Definicions

L'Estadística descriptiva intenta explicar quantitativament les característiques principals de la recollida de dades elaborant-ne un resum de les mateixes.

L'Estadística inferencial o l'Estadística inductiva pretenen, en canvi, utilitzar les dades per a estimar-ne els paràmetres poblacionals, segons la teoria de la probabilitat.

L’Estadística descriptiva proporciona una metodologia per tal d’ordenar, mostrar, classificar i representar dades —pes de les persones, beneficis diaris d’una empresa, temperatura mensual,… —.

Ens permet també trobar característiques numèriques que serveixen per a resumir les dades que tenim, amb l’objectiu de donar-nos la més gran quantitat d’informació possible amb la mínima pèrdua —resums de valors estadístics, taules, gràfics, ... —.

L’objecte d’estudi és la població. El conjunt homogeni d’elements en els quals s’estudia una determinada característica o paràmetre.

Normalment no és possible estudiar-hi tots els elements de la població —fer un cens—. Les raons són múltiples: perquè l’estudi implica la seva destrucció; per existir únicament de manera conceptual; per no ser viable econòmicament; o per ser l’estudi impracticable donat el seu gran nombre d’elements.

De la població se n’extreu, doncs, un subconjunt finit de representants —la mostra—. De la mostra se n’extreuen els estimadors o estadístics.

Un estimador o estadístic és una funció dels valors de la mostra que ens permet calcular —de manera aproximada— algun paràmetre de la població.

Així, per exemple, a partir de l’estimador mitjana mostral \((\bar{x})\) s’avalua el paràmetre mitjana poblacional \((μ)\); a partir de l’estimador variància mostral \((S^2)\) s’avalua el paràmetre variància poblacional \((σ^2)\); etc.

Com s’ha dit anteriorment, és impossible estudiar-hi tots els elements d’una població, per tant, els paràmetres seran sempre aproximats pels estimadors a partir del mostreig de la població. Aproximació que es suposa dins una distribució teòrica de probabilitat —en el cas d’utilitzar mètodes paramètrics— o bé lliure de distribució —en el cas dels mètodes no paramètrics—.

Com l’estimador o estadístic, —per causa del l’atzar— mai serà el valor exacte del paràmetre poblacional, cal establir un marge d’error \((ME)\) i un interval de confiança \((IC)\) del valor real del paràmetre estimat igual al valor de l’estimador \( \pm\ ME\).

\[IC=(estimador - ME,estimador + ME)\]

De manera que l’amplitud de l’interval de confiança serà igual a \((2 \cdot ME) \). El que intereresa és tenir marges d’error —i, per tant, amplituds d’interval— el més petits possibles. Fet directament relacionat amb la mida de la mostra: un marge d’error petit precisa d’una mostra gran —i, per tant, l’estudi serà més costós—.

A cada marge d’error —i, per tant, a cada interval de confiança— li correspon un percentatge que representa el grau de confiança de que l’estadístic estimat es correspongui amb el valor real del paràmetre poblacional. Aquest percentatge s’anomena nivell de confiança. El nivell de confiança més utilitzat és el 95 %.

La variabilitat en el valor d’un estimador es mesura amb l’error estàndard. Similar a la desviació estàndard de la mostra però aplicat a mitjanes o percentatges obtinguts a través d’altres mostres.

El marge d’error és el nombre d’errors estàndard necessaris per assolir el nivell de confiança esperat. Aquest nombre és el valor crític: el nombre d’errors estàndard que s’han de sumar o restar a cada interval de confiança.

A mesura que augmenta el nivell de confiança ho fan també el valor crític i el marge d’error.

Per exemple, en una distribució normal, el valor crític al 95 % de nivell de confiança és: \(z_\alpha = z_{0.05;bilateral} = 1.959964 \).

Amb R:

---

Amb un nivell de confiança del 95 % s'obté un valor crític de 1.959964 i amb un nivell de confiança del 99 % s'obté un valor crític de 2.575829 .

Amb R:

---

Es pot compensar l’increment del marge d’error augmentant la mida \((n)\) de la mostra.

Fórmules útils per a calcular \(n\) són:

• En un interval de confiança per a \(μ\): \(\ n \geq \frac{z_α \cdot \sigma}{ME} \)
• Si l’estimació és en percentatge —amb \(z_α = z_{0.05;bilateral} = 1.959964—\): \(\ ME \approx \frac{1}{\sqrt{n}} \)

Quan la mida de la mostra augmenta, el marge d’error disminueix i l’interval de confiança es fa més estret.

El procés de mostreig és, doncs, molt important: cal escollir-ne bé el mètode i la mida o la grandària de la mostra. Si la mostra és ben escollida, el seu estudi ens proporcionarà la mateixa informació que l’estudi de tota la població en el seu conjunt.

S’anomena variable —numèrica o no numèrica— a cadascuna de les característiques observades en la mostra —edat, pes, ingressos mensuals, nombre d’individus, ... —.

Es defineixen dos tipus de variables:

• Les variables qualitatives —categòriques—. Representen característiques no numèriques —atributs—. Prenen valors agrupats en categories que, de vegades, és convenient ordenar numèricament —variables ordinals— o no —variables nominals—.
• Les variables quantitatives —numèriques—. Prenen valors numèrics. Poden pertànyer a un conjunt finit i numerable —variables discretes— o a un conjunt infinit no numerable —variables contínues—.

Suposis el següent conjunt de dades: { 60, 25, 45, 64, 42, 51, 50, 41, 25, 19, 25, 37, 62, 43, 22, 21, 70, 65, 31, 23, 34, 12, 47, 55 }

---

Amb R:

---

[Nota: Herbert Arthur Sturges (1882 Ohio-1958 Santa Rita), matemàtic i estadístic alemany. La regla d’Sturges ens proposa que —donades \(n\) observacions— el nombre òptim \(k\) d’intervals ens vindrà donat per \(k = 1 + log_2⁡(n)\)].

A la taula anterior:

• f: la freqüència absoluta: nombre de casos.
• rf: la freqüència relativa: nombre de casos sobre el total.
• rf(%): la freqüència relativa, en percentatge.
• cf: la freqüència acumulada: nombre de casos, acumulats.
• cf(%): la freqüència acumulada, en percentatge.

La distribució de freqüències —la distribució empírica— d’una variable es calcula a partir de les freqüències observades en la mostra estudiada, per a cadascun dels valors que pot prendre la variable.

La distribució de probabilitat és la de tots els valors teòrics de la variable, amb les seves corresponents probabilitats.

La diferència entre ambdues distribucions es deu a l’atzar —la variabilitat aleatòria—.

Es llença una moneda 50 vegades i se n’obtenen 22 cares i 28 creus. Quina és la distribució de freqüències i quina la distribució de probabilitat?

• Distribució de freqüències o empírica —el resultat real obtingut—: 22 cares i 28 creus.
• Distribució de probabilitat o teòrica: 25 cares i 25 creus —al 50%—.

S’observa que la moneda no és ideal. La distribució empírica és diferent de la teòrica. S'afavoreix la creu com a resultat.

---

Amb R:

---

El mostreig

Es pot també definir la població com el conjunt de tots els resultats possibles d’un experiment aleatori.

La població es caracteritza per les seves variables aleatòries —o elements— que la composen. Les variables aleatòries ho fan per la seva variància i distribució de probabilitat, que marquen el comportament aleatori de la població.

En la major part dels casos no es pot treballar amb tota la població. S’ha de triar una mostra significativa de la mateixa. La mostra ha de ser tan ben escollida que representi —el millor possible— a tota la població, en el seu conjunt. Un bon mètode de mostreig preten la representació —a escala poblacional— en la mostra obtinguda.

La mostra és un subconjunt d’elements de la població de mida \(n\). També és el resultat de repetir \(n\) cops un determinat experiment aleatori.

Una mostra \(X\) de mida \(n\), serà representada pels seus elements \( \left\{x_1, x_2,···,x_n \right\} \) —amb \(x_i\) l’element corresponent a la \(i\)-èsima observació—.

El conjunt de totes les mostres possibles de mida \(n\) rep el nom d’espai mostral, \(X\).

La distribució de probabilitat de cadascuna de les mostres depen de la distribució de probabilitat de la variable aleatòria poblacional \(F(x)\), del procediment de selecció de la mostra i de la seva mida \(n\).

Bàsicament es pot distingir, en el mostreig:

• L’extracció aleatòria dels elements de la població. Mètode que posteriorment ens permetrà avaluar —en termes de probabilitat— l’error de la mostra respecte la població en el seu conjunt.
• L’extracció no aleatòria dels elements de la població. L’investigador els selecciona segons el seu criteri. S’obté una mostra d’opinió, que no permetrà avaluar posteriorment —en termes de probabilitat— l’error de la mostra respecte la població en el seu conjunt.
• L’extracció amb reposició dels elements de la població. Cada element extret és estudiat i retornat posteriorment a la població. La probabilitat de cada element de la població no varia. Els elements de la mostra són tots independents.
• L’extracció sense reposició dels elements de la població. Cada element extret és estudiat i posteriorment no retornat a la població. La probabilitat de cada element de la població sí que varia. Els elements de la mostra ja no són independents.

Vegem-ne ara els mètodes de mostreig més habituals.

Mostreig aleatori simple

En el mostreig aleatori simple es considera que tots els individus de la població objectiu són homogenis respecte la variable a considerar.

Característiques del mostreig aleatori simple:

• No es té cap informació a priori sobre la composició de la població.
• La probabilitat de ser escollit és la mateixa per a tots els elements de la població objectiu.
• La característica estudiada és representada en la mostra en la mateixa proporció que en la població.
• Les observacions es realitzen amb o sense reposició.

Sigui \(X\) una variable aleatòria definida sobre una població \(Ω\) de mida \(N\).

La mostra \( \left\{x_1, x_2,···,x_n \right\} \) representa una mostra aleatòria simple de \(X\) —de mida \(n\), l'espai mostral— tal que:

• \( \left\{x_1, x_2,···,x_n \right\} \) són variables aleatòries independents.
• \( \forall\ i, X_i \) té la mateixa distribució de probabilitat que \(X\).

En conseqüència —amb \( f_x (x) \) la funció de densitat de \(X\)— la funció de densitat de la mostra aleatòria simple és \(f_x(x_1)\cdot f_x(x_2)\cdot ··· \cdot f_x(x_n) \).

En general, no importa si el mostreig és amb o sense reposició. Cada observació \(x\) és un valor aleatori de la població. \( P(x) < A \) que coincideix amb la proporció d’elements de la població amb valors menors que \(A\).

Si la fracció \( \frac{n}{N} \) és major que \( 0.1 \) —la població és petita en relació a la mostra— la diferencia entre mostreig amb o sense reposició és important.

Sense reposició, la mitjana mostral \( \bar{x} \) segueix sent un estimador centrat de \( \mu \), però la seva variància és menor que \( \frac{\sigma^2}{n} \). Per calcular-la s’haurà de tenir en compte que les \(x\) són dependents —per causa de la no reposició— i que: \[VAR(\bar{x}) = VAR\left[\frac{1}{n}(x_1 + \cdots + x_n)\right] = \frac{1}{n^2} \sum VAR(x_i) + \frac{2}{n^2} \binom{n}{2} \cdot COV(x_i, x_j) \]

Per calcular la covariància entre dues observacions qualsevol s’aplica: \[ COV(x_i, x_j) = \sum_{i=1}^{N} \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{N} (x_i - \mu)(x_j - \mu) \cdot \frac{1}{N(N - 1)} \]

, on \(N(N-1)\) és el nombre de termes que es sumen.

Com \[ \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{N} (x_j - \mu) = - (x_i - \mu) \]

, es té que: \[ COV(x_i, x_j) = \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2 \cdot \frac{1}{N(N - 1)} = \frac{\sigma^2}{N - 1} \]

, donat que —per definició— la variància de la població és: \( \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N} \). Per tant: \[VAR(\bar{x}) = \frac{n \sigma^2}{n^2} + \frac{2}{n^2} \cdot \frac{n(n - 1)}{2} \cdot \left( \frac{-\sigma^2}{N - 1} \right) = \frac{\sigma^2}{n} \cdot \left( \frac{N - n}{N - 1} \right) \]

El factor \(f = \frac{N-n}{N-1}\) s’anomena factor de correcció en poblacions finites, i s’escriu també com: \[f = \frac{1 - \frac{n}{N}}{1 - \frac{1}{N}} \]

Quan \( \frac{n}{N} < 0.1 \) i \( N > 30 \), \(f \approx 1 \). Sempre que \( \frac{n}{N} \) sigui petit i \(N \) moderadament gran, la precisió de \(\bar{x}\) com a estimació de \( \mu \) depèn únicament de \(n\) —la mida de la mostra— i no de la mida de la població.

Es selecciona una mostra de 30 casos, sense reposició, dels 924 registres amb 3 variables cadascun del dataset crime de R:

---

Amb R:

---

Mostreig aleatori sistemàtic

En el mostreig aleatori sistemàtic la població és ordenada en llistes on l’ordre no té res a veure amb les variables d’estudi.

Es tria aleatòriament un element de la població i es continua seguint un ordre sistemàtic —per exemple, de \(m\) en \(m\)—segons el següent procediment:

• Amb \(N\) la mida de la població i n la mida de la mostra, es selecciona aleatòriament un element d’entre els \(k\) primers elements.
• Sigui \(n_1\) l’ordre de l’element seleccionat, es prenen a continuació els elements \((n_1 + k),\ (n_1 + 2k)\), etc. —a intervals fixos de \(k\)— fins a completar la mostra.

Característiques:

• Si l’ordre dels elements de la llista és aleatori, el mostreig serà equivalent a l’aleatori simple.
• Si l’ordre dels elements de la llista és tal que els més propers tendeixen a ser més semblants que els més llunyans, el mostreig sistemàtic serà més precís que l’aleatori simple —recollirà més homogèniament tota la població—.
• Aquest tipus de mostreig també es pot utilitzar conjuntament amb el mostreig estratificat —apartat següent— dins cadascun dels estrats.

Es selecciona una mostra de 30 casos del dataset crime de R:

---

Amb R:

---

Mostreig aleatori estratificat

En el mostreig aleatori estratificat es disposa d’informació a priori sobre la composició de la població. Informació que cal tenir en compte.

Característiques:

• La població és dividida en capes —o estrats— de rellevància sobre la variable a estudiar.
• Dins cada estrat s’efectua un mostreig aleatori simple o sistemàtic. Amb la mida de mostreig proporcional a la de l’estrat dins la població.
• L’exemple clàssic són les enquestes d’opinió, on interessa que la mostra tingui una composició anàloga a la de la població.
• Els elements de la població es divideixen en classes o estrats.
• S’assigna un nombre o quota de membres a cada estrat i s’escullen els elements dins cada estrat per mostreig aleatori simple.

Si existeixen \(k\) estrats de mides \(\left\{ N_1,···,N_k \right\} \), es pren una mostra que garanteixi la representació fidel de cada estrat. Això s’aconsegueix per dos criteris bàsics al dividir la mida de la mostra \((n)\) entre els estrats \((n_i)\):

• Proporcionalment a la mida relativa de l’estrat dins la població. Es pren \[ n_i = n·\frac{N_i}{N} \]
• Proporcionalment a la variabilitat de l’estrat —coneixent la variància de la característica a estudiar en cada estrat—. Si \( \sigma_i\) representa la desviació típica en l’estrat \(i\), es pren \[ n_i = n \cdot \frac{\sigma_i N_i}{\sum_{j=1}^{k} N_j} \], fórmula equivalent a l’anterior quan la variabilitat és aproximadament constant.

Es selecciona una mostra sense reposició, del dataset "iris" de R:

---

Amb R:

---

[Nota: https://cran.r-project.org/web/packages/sampling/sampling.pdf]

Mostreig per conglomerats

[Nota: Adaptació del text de José Carlos Vega Vilca, Ph.D.; Muestreo con R; Universidad de Puerto Rico, RECINTO DE RIO PIEDRAS, FACULTAD DE ADMINISTRACION DE EMPRESAS, Instituto de Estadística y Sistemas Computadorizados de Información.]

En el mostreig aleatori per conglomerats els individus de la població es troben agrupats en clusters, de nombre conegut.

Característiques:

• L’elecció dels conglomerats s’efectua aleatòriament.
• mostreig posterior és de tipus aleatori simple.
• No es disposa de cap informació sobre els possibles estrats. Tampoc sobre el nombre d’elements de la població.
• Aquest mètode és l’oposat a l’estratificat. L’estratificat funciona bé com més gran és la diferència entre els estrats i més homogenis són internament. Els conglomerats funcionen bé si són molt iguals entre sí i molt heterogenis internament.
• Es disposa d’una població \( U = \left\{1, 2, ···, N \right\} \) amb \(N\) elements.
• La població \(U \) és dividida en \(M\) conglomerats, \(\left\{ C_1, C_2,···,C_M \right \}.\) Cadascun constituït per elements de la població —les unitats finals—.
• Se n’extreu una mostra amb \(m\) conglomerats de \(U\).

El mostreig per conglomerats pot fer-se en una o en dues etapes:

• Mostreig en una etapa. Es seleccionen aleatòriament un cert nombre de conglomerats \((m)\). Dins cada conglomerat es realitza un cens de les unitats finals. Per exemple: Si volem estudiar els hàbits de lectura dels estudiants d'una ciutat, podem seleccionar aleatòriament 5 escoles (conglomerats) i incloure tots els estudiants d'aquestes escoles en la nostra mostra.
• Mostreig en dues etapes. Es seleccionen aleatòriament un cert nombre de conglomerats \((m)\). Dins cada conglomerat es realitza un mostreig de les unitats finals. Per exemple: Utilitzant el mateix escenari, després de seleccionar aleatòriament 5 escoles, en lloc d'incloure tots els estudiants, es selecciona aleatòriament un nombre determinat d'estudiants dins de cada escola per formar part de la mostra.

Durant el mostreig —en ambdós casos— es poden presentar:

• Conglomerats d’igual mida.
• Cada conglomerat \( \left\{C_1, C_2,···, C_M \right \}\) de la població té el mateix nombre d’unitats.
• Si \(u\) representa el nombre d’unitats en cada conglomerat, s’acompleix que \( (M = \frac{N}{u})\) i \( (N = M·u)\).
• Conglomerats de diferent mida.
• Cada conglomerat \( \left\{C_1, C_2,···, C_M \right\} \) de la població té diferent nombre d’unitats primàries.
• Amb \( u_i\) el nombre d’unitats en el conglomerat \(C_i\) per a \(i = \left\{1, 2, ···, M \right\} \).

Mostreig per conglomerats d’una etapa

Mostreig per conglomerats d’una etapa amb conglomerats d'igual mida

S'han de considerar els següents apartats:

• Estimació del total poblacional \( (\widehat{T})\). Siguin \( \left\{ t_1, t_2, ···, t_m \right\} \)els totals en cada conglomerat de la mostra de m conglomerats —amb \(u\) unitats cadascun—.
• La mitjana del total per conglomerat és \[ \bar{t} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} t_i \], amb \( \widehat{T} = M·\bar{t}\)
• Variància de l’estimació del total poblacional \( \text{Var}(\widehat{T})̂ \).
• Sigui \[ \text{var} \, \bar{t} = \frac{s_t^2}{m} \left( \frac{M - m}{M} \right) \], aleshores la variància de la mitjana total per conglomerat és \( \text{Var}\ \widehat{T} = M^2 \cdot \text{Var}\ \bar{t} \)
• Error estàndard de l’estimació del total poblacional \( (\text{se}\ \widehat{T} ) \).
• Sigui \( \text{se}\ \bar{t} = \sqrt{\text{Var}\ \bar{t}} \), aleshores l’error estàndard de la mitjana del total per conglomerat és \(\text{se}\ \widehat{T} = M \cdot \text{se}\ \bar {T} \), amb l'interval de confiança al 95 % \( \text{IC} (T) = \widehat{T} \ \pm 1.96 \cdot \text{se}\ \widehat {T} \)
• Estimació de la mitjana poblacional \(( \mu) \).
• Siguin:
• la mitjana mostral\[ \bar{x}_{\text{cluster}} = \frac{\widehat{T}}{N} = \frac{M \cdot \bar{t}}{N} = \frac{\bar{t}}{u} \]
• la variància de la mitjana mostral \[ \text{Var} \, \bar{x}_{\text{cluster}} = \frac{1}{u^2} \cdot \text{Var}\ \bar{t} \]
• l’error estàndard de la mitjana mostral \[ \text{se} \, \bar{x}_{\text{cluster}} = \frac{1}{u} \cdot \text{se}\ \bar{t} \]
• Amb l’interval de confiança al 95 % \[ IC(\mu) = \bar{x}_{\text{cluster}} \pm 1.96 \cdot \text{se} \, \bar{x}_{\text{cluster}} \]

Una ciutat és dividida en 30 districtes escolars, amb quatre escoles d’ensenyament primari a cadascun. A un mostreig per conglomerats es seleccionen aleatòriament 3 districtes escolars, obtenint-se els resultats mostrats a la taula següent. Construeixis un interval de confiança al 95% per al total de nens amb daltonisme a la cuitat.

Siguin:

• Conglomerat: districte escolar amb 4 escoles.
• Unitat elemental: escola.
• Variable 1: total d’alumnes per escola.
• Variable 2: total de nens daltònics.

Resumim la taula de dades inicials:

Amb \( \widehat{p} = \frac{28}{1479}\).

Estimació del total de nens amb daltonisme:

• mitjana del total per conglomerat: \(\bar{t} = \frac{28}{3} = 9.3333 \)
• variància del total per conglomerat: \( {\sigma^2}_t = 10.3333 \)
• variància estimada de la mitjana del total per conglomerat: \( \text{Var}(t) = \frac{\sigma_t^2}{m} \left( \frac{M - m}{M} \right) = \frac{10.3333}{3} \left( \frac{30 - 3}{30} \right) = 3.1 \)
• error estàndard de la mitjana del total per conglomerat: \( \text{se}(t) = \sqrt{\text{Var}(t)} = \sqrt{3.1} = 1.760682 \)
• estimació puntual del total poblacional: \( \widehat{T} = M \cdot \bar{t} = 30 \cdot 9.3333 \approx 280 \)
• estimació per intervals del total poblacional: \[ a = M \cdot \bar{t} - 1.96 \cdot M \cdot \text{se}(\bar{t}) = 30 \cdot 9.3333 - 1.96 \cdot 30 \cdot 1.760682 = 176.47 \] \[b = M \cdot \bar{t} + 1.96 \cdot M \cdot \text{se}(\bar{t}) = 30 \cdot 9.3333 + 1.96 \cdot 30 \cdot 1.760682 = 383.53 \]

Estimació de la mitjana de nens amb daltonisme per unitat (escola)

• mitjana de nens amb daltonisme per unitat: \( \bar{x}_{\text{cluster}} = \frac{\bar{t}}{4} = \frac{9.3333}{4} = 2.333325 \)
• error estàndard: \( \text{se}(\bar{x}_{\text{cluster}}) = \frac{\text{se}(\bar{t})}{4} = \frac{1.760682}{4} = 0.44017 \)
• estimació per intervals de la mitjana poblacional —al 95 % de significació—: \[ a = \bar{x}_{\text{cluster}} - 1.96 \cdot \text{se}(\bar{x}_{\text{cluster}}) = 2.333325 - 1.96 \cdot 0.44017 = 1.471 \] \[b = \bar{x}_{\text{cluster}} + 1.96 \cdot \text{se}(\bar{x}_{\text{cluster}}) = 2.333325 + 1.96 \cdot 0.44017 = 3.196 \]

[Nota: El nivell de significació fixa la probabilitat α a partir de la qual es decideix si les diferències observades són o no significatives —degudes o no a l’atzar—. Un 95 % de significació ens indica que només el 5 % de les diferències es deuen a l’atzar. Hi ha una probabilitat α=0.05 de rebutjar la hipòtesi nul·la tot i ser certa —error de tipus I, o fals positiu—. Per a tenir més confiança en el resultat s’ha de disminuir el valor de α.]

---

Amb R:

---

Interpretació:

• L’interval \((176.5, 383.5)\) ens indica —amb un nivell de confiança del 95 %— el marge de contenir el veritable valor del paràmetre —el nombre total de nens daltònics en la població—.
• L’interval \((1.47, 3.20)\) ens indica —amb un nivell de confiança del 95 %— el marge de contenir el veritable valor del paràmetre —la mitjana de nens daltònics per escola—.

Es vol estimar el GPA —Grade Point Average— mitjà dels estudiants d’una residència universitària. En lloc d’obtenir la llista de tots els estudiants i efectuar un mostreig aleatori simple, s’observa que la residència té 100 habitacions amb 4 estudiants per habitació. S’escullen aleatòriament 5 d’aquestes habitacions i es pregunta pel GPA a cada estudiant de cadascuna d’elles. Es registren les dades següents:

---

Amb R:

Utilitzem la funció definida a l'exemple anterior (cluster_una_etapa_igual_mida )

---

Interpretació:

L’interval \( \text{IC}\ (\mu) \) centrat en \((2.51, 3.15)\) ens indica —amb un nivell de confiança del 95 %— el marge de l’autèntic valor del paràmetre GPA mitjà de la població d’estudiants. Observis que aquest interval és igual al del total poblacional dividit pel nombre d’estudiants \((400)\).

Mostreig per conglomerats d’una etapa amb conglomerats de diferent mida

En els conglomerats de diferent mida les dades són usualment distribuïdes com a la següent taula:

Amb les variables \(u_i\) —les unitats en el conglomerat— i \(t_i\) —el total en el conglomerat— usualment correlacionades.

S’estima:

• la mitjana mostral: \(\bar{x}_{\text{cluster}} = \frac{\sum_{i=1}^{m} t_i}{\sum_{i=1}^{m} u_i} \)
• la mitjana d’unitats per conglomerat: \( \bar{u} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} u_i \)
• la variància de la mitjana mostral: \( \text{Var}\ \left(\bar{x}_{\text{cluster}}\right) = \left( 1 - \frac{m}{M} \right) \frac{1}{m \cdot \bar{u}^2} \frac{\sum_{i=1}^{m} (t_i - u_i \cdot \bar{x}_{\text{cluster}})^2}{m - 1} \)
• l’error estàndard de la mitjana mostral: \( \text{se}\ \left(\bar{x}_{\text{cluster}}\right) = \sqrt{\text{var} \, \bar{x}_{\text{cluster}}} \)

En una determinada ciutat es considera una població de \(187\) aules d’un curs d’àlgebra.

Un investigador pren una mostra aleatòria de \(12\) aules —\(23, 37, 38, 39, 41, 44, 46, 51, 58, 62, 106 i 108\)— i n’avalua el coneixement dels alumnes amb un test sobre un determinat tema.

Es desitja estimar la mitjana de la puntuació del test.

Les dades resultants es resumeixen a la taula següent:

Siguin:

• Conglomerat: aula amb els \(u_i\) estudiants.
• Unitat elemental: un estudiant.
• Variable: puntuació al test.
• \( M = 187 \), aules —els conglomerats—.
• \( m = 12 \), mida de la mostra —el nombre d’aules seleccionades—.

S’estima:

• la mitjana de la puntuació del test: \( \bar{x}_{\text{cluster}} = \frac{18708}{299} = 62.5686 \)
• la mitjana d’estudiants per aula: \( \bar{u} = \frac{299}{12} = 24.9167 \)
• la variància de la mitjana de la puntuació del test: \( \text{Var}\ \left(\bar{x}_{\text{cluster}}\right) = \left( 1 - \frac{12}{187} \right) \frac{1}{12 \cdot 24.9167^2} \frac{194827.0387}{12 - 1} = 2.224804503 \)
• l’error estàndard de la mitjana de la puntuació del test: \( \text{se}\ \left(\bar{x}_{\text{cluster}}\right) = \sqrt{2.224804503} = 1.491577857 \)
• els intervals de la mitjana poblacional (al 95 % de confiança): \[a = \bar{x}_{\text{cluster}} - 1.96 \cdot \text{se}(\bar{x}_{\text{cluster}}) = 62.5686 - 1.96 \cdot 1.4916 = 59.6451 \] \[b = \bar{x}_{\text{cluster}} + 1.96 \cdot \text{se}(\bar{x}_{\text{cluster}}) = 62.5686 + 1.96 \cdot 1.4916 = 65.4921 \]

---

Amb R:

Es defineix una nova funció: cluster_una_etapa_dif_mida=function.

---

Interval que conté —al 95 % de confiança— el veritable valor de la mitjana de puntuació del test.

Estimació del total poblacional

El total poblacional \( \widehat{T} \) s’estima de diferents maneres —segons es conegui o no el nombre total d’unitats en la població \((N) \)—.

1. Si es coneix el nombre total d’unitats en la població: \[\widehat{T} = N \cdot \bar{x}_{\text{cluster}} \] \[\text{se}\ \left(\widehat{T}\right) = N \cdot \text{se}\ \left(\bar{x}_{\text{cluster}}\right) \]
2. Si no es coneix el nombre total d’unitats en la població —però es coneix el nombre de conglomerats \((M)\) —, s'estima:
• la mitjana del total en conglomerat: \( \bar{t}_c = \frac{\sum_{i=1}^{m} t_i}{m} \)
• el total poblacional: \( \widehat{T} = M \cdot \bar{{t}}_c \)
• la variància del total estimat: \(\text{Var} \, \widehat{T} = M^2 \cdot \left( 1 - \frac{m}{M} \right) \frac{1}{m} \frac{\sum_{i=1}^{m}(t_i - \bar{t}_c)^2}{m - 1} \)
• l’error estàndard del total estimat: \( \text{se} \, \widehat{T} = \sqrt{\text{var} \, \widehat{T}} \)

En ambdós casos, l’interval de confiança al 95 % es calcula com: \( IC(T) = \widehat{T} \pm 1.96 \cdot \text{se}\ \widehat{T} \)

Reprenent l’exercici anterior dels nens daltònics (ex. 7), calculis la proporció estimada de nens amb daltonisme i la variància estimada de la proporció.

• proporció estimada de nens amb daltonisme: \[ \widehat{p} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{m} t_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{m} u_i} = \frac{28}{1479} = 0.0189 \]
• variància estimada de la proporció: \[ \bar{u} = \frac{1479}{3} \] \[ \text{Var} \, \widehat{p} = \left( 1 - \frac{m}{M} \right) \cdot \frac{1}{m \cdot \bar{u}^2} \cdot \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{m} (t_i - \widehat{p} \cdot u_i)^2}{m - 1} = \left( 1 - \frac{3}{30} \right) \cdot \frac{1}{3 \cdot \left( \frac{1479}{3} \right)^2} \cdot \frac{8.8323380}{3 - 1} = 5.45096 \cdot 10^{-6} \]
• error estàndard de la proporció: \( \text{se}\ \widehat{p} = \sqrt{\text{var} \, \widehat{p}} = 0.002334729 \)
• interval de confiança al 95 % de \(p \): \[ IC(\widehat{p}) = \widehat{p} \pm 1.96 \cdot \text{se}\ \widehat{p} = (0.0189 - 1.96 \cdot 0.002334729, 0.0189 + 1.96 \cdot 0.002334729) = (0.014355641, 0.023507780) \]

---

Amb R:

Utilitzant la funció anterior —cluster_una_etapa_dif_mida—:

---

Mostreig amb probabilitat proporcional a la mida

S’aplica el mostreig amb probabilitat proporcional a la mida [probability proportional to size (pps) sampling] quan les mides dels conglomerats són extremadament diferents.

Sigui \( \bar{x}_i\) la mitjana del conglomerat \(i\) —per a \(i = \left\{ 1, 2,···, m \right\} \)—. S’estima:

• la mitjana poblacional: \( \bar{\mu}_{\text{pps}} = \frac{1}{m} \displaystyle\sum_{i=1}^{m} \bar{x}_i \)
• la variància de la mitjana poblacional estimada: \( \text{var} \, \bar{\mu}_{\text{pps}} = \frac{1}{m} \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{m} (\bar{x}_i - \bar{\mu}_{\text{pps}})^2}{m - 1} \)
• el total poblacional: \( \widehat{T}_{\text{pps}} = N \cdot \bar{\mu}_{\text{pps}} \)
• la variància del total poblacional estimat: \( \text{Var} \, \widehat{T}_{\text{pps}} = N^2 \cdot \text{Var} \, \bar{\mu}_{\text{pps}} \)

En una gran empresa, es vol estimar el nombre mitjà de dies de permisos per malaltia/empleat. L’empresa es composa de \(8\) divisions, amb \( 1200, 450, 2100, 860, 2840, 1910, 390 i 3200 \) empleats per divisió, respectivament.

Es mostregen els registres de permisos per malaltia. Com el nombre de dies de permís per malaltia dins cada divisió pot ser altament correlacionat amb el nombre d’empleats, es decideix mostrejar m=3 divisions —amb probabilitat proporcional al nombre d’empleats—.

Es seleccionen aleatòriament tres rangs: \( 7026\ \ 736\ \ 11451 \)

---

Amb R:

---

Es seleccionen les seccions 1, 5 i 8, les que contenen dins el seu rang els valors dels nombres aleatoris retornats.

Aleshores —suposant 736, 7026 i 11451 el total de dies de permís per malaltia— en els conglomerats seleccionats

Interval que conté —al 95 % de confiança— el veritable valor de la mitjana de dies de permís per malaltia/empleat de l’empresa.

Mostreig per conglomerats de dues etapes.

Mostreig per conglomerats de dues etapes amb conglomerats de diferent mida

Estimació no esbiaixada de la mitjana i total poblacionals

Una empresa tèxtil té 90 tallers ubicats en diferents llocs. Es vol estimar la mitjana del nombre d’hores que les màquines de cosir varen estar inactives, esperant ser reparades. Es decideix utilitzar un mostreig per conglomerats de dues etapes, considerant cada taller com un conglomerat de màquines.

En la primera etapa es seleccionen \(m = 10 \) tallers. En la segona etapa es selecciona el 10 % de les màquines de cosir. El nombre total de màquines propietat de l’empresa és 4500. Es registren les dades següents:

---

Amb R:

---

L’interval \( \text{IC}\ (\mu) = (4.423,\ 5.178) \) , proporciona un 95 % de confiança de contenir el veritable valor del paràmetre —la mitjana d’hores que la màquina de cosir estava inactiva—.

L’interval \( \text{IC}\ (T) = (19903.000,\ 23300.200) \) , proporciona un 95 % de confiança de contenir el veritable valor del paràmetre —el total d’hores que les màquines de cosir eren inactives—.

Estimació de la raó de la mitjana poblacional

Amb les dades de l’exercici anterior (Ex-12), trobis un interval de confiança per a l’estimador de la raó de la mitjana poblacional.

---

Amb R:

---

L’interval \(\text{IC}\ (\mu)=(4.163,\ 5.033) \) , proporciona un 95 % de confiança de contenir el veritable valor del paràmetre —la mitjana d’hores que la màquina de cosir estava inactiva—.

Estimació de la proporció poblacional

Es continua amb l’exemple 12. S’ha trobat que la proporció mostral de màquines que requereixen una major reparació \( (p) \) —per taller— és significativa. Trobis un interval de confiança per a la proporció poblacional, al 95 %.

Es disposa de la següent informació:

---

Amb R:

---

L’interval \( \text{IC}\ (P) = (0.282,\quad 0.393) \), proporciona un 95 % de confiança de contenir el veritable valor del paràmetre —la proporció de màquines de cosir que requereixen major reparació—.

Mostreig en dues etapes per conglomerats d'igual mida

Estimació de la mitjana i el total poblacionals

Cada conglomerat conté \(u \) unitats. En aquest cas és comú prendre mostres d’igual mida \((n)\) des de cada conglomerat seleccionat.

Es registra, durant la temporada alta, el nombre de visitants a un parc. Els resultats són:

S’efectua un mostreig per conglomerats de dues etapes. Es seleccionen aleatòriament les setmanes \(2, 6\ \text{i}\ 8\); dins la setmana \(2\) es seleccionen els dies \(2, 3 \ \text{i}\ 5\); dins la setmana \(6\) es seleccionen els dies \(1,3\ \text{i}\ 6\); dins la setmana \(8\) es seleccionen els dies \(3, 4\ \text{i}\ 6\).

Trobis un interval de confiança —al 95 % de confiança— pel nombre total de visitants durant la temporada. El nombre total de visitants per setmana. I el nombre total de visitants per dia.

---

Amb R:

---

Mostreig en dues etapes amb conglomerats d'igual mida i probabilitat proporcional a la mida

En un curs introductori d’estadística els estudiants s’agrupen en \(15\) classes. Es pretén estimar la mitjana d’hores d’estudi de cada estudiant durant el cap de setmana previ a l’examen. Es decideix prendre una mostra de \(m = 5\) classes amb reposició, amb probabilitat proporcional a la mida de la classe.

A cada classe s’escull una mostra de \(n = 5\) estudiants.

Les dues primeres columnes recullen les dades de les classes d’estadística. Per a seleccionar una mostra de \(m = 5\) classes —amb probabilitat proporcional a la mida \((pps)\) de la divisió— es segueixen els passos següents:

1. Es calculen les dades de les columnes Acumulat i Rang acumulat.
2. S’escull una mostra aleatòria de \(5\) elements entre els números \(01 \ \text{i}\ 647 \).
3. Els números seleccionats són: \(471, 612, 595, 189\ \text{i}\ 37 \).

---

Amb R:

---

3. Segons els números seleccionats i el rang acumulat, les classes seleccionades són: \( 12, 14, 14, 5\ \text{i}\ 1\).

Es suposa que el total d’hores dedicades a estudiar, en cada classe seleccionada és: \(12.0, 8.0, 10.0, 14.0\ \text{i}\ 18.5 \).

---

Amb R:

---

L’interval \(\text{IC}\ (\mu)\ (1.79,\ 3.21) \), proporciona un 95 % de confiança de contenir el veritable valor del paràmetre —la mitjana d’hores dedicades a l’estudi—.

L’interval \(\text{IC}\ (T)\ (1160.27,\ 2074.72) \), proporciona un 95% de confiança de contenir el veritable valor del paràmetre —el total d’hores dedicades a l’estudi—.

Les dades

Tota bona investigació estadística requereix d’una correcta recollida de dades. S’anomena variable aleatòria a tota característica, qualitativa o quantitativa, recollida de cada individu de la població.

Les variables, a diferència de les constants, poden assolir diferents valors —d’aquí el seu nom—. [Vegis l’apartat: Variables aleatòries]

En general, les següents observacions es poden aplicar a tota mena de dades:

• Expressar els resultats amb el nombre mínim de decimals significatius que permetin la sensibilitat dels aparells de mesura i les característiques de les variables analitzades. Això és vàlid tant per les mostres com pels resultats dels anàlisis.
• Ponderar la recopilació de les dades per tal d’estalviar-hi repeticions en la mostra. Per exemple, podem ponderar un registre en una taula especificant quants cops es repeteix el registre.
• Evitar la tendència inconscient de preferir determinades xifres per part de l’observador —error detectable posteriorment— i, en general, el biaix —la inclinació sistemàtica present en el mostreig i/o la recopilació de les dades— que dona lloc a resultats esbiaixats —desviats— o enganyosos.
• Evitar les dades truncades —en anglès censored—— inventades per l’observador de manera aproximada —bé per ser impossible la mesura o perquè l’aparell de mesura no te prou sensibilitat—.

S’anomena observació a cada cas individual del qual se’n recullen les variables aleatòries concretes. Les observacions —les dades recollides— es guarden en arxius anomenats bases de dades. Una base de dades és —habitualment— un arxiu informàtic en el que cada filera recull una observació concreta i on les columnes recullen els valors de les variables d’interès. És convenient assignar noms entenedors a les variables i —normalment— es disposa també d’un arxiu auxiliar que serveix de diccionari on s’explica cadascuna de les variables de la base de dades i la seva unitat de magnitud.

Les variables qualitatives —o categòriques— utilitzen escales nominals que permeten la seva classificació però no la seva ordenació ni jerarquització. [Excepte les variables qualitatives ordinals, per exemple: nivell d’estudis (elementals – mitjans – superiors)]

Com es veurà més endavant, el valor de les variables qualitatives és habitualment codificat —per exemple es pot recollir la variable sexe com a 0 o 1—. Les variables quantitatives poden ser transformades —per exemple recollir el logaritme en lloc del valor real observat—. [Vegis l’apartat: Transformacions de dades.]

Les variables aleatòries quantitatives poden classificar-se en discretes [Vegis l’apartat: Variables aleatòries discretes] i contínues. [Vegis l’apartat: Variables aleatòries absolutament contínues]

Estudiarem una única variable \(x\) —discreta o contínua— sobre una mostra \( \left\{x_1, x_2, ···, x_n \right\} \) amb \(n\) observacions.

Per tal de descriure’n les dades utilitzarem característiques numèriques, anomenades mesures.

Es treballa sempre sobre variables quantitatives.

Estimació de paràmetres poblacionals

Les estimacions dels paràmetres d’una població han d’acomplir quatre condicions [R.A. Fisher,1925]:

1. No han de tenir biaix. Al repetir molts cops l’experiment —sempre amb la mateixa mida de la mostra— la mesura estimada ha de tendir al valor real del paràmetre dins la població. En cas contrari s’està dins el cas d’un error sistemàtic que no permetrà extreure’n conclusions correctes dels resultats.
2. Han de ser consistents. S’aproximaran tant més al valor poblacional com més gran sigui la mostra.
3. Han de ser eficients. Per a mostres de la mateixa mida la dispersió i la variància han de ser mínimes.
4. Han de ser suficients. Cap nova estimació del mateix tipus ha de poder aportar més informació sobre el paràmetre en estudi.

Es consideraran quatre tipus de mesures: de centrament, de posició, de dispersió i de forma.

Mesures de centrament (o de posició central)

Les mesures de centrament pretenen donar informació sobre el centre de les dades. Localitzar en quin punt es troba la part central d’un conjunt ordenat de dades sobre una variable quantitativa. Quin és el valor més típic o representatiu de la mostra.

Mitjana aritmètica

La mitjana és sovint la principal mesura de representació o de tendència central —i la més utilitzada—. Ha d’acomplir tres condicions:

• S’ha de calcular sempre amb totes les observacions.
• El seu valor és sempre comprés entre el menor i el major dels valors de la distribució.
• S’ha d’expressar sempre amb la mateixa unitat de magnitud que les dades de la mostra.

La mitjana aritmètica acompleix aquests tres requisits. Es calcula com el valor mitjà de les dades —sumant-les totes i dividint el resultat pel nombre d’observacions—. \[ \bar{X}_n = \frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{k} x_i n_i \]

Com a inconvenient, el seu valor es veu afectat per la presència de valors extrems i pot no representar correctament la realitat de la població. Per exemple, si una persona es menja un pollastre i una altra s’ho mira, la mitjana aritmètica és mig pollastre per a cadascun. La mitjana de la riquesa mundial no representa al ciutadà mitjà.

A mesura que augmenta la mida de la mostra, la mitjana mostral \( (\bar{x})\)  s’apropa cada cop més a la mitjana poblacional \((\mu)\). La pregunta clau és: fins a quin valor \( (\bar{x}) \) i \( (\mu)\) poden diferir?

La desviació estàndard (teòrica) de \( \bar{x} \) de \(n\) variables aleatòries \(\left\{ x_1, x_2, ···, x_n \right\} \) —independents entre sí— es calcula com: \[\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

, on \( \sigma \) representa la desviació estàndard de les \({\bar{x}}_i \) amb \[ s_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{\sum (x - \bar{x})^2}{n(n - 1)}} = \sqrt{\frac{\sum x^2 - (\sum x)^2 / n}{n(n - 1)}} \]

, sent \(s\) l’error mitjà de les mides individuals i \(s_{\bar{x}}\) l’error mitjà de la mitjana. De manera que, per reduir l’error a la meitat, s’ha de quadruplicar la mida de la mostra \[\frac{\frac{s}{\sqrt{n}}}{2} = \frac{s}{\sqrt{4n}} \]

En una distribució normal, l’error estàndard de la mediana és igual a \[\sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

, per tant, la mediana no és una mesura tant precisa com la mitjana —l’error estàndard de la mediana és unes 1.25 vegades el de la mitjana aritmètica—.

Habitualment, es calcula la mitjana \( \bar{x} \) i el seu error estàndard \(s_{\bar{x}} \) s’expressa com a l’interval de confiança per a \( \mu \).

Calculis la mitjana aritmètica \(\overline{M} \) de la mostra \( M = \left\{4, 7, 6, 7, 5, 5, 4\right\}\).

---

Amb R:

---

Calculat com: \( (4 + 7 + 6 + 7 + 5 + 5 + 4)\ /\ 7 \approx 5.43 \), o també com: \( [(4 \cdot 2) + (7 \cdot 2) + (5 \cdot 2) + 6 ]\ /\ 7 \approx 5.43 \)

S’observa a més que \[\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{X}_n) = 0 \]

Característiques de la mitjana aritmètica:

1. Si a cada observació d’una variable \(X\) se li suma una constant \(k\), s’obté una nova variable \(Y = X + k\) —de manera que \( \overline{Y} = \overline{X} + k \)—.
2. Si cada observació d’una variable \(X\) es multiplica per una constant \(k\), s’obté una nova variable \(Y = k \cdot X \) —de manera que \( \overline{Y} = \overline{X} \cdot k \)—.
3. Unificant les propietats 1 i 2 es té que \(Y = aX + b \implies \overline{Y} = a\overline{X} + b \).
3. La mitjana aritmètica es veu molt alterada pels valors extrems —els outliers—.

Mitjana subpoblacional

Es disposa de les dades d’una certa característica en dues poblacions diferents amb \(n_1 \quad \text{i} \quad n_2 \) mostres. Siguin \[x_1 = (x_{11}, \cdots, x_{1n_1}) \quad \text{i} \quad x_2 = (x_{21}, \cdots, x_{2n_2}) \] els corresponents vectors de dades —de mitjanes respectives \(\bar{x}_1, \bar{x}_2\)—.

La mitjana global es calcula com \[\bar{X}_{n_1 n_2} = \frac{\bar{x}_1 n_1 + \bar{x}_2 n_2}{n_1 + n_2} \] Expressió generalitzable a \(K\) subpoblacions \[\bar{X}_K = \frac{\sum_{i=1}^{K} \bar{x}_i n_i}{\sum_{i=1}^{K} n_i} \]

Mediana

Un cop ordenades les dades, la mediana és l’element del conjunt que deixa a esquerra i dreta la meitat dels valors. Si el conjunt de dades no és ordenat, la mediana és el valor del conjunt que fa que el 50 % dels valors siguin menors o iguals —i, conseqüentment, l’altre 50 % majors o iguals—.

A diferència de la mitjana aritmètica, la mediana no es veu afectada en absolut per la presència de valors extrems. En aquest sentit —la mediana— és més robusta que la mitjana aritmètica. Per exemple, és una mesura més correcta del sou mitjà d’una determinada població.

Si el nombre d’elements a ordenar —segons la seva mida— és senar, el valor central és la mediana de la sèrie ordenada \[ x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}\]

Si el nombre d’elements a ordenar —segons la seva mida— és parell, la mediana és igual a la mitjana aritmètica dels dos valors centrals \[ \frac{x\left(\frac{n}{2}\right) + x\left(\frac{n}{2} + 1\right)}{2} \]

Si els valors són ordenats en classes, la mediana es calcula per interpolació lineal \[ \tilde{x} = \tilde{U} + \left( \frac{\frac{n}{2} - (\sum f)_{\tilde{U}}}{f_{\text{mediana}}} \right) \cdot b \], amb:

• \(\tilde{U}\) l’extrem inferior de l’interval de classe que conté a la mediana.
• \(n\), el nombre de valors.
• \( (\sum {f})_{\tilde{U}}\), la suma de les freqüències de totes les classes per sota de la mediana.
• \(f_{mediana}\), el nombre de valors de la classe que conté la mediana.
• \(b\), l’amplitud de classe.

Calculis la mediana dels elements registrats a la taula següent:

Com \(n\) és senar, la mitjana serà el valor que ocupa la posició \(31\) —dins la classe \( [11,13)\)—: \(\tilde{x} = 11 + \left( \frac{\frac{61}{2} - (5 + 11 + 10)}{7} \right) \cdot 2 = \frac{86}{7} \approx 12.29\)

Calculis la mediana de la mostra \( X = \left\{4, 7, 6, 7, 5, 8, 9 \right\} \).

---

Amb R:

---

Moda

La moda \((D)\) és el valor més repetit dins un conjunt de dades. El valor amb la major freqüència relativa. Representa el valor de la variable corresponent al valor màxim de la corba ideal que millor s’adapta a la distribució mostral. Pot haver-hi més d’una moda.

No és fàcil de determinar exactament i no té massa interès estadístic —per ser una mesura poc rigorosa—.

Es pot calcular com \[ D = U + \left( \frac{f_u - f_{u-1}}{2 \cdot f_u - f_{u-1} - f_{u+1}} \right) \cdot b \], on:

• \(U\), representa l’extrem inferior de la classe amb la freqüència màxima.
• \(f_u\), el nombre d’observacions en la classe amb la freqüència màxima.
• \( f_{u-1} \quad \text{i} \quad f_{u+1} \), el nombre d’observacions en les classes contigües a la de freqüència màxima.
• \(b\), l’amplitud de classe.

Amb les dades de l’exemple 18) —càlcul de la mediana amb valors ordenats en classes— calculis la seva moda.

Es té que \[D = 7 + \left( \frac{11 - 5}{2 \cdot 11 - 5 - 10} \right) \cdot 2 = 12 \]

S’observa que \(D = 12 \), \( \tilde{x} = 12.29 \), \(\bar{x} = 12.2951 \). De manera que s’acompleix la inequació: \( D < \tilde{x} < \bar{x} \). La moda és sempre menor que la mediana i la mediana és sempre menor que la mitjana.

Es disposa de la mostra \( X = \left\{4, 7, 6, 7, 5, 8, 9 \right\} \). Calculis la seva moda.

---

Amb R:

---

Quan les observacions són agrupades en intervals, es parla d’interval modal absolut i d’interval modal relatiu. L’interval modal és el que té la major freqüència —absoluta o relativa—. El més alt en l’histograma.

Mitjana geomètrica

Es disposa d'una quantitat finita \((n)\) de nombres reals. La mitjana geomètrica —o proporcional— és l'arrel \(n\)-èsima del producte de tots els valors de la variable. \[ \bar{X}_{G_n} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \cdots \cdot x_n} = e^{\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \ln x_i} \]

La mitjana geomètrica és rellevant quan tots els nombres són del mateix signe. Si un d’ells és zero, la mitjana geomètrica serà igual a zero.

Si els nombres són tots negatius, es calcula amb el seu valor absolut i s’assigna el signe menys al resultat final.

La mitjana geomètrica no s’utilitza sovint. S’aplica quan els valors de la variable varien de manera prou constant en el temps. