que al seu torn tampoc podrà provar la seva pròpia consistència.

De manera que, definitivament, els sistemes matemàtics no poden ser alhora complets (on es pugui demostrar tot el que és cert) i consistents (lliures de contradiccions). Cap sistema formal pot verificar la seva pròpia coherència.

Gödel posa en qüestió els intents de David Hilbert de formalitzar completament les matemàtiques i obre debats sobre els seus fonaments i els límits de la raó formal. Les idees de Gödel són també estretament relacionades amb els límits de la computabilitat i amb teoremes com el problema de la parada de Turing.

Per exemple, intuïtivament, es pot enunciar: “Aquesta afirmació no pot ser demostrada”. Si aquesta afirmació fos demostrable, aleshores seria falsa, la qual cosa porta a una contradicció. Però si no pot ser demostrada, aleshores és certa, demostrant així que hi ha veritats que no es poden demostrar dins del sistema.

Gödel demostra definitivament que les matemàtiques tenen límits intrínsecs. Cap sistema formal pot ser complet ni pot demostrar la seva pròpia consistència si és prou poderós per contenir l'aritmètica. Aquest descobriment té profundes implicacions filosòfiques, matemàtiques i computacionals.

Qualsevol axioma és evident per sí mateix (dins un context i una certa epistemologia matemàtica); és indemostrable (dins del sistema en què s’enuncia); és consistent (no genera contradiccions); és independent (no es pot derivar un axioma a partir d'uns altres del mateix sistema); i és simple (s’expressa de manera clara i concisa).

Els axiomes lògics, com el principi de no-contradicció o el principi del terç exclòs, són regles fonamentals de la lògica. Els axiomes específics defineixen estructures matemàtiques concretes, com la geometria, l'aritmètica o l'àlgebra.

Axiomes o postulats d’Euclides

Els postulats ^[1] d’Euclides són un conjunt de cinc afirmacions bàsiques que fonamenten el seu sistema geomètric. Es recullen en la seva obra clàssica “Els Elements” (300 aC).

1. Una línia recta pot traçar-se entre dos punts qualssevol. S’afirma que és possible connectar qualsevol parell de punts mitjançant una única línia recta.
2. Una línia recta finita pot prolongar-se indefinidament en línia recta. S’afirma la possibilitat d’estendre una línia més enllà dels seus extrems sense límit.
3. Es pot traçar un cercle amb qualsevol centre i qualsevol radi. S’ estableix la possibilitat de crear un cercle donant el punt central i una distància fixa.
4. Tots els angles rectes són iguals entre si. S’estableix la uniformitat dels angles rectes, proporcionant una base referencial per comparar altres angles.
5. Si una línia recta que talla dues altres línies forma amb elles, a un costat, angles interns que sumen menys de dos rectes (180°), llavors aquestes dues línies es troben en aquest costat quan s'estenen prou. Aquest és el postulat més famós i problemàtic. Es pot expressar de manera equivalent com postulat de les línies paral·leles: “per un punt exterior a una línia donada, només es pot traçar una línia paral·lela a la línia donada”. ^[2]

Els postulats d’Euclides permeten construir figures geomètriques i establir teoremes bàsics dins la seva geometria, com el teorema de Pitàgores o que la suma dels angles d’un triangle és sempre igual a 180°. Les geometries no euclidianes amplien el panorama matemàtic a una nova comprensió de l’espai.

Axiomes de Peano

Giuseppe Peano (1858–1932) defineix formalment els nombres naturals i les seves propietats fonamentals amb un conjunt d'axiomes que constitueixen la base de l'aritmètica en el marc de la teoria moderna de conjunts.

El sistema parteix de l'existència d'un conjunt \( \mathbb{N} \), els nombres naturals, i d'una funció successor \( S \):

1. Existència del zero (o primer nombre natural) ^[3]. \[ 0 \in \mathbb{N} \]
2. Funció successor. Per a tot nombre natural \( n \), existeix un altre nombre natural \( S(n) \), anomenat el successor de \( n \).
3. Injectivitat del successor. Dos nombres diferents no poden tenir el mateix successor. \[\forall m, n \in \mathbb{N}, \; S(m) = S(n) \implies m = n\]
4. El zero com a nombre especial. \( 0 \) no és el successor de cap nombre natural. \[\forall n \in \mathbb{N}, \; S(n) \neq 0\]
5. Axioma d'inducció matemàtica. Si un conjunt \( P \subseteq \mathbb{N} \) conté \( 0 \), i conté el successor de qualsevol nombre que ja pertany a \( P \), llavors \( P \) és igual a \( \mathbb{N} \). \[P(0) \land \big(\forall n \in \mathbb{N}, \; P(n) \implies P(S(n))\big) \implies \forall n \in \mathbb{N}, \; P(n)\]

L’axioma d’inducció estableix formalment el principi d'inducció matemàtica, una eina fonamental en la demostració de propietats dels nombres naturals.

