Argumentació quantificacional (lògica de predicats)

La principal limitació de la lògica d’enunciats és la seva incapacitat d’aprofundir en l’anàlisi de l’estructura interna de les proposicions acoblades pels connectors. Vegem-ne un exemple de Hodges sobre un passatge de Freud:

"Les crítiques que tenen la seva font en determinades propensions psicològiques dels qui la formulen no mereixen resposta racional. Però acusar d’arbitràries i obscenes a les teories psicoanalítiques de la sexualitat infantil és una d’aquestes crítiques. Per tant, els que acusen d’arbitràries i obscenes a les teories psicoanalítiques sobre la sexualitat infantil no mereixen resposta racional". [6].

El passatge té tres proposicions; la partícula “per tant” separa les dues primeres (les premisses) de la tercera (la conclusió). Tot el que podríem fer amb la lògica d’enunciats és assignar símbols a les proposicions:

  • P = “Les crítiques que tenen la seva font en determinades propensions psicològiques dels qui la formulen no mereixen resposta racional”.
  • q = “... acusar d’arbitràries i obscenes a les teories psicoanalítiques de la sexualitat infantil és una d’aquestes crítiques”.
  • r = “... els que acusen d’arbitràries i obscenes a les teories psicoanalítiques sobre la sexualitat infantil no mereixen resposta racional”.

I col·locar-hi el deductor: p, q ⊢ r

Amb els recursos de la lògica de predicats podem assignar:

  • Cx : “x és una crítica que té la seva font en determinades propensions psicològiques de qui la formula.”
  • Mx : “x mereix resposta racional.”
  • a: “acusar d’arbitràries i obscenes a les teories psicoanalítiques de la sexualitat infantil.”

El primer secret de la deducció en lògica quantificacional és saber desmuntar i/o muntar els quantificadors de les fórmules per poder fer les operacions oportunes.

El que val per a totes les parts, de manera distributiva, val també per a cadascuna d’elles en particular. Si s’afirma A i B es pot deduir-ne A. Si s’afirma ∀x Px es pot concloure qualsevol predicació singular de P, per exemple Pa (∀x Px ⊢ Pa). De la mateixa manera es pot introduir el particularitzador. Si s'afirma que “això crema” es pot particularitzar com “alguna cosa crema” (Pa ⊢ ∃x Px). S’ha d’anar en compte, en canvi, amb les respectives inverses (la introducció del generalitzador i l'eliminació del particularitzador). Ens hem d’assegurar de que la lletra, el “paràmetre crític” de la predicació no figuri abans en un supòsit no cancel·lat de la demostració en curs. Per passar d’una quantificació particular a la seva corresponent predicació ens hem d’assegurar a més de que aquest paràmetre crític no figuri tampoc en la conclusió a obtenir.

En el nostre exemple, es formula la primera premissa com una generalització: ∀x(Cx → ¬Mx); la segona com una predicació: Ca; i la conclusió com a negació d’altra predicació: ¬Mx

Aleshores es pot argumentar:

  1. ∀x(Cx → ¬Mx) Premissa
  2. Ca Premissa
  3. Ca → ¬Mx Eliminació del generalitzador 1
  4. ⊢ ¬Mx Modus ponens 2,3

Exercicis ressolts de quantificació simple

Enunciats

La fletxa ens durà a la solució.

Formalitzar i derivar els arguments següents:

  Solució

  1. Tot el món és mortal. Aleshores ningú és immortal.

  Solució

  1. No existeixen els unicornis. Per tant, tots els unicornis tenen tres banyes.

  Solució

  1. Si existeix una dona que és cap de govern, aleshores es pot dir que existeix una dona i que existeix un cap de govern.

  Solució

  1. Tot català és europeu. per tant, si tots són catalans, aleshores tots són europeus.

  Solució

  1. Existeixen dones intel·ligents; per tant, no és el cas que cap dona sigui intel·ligent.

  Solució

  1. Tot el que és material i orgànic és real. Tota cosa és o bé no orgànica o bé efímera. Tota cosa és o bé no efímera o bé no real. Per tant, tota cosa que sigui orgànica és efímera i no és material.

  Solució

  1. [7] Existeix una illa poblada únicament per cavallers i per escuders. Els cavallers sempre diuen la veritat i els escuders sempre menteixen. Tres habitants de l’illa (A, B i C) es troben i un estranger que passava per allà li pregunta a A: "Ets un cavaller o un escuder?" A li respon però no s’entén el que diu. Aleshores l’estranger li pregunta a B: "Què ha dit A?" i B li respon: "A ha dit que és un escuder". Però C, que és al costat, diu immediatament: "B t’està enganyant".
  2. Què són A, B i C?

  Solució

  1. [8] Existeix una illa poblada únicament per cavallers i per escuders. Els cavallers sempre diuen la veritat i els escuders sempre menteixen. Alguns dels habitants poden convertir-se per la nit en homes llop i es mengen a la gent. Un home llop pot ser també cavaller o escuder.
  2. Tres habitants de l’illa (A, B i C) poden ser cavallers o escuders, però només un d’ells és un home llop. A diu: "soc un home llop"; B diu: "soc un home llop"; C diu: "només un de nosaltres és un cavaller".
  3. Què són A, B i C?

  Solució

  1. En una illa poblada únicament per cavallers i per escuders, els cavallers sempre diuen la veritat i els escuders sempre menteixen. Tenim dos habitants de l’illa (A i B) i A diu: "al menys un de nosaltres dos és escuder". Què són A i B?

  Solució

  1. Durant la investigació d’un robatori, l’inspector en cap comenta:
    1. Si A és culpable i B és innocent, aleshores C és culpable
    2. C no treballa mai sol
    3. A no treballa mai amb C
    4. Ningú més que A, B o C és implicat i al menys un d’ells és culpable
  2. Qui creus tu que és irrefutablement culpable?

  Solució

  1. Una democràcia pot o bé garantir als seus adversaris totes les llibertats democràtiques, o excloure’ls de la llibertat d’expressió i del dret a organitzar-se políticament. Si els garanteix totes les llibertats democràtiques, estarà en perill de ser derrocada. Si els exclou de la llibertat d’expressió i del dret d’organitzar-se políticament, en violarà algun dels principis de la democràcia. Aleshores una democràcia o bé serà en perill de ser derrocada pels seus adversaris, o bé en violarà alguns dels seus principis.

