Altres perspectives

Descripcions

En el llenguatge de la lògica s’utilitzen els símbols constants (a, b, c, ...) per a representar als noms propis i pronoms demostratius i símbols de variable individual (x, y, z, ...) per als pronoms demostratius i personals.

Al llenguatge quotidià s’utilitzen també malnoms, perífrasis i circumloquis per a referir-nos a individus concrets. Bertrand Russell, amb la seva teoria de les descripcions, va formalitzar-ne procediments per aquests casos. A les descripcions del llenguatge ordinari l’article determinat “el” té una funció singularitzada, donat que designa a un individu singular.

Segons la teoria de Bertrand Russell, imaginem que volem traduir formalment Cervantes com “l’autor del Quixot”. Aleshores, per formalitzar lògicament l’epítet “autor del Quixot”, representem: i: descriptor; x: una persona; E: acció d’escriure; q: el llibre del Quixot. I n’obtenim l’expressió lògica: ixExq ("la persona que va escriure el Quixot").

Exercici: De cavallers, escuders i homes llops

Suposa que una nit de lluna plena et veus obligat a travessar un bosc i necessites un guia. El bosc és exclusivament habitat per cavallers (que sempre diuen la veritat) i escuders (que sempre menteixen). Alguns d’ells es converteixen a més en homes llop, quan hi ha lluna plena. Et surten al pas dos individus (a i b). Un d’ells, i només un, és un home llop. (a) diu: “l’home llop és un cavaller”; (b) diu: “l’home llop és un escuder”. A qui escolliries com a guia?

Solució

Escolliria a l'individu “b”.

Suposis que “b” és cavaller. Aleshores és cert el que diu i l’home llop és un escuder i ell és un cavaller.

Suposis que “b” és escuder. Aleshores és fals el que diu i l’home llop és un cavaller i ell és un escuder.

Representem: C: cavaller; E: escuder; a, b: individus; ixLx: l’individu x tal que x és home llop.

Segons l'enunciat, tenim les premisses següents:

  • Si un individu és cavaller no pot ser escuder, i a l’inrevés: ∀x (Cx ↔ ¬Ex)
  • Els predicats C i E són excloents. O “a” o “b” és home llop: (a = ixLx) ∨ (b = ixLx)
  • Qualsevol dels dos individus, per exemple b, pot ser cavaller o escuder: Cb ∨ Eb
  • Si un individu és cavaller, per exemple b, el que diu és cert: Cb → EixLx
  • Si un individu és escuder, per exemple b, el que diu és fals: Eb → ¬EixLx

Aleshores:

  1. ∀x (Cx ↔ ¬Ex) Premissa
  2. (a = ixLx) ∨ (b = ixLx) Premissa
  3. Cb ∨ Eb Premissa
  4. Cb → EixLx Premissa
  5. Eb → ¬EixLx Premissa
    1. Cb Suposició particular
    2. EixLx MP 4,6 Modus ponens
      1. b = ixLx Suposició particular (b és llop)
      2. Eb EG 7 Eliminar generalització
      3. Cb ↔ ¬Eb EG 1 Eliminar generalització
      4. Cb → ¬Eb ECO 10 Eliminar complicació
      5. ¬Eb MP 11,6 Modus ponens
      6. Eb ∧ ¬Eb Prod 9,12 Producte
    1. ¬(b = ixLx) Absurd 8-13 (b no és llop)
  1. ⊢ a = ixLx SD 2,14 Sil·logisme deductiu (a és el llop)

↦ Tant si b és cavaller com si és escuder, no és possible que sigui llop (s’arriba a un absurd)

Identitat

La paraula “idèntic” o “igual” és un predicat relatiu amb molta importància en lògica. Es pot simbolitzar matemàticament com “=”. En el llenguatge ordinari té molt a veure amb el verb “ser”. Per exemple, “Cervantes és l’autor del Quixot”, amb c: Cervantes, es podria simbolitzar com c = ixExq "Cervantes és la persona que va escriure el Quixot".

Tota cosa és idèntica a sí mateixa: a = a; ∀x (x = x). La negació d’aquesta equació violaria el principi de no contradicció.

Una segona proposició és la “llei d’indiscernibilitat dels idèntics” [37] que expressa que tot el que es pot predicar d’una cosa es pot predicar sobre tot el que s’identifiqui amb ella: ∀x ∀y (x = y) → ∀P (Px ↔ Py)). [38]

Exercici: La paradoxa de Russell

Hi ha classes que són membres de sí mateixes (per exemple, "la classe de totes les classes d’una classe") i altres que no ho són (per exemple, "la classe dels homes que no són homes"). Bertrand Russell va preguntar una vegada si "la classe de les classes que no són membres de sí mateixes és o no membre de sí mateixa". La resposta és una paradoxa. Si es convé en considerar com una descripció la següent expressió de teoria de conjunts: {├ y:Fy}┤ ("la classe o conjunt de les coses a les que s’aplica el predicat F") i utilitzant el símbol ∈ per designar la pertinència d’una cosa a una classe o conjunt és possible deduir-ne la paradoxa d’aquestes dues equivalències: ∀x (x ∈ {├ y:Fy}┤ ↔ Fx ("dir d’una cosa que pertany al conjunt de les coses que són F, és dir d’elles que és F") i simbolitzant per R la classe de Russell: R = {├ y: ¬(y ∈ y)}┤ ("la classe de Russell es defineix com la classe o conjunt de les classes que no són membres de sí mateixa").