El \( 0 \) és el punt de partida dels nombres naturals. La funció successor genera els següents nombres naturals: \( S(0) = 1 \), \( S(1) = 2 \), \( S(2) = 3 \), etc.

S’assegura que no hi ha "cicles" en la successió. No es pot tornar a un nombre anterior i el \( 0 \) és únic com a origen.

A partir dels axiomes de Peano es poden construir totes les operacions aritmètiques bàsiques i demostrar propietats fonamentals com la suma: \[ a + 0 = a, \quad a + S(b) = S(a + b)\] i el producte: \[a \cdot 0 = 0, \quad a \cdot S(b) = a \cdot b + a \]

Els axiomes de Peano proporcionen un fonament rigorós per a l'aritmètica, basant-se únicament en els nombres naturals i la noció del successor. Són un punt de partida fonamental per a la teoria matemàtica moderna i per a la construcció formal de nombres més complexos (com els enters, els racionals, els reals, etc.).

Axiomes de Zermelo-Fraenkel (ZF)

Els axiomes de Zermelo-Fraenkel (ZF) són el fonament de la teoria moderna de conjunts. El marc formal per a la majoria de les matemàtiques. Defineixen les propietats bàsiques dels conjunts i són suficients per construir els nombres naturals, els reals, l'àlgebra, la topologia, i molt més. Quan s’hi afegeix l’axioma d’elecció, el sistema es coneix com a “ZFC” (Zermelo-Fraenkel amb l’axioma d’elecció).

1. Extensionalitat. Dos conjunts són iguals si tenen exactament els mateixos elements. \[\forall A, B \; \big( \forall x \; (x \in A \iff x \in B) \implies A = B \big) \]
2. Existència o conjunt buit. Existeix un conjunt que no conté cap element, anomenat conjunt buit. \[\exists A \; \forall x \; (x \notin A)\]
3. Parell. Donats dos conjunts \( A \) i \( B \), existeix un conjunt que conté exactament \( A \) i \( B \). \[\forall A, B \; \exists C \; \forall x \; (x \in C \iff x = A \lor x = B)\]
4. Unió. Per a qualsevol conjunt \( A \), existeix un conjunt que conté tots els elements dels conjunts que són elements de \( A \). \[\forall A \; \exists B \; \forall x \; (x \in B \iff \exists C \; (C \in A \land x \in C))\]
5. Comprensió (o separació). Si \( P(x) \) és una propietat definida per una fórmula, per a qualsevol conjunt \( A \) existeix un subconjunt de \( A \) que conté exactament els elements de \( A \) que compleixen \( P(x) \) ^[4]. \[\forall A \; \exists B \; \forall x \; (x \in B \iff x \in A \land P(x))\]
6. Infinit. Existeix un conjunt infinit, que inclou el conjunt buit i el successor de cada element. \[\exists A \; (\emptyset \in A \land \forall x \; (x \in A \implies x \cup \{x\} \in A))\]
7. Substitució. Si \( F \) és una funció definida per una propietat \( P(x, y) \), llavors per a qualsevol conjunt \( A \), existeix un conjunt que conté exactament les imatges dels elements de \( A \) segons \( F \). \[\forall A \; \exists B \; \forall y \; (y \in B \iff \exists x \; (x \in A \land P(x, y)))\]
8. Poder (conjunt potencialment infinit). Per a qualsevol conjunt \( A \), existeix un conjunt que conté tots els subconjunts de \( A \) ^[5]. \[\forall A \; \exists B \; \forall x \; (x \in B \iff x \subseteq A)\]
9. Regularitat (o fonamentació). Tot conjunt \( A \neq \emptyset \) conté un element \( x \) tal que \( x \cap A = \emptyset \). \[\forall A \; (A \neq \emptyset \implies \exists x \; (x \in A \land x \cap A = \emptyset))\]
10. Elecció. Donat un conjunt \( A \) de conjunts no buits disjunts, existeix una funció que selecciona un element de cada conjunt de \( A \). \[ \forall A \; (\forall x \in A \; (x \neq \emptyset) \implies \exists f \; \text{funció } \; f : A \to \bigcup A \; \text{tal que } f(x) \in x \; \forall x \in A)\]

