Exercicis ressolts

Enunciats

La fletxa ens durà a la solució.

  Solució

  1. Sigui F = (p ↔ q) → [(q ∨ r ) ∧ (¬p ∨ ¬s)]. Es demana determinar fórmules equivalents a F en FNN, FND i FNC.

  Solució

  1. Formalitzis les següents expressions:
  1. q si p
  2. p però q
  3. com a mínim p
  4. p encara que q
  5. q necessari per a p
  6. q suficient per a p
  7. p malgrat q
  1. no p a menys que q
  2. p només si q
  3. p i tanmateix q
  4. p suficient per a q
  5. p sempre que q
  6. de vegades p, sempre q
  7. p a no ser que q

  Solució

  1. Formalitzis els raonaments següents:
    • “Si el resultat obtingut és superior al previst en 5 unitats, serà degut a no haver realitzat el procés a la temperatura adequada o a l'existència d'errors en els càlculs finals.”
    • “L'anàlisi realitzat, innecessari si ens deixem portar per la precipitació, es torna necessari si ens parem a reflexionar sobre el missatge que es pretén transmetre."
    • El càncer no aconseguirà curar-se a no ser que s'aconsegueixi determinar la seva causa i trobar fàrmacs adequats o bé per a prevenir o bé per a curar."

  Solució

  1. Formalitzis l'ennciat següent, utilitzant les connectives { ¬, ∨, ∧ }: “Si p aleshores q i, en cas contrari, si p1 aleshores q1 i, en cas contrari r1."

  Solució

  1. Formalitzis el següent enunciat on s'ha anotat "si p aleshores q i en cas contrari r" de la següent forma: p → q; r i normalitzar.
  2. Estudiar la validesa de la següent fórmula en la que s'utilitza la notació anterior:
  3. ((p → (p ∨ r); (r ∨ s)) ∧ ((r → ¬w; (s →p)) ∧ (¬(q ∧ t) ∧ (q → t)))) → ¬(r → w)

  Solució

  1. Determinis la validesa de les següents fórmules:
    1. ((¬p ∧ q) ∨ (p ∨ ¬q)) → ((p → (q ∨ r)) → (p→ r))
    2. (p ∧ (q → p)) → p
    3. (¬p → q) → ((p ∧ ¬q) ∨ r

  Solució

  1. Obtinguis la FND de:
    1. (p → (p → q)) ∨ p ∨ q
    2. ¬(p ∨ ¬q) ∧ (¬r ∨ s)

  Solució

  1. Obtinguis la FNC de:
    1. ¬(p →q) ∨ p ∨ q
    2. ((p → q) → r) → s

  Solució

  1. Provis, usant l'algorisme de resolució, la validesa dels següents raonaments:
    1. { p → q, q → r, p } ⇒ r
    2. { p → (¬q ∨ (r ∧ s)), p, ¬s ⇒ ¬q

