Exercicis ressolts del llibre "Ejercicios de lógica" d’Eulàlia Pérez Sedeño

Enunciats

La fletxa ens durà a la solució.

Solucions dels exercicis del llibre "Ejercicios de lógica" d’Eulàlia Pérez Sedeño

La fletxa ens durà a l'enunciat.

  Enunciat

1 - "Si la tempesta continua o es fa de nit, ens quedarem a sopar o a dormir"; "Si ens quedem a sopar o a dormir no anirem demà al concert"; "Pero sí que hi anirem"; Per tant, "la tempesta no continua".

Formalització:

• "la tempesta continua": p
• "es fa de nit": q
• "ens quedem a sopar": r
• "ens quedem a dormir": s
• "demà anirem al concert": t

Raonament lògic:

• "Si la tempesta continua o es fa de nit, ens quedarem a sopar o a dormir": (p ∨ q) → (r ∨ s)
• "Si ens quedem a sopar o a dormir no anirem demà al concert": (r ∨ s) → ¬t
• "Pero sí que hi anirem (al concert)": t
• Per tant, "la tempesta no continua": ¬p

Demostració:

1. (p ∨ q) → (r ∨ s) Premisa
2. (r ∨ s) → ¬t Premisa
3. t Premisa
4. p Suposició
5. (p ∨ q) → ¬t TRANS C. 1,2
6. ¬(p ∨ q) M.T. 5,3
7. ¬p ∧ ¬q De Morgan 6
8. ¬p E.C. 7
9. p ∧ ¬p I.C. 4, 8

10. ¬p I.N. 4-9

↦ la tempesta no continua

  Enunciat

2 - "Si x = 1 i y = 2, aleshores z = 3"; "Si y = 2 aleshores z = 3 i aleshores w = 0"; "x = 1"; Per tant, "w = 0".

Formalització:

• "x = 1": p
• "y = 2": q
• "z = 3": r
• "w = 0": s

Raonament lògic:

• "Si x = 1 i y = 2, aleshores z = 3": (p ∧ q) → r
• "Si y = 2 aleshores z = 3 i aleshores w = 0": (q → r) → s
• "x = 1": p
• Per tant, "w = 0": s

Demostració:

1. (p ∧ q) → r Premisa
2. (q → r) → s Premisa
3. p Premisa
4. ¬s Suposició
5. ¬(q → r) M.T. 2, 4
6. q ∧ ¬r Def C. 5
7. q E.C. 6
8. ¬r E.C. 6
9. p ∧ q I.C. 3,
10. r E.I. 1,9
11. r ∧ ¬r I.C. 10,8

12. ¬¬s I.N. 4-11
13. s E.N. 12

↦ w = 0

  Enunciat

3 - "Si un triangle té tres àngles, un cuadrat té quatre àngles rectes"; "Un triangle té tres àngles i la seva suma val dos àngles rectes"; "Si el rombes tenen quatre àngles rectes, els quadrats no tenen quatre àngles rectes"; Per tant, "els rombes no tenen quatre àngles rectes".

Formalització:

• "un triangle té tres àngles": p
• "un cuadrat té quatre àngles rectes": q
• "la seva suma val dos àngles rectes": r
• "el rombes tenen quatre àngles rectes": s

Raonament lògic:

• "Si un triangle té tres àngles, un quadrat té quatre àngles rectes": p → q
• "Un triangle té tres àngles i la seva suma val dos àngles rectes": p ∧ r
• "Si el rombes tenen quatre àngles rectes, els quadrats no tenen quatre àngles rectes": s → ¬q
• Per tant, "els rombes no tenen quatre àngles rectes": ¬s

Demostració:

1. p → q Premisa
2. p ∧ r Premisa
3. s → ¬q Premisa
4. s Suposició
5. ¬q E.I. 3, 4
6. ¬p M.T. 1,5
7. p E.C. 2
8. p ∧ ¬p I.C. 7,6

9. ¬s I.N. 4-8

↦ els rombes no tenen quatre àngles rectes

  Enunciat

4 - "Si la goril·la és atractiva, el goril·la somriurà obertament o serà infeliç". "Si és infeliç, no procrearà en captivitat". Per tan, "si la goril·la és atractiva, aleshores, si el goril·la no somriu obertament, no procrearà en captivitat".

Formalització:

• "la goril·la és atractiva": p
• "el goril·la somriurà obertament": q
• "el goril·la és feliç": r
• "el goril·la procrearà en captivitat": s

Raonament lògic:

• "Si la goril·la és atractiva, el goril·la somriurà obertament o serà infeliç": p → (q ∨ ¬r)
• "Si el goril·la és infeliç, no procrearà en captivitat": ¬r → ¬s
• Per tant "si la goril·la és atractiva, aleshores, si el goril·la no somriu obertament, no procrearà en captivitat": p → ( ¬q → ¬s )

Demostració:

1. p →(q ∨ ¬r) Premisa
2. ¬r → ¬s Premisa
3. p Suposició 1
4. ¬q Suposició 2
5. q ∨ ¬r E.I. 1,3
6. ¬r SIL. DISY. 5,4
7. ¬s E.I. 2, 6
8. ¬q → ¬s I.I. 4-7

9. p → (¬q → ¬s) I.I. 3-8

↦ Si la goril·la és atractiva, aleshores, si el goril·la no somriu obertament, no procrearà en captivitat

  Enunciat

5 - "Si l'exèrcit marxa contra l'enemic, té possibilitats d'èxit"; "Si té possibilitats d'èxit arrasarà la capital enemiga"; "O l'exèrcit marxa contra l'enemic, o es replega ràpidament"; "Si es replega ràpidament, l'enemic atacarà la seva reraguarda"; "Si l'enemic ataca la seva reraguarda perdrà la guerra". Per tant, "si no arrasa la capital enemiga, perdrà la guerra".

Formalització:

• "L'exèrcit marxa contra l'enemic": p
• "Té possibilitats d'èxit"": q
• "Arrasarà la capital enemiga": r
• "Es replega ràpidament": s
• "L'enemic ataca la seva reraguarda": t
• "Perdrà la guerra": u

Raonament lògic:

• "Si l'exèrcit marxa contra l'enemic, té possibilitats d'èxit i aleshores arrasarà la capital enemiga": (p → q) ∧ (q → r)
• "L'exèrcit marxa contra l'enemic, o es replega ràpidament": p ∨ s
• "Si es replega ràpidament, l'enemic atacarà la seva reraguarda i aleshores perdrà la guerra": (s → t) ∧ (t → u)
• Per tant, "si no arrasa la capital enemiga, perdrà la guerra": ¬r → u

Demostració:

1. (p → q) ∧ (q → r) Premisa
2. p ∨ s Premisa
3. (s → t) ∧ (t → u) Premisa
4. ¬r Suposicio
5. p → r TRANS. C.1
6. s → u TRANS. C.3
7. ¬p M.T. 5, 4
8. s SIL. DISY. 2, 7
9. u E.I. 6, 8

10. ¬r → u I.I. 4-9

↦ si no arrasa la capital enemiga, perdrà la guerra

  Enunciat

6 - "Si el cometa Halley passa prop de la Terra, podrem observar-lo amb un telescopi"; Si les condicions no són propicies no passarà prop de la Terra"; "Si s'envia una sonda espacial al seu encontre, les condicions seran propicies"; "Si passa prop de la Terra i les condicions són propicies, podrem apreciar-ne la seva bellesa"; "O les condicions no són propicies o podrem observar el Halley amb un telescopi. Per tant, "si el cometa Halley passa prop de la Terra, o s'envia una sonda espacial al seu encontre, podrem apreciar la seva bellesa".

Formalització:

• "El cometa Halley passa prop de la Terra": p
• "Podem observar-lo amb un telescopi": q
• "Les condicions són propicies": r
• "S'envia una sonda espacial al seu encontre": s
• "Podrem apreciar la seva bellesa": t

Raonament lògic:

• "Si el cometa Halley passa prop de la Terra, podrem observar-lo amb un telescopi": p → q
• "Si les condicions no són propicies el cometa Halley no passarà prop de la Terra": ¬r → ¬p
• "Si s'envia una sonda espacial al seu encontre les condicions són propicies": s → r
• "Si el cometa Halley passa prop de la Terra i les condicions són propicies podrem apreciar la bellesa del Halley": (p ∧ r) → t
• "Les condicions no són propicies o no podrem observar-lo amb un telescopi": ¬r ∨ q
• "Si el cometa Halley passa prop de la Terra o s'envia una sonda espacial al seu encontre, podrem apreciar la seva bellesa": (p ∨ s) → t

1. p → q Premisa
2. ¬r → ¬p Premisa
3. s → r Premisa
4. (p ∧ r) → t Premisa
5. ¬r ∨ q Premisa
6. p → (r → t) EXP 4
7. ¬p ∨ ¬r ∨t IMP+DISJ 6
8. ¬r ∨ ¬p ∨t COMM 7
9. r → (p → t) IMP+DISJ
10. s → (p → t) SIL.HIP. 3-9
11. ¬s ∨ ¬p ∨ t IMPL+DISJ 10
12. ¬(¬s ∨ ¬p) → t IMPL+DISJ 11
13. ¬(¬p ∨ ¬s) → t COMM 12
14. (p ∧ s) → t De Morgan + DNEG

↦ El raonament no és vàlid. No s'arriba, ni es pot arribar, a la conclusió de l'enunciat

El raonament correcte seria: "Si el cometa Halley passa prop de la Terra i s'envia una sonda espacial al seu encontre, podrem apreciar la seva bellesa".

  Enunciat

7 - "Si no és cert que es pot ser ric i feliç a l'hora, aleshores la vida és plena de frustracions i no és un camí de roses". "Si s'és feliç, no es pot tenir tot". Per tant, "la vida és plena de frustracions".

Formalització:

• "Es pot ser ric": p
• "Es pot ser feliç": q
• "La vida és plena de frustracions": r
• "La vida és un camí de roses": s

Raonament lògic:

• "Si no és cert que es pot ser ric i feliç a l'hora, aleshores la vida és plena de frustracions i no és un camí de roses"¬(p ∧ q) → (r ∧ ¬s)
• "Si s'és feliç, no es pot tenir tot": q → ¬p
• Per tant "la vida és plena de frustracions": r

Demostració:

1. ¬(p ∧ q) → (r ∧ ¬s) Premisa
2. q → ¬p Premisa
3. ¬r Suposició
4. ¬q ∨ ¬p Def. C. 2
5. ¬p ∨ ¬q COM. C. 4
6. ¬(p ∧ q) De Morgan. 5
7. r ∧ ¬s E.I. 1, 6
8. r E.C. 7
9. r ∧ ¬r I.C. 8, 3

10. ¬¬r I.N. 3-9
11. r E.N. 10

↦ la vida és plena de frustracions

  Enunciat

8 - "Si la descripció bíblica de la cosmologia és estrictament correcte, el Sol no va ser creat fins al quart dia". "I si el Sol no va ser creat fins al quart dia, no es pot haver produït la successió del dia i la nit durant els tres primers dies". "Però, o bé les Escriptures utilitzen la paraula 'dia' en un sentit diferent a l'acceptat usualment, o bé el Sol ha d'haver estat la causa de la successió del dia i la nit durant els tres primers dies". De manera que es desprèn que, "o bé la descripció bíblica de la cosmologia no és estrictament correcte, o bé 'dia' és utilitzat en les Escriptures amb un sentit diferent a l'usual".

Formalització:

• "La descripción bíblica de la cosmologia...": p
• "El Sol va ser creat el quart dia": q
• "Pot haver produït la successió...": r
• "Les Escriptures utilitzen la palabra 'dia'...": s

Raonament lògic:

• "Si la descripció bíblica de la cosmologia és estrictament correcte, el Sol no va ser creat fins al quart dia": p → ¬q
• "Si el Sol no va ser creat fins al quart dia, no es pot haver produït la successió del dia i la nit durant els tres primers dies": ¬q → ¬r
• "Les Escriptures utilitzen la paraula 'dia' en un sentit diferent a l'acceptat usualment, o bé el Sol ... dia i la nit durant els tres primers dies": s ∨ r
• "O bé la descripció bíblica de la cosmologia no és estrictament correcte, o bé 'dia' ... amb un sentit diferent a l'usual": ¬p ∨ s

Demostració:

1. p → ¬q Premisa
2. ¬q → ¬r Premisa
3. s ∨ r Premisa
4. ¬(¬p ∨ s) Suposició
5. p → ¬r TRANS. C. 1,2
6. p ∧ ¬s De Morgan. 4
7. p E.C. 6
8. ¬r E.I. 5, 7
9. ¬s E.C. 6
10. r SIL. DISY. 3, 9

11. r ∧ ¬r I.C. 10, 8
12. ¬p ∨ s I.N. 5-11

↦ O bé la descripció bíblica de la cosmologia no és estrictament correcte, o bé 'dia' ... amb un sentit diferent a l'usual

  Enunciat

9 - "Si Elvira opina que s'ha de fer el possible per a ser feliç, abandonarà al seu amant o es dedicarà a la seva professió". "Si es dedica a la seva professió, no deixarà al seu marit". En conclusió, "si Elvira opina que s'ha de fer el possible per a ser feliç, aleshores, deixarà al seu marit encara que no abandoni l'amant".

Formalització:

• "Elvira opina que...":p
• "abandonarà al seu amant":q
• "es dedicarà a la seva professió":r
• "deixarà al marit":s

Raonament lògic:

• "Si Elvira opina que s'ha de fer el possible per a ser feliç, abandonarà al seu amant o es dedicarà a la seva professió": p → (q ∨ r)
• "Si es dedica a la seva professió, no deixarà al seu marit": r → ¬s
• En conclusió, "si Elvira opina que s'ha de fer el possible per a ser feliç, aleshores, deixarà al seu marit encara que no abandoni l'amant": p → (¬q → s)

Demostració:

1. p → (q ∨ r) Premisa
2. r → ¬s Premisa
3. p Suposició 1
4. ¬q Suposició 2
5. r SIMP 1
6. ¬s IMP 2

↦ El raonament no és vàlid. Si no abandona al seu amant no deixarà al marit.

  Enunciat

10 - "No existeix una estrella bessona al Sol fora de la Via Làctia o existeix un planeta en aquesta estrella anomenat Nèmesi". "Els dinosaures van desaparèixer de la faç de la Terra a causa d'un cataclisme produït per l'aproximació al nostre planeta d'un cos celeste de considerable mida". "Si, si existeix una estrella bessona al Sol fora de la Via Làctia, el seu planeta Nèmesi destruirà la Terra, llavors no és cert que els dinosaures van desaparèixer de la faç de la Terra a causa d'un cataclisme produït per l'aproximació al nostre planeta d'un cos celeste de considerable mida". Per tant, "no és cert que si és cert que existeix un planeta anomenat Nèmesi a l'estrella bessona al Sol que es troba fora de la Via Làctia, destruirà la Terra".

Formalització:

• "existeix una estrella bessona...: p
• "existeix un planeta anomenat Némesis: q
• "els dinosaures desapareixeren...: r
• "Némesis destruirà la Terra: s

Raonament lògic:

• "No existeix una estrella bessona al Sol fora de la Via Làctia o existeix un planeta en aquesta estrella anomenat Nèmesi": ¬p ∨ q
• "Els dinosaures van desaparèixer de la faç de la Terra...": r
• "Si, si existeix una estrella bessona al Sol fora de la Via Làctia, el seu planeta Nèmesi destruirà la Terra, llavors no és cert que els dinosaures van desaparèixer de la faç de la Terra...": (p → s) → ¬r
• Per tant, "no és cert que si és cert que existeix un planeta anomenat Nèmesi a l'estrella bessona al Sol que es troba fora de la Via Làctia, destruirà la Terra": ¬(q → s)

Demostració:

1. ¬p ∨ q Premisa
2. r Premisa
3. (p → s) → ¬r Premisa
4. q → s Suposició
5. ¬(p → s) M.T. 3,2
6. p ∧ ¬s Def. C. 5
7. p E.C. 6
8. q SIL. DISY. 1, 7
9. s E.I. 4,8
10. ¬s E.C. 6
11. s ∧ ¬s I.C. 10, 11

12. ¬(q → s) I.N. 4-11

↦ No és cert que si és cert que existeix un planeta anomenat Nèmesi...

Jordi Coll Vera - 2020