Els axiomes de ZF permeten definir conceptes matemàtics (nombres naturals, reals, espais vectorials) a partir dels conjunts. Asseguren que les operacions sobre conjunts no condueixin a contradiccions (com les paradoxes de la teoria antiga de conjunts) i fonamenten i són base per a moltes disciplines, com l'àlgebra, l'anàlisi i la topologia. Són suficients per construir la major part de les matemàtiques, però l’axioma d’elecció és necessari per a resultats com el teorema de Zorn, el teorema de Hahn-Banach, el teorema de Tychonoff o la hipòtesi del continu.

L'axioma d'elecció (AC)

Donat un conjunt \( X \) de conjunts no buits, existeix una funció \( f \) (anomenada funció de selecció) que selecciona un element de cadascun dels conjunts de \( X \).

En altres paraules:

\[ \forall X \; \big(X \neq \emptyset \land \forall A \in X \; (A \neq \emptyset) \implies \exists f : X \to \bigcup X \text{ tal que } f(A) \in A \; \forall A \in X \big).\]

L'AC afirma que és possible seleccionar un element de cada conjunt d'una col·lecció de conjunts, fins i tot si no es proporciona cap regla explícita per a fer-ho. Per exemple, si es té una infinitat de conjunts de mitjons sense distingir drets d'esquerrans, l'axioma d'elecció garanteix que es pot seleccionar un mitjó de cada conjunt, tot i que no es tingui cap regla concreta per a fer-ho.

L'axioma d'elecció no és constructiu, no proporciona un mètode explícit per definir la funció de selecció. Fet que genera controvèrsia entre matemàtics proponents, que l’accepten perquè facilita la construcció de teories i proves, i crítics, constructivistes o intuïcionistes que el rebutgen perquè no produeix resultats explícits o computables.

Quan es combina amb altres axiomes, l'axioma d'elecció pot conduir a resultats no intuïtius, com la paradoxa de Banach-Tarski, que estableix que és possible descompondre, per exemple, una esfera en un nombre finit de peces i reconstruir dues, o infinites, esferes idèntiques a l'original.

L’AC és independent dels altres axiomes de la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel (ZF). Ni es pot demostrar ni refutar dins de ZF. La seva acceptació o rebuig depèn del context matemàtic i de les preferències filosòfiques del matemàtic.

Teorema de Zorn

El teorema de Zorn és un resultat fonamental en teoria de conjunts i és equivalent a l’axioma d’elecció i al teorema del bon ordenament dins del sistema Zermelo-Fraenkel. Equivalència que comporta que si s’accepta qualsevol dels teoremes, els altres dos també seran vàlids.

És un teorema àmpliament utilitzat en àrees com l’àlgebra, l’anàlisi funcional i la topologia. Concretament per demostrar resultats en matemàtiques abstractes on és difícil treballar de manera constructiva. Per exemple l’existència de bases en espais vectorials, l’existència d’elements màxims o en teoria de grups ^[6].

Definicions prèvies:

• Un conjunt parcialment ordenat és un conjunt \( P \) amb una relació d’ordre \( \leq \) tal que, per a tot \( x, y, z \in P \):
• \( x \leq x \) (reflexivitat).
• Si \( x \leq y \) i \( y \leq x \), aleshores \( x = y \) (anti-simetria).
• Si \( x \leq y \) i \( y \leq z \), aleshores \( x \leq z \) (transitivitat).
• Un subconjunt \( C \subseteq P \) és una cadena si qualsevol parell d’elements de \( C \) són comparables, és a dir, per a tot \( x, y \in C \), s’acompleix \( x \leq y \) o \( y \leq x \).
• Un element \( m \in P \) és un majorant d’una cadena \( C \) si per a tot \( x \in C \), s’acompleix \( x \leq m \).
• Un element \( m \in P \) és maximal si no existeix cap altre element \( x \in P \) tal que \( m < x \).

Segons les definicions anteriors, el teorema s’enuncia com: “Sigui \( (P, \leq) \) un conjunt parcialment ordenat. Si tota cadena (subconjunt totalment ordenat de \( P \)) té un majorant en \( P \), llavors \( P \) conté almenys un element maximal”.

Intuïtivament, ens podem imaginar un conjunt de barres metàl·liques de diverses mides en una pila desordenada. Si sempre es pot trobar una barra més gran (o igual) que qualsevol col·lecció totalment ordenada de barres (una cadena), el teorema de Zorn garanteix que hi haurà almenys una barra màxima que no és superada per cap altra.

Com ja s’ha comentat abans, el teorema de Zorn i l’axioma d’elecció són equivalents. Fet que fa que el teorema de Zorn sigui controvertit en la mesura que l’axioma d’elecció no és constructiu, no explicita cap manera de trobar els elements màxims.

Teorema de Hahn-Banach

És aquest un resultat fonamental en anàlisi funcional que permet estendre funcionals lineals definits sobre un subespai d'un espai vectorial normat a tot l'espai, mantenint-hi la linealitat i les propietats de continuïtat.

En la seva forma general (per a espais vectorials reals) s’enuncia com:

Sigui \( X \) un espai vectorial real, \( p: X \to \mathbb{R} \) una funció sublineal (que domina les combinacions lineals de manera adequada), i \( M \subseteq X \) un subespai sobre el qual \( f: M \to \mathbb{R} \) és lineal i satisfà: \[f(x) \leq p(x), \quad \forall x \in M\]

Aleshores, existeix una extensió \( F: X \to \mathbb{R} \) de \( f \) (és a dir, \( F \) coincideix amb \( f \) en \( M \)) tal que: \[F(x) \leq p(x), \quad \forall x \in X\]

La definició per a espais vectorials normats és:

Si \( X \) és un espai vectorial normat sobre \( \mathbb{R} \) o \( \mathbb{C} \), i \( M \subseteq X \) és un subespai sobre el qual un funcional lineal \( f: M \to \mathbb{R} \) és continu (és a dir, acotat), llavors existeix un funcional lineal \( F: X \to \mathbb{R} \), extensió de \( f \), tal que: \[\| F \| = \| f \|\]

Conceptes clau:

1. Una funció \( p: X \to \mathbb{R} \) és sublineal si:
• \( p(x + y) \leq p(x) + p(y), \quad \forall x, y \in X \) (subadditivitat),
• \( p(\lambda x) = \lambda p(x), \quad \forall \lambda \geq 0 \) (homogeneïtat positiva).
2. Una funció \( f: X \to \mathbb{R} \) és lineal si:
• \( f(x + y) = f(x) + f(y) \),
• \( f(\lambda x) = \lambda f(x) \), per a tot \( \lambda \in \mathbb{R} \).
3. Es defineix la norma d’un funcional \( f \) com: \[ \| f \| = \sup \{ |f(x)| \, : \, \| x \| \leq 1 \}\]

El teorema de Hahn-Banach garanteix que qualsevol funcional definit en un subespai es pot estendre a tot l'espai, mantenint la norma (o una sublinealitat). És crucial per demostrar que els espais duals (l'espai dels funcionals lineals continus) són prou rics en estructura. S'utilitza per demostrar la separació de conjunts convexos, una eina fonamental en optimització convexa i geometria convexa. Esdevé essencial en la teoria de funcionals lineals en espais de Banach i Hilbert. S’aplica, en geometria convexa, per garantir l'existència de plans o hipersuperfícies que separen conjunts convexos. Es pot utilitzar, en programació lineal, per provar l'existència de solucions en problemes d'optimització. En anàlisi funcional aplicada és clau per a la representació dels espais duals. En l'anàlisi espectral, ajuda a estudiar operadors lineals. S’utilitza en el teorema de separació de conjunts, que estableix que dues regions convexes poden ser separades per un hiperplà si no es superposen. Per a espais vectorials sobre \( \mathbb{C} \), el teorema s'aplica, amb algunes modificacions en les propietats sublineals i normatives per considerar la naturalesa dels nombres complexos.

Es doncs un dels resultats més potents de l’anàlisi funcional i té implicacions profundes en moltes branques de les matemàtiques. Permet estendre funcionals lineals a tot l'espai mantenint la seva norma, essent essencial per a l'estudi d'espais vectorials normats, espais de Banach i geometria convexa.

Teorema de Tychonoff

El teorema de Tychonoff és un resultat fonamental en topologia general que afirma que el producte de qualsevol família de conjunts compactes també és compacte en la topologia del producte.

Sigui \( \{X_i\}_{i \in I} \) una família (finita o infinita) d'espais topològics compactes \( X_i \), on \( I \) és un conjunt d'índexs. Aleshores, el producte topològic \( \prod_{i \in I} X_i \) és compacte. En altres paraules: el producte de qualsevol col·lecció d'espais compactes és compacte (en la topologia del producte).