  Solució

  1. Comprovis si els següents raonaments són correctes o no:
    1. "Si Antonio va guanyar la carrera, aleshores Baltasar o Carles foren els segons. Si Baltasar fou segon, aleshores no va guanyar Antonio. Si Demetri fou segon, no ho va ser Carles. Antonio va guanyar la carrera. Per tant, Demetri no fou segon".
    2. "No plora, riu. Si no plora, riu sol si té una joguina. Mai té una joguina quan riu si no menja un caramel. Aleshores menja un caramel."
    3. "Juan vol a Maria sí i només sí Maria vol a Juan i promet casar-se amb ell. Maria no vol a Juan si Juan no vol a Maria. Maria promet casar-se amb Juan sí i només sí Juan promet casar-se amb Maria. Per tant, Juan vol a Maria i Maria no vol a Juan".
    4. "Si ha nevat serà difícil conduir. Si no és fàcil conduir arribaré tard si no surto aviat. Ha nevat. Aleshores sortiré aviat. "
    5. " Si no plou surto al campo. Si surto al camp respiro. Per tant, respiro sí i només sí no plou."
    6. "Si un bosc es crema quelcom teu es crema. Quelcom teu es crema sí i només sí ets descuidat. Si ets descuidat no mereixes que et felicitin. Per tant si no mereixes que et felicitin aleshores és que un bosc es crema."
    7. El Ministre d'Economia i Hisenda ha fet les següents declaracions:
      • A la premsa: "Si els impostos pugen, la inflació baixarà sí i només sí no es devalua la moneda."
      • A la radio: "Si la inflació baixa o si la moneda no es devalua, els impostos no pujaran."
      • A la tele: "O bé baixa la inflació i es devalua la moneda, o bé els impostos han de pujar."
    8. Com a conseqüència, publica un informe en el que assegura: "Els impostos han de pujar, però la inflació baixarà i la moneda no es devaluarà."
    9. Fou conseqüent amb les seves declaracions als medis de comunicació?
    1. "Es suficient whisky per a que xocolata. Xocolata sí i només sí pernil. No ginebra a menys que xocolata. Whisky. És possible afirmar: (1) que va beure ginebra? (2) que no va menjar xocolata?"
    2. "Si no n'especifico les condicions inicials el meu programa no començarà. Hauré programat un cicle infinit només sí el meu programa no finalitza. Basta que el programa no comenci o no finalitzi per a que falli. D'aquí que sigui necessari no només especificar-ne les condicions inicials sinó també no programar un cicle infinit per a que el programa no falli."
    3. "Si 25 divisions són suficients, el general guanyarà la batalla; per altra banda, o es subministren 3 ales de recolzament aeri tàctic, o el general no guanyarà la batalla. A més, no és Veritat que siguin suficients 25 divisions i que es vagin a subministrar 3 ales de recolzament aeri tàctic. Conclusió: no són suficients 25 divisions."

  Solució

  1. Li dic a un amic: “Quan surto sense paraigües, plou. Quan està serè, no plou. Segons l'home del temps, demà estarà serè o hi haurà boira. De tota manera sortiré sense paraigües.” Aleshores el meu amic respon: “Doncs demà, plourà i hi haurà boira.” Cóm ho sap?

  Solució

  1. En Joan Tenori, fa les següents declaracions, respecte les donzelles Inés, Joana i Maria, que li costaren la vida. Quina o quines són les assassines? (es suposa que l'assassina és aquella a la que En Joan no estimava)
    • “Estimo a la última de les tres."
    • "Sí estimo a Inés però no a Maria, també estimo a Juana."
    • "O estimo a Maria i a Joana o no n'estimo cap."
    • "Si estimo a María, estimo a Inés."

  Solució

  1. En un judici el fiscal argumenta:
    • “Si l'acusat és culpable, aleshores tenia un testimoni."
    • L'advocat defensor respon immediatament: “Això és Fals".
    • L'acusat decideix canviar d'advocat defensor. És lògic?.

  Solució

  1. Analitzis la coherència lògica - no teològica - del següent raonament:
    • Si Déu existeix és tot amor i omnipotència.
    • Si Déu és incapaç d'erradicar el patiment del món aleshores no és omnipotent.
    • Déu no és amor o està disposat a erradicar el patiment del món.
    • Déu és capaç d'erradicar el patiment del món i està disposat a fer-ho només si no hi ha patiment al món.
    • Existeix patiment al món. Per tant: Déu no existeix.

  Solució

  1. Si la Bella Dorment desperta, els habitants del castell també ho faran. Si el príncep la besa, despertarà. El príncep la besarà si està de bon veure. O la besa o no es desperta ningú. Como això és un conte, la princesa, malgrat portar 100 anys dormida segueix de molt bon veure. Si la princesa es desperta es casaran, viuran feliços i menjaran perdius si no som en veda. Som en veda. Es casen? Són feliços? Mengen perdius?

  Solució

  1. Els dos cartells següents estan penjats respectivament a la porta de les habitacions 1 i 2. Un diu la veritat i l'altre és mentida. Sabent que en la mateixa habitació no pot haver una dama i un tigre i que pot haver dues dames i dos tigres, es demana decidir lògicament quina porta s'ha d'obrir per alliberar a la dama si és que existeix. Ambdues habitacions són ocupades.
    • CARTELL 1: "EN AQUESTA HABITACIÓ HI HA UNA DAMA I A L'ALTRA UN TIGRE"
    • CARTELL 2: "EN UNA D'AQUESTES HABITACIONS HI HA UNA DAMA I EN UNA D'AQUESTES HABITACIONS HI HA UN TIGRE"
  2. Suposem ara que els dos cartells diuen la veritat o que els dos menteixen. Deduir en quina habitació hi ha una dama, sabent, com abans, que pot no haver-la.
    • CARTELL 1: "AL MENYS EN UNA D'AQUESTES HABITACIONS HI HA UNA DAMA"
    • CARTELL 2: "HI HA UN TIGRE A L'ALTRA HABITACIÓ"

  Solució

  1. Discurs sobre els estudis d'Informàtica a la classe de Lògica:
    • Senyores, senyors, bones tardes:
    • És hora de que ens repensem els estudis d'informàtica a prop de l'assentament de la titulació a la nostra Universitat. Es sap que si els ordinadors parlessin els informàtics no existirien. Per altra banda, en la última reunió del Consell d'Universitats, es va afirmar que: "images/aules/.la Universitat titularà informàtics mentre els ordenadores no parlin images/aules/."; afirmació que ens sembla molt correcta, si bé el Vertader és que els ordenadores no parlen però els informàtics existeixen.
    • A la vista de tot això ens preguntem: És, per tant, coherent que la Universitat expedeixi títols d'informàtica a l'actualitat?

Solucions

La fletxa ens durà a l'enunciat.

  Enunciat

1 - Determinar fórmules equivalents en FNN, FND i FNC.

  1. FNN de F = (p ↔ q) → [(q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬s)]
    • Eliminen equivalències:
      • F = [(p → q) ∧ (q → p)] → [(q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬s)]
    • Eliminen implicacions:
      • F = [(¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)] → [(q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬s)]
      • F = ¬[(¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)] ∨ [(q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬s)]
    • Interioritzem les negacions:
      • F = ¬(¬p ∨ q) ∨ ¬(¬q ∨ p) ∨ [(q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬s)]
      • F = (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p) ∨ [(q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬s)]
  2. FND de F = (p ↔ q) → [(q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬s)]
    • Passem a FNN (apartat FNN):
      • F = (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p) ∨ [(q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬s)]
    • Interioritzem les conjuncions:
      • F = (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p) ∨ [(q ∧ (¬p ∨ ¬s)) ∨ (r ∧ (¬p ∨ ¬s))]
      • F = (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p) ∨ (q ∧ ¬p) ∨ (q ∧ ¬s) ∨ (r ∧ ¬p) ∨ (r ∧ ¬s)
      • F = (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p) ∨ (q ∧ ¬s) ∨ (r ∧ ¬p) ∨ (r ∧ ¬s)
  3. FNC de F = (p ↔ q) → [(q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬s)]
    • Passem a FNN (apartat FNN):
      • F = (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p) ∨ [(q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬s)]
    • Interioritzem les disjuncions:
      • F = [(p ∨ (q ∧ ¬p)) ∧ (¬q ∨ (q ∧ ¬p))] ∨ [(q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬s)]
      • F = [(p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ q) ∧ (¬q ∨ ¬p)] ∨ [(q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬s)]
      • F = [(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ ¬p)] ∨ [(q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬s)]
      • F = [(p ∨ q) ∨ ((q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬s))] ∧ [(¬q ∨ ¬p) ∨ ((q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬s))]
      • F = [(p ∨ q) ∨ (q ∨ r)] ∧ [(p ∨ q) ∨ (¬p ∨ ¬s)] ∧ [(¬q ∨ ¬p) ∨ ((q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬s))]
      • F = (p ∨ q ∨ r) ∧ [(¬q ∨ ¬p) ∨ ((q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬s))]
      • F = (p ∨ q ∨ r) ∧ [(¬q ∨ ¬p) ∨ (q ∨ r)] ∧ [(¬q ∨ ¬p) ∨ (¬p ∨ ¬s)]
      • F = (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬q ∨ ¬p ∨ ¬s)