  Solució

  1. Segons Stuart Mill, les proposicions matemàtiques tenen contingut. Només les proposicions sintètiques tenen contingut. No hi ha proposicions sintètiques a priori. Tota proposició és a priori o a posteriori. Aleshores les proposicions matemàtiques són sintètiques a posteriori.

  Solució

  1. Segons Ayer, les proposicions matemàtiques són necessàries. Les proposicions a posteriori no són necessàries. No hi ha proposicions sintètiques a priori. Tota proposició és o sintètica o analítica, i a priori o a posteriori. Així, les proposicions matemàtiques són analítiques a priori.

  Solució

  1. Si jo puc comprar això, qualsevol ho pot comprar. Tu no ho pots comprar. Aleshores jo no ho puc comprar.

  Solució

  1. Una barretera conté cinc barrets exactament iguals en mida i forma però tres són de color blanc i dos de color negre. Amb els ulls embenats es col·loca un barret a cadascun de cinc individus: A, B i C i se’ls demana endevinar el color del seu barret al treure’s tots cinc la bena dels ulls successivament.
    • A mira a B i a C i diu: "No ho sé".
    • B mira a C i diu: "No ho sé".
    • Aleshores C, que encara no s’havia tret la bena, diu immediatament: "el meu és blanc".
  2. Com ha deduït C que el seu barret és blanc?

  Solució

  1. El senyor Esteve, telefona a la policia per a denunciar-ne un robatori a la seva botiga. La policia deté tres sospitosos (A, B i C) i, després d’interrogar-los, s’estableixen els següents fets:
    • Cadascun dels sospitosos va ser a la botiga el dia del robatori i són les úniques persones que hi van anar aquell dia.
    • Si A és culpable, aleshores té un còmplice i només un.
    • Si B és innocent, també ho és C.
    • Si dos i només dos són culpables, aleshores A és un d’ells.
    • Si C és innocent, també ho és B.
  2. A qui va inculpar la policia?

  Solució

  1. Si prenem una decisió que no ens ha estat possible evitar, aleshores és una decisió de la qual no en som moralment responsables. Si prenem una decisió sota condicions tals que , donades aquelles condicions, és casualment impossible no prendre aquella decisió, aleshores la decisió no ha pogut ser evitada. Tot succés ocorre sota condicions tals que, donades aquelles condicions, és casualment impossible que el succés no ocorri. Las presa d’una decisió és la concurrència d’un succés. Per tant, no som moralment responsables de cap de les nostres accions.

Exercicis ressolts de quantificació múltiple

Enunciats

La fletxa ens durà a la solució.

  Solució

  1. Si Watson pot atrapar a Moriarty, Holmes també pot fer-ho. Holmes no pot atrapar Moriarty. Per tant, Watson tampoc pot fer-ho.

  Solució

  1. Si Watson pot atrapar a Moriarty, qualsevol ho pot fer. Holmes no pot atrapar Moriarty. Per tant, Watson tampoc pot fer-ho.

  Solució

  1. Només Holmes pot atrapar Moriarty. Holmes no pot. Per tant, ningú pot.

  Solució

  1. Si algú pot atrapar a Moriarty, aleshores Holmes pot fer-ho. Holmes no pot fer-ho. Per tant ningú pot atrapar Moriarty.

  Solució

  1. Tot el món és relacionat amb tot el món. Per tant, tot el món és relacionat amb sí mateix.

  Solució

  1. Els addictes a l’alcohol són addictes a les drogues, donat que l’alcohol és una droga.

  Solució

  1. La germana de la mare d’un noi és la seva tieta. En Joan és un noi i la Marta és la germana de l’Ester. Totes les tietes d’en Joan li fan regals pel seu aniversari. Per tant, si l’Ester és la mare d’en Joan, la Marta li farà a en Joan un regal d’aniversari.

  Solució

  1. L’indeterminisme satisfà les necessitats humanes més adequadament que el determinisme. De dues concepcions, la que satisfà més adequadament les necessitats humanes és la més racional. De dues concepcions, és raonable suposar que la més racional és la més veritable. Per tant, és raonable suposar que l’indeterminisme és més veritable que el determinisme.

  Solució

  1. Hi ha algú que estima a tot el món. Per tant, tot el món és estimat per algú.

  Solució

  1. Les substàncies simples no poden ser canviades per addicció a les seves parts o per reordenació d’elles. Les causes externes de canvi o bé afegeixen quelcom a l’objecte o bé en reordenen les seves parts. En conseqüència, les causes de canvi en les substàncies simples no poden ser externes.

Solucions dels exercicis de quantificació simple

La fletxa ens durà a l'enunciat.

  Enunciat

1 - Tot el món és mortal. Aleshores ningú és immortal.

Representem: Mx: x és mortal.

Aleshores:

  1. ∀x Mx Premissa
  2. ⊢ ∄x ¬Mx DG 1 Definició del generalitzador

↦ No existeix ningú que no sigui mortal. ↦ Ningú és immortal.

  Enunciat

2 - No existeixen els unicornis. Per tant, tots els unicornis tenen tres banyes.

Representem:

  • Ux: x és un unicorni
  • Tx: x té tres banyes

Aleshores:

  1. ∄x Ux Premissa
  2. ∀x ¬Ux NP 1 Negació del particularitzador
  3. ¬Ua EG 2 Eliminació del generalitzador
    1. Ua Suposició
    2. Ua ∧ ¬Ua Producte 3,4
    3. Ta ECQ 5 Ex contradictione quodlibet
  1. Ua → Ta TD 4-6 Teorema de deducció
  2. ⊢ ∀x (Ux → Tx) IG 7 Introducció del generalitzador

↦ Tots els unicornis tenen tres banyes.

  Enunciat

3 - Si existeix una dona que és cap de govern, aleshores es pot dir que existeix una dona i que existeix un cap de govern.

Representem:

  • Mx: x és una dona
  • Cx: x és cap de govern

Aleshores:

  1. ∃x (Mx ∧ Cx) Premissa
    1. Ma ∧ Ca Suposició particular
    2. Ma Simp 2 Simplificació
    3. ∃x Mx IP 3 Introducció de particularitzador
    4. Ca Simp 2 Simplificació
    5. ∃x Cx IP 5 Introducció de particularitzador
    6. ∃x Mx ∧ ∃x Cx Prod 4,6 producte
  1. ∃x Mx ∧ ∃x Cx EP 1, 2-7 Eliminació de particularitzador
  2. ⊢ ∃x (Mx ∧ Cx) → ∃x Mx ∧ ∃x Cx TD 1-8 Teorema de deducció

↦ Si existeix una dona que és cap de govern, aleshores es pot dir que existeix una dona i que existeix un cap de govern.

  Enunciat

4 - Tot català és europeu. per tant, si tots són catalans, aleshores tots són europeus.

Representem:

  • Cx: x és català
  • Ex: x és europeu

Aleshores:

  1. ∀x (Cx → Ex) Premissa
    1. ∀x Cx Suposició general
    2. Ca → Ea EG 1 Eliminació de generalitzador
    3. Ca EG 2 Eliminació de generalitzador
    4. Ea MP 3,4 Modus ponens
    5. ∀x Ex IG 5 Introducció del generalitzador
  1. ⊢ ∀x Cx → ∀x Ex TD 2-6 Teorema de deducció

↦ Si tots són catalans tots són europeus.

  Enunciat

5 - Existeixen dones intel·ligents; per tant, no és el cas que cap dona sigui intel·ligent.

Representem:

  • Dx: x és una dona
  • Ix: x és intel·ligent

Aleshores:

  1. ∃x (Dx ∧ Ix) Premissa
    1. Da ∧ Ia Suposició particular
      1. ∀x (Dx → ¬Ix) Suposició general
      2. Da → ¬Ia EG 3 Eliminació de generalitzador
      3. Da Simp 2 Simplificació
      4. ¬Ia MP 4,5 Modus ponens
      5. Ia Simp 2 Simplificació
      6. Ia ∧ ¬Ia Prod 6,7 Producte
  1. ¬∀x (Dx → ¬Ix) Abs 3-8 Absurd
  2. ⊢ ¬∀x (Dx → ¬Ix) EP 1, 2-9 Eliminació de particularitzador

↦ No és el cas que cap dona sigui intel·ligent.

  Enunciat

6 - Tot el que és material i orgànic és real. Tota cosa és o bé no orgànica o bé efímera. Tota cosa és o bé no efímera o bé no real. Per tant, tota cosa que sigui orgànica és efímera i no és material..

Representem: M: material; O: orgànica; R: real; O: efímer

Aleshores:

  1. ∀x ((Mx ∧ Ox) → Rx) Premissa
  2. ∀x (¬Ox ∨ Ex) Premissa
  3. ∀x (¬Ex ∨ ¬Rx) Premissa
  4. (Ma ∧ Oa) → Ra EG 1 Eliminació de generalitzador
  5. ¬Oa ∨ Ea EG 2 Eliminació de generalitzador
  6. ¬Ea ∨ ¬Ra EG 3 Eliminació de generalitzador
    1. Oa Suposició particular
    2. Ea SD 5,7 Sil·logisme deductiu
    3. ¬Ra SD 6,8 Sil·logisme deductiu
    4. ¬(Ma ∧ Oa) MT 4,9 Modus tollens
    5. ¬Ma ∨ ¬Oa DM 10 De Morgan 1
    6. ¬Ma SD 11, 7 Sil·logisme deductiu
    7. Ea ∧ ¬Ma Prod 8,12 Producte
  1. Oa → (Ea ∧ ¬Ma) TD 7-13 Teorema de deducció
  2. ⊢ ∀x (Ox → (Ex ∧ ¬Mx)) IG 14 Introducció de generalitzador

↦ Tota cosa que sigui orgànica és efímera i no és material.

  Enunciat

7 - Existeix una illa poblada únicament per cavallers i per escuders...(1)

El raonament és:

És impossible que un cavaller o un escuder diguin: "Jo soc un escuder". Perquè si fos un cavaller mentiria (i sempre diuen la veritat) i si fos un escuder diria la veritat (i sempre menteixen).

Això vol dir que A mai diria que és un escuder. Per tant, B menteix quan diu: que "A ha dit que és un escuder". O sigui que B és un escuder.

Com C diu que B està mentint i és cert, deduïm que C és un cavaller. I és impossible saber què és A. Ha dit que és un cavaller però pot estar mentint i ser un escuder.

Representem: a, b, c: individus; C: cavaller; E: escuder

Aleshores:

  1. ∄x ((Cx ∨ Ex) → “Ex”) Premissa [9]
  2. Cb ∨ Eb Premissa
  3. Cb → ((Ca ∨ Ea) → “Ea”) Premissa [10]
  4. Eb → Cc Premissa
  5. ∀x ¬(Cx ∨ Ex → Ex) NP 1 Negació de particularitzador
    1. Cb Suposició particular
    2. (Ca ∨ Ea) → Ea MP 3,6 Modus ponens
    3. ¬(Ca ∨ Ea → Ea) EG 5 Eliminació de generalitzador
    4. ((Ca ∨ Ea) → Ea) ∧ (¬(Ca ∨ Ea → Ea)) Producte 7,8
  1. ¬Cb Absurd 6-9
  2. Eb SD 2,10 Sil·logisme deductiu
  3. Cc MP 4,11 Modus ponens
  4. ⊢ Eb ∧ Cc Producte 11,12

↦ b és un escuder i c és un cavaller.

  Enunciat

8 - Existeix una illa poblada únicament per cavallers i per escuders... (2)

El raonament és:

A o B menteixen, perquè sabem per l’enunciat que només n’hi ha un home llop. Per tant C diu la veritat i es dedueix que C és un cavaller.

I com és cert el que diu, només n’hi ha un cavaller, què és ell mateix, i per tant A i B menteixen i no són homes llop i sí que són ambdós escuders.

