Anàlisi d’arguments

Una argumentació és un conjunt de proposicions raonades per tal de convèncer als altres d’una opinió o tesis determinada. L’estructura bàsica d’aquest conjunt de proposicions és formada per una o varies proposicions (les premisses) que, a través del domini dels regles de la lògica ens porten a l’acceptació d’una conclusió, a través d’un procés de deducció (inferència o conseqüència). El lligam entre premisses i conclusió s’expressa gramaticalment amb les partícules “per tant” o “aleshores” o “ergo” (⊢). Les premisses ens han de portar, de manera lògica. inevitablement, a la conclusió.

Regla de simplificació i regla el producte

  • L'expressió (A ∧ B) es pot simplificar com A, B ↦ (A ∧ B) ⊢ A, B

Per exemple: si és cert que una persona "és un polític honrat", puc afirmar per separat els dos extrems: "és un polític i és honrat".

  • I, a la inversa, A, B es pot expressar com (A ∧ B) ↦ A, B ⊢ (A ∧ B)

Per exemple: si és cert que una persona "està soltera" i que "és advocada", puc afirmar conjuntament els dos extrems: "és una advocada soltera".

Modus ponens, modus tollens i sil·logisme hipotètic

  • El modus ponens: (A → B), A ⊢ B és la regla que afirma (ponere) el conseqüent.
  • El modus tollens: (A → B), ¬B ⊢ ¬A és la regla que nega (tollere) l’antecedent.
  • El sil·logisme hipotètic expressa una propietat transitiva: (A → B), (B → C) ⊢ (A → C)

Reducció a l’absurd, doble negació, principi de no contradicció, tertio excluso i ex contradictione quodlibet

La reducció a l’absurd (reductio ad absurdum) és una estratègia lògica molt comuna entre matemàtics i filòsofs grecs. Euclides la va utilitzar per a demostrar el teorema de la infinitud de la sèrie dels nombres primers. Vegem-ne el seu raonament:

  1. Suposem N = "el major dels nombres primers", suposant que la sèrie és finita.
  2. Sempre podrem construir un nombre  , amb i = "nombre primer".
  3. És evident aleshores que K és un nombre primer (al dividir per qualsevol dels seus factors sempre tindrem de residu el nombre 1).
  4. També és evident que K > N
  5. Aleshores tenim K > N i K "nombre primer" el que entra en contradicció amb el supòsit inicial de que N és "el més gran dels nombres primers".
  6. Per tant la sèrie dels nombres primers ha de ser infinita.

L’esquema general de la reducció a l’absurd estableix que s’ha de rebutjar tota hipòtesi de la que se’n segueixin conseqüències contradictòries: A ··· (B ∧ ¬B) ⊢ ¬A

La regla de la doble negació estableix que la negació de la negació és una afirmació: ¬¬A ⊢ A

El principi de no contradicció estableix que una proposició no pot ser certa i falsa a la vegada: (A ∧ ¬A) ⊢ F

El principi del tercer exclòs estableix que una proposició només pot ser certa o falsa: (A ∨ ¬A) ⊢ V

El principi ex contradictione quodlibet estableix que d’una contradicció (una fal·làcia) se’n pot concloure qualsevol conclusió: (A ∧ ¬A) → B

El dilema (prova per casos), la regla d’addicció i el sil·logisme disjuntiu

  • El dilema aprofita que diferents proposicions poden donar lloc a una mateixa conclusió. El seu esquema general és: (A ∨ B), (A → C), (B → C) ⊢ C
  • La regla d’addicció té el següent esquema: A ⊢ (A ∨ B)
  • I el sil·logisme disjuntiu: (A ∨ B), ¬A ⊢ B

Regles d’implicació i equivalència

A diferència de les equacions matemàtiques, l’ordre intern de les fórmules lògiques amb l’implicador no és reversible: A → B ≢ B → A. Sí que són reversibles els altres connectors: conjunció, disjunció i coimplicació. Hi ha però regles d’equivalència que permeten que el procés inferencial es doni tant de les premisses a la conclusió com de la conclusió a les premisses.

  • Lleis de De Morgan: ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B i ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
  • Contraposició: A → B ⇒ ¬B → ¬A
  • Supressió de l’implicador: A → B ≡ ¬(A ∧ ¬B) i A → B ≡ ¬A ∨ B

Regla d’intercanvi.

Una fórmula pot ser substituïda, en qualsevol context, per altra fórmula equivalent (≡): si A ↔ B i A és part d’una fórmula C que l’engloba, A pot ser sempre substituït per B dins C i a la recíproca.

Exercicis ressolts

Enunciats

La fletxa ens durà a la solució.

Demostrar la validesa de les argumentacions següents:

  Solució

  1. “Aristòtil va néixer a Estagira i fou tutor d’Alexandre Magne. Però si va néixer a Estagira fou de nacionalitat macedònica. Per tant, Aristòtil fou de nacionalitat macedònica”.

  Solució

  1. “Si continua la investigació, sorgiran noves evidències. Si sorgeixen noves evidències, aleshores hi hauria implicats diversos dirigents. Si diversos dirigents són implicats, els diaris deixaran de parlar del cas. Si la continuació de la investigació implica que els diaris deixin de parlar del cas, aleshores el sorgiment de noves evidencies implica que la investigació continua. La investigació no continua. per tant, no sorgiran noves evidències".

  Solució

  1. L’any 1967 una lectora escriu la següent carta a un diari: “Tinc trenta anys i estic ben integrada a la societat, encara que no vaig conèixer al meu pare. La meva mare em va contar que, als pocs mesos d’haver-se casat amb el meu pare, ell va morir a la guerra. No és necessària molta imaginació per a deduir que si el meu pare hagués mort realment a la guerra, s’hauria convertit en un heroi als ulls de la meva mare i hauria conservat el seu record en fotografies, cartes i altres objectes... D’això es desprèn que jo soc filla il·legítima”.