  Enunciat

  1. Formalitzar les següents expressions:
  1. "q si p": p → q
  2. "p però q": p ∧ q
  3. "com a mínim p": p
  4. "p encara que q": p ∧ q
  5. "q necessari per a p": p → q
  6. "q suficient per a p": q → p
  7. "p malgrat q": p ∧ q
  1. "no p a menys que q": p → q
  2. "p només si q": p → q
  3. "p i tanmateix q": p ∧ q
  4. "p suficient per a q": p → q
  5. "p sempre que q": q → p
  6. "de vegades p, sempre q": (p ∨ ¬p) ∧ q ≡ q
  7. "p a no ser que q": ¬q → p

  Enunciat

3 - Formalitzar-ne els raonaments:

  • “Si el resultat obtingut és superior al previst en 5 unitats, serà degut a no haver realitzat el procés a la temperatura adequada o a l'existència d'errors en els càlculs finals.”
    • p = Resultat obtingut menor al previst en 5 unitats
    • q = Haver realitzat el procés a la temperatura adequada.
    • r = Existència d'errors en els càlculs finals.
  • (¬q ∨ r) → p
  • “L'anàlisi realitzat, innecessari si ens deixem portar per la precipitació, es torna necessari si ens parem a reflexionar sobre el missatge que es pretén transmetre."
    • p = Anàlisi realitzat és necessari.
    • q = Ens deixem portar per la precipitació.
    • r = Ens parem a reflexionar sobre el missatge que es pretén transmetre.
  • (q → ¬p) ∧ (r → p)
  • "El càncer no aconseguirà curar-se a no ser que s'aconsegueixi determinar la seva causa i trobar fàrmacs adequats o bé per a prevenir o bé per a curar."
    • p = El càncer aconseguirà curar-se.
    • q = S'aconsegueix determinar-ne la causa.
    • r = S'aconsegueix trobar fàrmacs adequats per a prevenir.
    • s = S'aconsegueix trobar fàrmacs adequats per a curar.
  • ¬(q ∧ (r ∨ s)) → ¬p ≡ p → (q ∧ (r ∨ s))

  Enunciat

4 - Formalitzar utilitzant les connectives { ¬,∨,∧ } el següent enunciat: “Si p aleshores q i, en cas contrari, si p1 aleshores q1 i, en cas contrari r1."

(p → q) ∧ (¬p →(( p1 → q1) ∧ (¬p1 → r1)))

  Enunciat

5 - Formalitzar el següent enunciat on hem anotat "si p aleshores q i en cas contrari r" de la següent forma: p → q; r i normalitzar.

(p → q) ∧ (¬p → r) ↦ FNC: (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

  • Estudiar la validesa de la següent fórmula en la que s'utilitza la notació anterior: ((p → (p ∨ r); (r ∨ s)) ∧ ((r → ¬w; (s → p)) ∧ (¬(q ∧ t) ∧ (q → t)))) → ¬(r → w)
  • El raonament NO és vàlid. Existeixen interpretacions que el fan F, per exemple: r = F, w = F, q = F, p = V, s = V, t = V

  Enunciat

6 - Determinar la validesa de les següents fórmules:

  1. ((¬p∧ q) ∨ (p ∨ ¬q)) → ((p → (q ∨ r)) → (p→ r)) ↦ El raonament NO és vàlid. Per exemple: p = V, q = V, r = F
  2. (p ∧ (q → p)) → p ↦ El raonament SÍ és vàlid.
  3. (¬p → q) → ((p ∧ ¬q) ∨ r ↦ El raonament NO és vàlid. Per exemple: p = V, q = V, r = F

  Enunciat

7. Obtenir la FND de:

  1. (p → (p → q)) ∨ p ∨ q ↦ (¬p ∨ p ∨ q) ≡ V ∨ q ≡ V
  2. ¬(p ∨ ¬q) ∧ (¬r ∨ s) ↦ (¬p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ q ∧ s)

  Enunciat

8 Obtenir la FNC de:

  1. ¬(p → q) ∨ p ∨ q ↦ p ∨ q
  2. ((p → q) → r) → s ↦ (¬p ∨ q ∨ s) ∧ (¬r ∨ s)

  Enunciat

9 Provar, usant l'algorisme de resolució, la validesa dels següents raonaments:

  1. { p → q, q → r, p} ⇒ r ↦ Raonament correcte
  2. { p → (¬q ∨ (r ∧ s)), p, ¬s ⇒ ¬q ↦ Raonament correcte

Per exemple, en el cas a):

Per a estudiar si el raonament { p → q, q → r, p } ⇒ r es correcte per resolució, es necessari transformar cada premissa a forma clausal i afegir-ne el resultat de transformar la negació de la conclusió a forma clausal. El conjunt obtingut serà: { ¬p ∨ q, ¬q ∨ r, p, ¬r} . Aplicant l'algorisme de resolució:

  • Es resol la primera clàusula (¬p ∨ q) amb la tercera (p), obtenint-ne: q
  • Es resol ara la segona clàusula (¬q ∨ r) amb la quarta (¬r) obtenint-ne: ¬q
  • Es resolen ara les dues clàusules resultants i s'arriba a la clàusula buida: ∅

  Enunciat

10 Comprovar si els següents raonaments són correctes o no:

  1. "Si Antonio va guanyar la carrera, aleshores Baltasar o Carles foren els segons. Si Baltasar fou segon, aleshores no va guanyar Antonio. Si Demetri fou segon, no ho va ser Carles. Antonio va guanyar la carrera. Per tant, Demetri no fou segon".
  2. ↦ Sí és vàlid, Antonio va guanyar la carrera i Carles va ser segon
  1. "No plora, riu. Si no plora, riu sol si té una joguina. Mai té una joguina quan riu si no menja un caramel. Aleshores menja un caramel".
  2. ↦ Sí és vàlid, menja un caramel, té una joguina, riu i no plora.
  1. "Juan vol a Maria sí i només sí Maria vol a Juan i promet casar-se amb ell. Maria no vol a Juan si Juan no vol a Maria. Maria promet casar-se amb Juan sí i només sí Juan promet casar-se amb Maria. Per tant, Juan vol a Maria i Maria no vol a Juan".
  2. ↦ No és vàlid, pot donar-se el cas de que cap dels dos vulgui a l'altre, i les premisses serien certes, però la conclusió falsa.
  1. "Si ha nevat serà difícil conduir. Si no és fàcil conduir arribaré tard si no surto aviat. Ha nevat. Aleshores sortiré aviat".
  2. ↦ No és vàlid perquè pot donar-se el cas de NO sortir aviat i arribar tard havent nevat i sent difícil conduir. Acomplint-se totes les premisses.
  1. "Si no plou surto al campo. Si surto al camp respiro. Per tant, respiro sí i només sí no plou".
  2. ↦ No és vàlid, pot sortir al camp, plovent i respirar. Aleshores no es dedueix que respiri sí i només sí no plou.
  1. "Si un bosc es crema quelcom teu es crema. Quelcom teu es crema sí i només sí ets descuidat. Si ets descuidat no mereixes que et felicitin. Per tant si no mereixes que et felicitin aleshores és que un bosc es crema".
  2. ↦ No és vàlid
  1. "Declaracions del Ministre d'Economia i Hisenda".
  2. ↦ No és coherent amb el missatge a la tele.
  1. "Es suficient whisky per a que xocolata. Xocolata sí i només sí pernil. No ginebra a menys que xocolata. Whisky. És possible afirmar: (1) que va beure ginebra? (2) que no va menjar xocolata?"
  2. ↦ No es pot deduir cap de les dues, ni que va beure Ginebra ni que no mengés xocolata.
  1. "Si no n'especifico les condicions inicials el meu programa no començarà. Hauré programat un cicle infinit només sí el meu programa no finalitza. Basta que el programa no comenci o no finalitzi per a que falli. D'aquí que sigui necessari no només especificar-ne les condicions inicials sinó també no programar un cicle infinit per a que el programa no falli".
  2. ↦ És correcte. Però el programa pot finalitzar amb un resultat erroni.
  1. "Si 25 divisions són suficients, el general guanyarà la batalla; per altra banda, o es subministren 3 ales de recolzament aeri tàctic, o el general no guanyarà la batalla. A més, no és Vertader que siguin suficients 25 divisions i que es vagin a subministrar 3 ales de recolzament aeri tàctic. Conclusió: no són suficients 25 divisions".
  2. ↦ És correcte.

