Tornar a l'index

El llenguatge de la lògica de predicats (LPRED)

Ja en el segle III, els estoics, varen veure la importància de les conjuncions gramaticals (i, o, si) i de l’adverbi de negació (no) dins la lògica. La lògica de predicats o lògica d’enunciats intenta traduir a llenguatge lògic les expressions del llenguatge ordinari.

L'alfabet

El llenguatge de la lògica de predicats treballa amb els següents conjunts de símbols:

• Constants: V, ⊤, 1 (cert) i F, ⊥, 0 (fals)
• Variables o lletres proposicionals: p, q, r, ... A, B, C, ... , M, P, S, ...
• Símbols i connectives: ¬, ∧, ∨, →, ↔, ≡, ≢, ⊨, ⊭

Llenguatge ordinari i fórmules lògiques

La partícula “no”: ¬, ~

El llenguatge ordinari utilitza la doble negació: “No és cert que no era present.” (¬¬p, amb p = ”ser present”) i en un sentit retòric, reduplicatiu: “No va dir paraula.” (¬p, amb p = ”dir paraula).

La partícula “i” (producte): ∧, &

En el llenguatge ordinari s’utilitza per a unir dues proposicions en una proposició composta (la conjunció): “neva i fa fred” (p ∧ q, amb p = ”neva” i q = ”fa fred”). La conjunció assimila a la copulativa “i” i altres conjuncions afins: “però”, “tanmateix”, “encara que”, etc. No considerant-ne des del punt de vista lògic cap matis adversatiu. Si qualsevol de les parts és falsa, tota l’expressió és falsa.

Producte: A, B ⇒ (A ∧ B)

La partícula “o”: ∨

En el llenguatge ordinari s’utilitza per a unir dues proposicions en una proposició composta (la disjunció): “neva o fa fred” (p ∨ q, amb p = ”neva” i q = ”fa fred”). La conjunció assimila a l’adversativa “o”, però sense el sentit “exclusiu” que de vegades té. Des del punt de vista lògic poden ser certes les dues proposicions. Si volem representar la disjunció exclusiva ho farem combinant connectors: “o és culpable o és innocent, no hi ha terme mitjà”; ho representarem com: (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q), amb p = ”culpable” i q = ”innocent” – també podem expressar-ho com: ¬(¬p ↔ ¬q). Els estoics donaren més importància a la disjunció exclusiva (al contrari que la lògica moderna).

La partícula “si”: →

En el llenguatge ordinari s’utilitza per a unir dues proposicions en una proposició composta (el condicional): “si ... aleshores ...”. La primera expressió s’anomena antecedent (si ...) i la segona s’anomena conseqüent (aleshores ...). Antecedent i conseqüent poden ser simples o compostos i junts formen una implicació.

La implicació lògica és diferent a la del llenguatge ordinari. En aquest té un sentit molt menys rígid. Es poden utilitzar expressions en que el conseqüent vagi per davant de l’antecedent: ”t’ho passaràs bé si bens”; pot desaparèixer l’estructura bàsica del “si ... aleshores ...” -o quedar oculta-: “quan el vegi li donaré la notícia”. No sempre és fàcil i obvi passar del llenguatge ordinari al lògic.

La implicació lògica és condició necessària però no suficient (a diferència de la implicació matemàtica ⇒ que és necessària i suficient).

A l’expressió lògica: (p → q), p pot ser cert i q fals (i per tant: p → q, és fals -i cert en tots els altres casos-).

A l’expressió matemàtica: (p ⇒ q), si p és cert, q és també necessàriament cert.

L’expressió “sí i només sí”: ↔

En el llenguatge ordinari transmet la idea de que l’antecedent és condició necessària i suficient del conseqüent. Formen una coimplicació. La relació establerta també rep els noms de “bicondicional” i “equivalència”. Representa una definició matemàtica en la que les dues proposicions són o bé les dues certes o bé les dues falses.