  Solució

  1. Si el caixer hagués activat l’alarma, la caixa s’hauria tancat automàticament. i la policia hauria arribat en tres minuts. Si la policia hagués arribat en tres minuts haurien pogut detenir els lladres. No els van poder detenir. Per tant el caixer no va activar l’alarma.

  Solució

  1. Si Sòcrates no aprovava les lleis d’Atenes podia haver emigrat o canviar-les. Si no va emigrar ni va intentar canviar-les és perquè sí que acceptava les lleis d’Atenes. No és cert que Sòcrates emigrés. Per tant, si no va intentar canviar les lleis, es perquè les aprovava.

  Solució

  1. Si els lingüistes tenen raó, en cas de que hagin existit molts dialectes a l’antiga Grècia, diferents tribus varen haver de venir del nord. Si aquestes tribus varen existir, devien de venir de la vall del Danubi. Però, en aquest cas, les excavacions arqueològiques hagueren trobat restes i no s’han trobat. Per tant, si en l’antiga Grècia hi havia més d’un dialecte, els lingüistes estan equivocats.

  Solució

  1. Si un nombre n és positiu, aleshores també ho és el seu quadrat. Si n és negatiu, també ho és el seu quadrat. Sabem que n és positiu o és negatiu. En conseqüència n al quadrat serà positiu.

  Solució

  1. Quan l’exercit àrab va arribar a Alexandria, el seu cabdill, el califa Omar, es va enfrontar al següent dilema: O els llibres de la Biblioteca contenen els ensenyaments de l’Alcorà o no els contenen. Si els contenen, són superflus i per tant han de ser cremats. Si no els contenen, són nocius i per tant han de ser cremats. En conseqüència, els llibres de la Biblioteca d’Alexandria han de ser cremats.

  Solució

  1. Crisip, el lògic més rellevant de l’Escola Estoica, sostenia que fins i tot el gos utilitza el raonament hipotètic quan, al arribar a una cruïlla de tres camins i olorar els dos primers i comprovar que no hi havia rastres d’olor anava directe al tercer camí sense parar-se a olorar. Segons Crisip, el gos raonava de la següent manera: “Ha seguit per aquest camí [el primer], o per aquest altre [el segon], o per aquest altre [el tercer]. No ha seguit ni pel primer ni pel segon. Per tant ha seguit pel tercer”.

  Solució

  1. Pescarem si plou i nedarem si no plou. Per tant pescarem o nedarem.

  Solució

  1. Quan fa poc que Alícia és al País de les Meravelles, es troba en un punt de no retorn. S’ha fet petita per poder travessar la porteta que dona al jardí, però la clau és damunt la taula, ara inaccessible. Aleshores troba una capseta de vidre amb un pastís a l’interior que du escrit “menja’m” i Alícia es fa a si mateixa el següent raonament: “Me la menjaré i així o bé creixeré i podré agafar la clau o bé em faré més petita encara i podré passar per sota de la porta. En tot cas no perdo res menjant-me’l!.” És correcte el raonament d’Alícia?

  Solució

  1. Si dius que mai has estat dolent menteixes, i si menteixes ets dolent. Si em dius que has estat dolent, ets dolent. Si ets dolent mereixes de ser castigat. Per tant, diguis el que diguis, mereixes ser castigat.

  Solució

  1. “Si la substància pogués ser dividida en parts, aleshores o bé les parts retindrien la naturalesa de la substància, o bé perdrien aquesta naturalesa. Les parts no retenen la naturalesa de la substància. Les parts no perden la naturalesa de la substància. Per tant, la substància no pot ser dividida en parts”. (Spinoza, Ètica)

  Solució

  1. Harvey (1578-1657) va debatre amb el següent argument la creença de que la sang es generava al cor i que fluïa només en la direcció de sortida: “El cor d’un home expulsa en una hora un volum de sang amb un pes superior al del propi cos. Si això és així, i si la sang flueix només des del cor enfora, el cor genera en una hora més sang que el pes d’un home. Però el cor no pot fer això. Si la sang no flueix només cap enfora, aleshores ha de circular pel cos i tornar a entrar al cor. Així, la creença de que la sang flueix només cap enfora és falsa, i la concepció de que la sang circula pel cos i torna a entrar al cor és certa".

  Solució

  1. O el lladre va travessar la porta, o el delicte va ser comés des de dins i un dels servents està implicat. El lladre va poder travessar la porta sí i només sí el forrellat va ser descorregut des de dins. Però un dels servents està amb tota seguretat implicat si el forrellat va ser descorregut des de dins. Per tant un dels servents es troba implicat en el delicte.

  Solució

  1. O n no és més petit, o n no és més gran que m. n és igual a m sí i només sí n no és més gran ni més petit que m. Per tant, si n és més petit que m, no és ni més gran ni igual a m.

  Solució

  1. Si dos gasos estan a la mateixa temperatura, aleshores les seves molècules tenen la mateixa energia mitjana. Volums iguals de dos gasos tenen el mateix nombre de molècules. Les pressions de dos gasos són iguals si els nombres de molècules i les seves energies cinètiques són iguals. Així doncs, si dos gasos tenen la mateixa temperatura i volum, han de tenir la mateixa pressió.

  Solució

  1. Suposis que els dos enunciats següents són certs:
    • Estimo a Alicia o estimo a Maria
    • Si estimo a Alicia, aleshores estimo a Maria
  2. Es segueix necessàriament que estimo a Maria?
  3. Es segueix necessàriament que estimo a Alicia?

  Solució

  1. Si Holmes no intervé, Moriarty escaparà. Recorrerem a Watson si Holmes no intervé. Aleshores, si Holmes no intervé, Moriarty escaparà a menys que recorrem a Watson.

  Solució

  1. Si un governant, conscient de que opinions anteriors eren errònies, no altera la seva política, és culpable d’enganyar l’electorat; i si altera la seva política s’exposa a que l’acusin de contradir-se. O bé altera la seva política o bé no ho fa. Aleshores o bé és culpable d’enganyar l’electorat, o bé s’exposa a que l’acusin de contradir-se.

  Solució

  1. A, B i C són tres presumptes culpables d’un robatori. Al interrogar-los s’estableixen els fets següents:
    • Ningú més que ells és implicat al robatori.
    • A no treballa mai sense almenys un còmplice.
    • C és innocent.
  2. El dubte és: B és innocent o és culpable?

  Solució

  1. Actualment, aproximadament la meitat dels habitants de Transilvània són humans, mentre que l’altra meitat són vampirs. Humans i vampirs són indistingibles externament, però els humans sempre diuen la veritat i els vampirs sempre menteixen. A més, els habitats de Transilvània estan la meitat boixos i l’altre meitat entenimentats. Els boixos es caracteritzen per confondre el cert amb el fals i viceversa. Els entenimentats, en canvi, saben perfectament distingir el cert del fals. Els habitants de Transilvània són doncs de quatre tipus diferents:
    1. humans sans
    2. humans boixos
    3. vampirs sans
    4. vampirs boixos
  2. De manera que:
    • Tot el que diu un humà sa és cert.
    • Tot el que diu un humà boix és fals.
    • Tot el que diu un vampir sa és fals.
    • Tot el que diu un vampir boix és cert.
  3. Un bon dia un habitant de Transilvània em diu: “No soc un humà sa.” Quin tipus de transilvà és?

  Solució

  1. Si la ciutadania romana haguera estat garantia dels drets civils, els ciutadans romans haurien gaudit de llibertat religiosa. Si els ciutadans romans haguessin gaudit de llibertat religiosa, no s’haurien perseguit els primers cristians. Però els primers cristians van ser perseguits. Per tant, la ciutadania romana no pot haver estat garantia de drets civils.

Solucions

La fletxa ens durà a l'enunciat.

  Enunciat

1 - “Aristòtil va néixer a Estagira i fou tutor d’Alexandre Magne. Però si va néixer a Estagira fou de nacionalitat macedònica. Per tant, Aristòtil fou de nacionalitat macedònica".

Sigui: E = “va néixer a Estagira”, T = “tutor d’Alexandre” i M = “nacionalitat macedònica”. Aleshores:"

  1. E ∧ T Premissa
  2. E → M Premissa
  3. E Simplificació 1
  4. ⊢ M Modus ponens 2,3

↦ Aristòtil fou de nacionalitat macedònica.

  Enunciat

2 - “Si continua la investigació, sorgiran noves evidències. Si sorgeixen noves evidències, aleshores hi hauria implicats diversos dirigents. Si diversos dirigents són implicats, els diaris deixaran de parlar del cas. Si la continuació de la investigació implica que els diaris deixin de parlar del cas, aleshores el sorgiment de noves evidencies implica que la investigació continua. La investigació no continua. per tant, no sorgiran noves evidències”.

Es pot reescriure el text amb la següent argumentació:

  • Si continua la investigació (C), sorgiran noves evidències (E)
  • Si sorgeixen noves evidències (E), hi haurà dirigents implicats (D)
  • Si hi ha dirigents implicats (D), els diaris deixaran de parlar (P)
  • Si la continuació de la investigació implica que els diaris deixin de parlar del cas (C → P), aleshores (→), el sorgiment de noves evidències implica que la investigació continua (E → C)
  • La investigació no continua (¬C)
  • ⊢ no sorgiran noves evidències (¬E)

Aleshores:

  1. C → E Premissa
  2. E → D Premissa
  3. D → P Premissa
  4. (C → P) → (E → C) Premissa
  5. ¬C Premissa
  6. C → D Sil·logisme hipotètic 1,2
  7. C → P Sil·logisme hipotètic 6,3
  8. E → C Modus ponens 4,7
  9. ⊢ ¬E Modus tollens 5,8

↦ No hi ha noves evidències.

  Enunciat

3 - L’any 1967 una lectora escriu la següent carta a un diari: “Tinc trenta anys i estic ben integrada a la societat, encara que no vaig conèixer al meu pare. La meva mare em va contar que, als pocs mesos d’haver-se casat amb el meu pare, ell va morir a la guerra. No és necessària molta imaginació per a deduir que si el meu pare hagués mort realment a la guerra, s’hauria convertit en un heroi als ulls de la meva mare i hauria conservat el seu record en fotografies, cartes i altres objectes... D’això es desprèn que jo soc filla il·legítima”.

Es pot rellegir la carta amb la següent argumentació:

  • Si el meu pare hagués mort a la guerra (G), s’hauria convertit en un heroi (H)
  • Si s’hagués convertit en un heroi (H), la meva mare tindria records d’ell (R)
  • La meva mare no té records del meu pare (¬R)
  • Si el meu pare no va morir a la guerra (¬G), la meva mare menteix (M)
  • Si la meva mare menteix (M) és perquè soc filla il·legítima (I)
  • ⊢ soc filla il·legítima (I)

Aleshores:

  1. G → H Premissa
  2. H → R Premissa
  3. ¬R Premissa
  4. ¬G → M Premissa
  5. ¬M → I Premissa
  6. G → RSil·logisme hipotètic 1,2
  7. ¬G Modus tollens 6,3
  8. M Modus ponens 4,7
  9. ⊢ I Modus ponens 5,8

↦ Soc filla il·legítima.

  Enunciat

4 - Si el caixer hagués activat l’alarma, la caixa s’hauria tancat automàticament. i la policia hauria arribat en tres minuts. Si la policia hagués arribat en tres minuts haurien pogut detenir els lladres. No els van poder detenir. Per tant el caixer no va activar l’alarma.

Es pot reescriure l’enunciat amb la següent argumentació:

  • Si el caixer activa l’alarma (A), la caixa es tanca (T) i la policia arriba en tres minuts (P)
  • Si la policia arriba en tres minuts (P), es detenen els lladres (D)
  • Els lladres no es detenen (¬D)
  • ⊢ el caixer no va activar l’alarma (¬A)

Aleshores:

  1. A → (T ∧ P) Premissa
  2. P → D Premissa
  3. ¬D Premissa
  4. A Suposició
  5. T ∧ P Modus ponens 1,4
  6. P Simplificació 5
  7. D Modus ponens 2,6
  8. D ∧ ¬D Producte 3,7
  9. ⊢ ¬A Absurd 4,8

↦ El caixer no va activar l'alarma.

  Enunciat

5 - Si Sòcrates no aprovava les lleis d’Atenes podia haver emigrat o canviar-les. Si no va emigrar ni va intentar canviar-les és perquè sí que acceptava les lleis d’Atenes. No és cert que Sòcrates emigrés. Per tant, si no va intentar canviar les lleis, es perquè les aprovava.

Es pot reescriure l’enunciat amb la següent argumentació:

  • Si Sòcrates no aprovava les lleis (¬A), podia emigrar (E) o canviar-les (C)
  • Si no va emigrar (¬E) ni canviar-les (¬C), és perquè les obeïa (O)
  • No és cert que Sòcrates emigrés (¬E)
  • ⊢ Sòcrates acceptava i obeïa les lleis d’Atenes(A ∧ O )

Aleshores:

  1. ¬A → (E ∨ C) Premissa
  2. (¬E ∧ ¬C) → O Premissa
  3. ¬E Premissa
  4. ¬C Suposició
  5. ¬E ∧ ¬C Producte 3,4
  6. ¬(E ∨ C) De Morgan 5
  7. A Modus tollens 1,6
  8. O Modus ponens 2,5
  9. A ∧ O Producte 7,8
  10. ⊢ ¬C → A ∧ O Teorema deducció 4,9

↦ Sòcrates aprovava les lleis i les obeia.

  Enunciat

6 - Si els lingüistes tenen raó, en cas de que hagin existit molts dialectes a l’antiga Grècia, diferents tribus varen haver de venir del nord. Si aquestes tribus varen existir, devien de venir de la vall del Danubi. Però, en aquest cas, les excavacions arqueològiques hagueren trobat restes i no s’han trobat. Per tant, si en l’antiga Grècia hi havia més d’un dialecte, els lingüistes estan equivocats.

Es pot reescriure l’enunciat amb la següent argumentació:

  • Si els lingüistes tenen raó (L), ... en cas de molts dialectes (M) ... tribus del nord (T)
  • Si varen venir les tribus (T)... vall del Danubi (D
  • Si vall del Danubi (D) ... restes arqueològiques (R)
  • No restes arqueològics (¬R)
  • ⊢ si molts dialectes ... lingüistes equivocats M → ¬L

Aleshores:

  1. L → (M → T) Premissa
  2. T → D Premissa
  3. D → R Premissa
  4. ¬R Premissa
  5. M Suposició
  6. L Suposició
  7. M → T Modus ponens 1,6
  8. T Modus ponens 5,7
  9. D Modus ponens 2,8
  10. R Modus ponens 3,9
  11. R ∧ ¬R Producte 4,10
  12. ¬L Absurd 6,11
  13. ⊢ M → ¬L Teorema deducció 5,12

↦ Els lingüistes no tenen raó.

  Enunciat

7 - Si un nombre n és positiu, aleshores també ho és el seu quadrat. Si n és negatiu, també ho és el seu quadrat. Sabem que n és positiu o és negatiu. En conseqüència n al quadrat serà positiu.

Sigui: P: n és positiu; N: n és negatiu; Q: quadrat positiu

Aleshores:

  1. P → Q Premissa
  2. N → Q Premissa
  3. P ∨ N Premissa
  4. P Suposició
  5. Q Modus ponens 1,4
  6. N Suposició
  7. Q Modus ponens 2,6
  8. ⊢ Q Dilema (estudi de casos) 3,4-5,6-7

↦ El quadrat de n és sempre possitiu.

  Enunciat

8 - Quan l’exercit àrab va arribar a Alexandria, el seu cabdill, el califa Omar, es va enfrontar al següent dilema: O els llibres de la Biblioteca contenen els ensenyaments de l’Alcorà o no els contenen. Si els contenen, són superflus i per tant han de ser cremats. Si no els contenen, són nocius i per tant han de ser cremats. En conseqüència, els llibres de la Biblioteca d’Alexandria han de ser cremats.

Es pot reescriure l’enunciat amb la següent argumentació:

  • Els llibres contenen (C) o no contenen (¬C) els ensenyaments de l’Alcorà
  • Si els contenen (C) són superflus (S) i han de ser cremats pel foc (F)
  • Si no els contenen (¬C) són nocius (N) i han de ser cremats pel foc (F)
  • ⊢ han de ser cremats pel foc (F)

Aleshores:

  1. C ∨ ¬C Premissa
  2. (C → S) ∧ (S → F) Premissa
  3. (¬C → N) ∧ (N → F) Premissa
  4. C Suposició
  5. C → S Simplificació 2
  6. S Modus ponens 4,5
  7. S → F Simplificació 2
  8. F Modus ponens 6,7
  9. ¬C Suposició
  10. ¬C → N Simplificació 3
  11. N Modus ponens 9,10
  12. N → F Simplificació 3
  13. F Modus ponens 11,12
  14. ⊢ F Dilema (estudi de casos) 1,4-8,9-13

↦ Els llibres han de ser cremats.

