ANNEX-II: SÍMBOLS I REGLES DE DEDUCCIÓ DE LA LÒGICA DE PREDICATS

Regles bàsiques

Abreviatura

Descripció

Antecedent

Conseqüent

Introducció de generalitzador ^[40]

⊢ ∀x Px

Introducció de particularitzador

⊢ ∃x Px

Eliminació de generalitzador

∀x Px

⊢ Pa

Eliminació de particularitzador ^[41]

∃x Px, Pa → A

⊢ A

Regles derivades

Abreviatura

Descripció

Antecedent

Conseqüent

Intercanvi

A ↔ B, CA

⊢ C_B

Definició del generalitzador

∀x Px

⊢ ∄x ¬ Px

Negació del generalitzador

¬ ∀x Px

⊢ ∃x ¬ Px

Definició del particularitzador

∃x Px

⊢ ∃¬ ∀x ¬ Px

Negació del particularitzador

∄x Px

⊢ ∀x ¬Px

Descens quantificacional

∀x Px

⊢ ∃x Px

MV₁

Mutació de variable 1

∀x Px

↔ ∀y Py

MV₂

Mutació de variable 2

∃x Px

↔ ∃y Py

Distribució quantificacional

Els quantificadors universal (∀x) i particular (∃x) són distribuïbles entre els predicats, ja sigui en conjunció, en disjunció, en implicació o en coimplicació.

Distribució de quantificadors en conjunció

∀x (Px ∧ Qx) ↔ ∀x Px ∧ ∀x Qx
∃x (Px ∧ Qx) → ∃x Px ∧ ∃x Qx
∃x Px ∧ ∃x Qx → ∃x (Px ∧ Qx)

Distribució de quantificadors en disjunció

∃x (Px ∨ Qx) ↔ ∃x Px ∨ ∃x Qx
∀x Px ∨ ∀x Qx → ∀x (Px ∨ Qx)
∀x (Px ∨ Qx) → ∀x Px ∨ ∀x Qx

Distribució de quantificadors en implicació

∀x (Px → Qx) → (∀x Px → ∀x Qx)
∀x (Px → Qx) → (∃x Px → ∃x Qx)
∃x (Px → Qx) → (∀x Px → ∃x Qx)
(∃x Px → ∃x Qx) → ∃x (Px → Qx)

Distribució de quantificadors en coimplicació

∀x (Px ↔ Qx) → (∀x Px ↔ ∀x Qx)
∀x (Px ↔ Qx) → (∃x Px ↔ ∃x Qx)

Jordi Coll Vera - 2020

[40]

“a” no ha d’ocórrer en cap supòsit previ no cancel·lat.

[41]

“a” no ha d’ocórrer en ∀x Px, ni en A, ni en cap supòsit previ no cancel·lat.