Els conceptes “tots”, “alguns”, “no tots”, “cap”: ∧x , ∨x , ∃x, ∄x, ∀x

El llenguatge de la lògica d’enunciats és un llenguatge de composició en parts elementals relacionades amb els corresponents connectors lògics. Podem expressar, per exemple, que “quan plou el terra es mulla” simbolitzant: p = “plou” i m = “el terra es mulla” units amb una implicació: p → m. Però hi ha dues operacions fonamentals d’interès lògic-lingüístic que s’escapen d’aquest tipus d’anàlisi: la predicació i la quantificació.

Per a simbolitzar les proposicions pròpiament elementals o “predicatives” no cal cap partícula lògica. N’hi ha prou amb representar la qualitat afirmada (el predicat -nom, adjectiu o verb-) per una lletra majúscula i afegir una lletra minúscula que representa al subjecte del predicat. Per exemple, “Sòcrates pensa” s’expressaria com a Ps (amb P = “pensa” i s = “Sòcrates”).

Per a simbolitzar la quantificació (si ens referim a un sol individu o a tota la humanitat, etc.) s’utilitzaran els quantificadors universals.

Per exemple si x = “humà” aleshores: representarem “tota la humanitat” com a ∧x o també com a ∀x; representarem “alguns humans” com a ∨x o també com a ∃x; i representarem “cap humà” com a ∄x.

Així ∀x Px simbolitzaria “tots els humans pensen” (amb P = “pensar”) i ∃x Mx simbolitzaria “algun humà és matemàtic” (amb M = “ser matemàtic”). L’afirmació “tots els humans són mortals” la representaríem amb una implicació: ∀x (Hx → Mx) on H = “humà” i M = “mortal”.

Encara que Aristòtil ja utilitzava símbols predicatius, va ser Gottleb Frege (1848-1925), el pare de la lògica simbòlica, l’inventor dels quantificadors i el desenvolupament d’una teoria matemàtica rigorosa en aquest camp.

La quantificació de predicats relatius:

Hi ha paraules generals (noms comuns, adjectius, verbs) que signifiquen qualitats de caràcter relatiu, com “pare”, “estar a l’esquerra”, ... i altres com “home”, “blau”, en les que no és així. Aquest aspecte va ser ignorat fins al segle XIX per part de la lògica. Fins que De Morgan denuncia la incapacitat de la sil·logística d’Aristòtil per a raonar sobre conceptes relatius.

Un predicat relatiu es refereix a un únic univers de discurs: “el conjunt dels homes”, “el conjunt de les coses blaves”, ... però implica a més la referència a més d’un univers de discurs. Els “pares” també són “fills”, per tant, el predicat “pare” es refereix “al conjunt dels homes i dones que són pares” i també “als que són fills”. Aquest aspecte complica la quantificació del predicat. La proposició “en Joan és un home” es representa satisfactòriament per Ha (amb H = ”home” i a = ”Joan”) però per representar “en Joan és pare” ja no val la fórmula Pa (amb P = ”pare” i a = ”Joan”) sinó una que representi la doble referència a pares i fills: ∀y Pay (amb P = ”pare”, a = ”Joan”, y = “és pare i per tant té fills”).

Podem usar així lletres predicatives que porten adossades més d’una lletra representativa d’individus i la càrrega de vigilar la múltiple quantificació. Si volem representar “tot pare té fills” ho farem amb ∀x ∃y Pxy i si volem representar “tot fill té un pare” ho farem amb ∀x ∃y Pyx.

Exercicis ressolts

Enunciats

La fletxa ens durà a la solució.

Formalitza els següents enunciats:

Solucions

La fletxa ens durà a l'enunciat.

  Enunciat

1 - Diu que plou o que no plou, la següent frase?: “No és cert que sigui fals que no plou”.