Solució

De les dues proposicions ja indicades: [∀x (x ∈ {├ y:Fy}┤ ↔ Fx] i [R = {├ y: ¬(y ∈ y)}┤] en resulta, substituint en la primera el conjunt definit en la segona: ∀x (x ∈ R ↔ ¬(x ∈ x)) I d’aquesta última, substituint en ella x per R, en resulta finalment la paradoxa: R ∈ R ↔ ¬(R ∈ R). ("la classe de Russell és membre de sí mateixa sí i només sí no és membre de sí mateixa").

Modalitat

Els grecs i els medievals acostumaven a distingir entre la lògica merament assertiva (que se n’ocupa sense més de la veritat o falsedat dels enunciats i de les relacions de deducció entre ells) i la lògica modal (que incorpora l’anàlisis dels conceptes de necessari, possible o impossible). Lògics recents, com Lewis, Lukasiewicz, Carnap i Von Wright han tornat a investigar la lògica modal, amb l’ajut instrumental de la lògica simbòlica.

Lewis proposa el símbol ◊ per a representar la idea de possible. Així, si A: plogui, tenim:

  • Possibilitat: “és possible que plogui” es tradueix com: ◊ A
  • Contingència: “és possible que no plogui” es tradueix com: ◊ ¬A
  • Impossibilitat: “no és possible que plogui i que no plogui” es tradueix com: ¬◊ (A ∧ ¬A)
  • Necessitat: “no és possible que no sigui cert que plou o no plou” es tradueix com: ¬◊ ¬(A ∨ ¬A)

El concepte de necessari, definit com “el que no pot ser” pels pensadors clàssics, queda així simbolitzat.

Alguns autors utilitzen el símbol ◻ per la idea de "necessari". Definit com: ◻ A = ¬◊ ¬A

Podem representar-ho amb el següent quadrat lògic-modal (amb interrelacions de contradictoriedad, contrarietat i subalternació semblants a les el quadre de lògica assertòrica: [39])

Dues lleis de lògica modal que ja varen ser tractades pels clàssics permeten deduir-ne el real del necessari: A necesse ad esse (si quelcom és necessari aleshores és real) i ab esse ad posse (si quelcom és real aleshores és possible).

Podem formular-ho així: ◻ A ⊢ A (a necesse ad esse) i A ⊢ ◊ A (ab esse ad posse)

Exercici: Formalització de proposicions modals

  • Si és necessari que existeixi la llibertat, és necessari que sigui possible que existeixi el mal.
  • Si és necessari que existeixi el mal, aleshores no és necessari que sigui necessari que existeixi Déu.
  • Si és possible que sigui necessari que existeixi el mal o és possible que sigui necessari que existeixi la llibertat, aleshores és possible que no sigui necessari que Déu existeixi.
  • Si és necessari que, si Déu existeix, existeixi la llibertat, aleshores és necessari que sigui possible que sigui necessari que existeixi el mal.

Solució

  • Si és necessari que existeixi la llibertat, és necessari que sigui possible que existeixi el mal.
  • Si és necessari que existeixi el mal, aleshores no és necessari que sigui necessari que existeixi Déu.
  • Si és possible que sigui necessari que existeixi el mal o és possible que sigui necessari que existeixi la llibertat, aleshores és possible que no sigui necessari que Déu existeixi.
  • Si és necessari que, si Déu existeix, existeixi la llibertat, aleshores és necessari que sigui possible que sigui necessari que existeixi el mal.

Representem: L: llibertat; M: mal; D: Déu

Aleshores:

  • Si és necessari que existeixi la llibertat, és necessari que sigui possible que existeixi el mal:
    • ◊ L → ◻ ◊ M
  • Si és necessari que existeixi el mal, aleshores no és necessari que sigui necessari que existeixi Déu:
    • ◻ M → ¬◻ ◻ D
  • Si és possible que sigui necessari que existeixi el mal o és possible que sigui necessari que existeixi la llibertat, aleshores és possible que no sigui necessari que Déu existeixi:
    • (◊ ◻ M ∨ ◊◻ L) → ◊ ¬◻ D
  • Si és necessari que, si Déu existeix, existeixi la llibertat, aleshores és necessari que sigui possible que sigui necessari que existeixi el mal:
    • ◻ (D → L) → ◻ ◊ ◻ M

Contextos intencionals

La lògica simbòlica clàssica té caràcter extensional:

  1. El grau de certesa d’una proposició és una funció del grau de certesa de les fórmules que la composen: (p ∧ q) és cert només sí p i q són certs; (p → q) és fals només si p és cert i q és fals; (p ∨ q) és fals només si p és fals i q és fals; etc.
  2. El grau de certesa d’una proposició simple és funció de l’extensió dels seus predicats. Si dos predicats tenen la mateixa extensió, per exemple: “animal que pensa” i “animal que riu” poden ser intercanviats sense alterar-ne el grau de veritat de la proposició.