  Enunciat

11 Li dic a un amic: “Quan surto sense paraigües, plou. Quan està serè, no plou. Segons l'home del temps, demà estarà serè o hi haurà boira. De tota manera sortiré sense paraigües.” Aleshores el meu amic respon: “Doncs demà, plourà i hi haurà boira.” Cóm ho sap?

↦ Si es suposa que totes les frases son certes només hi ha aquesta possibilitat lògica.

  Enunciat

12 En Joan Tenori, fa les següents declaracions, respecte les donzelles Inés, Joana i Maria, que li costaren la vida. Quina o quines són les assassines? (es suposa que l'assassina és aquella a la que En Joan no estimava)

↦ De les declaracions (frases tres i quatre) es dedueix que estimava a les tres, per tant cap d'elles és l'assassina.

  Enunciat

13 En un judici el fiscal argumenta:images/aules/."

↦ Sí. Si és falsa la sentència: "Si l'acusat és culpable, aleshores tenia un testimoni" (si p → q), tenim la taula de la veritat:.

↦ Segons l'advocat defensor, l'antecedent és cert i el conseqüent fals, o sigui que l'advocat defensor admet que l'acusat és culpable.

  Enunciat

14 Analitzar la coherència lògica - no teològica - del següent raonament:images/aules/.

↦ Sí, és coherent amb la lògica. Déu existeix, és tot amor i omnipotència i no està disposat a erradicar el patiment del món donat que ja existeix aquest patiment.

  Enunciat

15 Si la Bella Dorment desperta, els habitants del castell també ho faran. Si el príncep la besa, despertarà. El príncep la besarà si està de bon veure. O la besa o no es desperta ningú. Como això és un conte, la princesa, malgrat portar 100 anys dormida segueix de molt bon veure. Si la princesa es desperta es casaran, viuran feliços i menjaran perdius si no som en veda. Som en veda. Es casen? Són feliços? Mengen perdius?

↦ La besa, es desperta, es casen, són feliços, però no mengen perdius perquè estan en veda.

  Enunciat

16 Els dos cartellsimages/aules/.

↦ La única possibilitat és que els dos cartells diguin la veritat i hauria una dama en l'habitació 2 i un tigre en l'habitació 1.

  Enunciat

17 Discurs sobre els estudis d'Informàtica a la classe de Lògica:

↦ Sí, es segueix que la universitat expedeixi títols d'Informàtica a partir de les premisses. El raonament és correcte.

 

Jordi Coll Vera - 2020