També es pot resoldre, més curt, sense suposar res:

  1. C ∨ ¬C Premissa
  2. (C → S) ∧ (S → F) Premissa
  3. (¬C → N) ∧ (N→ F) Premissa
  4. C → S Simplificació 2
  5. S → F Simplificació 2
  6. C→ F Sil·logisme hipotètic 4,5
  7. ¬C → N Simplificació 3
  8. N → F Simplificació 3
  9. ¬C → F Sil·logisme hipotètic 7,8
  10. ⊢ F Dilema (estudi de casos) 1,6,9

↦ Els llibres han de ser cremats.

  Enunciat

9 - Crisip, el lògic més rellevant de l’Escola Estoica, sostenia que fins i tot el gos utilitza el raonament hipotètic quan, al arribar a una cruïlla de tres camins i olorar els dos primers i comprovar que no hi havia rastres d’olor anava directe al tercer camí sense parar-se a olorar. Segons Crisip, el gos raonava de la següent manera: “Ha seguit per aquest camí [el primer], o per aquest altre [el segon], o per aquest altre [el tercer]. No ha seguit ni pel primer ni pel segon. Per tant ha seguit pel tercer”.

Vegem-ne el suposat raonament del gos:

  • Ha seguit pel primer (P) o pel segon (S) o pel tercer (T) camí
  • No ha seguit ni pel primer ni pel segon (¬P ∧ ¬S)
  • ⊢ ha seguit pel tercer camí (T)

Aleshores:

  1. P ∨ (S ∨ T) Premissa
  2. ¬P ∧ ¬S Premissa
  3. ¬P Simplificació 2
  4. S ∨ T Sil·logisme disjuntiu 1,3
  5. ¬S Simplificació 2
  6. ⊢ T Sil·logisme disjuntiu 4,5

↦ Ha seguit pel tercer camí.

També es pot resoldre, més curt, utilitzant les lleis de De Morgan:

  1. P ∨ (S ∨ T) Premissa
  2. ¬P ∧ ¬S Premissa
  3. ¬(P ∨ S) De Morgan 2
  4. ⊢ T Sil·logisme disjuntiu 1,3

↦ Ha seguit pel tercer camí.

  Enunciat

10 - Pescarem si plou i nedarem si no plou. Per tant pescarem o nedarem.

El raonament és:

  • Si plou (P) ... pescarem [amb canya] (C) i si no plou (¬P) ... nedarem (N)
  • ⊢ pescarem o nedarem (C ∨ N)

Aleshores:

  1. (P → C) ∧ (¬P → N) Premissa
  2. P → C Simplificació 1
  3. ¬P → N Simplificació 1
  4. P ∨ ¬P Principi del tercer exclòs
  5. P Suposició
  6. C Modus ponens 2,5
  7. C ∨ N Addició 6
  8. ¬P Suposició
  9. N Modus ponens 3,8
  10. C ∨ N Addició 9
  11. ⊢ C ∨ N Dilema (estudi de casos) 4, 5-7, 8-10

↦ Pescarem o nadarem.

  Enunciat

11 - Quan fa poc que Alícia és al País de les Meravelles, es troba en un punt de no retorn. S’ha fet petita per poder travessar la porteta que dona al jardí, però la clau és damunt la taula, ara inaccessible. Aleshores troba una capseta de vidre amb un pastís a l’interior que du escrit “menja’m” i Alícia es fa a si mateixa el següent raonament: “Me la menjaré i així o bé creixeré i podré agafar la clau o bé em faré més petita encara i podré passar per sota de la porta. En tot cas no perdo res menjant-me’l!.” És correcte el raonament d’Alícia?

El raonament és:

  • Em menjo el pastís (M) i o bé creixo (C) o bé disminueixo (D)
  • Si creixo (C) agafo la clau (K) i amb la clau passo al jardí (J)
  • Si disminueixo (D) passo per sota de la porta (P) i aleshores passo al jardí (J)
  • ⊢ tant si creixo (C) com si disminueixo (D) passo al jardí (J)

Aleshores:

  1. M Premissa
  2. M → (K ∨ D) Premissa
  3. C → K Premissa
  4. K → J Premissa
  5. D → P Premissa
  6. P → J Premissa
  7. K ∨ D Modus ponens 1,2
  8. C → J Sil·logisme hipotètic 3,4
  9. D → J Sil·logisme hipotètic 5,6
  10. ⊢ J Dilema (estudi de casos) 7, 8, 9

↦ Tant si creixo com si disminueixo passo al jardí.

El raonament és correcte. Però les premisses no són les úniques possibles. Alícia dona per fet que el pastís no l’enverinarà, ni la convertirà en un gegant, ... Alegrement descarta tot un plegat d’alternatives.

  Enunciat

12 - Si dius que mai has estat dolent menteixes, i si menteixes ets dolent. Si em dius que has estat dolent, ets dolent. Si ets dolent mereixes de ser castigat. Per tant, diguis el que diguis, mereixes ser castigat.

El raonament és:

  • Si no ... (N) aleshores ... menteixes (M) i si menteixes (M) aleshores ... ets dolent (D)
  • Si sí ... (S) aleshores ... ets dolent (D) i si ets dolent (D) aleshores .... càstig (C)
  • Si disminueixo (D) passo per sota de la porta (P) i aleshores passo al jardí (J)
  • ⊢ tant si sí (S) com si no (N)... aleshores ... càstig (C): (S ∨ N) → C

Aleshores:

  1. (N → M) ∧ (M → D) Premissa
  2. (S → D) ∧ (D → C) Premissa
  3. S ∨ N Suposició
  4. S Suposició
  5. S → D Simplificació 2
  6. D Modus ponens 4,5
  7. D → C Simplificació 2
  8. C Modus ponens 6,7
  9. N Suposició
  10. N → M Simplificació 1
  11. M Modus ponens 9,10
  12. M → D Simplificació 1
  13. D Modus ponens 11,12
  14. D → C Simplificació 2
  15. C Modus ponens 13,14
  16. C Dilema (estudi de casos) 3, 4-8, 9-15
  17. ⊢ (S ∨ N) → C Teorema de deducció 3,16

↦ ... mereixes ser castigat.