Si no és compleix el caràcter extensional, es diu que és una lògica intensional. Per exemple les lògiques modals i la de contextos intencionals, on les proposicions estan verbalitzades significativament com actes mentals (conèixer o creure). Per exemple, a la proposició: “Els planetes del sistema solar son quatre”, la ciència ens diu que és una proposició falsa. Però en un context intencional, per exemple: “En Joan creu que els planetes dels sistema solar són quatre”, el seu grau de veritat depèn de la creença o estat mental d’en Joan. La proposició és extensionalment falsa i pot ser cert que en Joan o creu.

Proposicions mixtes de modalitat i context intencional

La lògica deòntica és una moderna lògica modal que formalitza com a operadors o prefix modals els conceptes d’obligatorietat (haver de, ser obligatori, ...) simbolitzats per la lletra O i els de permissibilitat, simbolitzat per la lletra P. La lògica epistèmica formalitza conceptes de coneixement i de creença:

  • Kxp: la persona x sap o coneix que p
  • Bxp: la persona x creu que p

Exercici: Formalització de lògica deòntica i epistèmica

“Tothom que creu que ha de fer una cosa, qualsevol que sigui aquesta, és obligat a fer-la". "Hi ha qui creu que n’hi ha coses que són obligats a fer". "Per tant algú ha de fer quelcom".

Solució

∀x ∀y (BxOxy → Oxy), ∃x ∃y BxOxy ⊢ ∃x ∃y Ox

L’operador epistèmic B requereix doble argument: el primer és una variable o constant personal, el segon una variable o constant proposicional que pot ser modal o no. [BxOxy: la persona x creu que és obligatori que x faci y] [Oxy: és obligatori que x faci y].

  1. ∀x ∀y (BxOxy → Oxy) Premissa
  2. ∃x ∃y BxOxy Premissa
  3. BaOap → Oap EG 1 Eliminar generalització
    1. BaOap Suposició particular
    2. Oap MP4,3 Modus ponens
    3. ∃x ∃y Oxy IP 5 Introduir particularització
  1. ⊢ ∃x ∃y Oxy EP 2, 4-6

↦ Existeix algú (x) que creu que altre (y) ha de fer quelcom

Exercici: Aristòtil davant la mort de Plató

Formalitzis —utilitzant com a prefix modals: P: ser lícit o permès; D: ser decorós—: “Aquí jeu un home de tal condició que no seria lícit ni decorós que entonés públicament la seva lloança personatge algun mancat de cultura o de pietat".

Solució

Representem: Hx: x és home; Jx: x jeu aquí, de cos present; Exy: x entona públicament la lloança de y; Pp: és lícit o és permès que p; Dp: és decorós que p; Cx: x és culte; Rx: x és religiós (pietós).

Aleshores:

∃x (Hx ∧ Jx ∧ ∀y (Hy ∧ (¬Cy ∨ ¬Ry) → ¬(PEyx ∨ DEyx))

La lògica proposicional moderna

La lògica proposicional moderna utilitza símbols i connectors lògics, avaluant-ne les expressions amb taules de la veritat.

Avaluació d’expressions lògiques

Per exemple, si avaluem el sil·logisme clàssic:

  • "Tots els homes són mortals".
  • "Sòcrates és un home".
  • "Per tant, Sòcrates és mortal".

Tindríem:

Símbols: p = home, q = mortal, r = Sòcrates

Expressió lògica: ((p → q) ˄ (r ↔ p)) → (r → q)

Construïm la taula de la veritat de l’expressió lògica.

Observem que a la columna del connector principal de l’expressió lògica tot son valors certs (1). Per tant es tracta d’una tautologia (fórmula ben formada que resulta certa en tots els valors possibles de les variables lògiques implicades).

Vegem-ne ara, per exemple, un dels modes vàlids de sil·logisme d’Aristòtil: el mode DARAPTI.

AAI-3 (DARAPTI) : "Tot M és P"; "Tot M és S"; "Algun M existeix"; aleshores "Algun S és P".

  • "Tot M és P": (M → P) —equivalent a no existeix cap M que no sigui P: ~(M ˄ ~P)—
  • "Tot M és S": (M → S) —equivalent a no existeix cap M que no sigui S: ~(M ˄ ~S)—
  • "Algun M existeix": (M)
  • Aleshores "Algun S és P": →(S ˄ P)

Avaluem l’expressió (((M → P) ˄ ( M → S)) ˄ M) → (S ˄ P), i observem que és també una tautologia:

 

Jordi Coll Vera - 2020


[37]
Leibniz
[38]
Es quantifica aquí una lletra predicativa, procediment no usual en lògica elemental. Els quantificadors s’apliquen exclusivament a variables individuals.
[39]
Apartat d’argumentació sil·logística.