Un espai topològic \( X \) és compacte si tota cobertura oberta de \( X \) té una subcobertura finita. Intuïtivament, un espai compacte és un espai "limitat" i "tancat" en un sentit topològic.

Donada una família d'espais topològics \( \{X_i\}_{i \in I} \), la topologia del producte en \( \prod_{i \in I} X_i \) és la topologia generada pels productes finits d'oberts en cada \( X_i \). Els oberts bàsics tenen la forma:

\[ \prod_{i \in I} U_i, \quad \text{on } U_i \text{ és obert en } X_i \text{ per a un nombre finit de } i \text{, i } U_i = X_i \text{ en els altres casos.}\]

Una família d'oberts \( \{U_\alpha\}_{\alpha \in A} \) és una cobertura oberta de \( X \) si:

\[ X \subseteq \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha\]

El teorema de Tychonoff és extremadament potent i té moltes aplicacions en topologia, anàlisi funcional i matemàtiques abstractes: permet entendre i treballar amb compactificacions d'espais (com l'espai de Stone-Čech); en teoria de conjunts és equivalent a l'axioma d'elecció (com el teorema de Zorn o el bon ordenament); en espais de funcions, com en el producte d'espais \( \ell^\infty \) o altres espais duals, garanteix la compactesa de certes propietats; és fonamental per demostrar que els productes d'espais compactes són tractables i mantenen propietats útils.

Hi ha dues versions diferents del teorema:

1. Versió finita: El producte finit d'espais compactes és compacte. Versió fàcil de demostrar directament a partir de la definició de compactesa.
2. Versió infinita: També és vàlid per productes infinits (potencialment no numerables) d'espais compactes. En absència de l'axioma d'elecció, el teorema de Tychonoff no es pot demostrar per productes infinits generals.

Intuïtivament:

1. Producte finit: Si \( X_1 \) i \( X_2 \) són espais compactes, llavors el seu producte \( X_1 \times X_2 \) també és compacte. Per exemple: \( [0, 1] \times [0, 1] \) en la topologia estàndard és compacte (el quadrat tancat en el pla real).
2. Producte infinit: El teorema garanteix que fins i tot el producte infinit de conjunts compactes, com el cercle unitari \( S^1 \) elevat a l’infinit (\( S^1 \times S^1 \times \dots \)), continua sent compacte.

Hipòtesi del Continu i relació amb els tres teoremes anteriors

La hipòtesi del continu (HC) és un problema fonamental en la teoria de conjunts que estudia la relació entre els nombres naturals (\( \aleph_0 \)) i el conjunt dels nombres reals (\( \mathcal{P}(\mathbb{N}) \)) en termes de la seva cardinalitat. Els tres teoremes anteriors (Hahn-Banach, Zorn i Tychonoff) estan relacionats amb aquest context de manera indirecta però profunda, a causa de la seva connexió amb l’axioma d’elecció (AC) i la seva relació amb la teoria de conjunts.

La HC afirma que no existeix cap conjunt la cardinalitat del qual sigui estrictament entre la dels nombres naturals (\( \aleph_0 \)) i la dels nombres reals (\( 2^{\aleph_0} \)):

\[\aleph_1 = 2^{\aleph_0}\]

On \( \aleph_0 \) és la cardinalitat del conjunt dels nombres naturals i \( 2^{\aleph_0} \) és la cardinalitat del conjunt dels nombres reals (el conjunt de totes les parts de \( \mathbb{N} \)).

En contextos topològics, l'axioma d'elecció permet tractar conjunts infinits, però no determina explícitament la cardinalitat del continu. Aquí és important el teorema de Tychonoff.

En relació al teorema de Hahn-Banach, la hipòtesi del continu té implicacions en la dimensió d'espais vectorials infinits, com les bases de Hamel dels espais de funcions, on apareix la cardinalitat del continu.

Els teoremes de Zorn, Tychonoff i Hahn-Banach depenen de l'axioma d'elecció (AC). La hipòtesi del continu (HC) és independent de ZF i de ZFC.

Kurt Gödel va demostrar (1940) que la hipòtesi del continu és consistent amb ZFC (no genera contradiccions). Paul Cohen va demostrar (1963) que la negació de la hipòtesi del continu també és consistent amb ZFC. De manera que, tot i que HC està connectada amb l'axioma d'elecció en el tractament de conjunts infinits, ni els teoremes anteriors ni AC resolen la HC.

Jordi Coll Vera - 2024