  Enunciat

13 - “Si la substància pogués ser dividida en parts, aleshores o bé les parts retindrien la naturalesa de la substància, o bé perdrien aquesta naturalesa. Les parts no retenen la naturalesa de la substància. Les parts no perden la naturalesa de la substància. Per tant, la substància no pot ser dividida en parts”. (Spinoza, Ètica)

El raonament és:

  • “...la substància pot ser dividida ...” (D); “...les parts retenen ...” (R); “...les parts perden ...” (P)
  • “... les parts no retenen ...” (¬R)
  • “... les parts no perden ...” (¬P)
  • ⊢ “... la substància no pot ser dividida ...” (¬D)

Aleshores:

  1. D → (R ∨ P) Premissa
  2. ¬R Premissa
  3. ¬P Premissa
  4. ¬R Premissa
  5. ¬R ∧ ¬P Producte 2,3
  6. ¬(R ∨ P) De Morgan 4
  7. ⊢ ¬D Modus tollens 1,5

↦ La substància no pot ser dividida en parts.

  Enunciat

14 - Harvey (1578-1657) va debatre amb el següent argument la creença de que la sang es generava al cor i que fluïa només en la direcció de sortida: “El cor d’un home expulsa en una hora un volum de sang amb un pes superior al del propi cos. Si això és així, i si la sang flueix només des del cor enfora, el cor genera en una hora més sang que el pes d’un home. Però el cor no pot fer això. Si la sang no flueix només cap enfora, aleshores ha de circular pel cos i tornar a entrar al cor. Així, la creença de que la sang flueix només cap enfora és falsa, i la concepció de que la sang circula pel cos i torna a entrar al cor és certa”.

El raonament és:

  • “... el cor d’un home expulsa en una hora un volum... ...” (E)
  • “... si això és així (E) ... i la sang flueix només cap enfora ... “ (F) ... el cor genera més sang que el pes d’un home ...” (G): (E ∧ F) → G
  • “... però el cor no pot fer això ...” : ¬G
  • “si la sang no circula només cap enfora (¬F) ... aleshores la sang circula pel cos ...” (C) i “... la sang torna al cor ...” (T): ¬F → (C ∧ T)
  • ⊢ “... la sang no circula només cap enfora”: ¬F
  • ⊢ “... la sang circula pel cos i torna al cor...”: (C ∧ T)

Aleshores:

  1. E Premissa
  2. (E ∧ F) → G Premissa
  3. ¬G Premissa
  4. ¬F → (C ∧ T) Premissa
  5. ¬ (E ∧ F) Modus tollens 2,3
  6. ¬E ∨ ¬F De Morgan 5
  7. ¬F Sil·logisme disjuntiu 6,1
  8. C ∧ T Modus ponens 4,7
  9. ⊢ ¬F ∧ (C ∧ T) Producte 7,8

↦ La sang no circula només cap enfora, circula pel cos i torna al cor.

  Enunciat

15 - O el lladre va travessar la porta, o el delicte va ser comés des de l’interior i un dels servents està implicat. El lladre va poder travessar la porta sí i només sí el forrellat va ser descorregut des de l’interior. Però un dels servents està amb tota seguretat implicat si el forrellat va ser descorregut des de dins. Per tant un dels servents es troba implicat en el delicte.

El raonament és:

  • “O el lladre va travessar la porta (P), o el delicte va ser comés des de l’interior (I) i un dels servents està implicat. (S)” : P ∨ (I ∧ S)
  • “El lladre va poder travessar la porta (P) sí i només sí el forrellat va ser descorregut des de l’interior. (D)”: P ↔ D
  • “Però un dels servents està amb tota seguretat implicat (S) si el forrellat va ser descorregut des de l’interior. (D): D → S
  • ⊢ “Per tant un dels servents està amb tota seguretat implicat.”: S

Aleshores:

  1. P ∨ (I ∧ S) Premissa
  2. P ↔ D Premissa
  3. D → S Premissa
  4. ¬S Suposició
  5. P → D Equivalència coimplicació 2
  6. ¬D Modus tollens 3,4
  7. ¬P Modus tollens 5,6
  8. I ∧ S Sil·logisme disjuntiu 1,7
  9. S Simplificació 8
  10. S ∧ ¬S Producte 4,9
  11. ⊢ S Absurd 4-10

↦ Un dels servents està implicat.

  Enunciat

16 - O n no és més petit, o n no és més gran que m. n és igual a m sí i només sí n no és més gran ni més petit que m. Per tant, si n és més petit que m, no és ni més gran ni igual a m.

El raonament és:

  • Fem P = “n < m”; G = “n > m”; I = “n = m”
  • “O n no és més petit, o n no és més gran que m “: ¬P ∨ ¬G
  • “n és igual a m sí i només sí n no és més gran ni més petit que m”: I ↔ (¬G ∧ ¬P)
  • ⊢ “Per tant, si n és més petit que m, no és ni més gran ni igual a m.”: P → (¬G ∧ ¬I)

Aleshores:

  1. ¬P ∨ ¬G Premissa
  2. I ↔ (¬G ∧ ¬P) Premissa
  3. P Suposició
  4. ¬(¬G ∧ ¬I) Suposició
  5. G ∨ I De Morgan 4
  6. ¬G Sil·logisme deductiu 1,3
  7. I Sil·logisme deductiu 5,6
  8. ¬G ∧ ¬P Equivalència coimplicació 2
  9. ¬P Simplificació 9
  10. P ∧ ¬P Producte 3,9
  11. ¬G ∧ ¬I Absurd 4-10
  12. ⊢ P → (¬G ∧ ¬I) Teorema de deducció 3-11

↦ Si n és més petit que m, no és ni més gran ni igual a m.

  Enunciat

17 - Si dos gasos estan a la mateixa temperatura, aleshores les seves molècules tenen la mateixa energia mitjana. Volums iguals de dos gasos tenen el mateix nombre de molècules. Les pressions de dos gasos són iguals si els nombres de molècules i les seves energies cinètiques són iguals. Així doncs, si dos gasos tenen la mateixa temperatura i volum, han de tenir la mateixa pressió.

El raonament és:

  • “Si dos gasos estan a la mateixa temperatura (T), aleshores les seves molècules tenen la mateixa energia mitjana (E).”: T → E
  • “Volums iguals de dos gasos (V) tenen el mateix nombre de molècules. (N)“: V → N
  • “Les pressions (P) de dos gasos són iguals si els nombres de molècules (N) i les seves energies cinètiques (E) són iguals.”: N ∧ E → P
  • ⊢ “... si dos gasos tenen la mateixa temperatura i volum, han de tenir la mateixa pressió”: T ∧ V → P

Aleshores:

  1. T → E Premissa
  2. V → N Premissa
  3. N ∧ E → P Premissa
  4. T ∧ V Suposició
  5. T Simplificació 4
  6. V Simplificació 4
  7. E Modus ponens 1,5
  8. N Modus ponens 2,6
  9. N ∧ E Producte 7,8
  10. P Modus ponens 3,9
  11. ⊢ T ∧ V → P Teorema de deducció 4-10

↦ Si dos gasos tenen la mateixa temperatura i volum, han de tenir la mateixa pressió.

També es pot resoldre, més curt, amb regles derivades:

  1. T → E Premissa
  2. V → N Premissa
  3. N ∧ E → P Premissa
  4. N → (E → P) Exportació 3
  5. V → (E → P) Sil·logisme conjuntiu 2,4
  6. E → (V → P) Mutació de premisses 5
  7. T → (V → P) Sil·logisme deductiu 1,6
  8. ⊢ T ∧ V → P Importació 7

  Enunciat

18 - Estimo a Alicia o estimo a Maria...

El raonament és:

Es tracta de trobar la conclusió lògica de les premisses. D’elles no es segueix necessàriament que estimi a Alicia, però sí que estimo a Maria.

  • Sigui: A: estimo a Alicia; M: estimo a Maria
  • Estimo a Alicia o estimo a Maria: A ∨ M
  • Si estimo a Alicia, aleshores estimo a Maria: A → M

Aleshores:

  1. A ∨ M Premissa
  2. A → M Premissa
  3. A Suposició
  4. M Modus ponens 2,4
  5. M Suposició
  6. M Identitat 6
  7. ⊢ M Dilema (estudi de casos) 1, 3-4, 5-6

↦ Estimo a Maria.

O també:

  1. A ∨ M Premissa
  2. A → M Premissa
  3. A ∨ ¬A Principi del tercer exclòs
  4. A Suposició
  5. M Modus ponens 2,5
  6. ¬A Suposició
  7. M Sil·logisme deductiu 1,6
  8. ⊢ M Dilema (estudi de casos) 3, 4-5, 6-7

  Enunciat

19 - Si Holmes no intervé, Moriarty escaparà. Recorrerem a Watson si Holmes no intervé. Aleshores, si Holmes no intervé, Moriarty escaparà a menys que recorrem a Watson.

El raonament és:

  • “Si Holmes (H) no intervé, Moriarty (M)escaparà.).”: ¬H → M
  • “Recorrerem a Watson (W)si Holmes (H) no intervé “: ¬H → W
  • ⊢ “Aleshores, si Holmes (H) no intervé, Moriarty (M) escaparà a menys que recorrem a Watson (W)”:

Aleshores:

  1. → (¬W → M) Premissa
  2. ¬H → M Premissa
  3. ¬H → W Premissa
  4. ¬H Suposició
  5. ¬W Suposició
  6. M Modus ponens 1,3
  7. ¬W → M Teorema deductiu 4-5
  8. ⊢ ¬H → (¬W → M) Teorema deductiu 3-6

↦ Si Holmes no intervé, Moriarty escaparà a menys que recorrem a Watson.

  Enunciat

20 - Si un governant, conscient de que opinions anteriors eren errònies, no altera la seva política, és culpable d’enganyar l’electorat; i si altera la seva política s’exposa a que l’acusin de contradir-se. O bé altera la seva política o bé no ho fa. Aleshores o bé és culpable d’enganyar l’electorat, o bé s’exposa a que l’acusin de contradir-se.

El raonament és:

  • “... no altera (A) la seva política, és culpable d’enganyar (E) l’electorat.”: ¬A → E
  • “... si altera (A) la seva política s’exposa a que l’acusin de contradir-se (C).“: A → C
  • “ O bé altera la seva política o bé no ho fa.”: A ∨ ¬A
  • ⊢ “Aleshores o bé és culpable d’enganyar (E) l’electorat, o bé s’exposa a que l’acusin de contradir-se (C).”: E ∨ C

Aleshores:

  1. ¬A → E Premissa
  2. A → C Premissa
  3. A ∨ ¬A Premissa (Principi del tercer exclòs)
  4. A Suposició
  5. C Modus ponens 2,4
  6. E ∨ C Addició 5
  7. ¬A Suposició
  8. E Modus ponens 1,7
  9. E ∨ C Addició 8
  10. ⊢ E ∨ C Dilema (estudi de casos) 3, 4-6, 7-9

↦ O bé és culpable d’enganyar l’electorat, o bé s’exposa a que l’acusin de contradir-se.

O també:

  1. ¬A → E Premissa
  2. A → C Premissa
  3. A ∨ ¬A Premissa (Principi del tercer exclòs)
  4. ¬(E ∨ C) Suposició
  5. ¬E ∧ ¬C De Morgan 4
  6. ¬E Simplificació 5
  7. ¬C Simplificació 5
  8. A Modus tollens 1,6
  9. ¬A Modus tollens 2,7
  10. A ∧ ¬A Producte 8,9
  11. ⊢ E ∨ C Absurd 4-10

  Enunciat

21 - A, B i C són tres presumptes culpables d’un robatori...

El raonament és:

  • Representem: A, B i C com la culpabilitat d’A, B i C respectivament
  • A o B o C són culpables: A ∨ B ∨ C
  • C és innocent: ¬C
  • Si A és innocent (¬A) aleshores B ha de ser culpable, donat que C és innocent: ¬A → B
  • Si A és culpable, aleshores B també ho és, donat que A no treballa mai sol: A → B

Aleshores:

  1. A ∨ B ∨ C Premissa
  2. ¬A → B Premissa
  3. ¬C Premissa
  4. A → B Premissa
  5. A ∨ B Simplificació 1,3
  6. A Suposició
  7. B Modus ponens 4,6
  8. B Suposició
  9. B Identitat 8
  10. ⊢ B Dilema (estudi de casos) 5, 6-7, 8-9

↦ B és culpable.

O també:

  1. A ∨ B ∨ C Premissa
  2. A → B ∨ C Premissa
  3. ¬C Premissa
  4. A ∨ ¬A Principi del tercer exclòs
  5. A Suposició
  6. B ∨ C Modus ponens 2,5
  7. B Sil·logisme deductiu 6,3
  8. ¬A Suposició
  9. B ∨ C Sil·logisme deductiu 1,8
  10. B Sil·logisme deductiu 9,3
  11. ⊢ B Dilema (estudi de casos) 4, 5-7, 8-10

↦ B és culpable. A pot ser culpable o bé innocent.

  Enunciat

22 - Actualment, aproximadament la meitat dels habitants de Transilvània són humans, mentre que l’altra meitat són vampirs...

El raonament és:

  1. humans sans ↦ H ∧ S
  2. humans boixos ↦ H ∧ B
  3. vampirs sans ↦ V ∧ S
  4. vampirs boixos ↦ V ∧ B
  • “No soc un humà sa” ↦ ¬(H ∧ S)
  • Qui parla és ↦ (H ∧ S) ∨ (H ∧ B) ∨ (V ∧ S) ∨ (V ∧ B)
  • Un vampir és un no humà ↦ V → ¬H
  • Un humà boig diria: soc un vampir sa ↦ H ∧ B → V ∧ S
  • Un vampir sa diria: soc un humà boig ↦ V ∧ S → H ∧ B

De manera raonada:

  • Un humà sa afirmaria ser “un humà sa”. Per tant descartem el tipus 1.
  • Un humà boig afirmaria ser “un vampir sa”. Però vampir és no humà, el que seria una contradicció. Per tant descartem el tipus 2.
  • Un vampir sa afirmaria ser “un humà boig”. Però vampir és no humà, el que seria una contradicció. Per tant descartem el tipus 3.
  • Només queda, per tant, el tipus 4 com a possible: un vampir boix, que afirmaria ser “un vampir boix” ≡ “no soc un humà sa” al voler dir en realitat “soc un humà sa” i confondre el cert amb el fals.

Demostració lògica:

  1. ¬(H ∧ S) Premissa
  2. (H ∧ S) ∨ (H ∧ B) ∨ (V ∧ S) ∨ (V ∧ B) Premissa
  3. V → ¬H Premissa
  4. H ∧ B → V ∧ S Premissa
  5. V ∧ S → H ∧ B Premissa
  6. (H ∧ B) ∨ (V ∧ S) ∨ (V ∧ B) Sil·logisme deductiu 1,2
  7. H ∧ B Suposició
  8. V ∧ S Modus ponens 4,7
  9. H Simplificació 7
  10. V Simplificació 8
  11. ¬H Modus ponens 3,10
  12. H ∧ ¬H Producte 9,11
  13. ¬ (H ∧ B) Absurd 7-12
  14. (V ∧ S) ∨ (V ∧ B) Sil·logisme deductiu 6,14
  15. V ∧ S Suposició
  16. H ∧ B Modus ponens 5,15
  17. H Simplificació 16
  18. V Simplificació 15
  19. ¬H Modus ponens 3,18
  20. H ∧ ¬H Producte 17,19
  21. ¬ (V ∧ S) Absurd 15-20
  22. ⊢V∧ B Sil·logisme deductiu 14,21

↦ El que parla és doncs un vampir boig, com es volia demostrar.

  Enunciat

23 - Si la ciutadania romana haguera estat garantia dels drets civils, els ciutadans romans haurien gaudit de llibertat religiosa. Si els ciutadans romans haguessin gaudit de llibertat religiosa, no s’haurien perseguit els primers cristians. Però els primers cristians van ser perseguits. Per tant, la ciutadania romana no pot haver estat garantia de drets civils.

El raonament és:

  • garantia dels drets civils ↦ G
  • llibertat religiosa ↦ L
  • persecució dels cristians ↦ P

Aleshores:

  1. G → L Premissa
  2. L → ¬P Premissa
  3. P Premissa
  4. ¬L Modus tollens 2,3
  5. ⊢ ¬G Modus tollens 1,4

O també:

  1. G → L Premissa
  2. L → ¬P Premissa
  3. P Premissa
  4. G Suposició
  5. L Modus ponens 1,4
  6. ¬P Modus ponens 2,5
  7. P ∧ ¬P Producte 3,6
  8. ⊢ ¬G Absurd 4-7

↦ No es garanteixen els drets civils.

 

Jordi Coll Vera - 2020