En definitiva: A i B són escuders i C és un cavaller i home llop.

Representem: a, b, c: individus; C: cavaller; E: escuder; L: home llop

Aleshores:

  1. ∀x (Cx ∨ Ex) Premissa. Tothom és cavaller o escuder.
  2. La ∨ Lb ∨ Lc Premissa. Algun dels tres és home llop.
  3. La → ¬(Lb ∨ Lc) Premissa. Si a és home llop, aleshores no ho són ni b ni c.
  4. Lb → ¬(La ∨ Lc) Premissa. Si b és home llop, aleshores no ho són ni a ni c.
  5. Lc → ¬(La ∨ Lb) Premissa. Si c és home llop, aleshores no ho són ni a ni b.
  6. Ca → La Premissa. Si a és cavaller, aleshores a és home llop.
  7. Ea → ¬La Premissa. Si a és escuder, aleshores a no és home llop.
  8. Cb → Lb Premissa. Si b és cavaller, aleshores b és home llop.
  9. Eb → ¬Lb Premissa. Si b és escuder, aleshores b no és home llop.
  10. Cc → ¬Ca ∧ ¬Cb Premissa. Si c és cavaller, aleshores no ho són ni a ni b.
  11. Ec → Ca ∧ Cb Premissa. Si c és escuder, aleshores a i b són cavallers.
    1. Ec Suposició particular
    2. Ca ∧ Cb MP 11,12 Modus ponens
    3. Ca Simp 13 Simplificació
    4. La MP 6,14 Modus ponens
    5. ¬(Lb ∨ Lc) MP 3,15 Modus ponens
    6. ¬Lb ∧ ¬Lc DM 16 De Morgan 2
    7. ¬Lb Simp 17 Simplificació
    8. Cb Simp 13 Simplificació
    9. Lb MP 8,19 Modus ponens
  1. ¬Lb ∧ Lb Producte 18,20
  2. ¬Ec Absurd 12-21
  3. Cc ∨ Ec EG 1 Eliminació de generalitzador
  4. Cc SG 23,22 Sil·logisme deductiu
  5. ¬Ca ∧ ¬Cb MP 10,24 Modus ponens
  6. ¬Ca Simp 25 Simplificació
  7. Ca ∨ Ea EG 1 Eliminació de generalitzador
  8. Ea SG 27,26 Sil·logisme deductiu
  9. ¬Cb Simp 25 Simplificació
  10. Cb ∨ Eb EG 1 Eliminació de generalitzador
  11. Eb SG 30,29 Sil·logisme deductiu
  12. ¬La MP 7,28 Modus ponens
  13. ¬Lb MP 9,31 Modus ponens
  14. ¬La ∧ ¬Lb Producte 32,33
  15. Lc SD 2,34 Sil·logisme deductiu
  16. ⊢ Ea ∧ Eb ∧ Cc ∧ Lc Producte 28,31,24,35

↦ A i B són escuders i C és un cavaller i home llop

  Enunciat

9 - En una illa poblada únicament per cavallers i per escuders, els cavallers sempre diuen la veritat i els escuders sempre menteixen...

El raonament és:

Si A fos un escuder mentiria i per tant A i B serien cavallers (el contrari del que diu l’enunciat que diu A) i es donaria un absurd: A seria escuder i cavaller a la vegada. Per tant A és un cavaller i diu la veritat. B és un escuder (segons afirma A que no menteix).

Representem: a, b, c: individus; C: cavaller; E: escuder

Aleshores:

  1. Ca ∨ Ea Premissa. a és cavaller o és escuder.
  2. Ea → ¬(Ea ∨ Eb) Premissa. Si a és escuder, menteix.
  3. Ca → (Ea ∨ Eb) Premissa. Si a és cavaller, no menteix.
    1. Ea Suposició particular
    2. ¬(Ea ∨ Eb) MP 2,4 Modus ponens
    3. ¬Ea ∧ ¬Eb DM 5 De Morgan 1
    4. ¬Ea Simp 6 Simplificació
    5. Ea ∧ ¬Ea Prod 4, 7 Producte
  1. ¬Ea Absurd 4-7
  2. Ca SD 1,8 Sil·logisme deductiu
  3. Ea ∨ Eb MP 3,10 Modus ponens
  4. Eb SD 11,9 Sil·logisme deductiu
  5. ⊢ Ca ∧ Eb Prod 10,12 Producte

↦ A és un cavaller i B és un escuder.

També podem resoldre-ho per estudi de casos, explorant les dues suposicions (Ea i Ca):

  1. Ca ∨ Ea Premissa. a és cavaller o és escuder.
  2. Ea → ¬(Ea ∨ Eb) Premissa. Si a és escuder, menteix.
  3. Ca → (Ea ∨ Eb) Premissa. Si a és cavaller, no menteix.
    1. Ea Suposició particular (1)
    2. ¬(Ea ∨ Eb) MP 2,4 Modus ponens
    3. ¬Ea ∧ ¬Eb DM 5 De Morgan 1
    4. ¬Ea Simp 6 Simplificació
    5. Ca Suposició particular (2)
    6. Ea ∨ Eb MP 3,8 Modus ponens
  1. ¬Ea MT 2,9 Modus tollens
  2. ¬Ea Cas 4-7, 8-10 Estudi de casos
  3. Ca SD 1,11 Sil·logisme deductiu
  4. Ea ∨ Eb MP 3,12 Modus ponens
  5. Eb SD 11,13 Sil·logisme deductiu
  6. ⊢ Ca ∧ Eb Prod 12,14 Producte

  Enunciat

10 - Durant la investigació d’un robatori, l’inspector en cap comenta...

Podem fer els raonaments següents:

  • (1) Si suposem A culpable i B innocent, aleshores C és culpable (a), però C no treballa mai sol (b) i com A mai treballa amb C (c) aleshores B és culpable.
  • (2) Si suposem A innocent i B innocent, aleshores C és culpable (d), però C no treballa mai sol (b) i aleshores B és culpable.
  • (3) Aleshores, Tant si A és culpable com si A és innocent B és necessàriament culpable.
  • (4) Si suposem C culpable, tenim que mai treballa tot sol (b) i que mai treballa amb A (c) per tant B és culpable.
  • (5) Si suposem C innocent aleshores A o B són culpables. Si A és innocent aleshores B és culpable (d). Si A és culpable B és culpable (1)
  • (6) Aleshores, Tant si C és culpable com si C és innocent B és culpable.
  • (7) Si suposem B innocent aleshores A o C són culpables. Si A és culpable B és culpable (1). Si C és culpable B és culpable (4)
  • Per tan B és irrefutablement culpable. No es pot assegurar res d’A o de C.

Representem: a, b, c: individus; C: culpable

Aleshores:

  1. (Ca ∧ ¬Cb) → Cc Premissa. (a)
  2. Cc → (Ca ∨ Cb) Premissa. (b)
  3. Ca → ¬Cc Premissa. (c)
  4. Ca ∨ Cb ∨ Cc Premissa. (d)
    1. ¬Cb Suposició particular (B és innocent)
      1. Ca Suposició particular (A és culpable)
      2. Ca ∧ ¬Cb Prod 5,6 Producte
      3. Cc MP 1,7 Modus ponens
      4. ¬Cc MP 3,6 Modus ponens
      5. Cc ∧ ¬Cc Prod 8,9 Producte
    1. ¬Ca Absurd 6-10
    2. ¬Ca ∧ ¬Cb Prod 11,5 Producte
    3. ¬(Ca ∨ Cb) DM 12 De Morgan 2
    4. Cc SD 4,13 Sil·logisme deductiu
    5. Ca ∨ Cb MP 2,14 Modus ponens
    6. Cb SD 11,15 Sil·logisme deductiu
    7. Cb ∧ ¬Cb Prod 5,16 Producte
  5. ⊢ Cb Absurd 5-17 (B és culpable)

↦ B és irrefutablement culpable

  Enunciat

11 - Una democràcia pot o bé garantir als seus adversaris totes les llibertats democràtiques, o excloure’ls de la llibertat d’expressió i del dret a organitzar-se políticament. Si els garanteix totes les llibertats democràtiques, estarà en perill de ser derrocada. Si els exclou de la llibertat d’expressió i del dret d’organitzar-se políticament, en violarà algun dels principis de la democràcia. Aleshores una democràcia o bé serà en perill de ser derrocada pels seus adversaris, o bé en violarà alguns dels seus principis.

Representem: D: democràcia; L: llibertats; E: exclou la llibertat d’expressió; O: exclou organització política; P: és en perill; V: violarà alguns dels principis

Aleshores:

  1. ∀x (Dx → Lx ∨ (Ex ∧ Ox) Premissa
  2. ∀x (Lx → Px) Premissa
  3. ∀x ((Ex ∧ Ox) → Vx) Premissa
  4. Da → La ∨ (Ea ∧ Oa) EG 1 Eliminació generalització
  5. La → Pa EG 2 Eliminació generalització
  6. (Ea ∧ Oa) → Va EG 3 Eliminació generalització
    1. Da Suposició particular
    2. La ∨ (Ea ∧ Oa) MP 4,7 Modus ponens
    3. Pa ∨ Va Dil 8,5,6 Dilema
  1. Da → (Pa ∨ Va) TD 7-9 Teorema de deducció
  2. ⊢ ∀x (Dx → (Px ∨ Vx)) IG 10 Introducció generalització

↦ La democràcia sempre és en eprill de ser derrocada o de violar algún dels seus principis

  Enunciat

12 - Segons Stuart Mill, les proposicions matemàtiques tenen contingut. Només les proposicions sintètiques tenen contingut. No hi ha proposicions sintètiques a priori. Tota proposició és a priori o a posteriori. Aleshores les proposicions matemàtiques són sintètiques a posteriori.

Representem: M: proposició matemàtica; C: tenir contingut; S: proposició sintètica; P: a priori; T: a posteriori

Aleshores:

  1. ∀x (Mx → Cx) Premissa
  2. ∀x (Cx → Sx) Premissa
  3. ∄x (Px → ¬Sx) Premissa
  4. ∀x (Px ∨ Tx) Premissa
  5. Ma → Ca EG 1 Eliminació generalització
  6. Ca → Sa EG 2 Eliminació generalització
  7. Pa ∨ Ta EG 4 Eliminació generalització
  8. ∀x ¬(Px ∧ Sx) NP 3 Negació particularització
  9. ¬(Pa ∧ Sa) EG 8 Eliminació generalització
    1. Ma Suposició particular
    2. Ma → Sa SD 5,6 Sil·logisme deductiu
    3. Sa MP 11,10 Modus ponens
    4. ¬Pa ∨ ¬Sa DM 9 De Morgan 2
    5. ¬Pa SD 12,13 Sil·logisme deductiu
    6. Ta SD 7,14 Sil·logisme deductiu
    7. Sa ∧ Ta Prod 12,15 Producte
  1. Ma → (Sa ∧ Ta) TD 10-16 Teorema de deducció
  2. ⊢ ∀x (Mx → (Sx ∧ Tx)) IG 18 Introducció generalització

↦ Tota proposició matemàtica és sintètica i a posteriori

  Enunciat

13 - Segons Ayer, les proposicions matemàtiques són necessàries. Les proposicions a posteriori no són necessàries. No hi ha proposicions sintètiques a priori. Tota proposició és o sintètica o analítica, i a priori o a posteriori. Així, les proposicions matemàtiques són analítiques a priori.

Representem: M: proposició matemàtica; N: necessària; A: analítica; S: proposició sintètica; P: a priori; T: a posteriori

Aleshores:

  1. ∀x (Mx → Nx) Premissa
  2. ∀x (Tx → ¬Nx) Premissa
  3. ∄x (Sx ∧ Px) Premissa
  4. ∀x ((Sx ∨ Ax) ∧ (Px ∨ Tx)) Premissa
  5. Ma → Na EG 1 Eliminació generalització
  6. Ta → ¬Na EG 2 Eliminació generalització
  7. ∀x ¬(Sx ∧ Px) NP 3 Negació particularització
  8. (Sa ∨ Aa) ∧ (Pa ∨ Ta) EG 4 Eliminació generalització
  9. ¬(Sa ∧ Pa) EG 7 Eliminació generalització
    1. Ma Suposició particular
    2. Na MP 5,10 Modus ponens
    3. Na → ¬Ta CP 6 Contraposició
    4. ¬Ta MP 11,12 Modus ponens
    5. Pa ∨ Ta Simp 8 Simplificació
    6. Pa SD 13,14 Sil·logisme deductiu
    7. Sa ∨ Aa Simp 8 Simplificació
    8. ¬Sa ∨ ¬Pa DM 9 De Morgan 2
    9. ¬Sa SD 15,17 Sil·logisme deductiu
    10. Aa SD 16,18 Sil·logisme deductiu
    11. Aa ∧ Pa Prod 19,15 Producte
  1. Ma → (Aa ∧ Pa) TD 10-20 Teorema de deducció
  2. ⊢ ∀x (Mx → (Ax ∧ Px)) IG 21 Introducció generalització

↦ Tota proposició matemàtica és analítica i a posteriori

  Enunciat

14 - Si jo puc comprar això, qualsevol ho pot comprar. Tu no ho pots comprar. Aleshores jo no ho puc comprar.

Representem: a: jo; c: tu; b: això; Cxb: x pot comprar b

Aleshores:

  1. Cab → ∀x Cxb Premissa
  2. ¬Ccb Premissa
    1. Cab Suposició particular
    2. ∀x Cxb MP 1,3 Modus ponens
    3. Ccb EG 4 Eliminar generalització
    4. Ccb ∧ ¬Ccb Prod 5,2
  1. ⊢ ¬Cab Absurd 3-6

↦ Jo no ho puc comprar

  Enunciat

15 - Una barretera conté cinc barrets exactament iguals en mida i forma però tres són de color blanc i dos de color negre...

Raonament:

Si A no pot saber-ho és perquè els barrets de B i de C no són negres tots dos, en cas contrari A sabria ja que el seu barret és blanc.

Després del que ha dit A, B pot saber que el seu barret no és negre només en el cas de que C ho sigui.

Per tant quan mira el barret de C veu que no és de color negre (és blanc) i per tant no pot encara afirmar de quin color és el seu i aleshores C sap immediatament que el seu barret és de color blanc.

Representem: a, b, c: individus; B: blanc; N: negre; S: sap el color

Aleshores:

  1. ∀x (Bx ∨ Nx) Premissa. Els barrets són blancs o negres.
  2. (Nb ∧ Nc) → Sa Premissa. A ho sap si B i C són negres.
  3. ¬Sa Premissa. A no ho sap.
  4. ¬Sa → (Nc → Sb) Premissa. Si A no ho sap i C és negre aleshores B ho sap.
  5. ¬Sb Premissa. B no ho sap.
  6. ¬(Nb ∧ Nc) MT 2,3 Modus tollens
  7. Nc → Sb MP 3,4 Modus ponens
  8. ¬Nc MT 5,7 Modus tollens
  9. Bc ∨ Nc EG 1 Eliminació generalització
  10. ⊢ Bc SD 8,9 Sil·logisme deductiu

↦ El barret de c és de color blanc

  Enunciat

16 - El senyor Esteve, telefona a la policia per a denunciar-ne un robatori a la seva botiga...

Raonament:

  • Si A fos culpable, tindria exactament un còmplice (2). De (3) i (5) es dedueix que B i C són amb ambdós culpables o ambdós innocents. Aleshores s’ha de concloure que A és innocent.
  • Si B i C fossin ambdós culpables, única possibilitat per (3) i (5) segons ja s’ha dit abans, aleshores A també ho seria (4) i ja s’ha demostrat que A és innocent. Aleshores s’ha de concloure que B i C són innocents.
  • Per tant A, B i C són innocents.
  • El senyor Esteve menteix i vol enganyar la policia per estafar a l’assegurança.

Representem: a, b, c: individus; C: culpable

Aleshores:

  1. Ca ∨ Cb ∨ Cc Premissa. (1)
  2. Ca → (Cb ∧ ¬Cc) ∨ (¬Cb ∧ Cc) Premissa. (2)
  3. ¬Cb → ¬Cc Premissa. (3)
  4. ((Ca ∧ Cb ∧ ¬Cc) ∨ (Ca ∧ ¬Cb ∧ Cc) ∨ (¬Ca ∧ Cb ∧ Cc)) → Ca Premissa. (4)
  5. ¬Cc → ¬Cb Premissa. (5)
    1. Ca Suposició particular
    2. (Cb ∧ ¬Cc) ∨ (¬Cb ∧ Cc) [= A] MP 2,6 Modus ponens
    3. Cb → Cc CP 5 Contraposició
    4. ¬(Cb ∧ ¬Cc) DFI 8 Definició implicació
    5. Cc → Cb CP 3 Contraposició
    6. ¬(Cc ∧ ¬Cb) DFI 10 Definició implicació
    7. ¬(Cb ∧ ¬Cc) ∧ ¬(Cc ∧ ¬Cb) Prod 9,11 Producte
    8. ¬((Cb ∧ ¬Cc) ∨ (Cc ∧ ¬Cb)) [= ¬ A] DM 12 De Morgan 1
    9. A ∧ ¬A Prod 7,13 Producte
  1. ¬Ca Absurd 6-14
  2. ¬Cb ↔ ¬Cc ICO 3,5 Introducció de coimplicació
  3. Cb ∨ ¬Cb PTE Principi tercer exclòs
    1. Cb Suposició particular
    2. Cc MT 5,18 Modus tollens
    3. Cb ∧ Cc Prod 18,19 Producte
    4. (Cb ∧ Cc) ∨ (¬Cb ∧ ¬Cc) AD 20 Associativa disjunció
    5. ¬Cb Suposició particular
    6. ¬Cc MP 3,22 Modus ponens
    7. ¬Cb ∧ ¬Cc Prod 22,23 Producte
    8. (Cb ∧ Cc) ∨ (¬Cb ∧ ¬Cc) Ad 24 Adició
  1. (Cb ∧ Cc) ∨ (¬Cb ∧ ¬Cc) Estudi de casos 17, 18-21, 22-25
    1. Cb ∧ Cc Suposició particular
    2. Cb ∧ Cc ∧ ¬Ca Prod 27,15 Producte
    3. (Ca ∧ Cc ∧ ¬Cb) ∨ (Cb ∧ Cc ∧ ¬Ca) Ad 28 Adició
    4. (Ca ∧ Cb ∧ ¬Cc) ∨ (Ca ∧ Cc ∧ ¬Cb) ∨ (Cb ∧ Cc ∧ ¬Ca) Ad 29 Adició
    5. Ca MP 4,30 Modus ponens
    6. Ca ∧ ¬Ca Prod 31,15 Producte
  1. ¬(Cb ∧ Cc) Absurd 27-32
  2. ¬Cb ∧ ¬Cc SD 26,33 Sil·logisme deductiu
  3. ⊢ ¬Ca ∧ ¬Cb ∧ ¬Cc Prod 15,34 Producte