• Sigui p = “és cert que plou”, Aleshores tenim: ¬(¬(¬p) ≡ ¬p ↦ “no plou”
• També podríem haver comptat les partícules negatives : “no és cert”, “fals” i “no”. Com n’hi ha un nombre senar el resultat final serà negat (¬), en cas contrari seria cert.

  Enunciat

2 - “O bé no és cert que plogui i nevi, o bufa el vent”.

• Sigui p = “plou”, n = ”neva” i b = “bufa el vent”. Aleshores ho formalitzem com a: ¬(p ∧ n) ∨ b

  Enunciat

3 - “No és el cas que ni plogui ni nevi”.

• Sigui p = “plou”, n = ”neva”. Aleshores ho formalitzem com a: ¬(¬p ∧ ¬n)

  Enunciat

4 - “Si els amics de veritat ho tenen tot en comú, aleshores tu no pots ser més ric que el teu company, si dius que sou amics de veritat" (Plató).

• Sigui A = “amic de veritat”, R = ”ser més ric” i C = “tenir-ho tot en comú”. Aleshores ho formalitzem com a: A → (C → ¬R) ≡ C → (A → ¬R)

  Enunciat

5 - “Si la reina vermella està enfadada, aleshores el Conill Blanc està desconcertat o Alicia no serà coronada reina”.

• Sigui E = “la reina vermella està enfadada”, D = ”el Conill Blanc està desconcertat” i C = “Alicia és coronada”. Aleshores ho formalitzem com a: E → (D ∨ ¬C) ≡ ¬E ∨ (D ∨ ¬C)

  Enunciat

6 - “Un conjunt C és un subconjunt propi d’un conjunt D sí i només sí no hi ha cap membre de C que no sigui membre de D, però hi ha un membre de D que no és membre de C”.

• Sigui p = “C és subconjunt propi de D”, q = ”no hi ha cap membre de C que no sigui membre de D” i r = “hi ha un membre de D que no és membre de C”. Aleshores ho formalitzem com a: p → (q ∧ r) ≡ ¬pi> ∨ (q ∧ r)

  Enunciat

7 - “Existeixen éssers vius que no poden desplaçar-se”.

• Sigui V = “ésser viu”, D = ”desplaçar-se”. Aleshores ho formalitzem com a: ∃x (Vx ∧ ¬Dx) ^[1]

  Enunciat

8 - “Els elefants mai pugen als arbres”.

• Sigui E = “elefant”, P = ”pujar als arbres”. Aleshores ho formalitzem com a: ∀x (Ex ∧ ¬Px) ^[2]

  Enunciat

9 - “El Sol és esfèric”.

• Sigui s = “Sol”, E = ”esfèric”. Aleshores ho formalitzem com a: Es ^[3]

  Enunciat

10 - “Els gats són felins”.

• Sigui G = “gat”, F = ”felí”. Aleshores ho formalitzem com a: ∀x (Gx → Fx) ^[4]

  Enunciat

11 - “Hi ha humans que juguen a bàsquet”.

• Sigui H = “humà”, B = ”bàsquet”. Aleshores ho formalitzem com a:∃x (Hx ∧ Bx) ^[5]

  Enunciat

12 - “Hi ha homes que estimen a alguna dona”.

• Sigui H = “home”, D = ”dona” , E = ”estimar” amb Exy = x estima a y. Aleshores ho formalitzem com a: ∃x (Hx ∧ ∃y (Dy ∧ Exy)

  Enunciat

13 - “Els qui estimen a qui estimen la Glòria no estimen la Glòria”.

• Sigui g = “Glòria”, Exy = x estima a y. Aleshores ho formalitzem com a: ∀x ∀y (Eyg ∧ Exy → ¬Exg)

  Enunciat

14 - “Un professor és un bon comunicador sí i només sí està ben informat i és amè”.

• Sigui P = “professor”, B = ”bon comunicador”, I = “ben informat”, A = “amè”. Aleshores ho formalitzem com a: ∀x (Bx → (Ix ∧ Ax))

Jordi Coll Vera - 2020