↦ Tots tres són innocents

  Enunciat

17 - Si prenem una decisió que no ens ha estat possible evitar, aleshores és una decisió de la qual no en som moralment responsables....

Raonament:

L’argumentació implicada (possible, impossible,...) requereix l’ús de lògica modal, que escapa a l’àmbit de la lògica elemental. A la formalització següent [11], s’utilitzen els predicats modals com si no ho fossin, encara que es recorre a l’expedient d’interpretar com a necessitat la impossibilitat de que una cosa no sigui.

Representem: Dx: x és una decisió; Px: x pot ser evitada; Rx: x té responsabilitat moral; Nx: x és necessari; Sx: x és un succés

Aleshores:

  1. ∀x ((Dx ∧ ¬Px) → ¬Rx) Premissa
  2. ∀x ((Dx ∧ Nx) → ¬Px) Premissa
  3. ∀x (Sx → Nx) Premissa
  4. ∀x (Dx → Sx) Premissa
  5. ∀x (Dx → Nx) Sil 4,3 Sil·logisme hipotètic
    1. Da Suposició particular
    2. Da → Na EG 5 Eliminar generalització
    3. Na MP 6,7 Modus ponens
    4. Da ∧ Na Prod 6,8 Producte
    5. (Da ∧ Na) → ¬Pa EG 2 Eliminar generalització
    6. ¬Pa MP 9,10 Modus ponens
    7. (Da ∧ ¬Pa) → ¬Ra EG 1 Eliminar generalització
    8. Da ∧ ¬Pa Prod 6,11 Producte
    9. ¬Ra MP 13,12 Modus ponens
  1. Da → ¬Ra TD 6-14 Teorema de deducció
  2. ⊢ ∀x (Dx → ¬Rx) IG 15 Introduir generalització

↦ Cap decisió comporta una responsabilitat moral

Solucions dels exercicis de quantificació múltiple

La fletxa ens durà a l'enunciat.

  Enunciat

1 - Si Watson pot atrapar a Moriarty, Holmes també pot fer-ho. Holmes no pot atrapar Moriarty. Per tant, Watson tampoc pot fer-ho.

Representem: Axy: x pot atrapar y; w: Watson; m: Moriarty; h: Holmes

Aleshores:

  1. Awm →Ahm Premissa
  2. ¬Ahm Premissa
  3. ⊢ ¬Awm MT 1,2 Modus tollens

↦ Watson no pot atrapar Moriarty

  Enunciat

2 - Si Watson pot atrapar a Moriarty, qualsevol ho pot fer. Holmes no pot atrapar Moriarty. Per tant, Watson tampoc pot fer-ho.

Representem: Axy: x pot atrapar y; w: Watson; m: Moriarty; h: Holmes; x: qualsevol

Aleshores:

  1. ∀x (Awm →Axm) Premissa
  2. ¬Ahm Premissa
  3. Awm →Ahm EG 1 Eliminar generalització
  4. ⊢ ¬Awm MT 3,2 Modus tollens

↦ Watson no pot atrapar Moriarty

  Enunciat

3 - Només Holmes pot atrapar Moriarty. Holmes no pot. Per tant, ningú pot.

Representem: Ahm: Holmes pot atrapar Moriarty

Aleshores:

  1. Ahm Premissa
  2. ¬Ahm Premissa
  3. ∀x ¬(Axm) IG 2 Introduir generalització
  4. ⊢ ∄x Axm NG 3 Negar generalització

↦ Ningú pot atrapar Moriarty

  Enunciat

4 - Si algú pot atrapar a Moriarty, aleshores Holmes pot fer-ho. Holmes no pot fer-ho. Per tant ningú pot atrapar Moriarty.

Representem: Axy: x pot atrapar y; m: Moriarty; h: Holmes; x: qualsevol

Aleshores:

  1. ∃x (Axm → Ahm) Premissa
  2. ¬Ahm Premissa
  3. ⊢ ∄x Axm MT 1,2 Modus tollens

↦ Ningú pot atrapar Moriarty

  Enunciat

5 - Tot el món és relacionat amb tot el món. Per tant, tot el món és relacionat amb sí mateix.

Representem: Univers: persones; Rxy: x és relacionat amb y

Aleshores:

  1. ∀x ∀y Rxy Premissa
  2. ∀y Ray EG 1 Eliminar generalització
  3. Raa EG 2 Eliminar generalització
  4. ⊢ ∀x Rxx IG 6 Introduir generalització

↦ Tothom és relacionat amb sí mateix

  Enunciat

6 - Els addictes a l’alcohol són addictes a les drogues, donat que l’alcohol és una droga.

Representem: L: alcohol; D: droga; Axy: x és addicte a y

Aleshores:

  1. ∀x (Lx → Dx) Premissa
    1. La ∧ Aba Suposició particular
    2. La → Da EG 1 Eliminar generalització
    3. La Simp 2 Simplificació
    4. Da MP 4,3 Modus ponens
    5. Aba Simp 2 Simplificació
    6. Da ∧ Aba Prod 5,6 Producte
  1. La ∧ Aba → Da ∧ Aba TD 2-7 Teorema de deducció
  2. ∀y (La ∧ Aya → Da ∧ Aya) IG 8 Introduir generalització
  3. ∀x ∀y (Lx ∧ Ayx → Dx ∧ Ayx) IG 9 Introduir generalització
  4. ⊢ ∀x (Lx → Dx) → ∀x ∀y (Lx ∧ Ayx → Dx ∧ Ayx) TD 1-10 Teorema de deducció

↦ Els addictes a l'alcohol són addictes a les drogues

  Enunciat

7 - La germana de la mare d’un noi és la seva tieta. En Joan és un noi i la Marta és la germana de l’Ester. Totes les tietes d’en Joan li fan regals pel seu aniversari. Per tant, si l’Ester és la mare d’en Joan, la Marta li farà a en Joan un regal d’aniversari.

Representem: Nx: x és un noi; Gxy: x és germana de y; Mxy: x és la mare de y; Rxy: x fa un regal a y; Txy; x és la tieta de y; j, m, e: Joan, Marta i Ester

Aleshores:

  1. ∀x ∀y ∀z ((Gxy ∧ Myz ∧ Nz ) → Txz) Premissa
  2. Nj ∧ Gme Premissa
  3. ∀x (Txj → Rxj) Premissa
  4. (Gme ∧ Mej ∧ Nj ) → Tmj EG 1 Eliminar generalització
  5. Tmj → Rmj EG 3 Eliminar generalització
    1. Mej Suposició particular
    2. Gme Simp 2 Simplificació
    3. Nj Simp 2 Simplificació
    4. Mej ∧ Gme Prod 6,7 Producte
    5. Mej ∧ Gme ∧ Nj Prod 9,8 Producte
    6. Tmj MP 4,10 Modus ponens
    7. Rmj MP 5,11 Modus ponens
  1. ⊢ Mej → Rmj TD 6-12 Teorema de deducció

↦ Marta farà a en Joan un regal

  Enunciat

8 - L’indeterminisme satisfà les necessitats humanes més adequadament que el determinisme. De dues concepcions, la que satisfà més adequadament les necessitats humanes és la més racional. De dues concepcions, és raonable suposar que la més racional és la més veritable. Per tant, és raonable suposar que l’indeterminisme és més veritable que el determinisme.

Representem: Univers: concepcions; Sxy: x satisfà més adequadament que y; Vxy: x és més veritable que y; Rxy: x és més racional que y; i: indeterminisme; d: determinisme

Aleshores:

  1. Sid Premissa
  2. ∀x ∀y (Sxy → Rxy) Premissa
  3. ∀x ∀y (Rxy → Vxy) Premissa
  4. Sid → Rid EG 2 Eliminar generalització
  5. Rid → Vid EG 3 Eliminar generalització
  6. Sid → Vid SD 4,5 Sil·logisme de deducció
  7. ⊢ Vid MP 6,1 Modus ponens

↦ L'indeterminisme és més veritable que el determinisme

  Enunciat

9 - Hi ha algú que estima a tot el món. Per tant, tot el món és estimat per algú.

Representem: Exy: x estima a y

Aleshores:

  1. ∀x ∃y Exy Premissa
    1. ∀y Eay Suposició particular
    2. Eab EG 2 Eliminar generalització
    3. ∃x Exb IP 3 Introduir particularització
  1. ∀x Exb EP 1, 2-4 Eliminar particularització
  2. ⊢ ∀y ∃x Exy IG 5 Introduir generalització

↦ Tothom és estimat per algú

  Enunciat

10 - Les substàncies simples no poden ser canviades per addicció a les seves parts o per reordenació d’elles. Les causes externes de canvi o bé afegeixen quelcom a l’objecte o bé en reordenen les seves parts. En conseqüència, les causes de canvi en les substàncies simples no poden ser externes.

Representem: Sx: x és una substància simple; Ex: x és causa externa de canvi; Axy: x afegeix quelcom a y; Rxy: x reordena a y; Cxy: x canvia a y

Aleshores:

  1. ∀x (Sx → ∄y (Cyx ∧ (Ayx ∨ Ryx)) Premissa
  2. ∀x ∀y ((Ey ∧ Cyx) → (Ayx ∨ Ryx)) Premissa
    1. Sa ∧ Cba Suposició particular
    2. Sa Simp 3 Simplificació
    3. Sa → ∄y (Cya ∧ (Aya ∨ Rya)) EG 1 Eliminar generalització
    4. ∄y (Cya ∧ (Aya ∨ Rya)) MP 5,4 Modus ponens
    5. ∀y ¬(Cya ∧ (Aya ∨ Rya)) NP 6 Negar particularització
    6. ¬(Cba ∧ (Aba ∨ Rba)) EG 7 Eliminar generalització
    7. ¬Cba ∨ ¬(Aba ∨ Rba) DM 8 De Morgan 1
    8. Cba Simp 3 Simplificació
    9. ¬(Aba ∨ Rba) SD 9,10 Sil·logisme deductiu
    10. ∀y ((Ey ∧ Cya) → (Aya ∨ Rya)) EG 2 Eliminar generalització
    11. (Eb ∧ Cba) → (Aba ∨ Rba)) EG 12 Eliminar generalització
    12. ¬(Eb ∧ Cba) MT 13,11 Modus tollens
    13. ¬Eb ∨ ¬Cba DM 14 De Morgan 1
    14. ¬Eb SD 15-10 Sil·logisme deductiu
  1. (Sa ∧ Cba) → ¬Eb TD 3-16 Teorema de deducció
  2. ∀y (Sa ∧ Cya) → ¬Ey IG 17 Incloure generalització
  3. ⊢ ∀x ∀y (Sx ∧ Cyx) → ¬Ey IG 18 Incloure generalització

↦ Les causes de canvi en les substàncies simples no poden ser externes

 

Jordi Coll Vera - 2020


[6]
Sigmund Freud, Noves lliçons d’introducció al psicoanàlisis.
[7]
R. Smullyan.
[8]
R. Smullyan.
[9]
És impossible que un cavaller o un escuder diguin que són un escuder.
[10]
Si B és un cavaller, aleshores A (que pot ser cavaller o escuder) diu que és escuder.
[11]
Chisholm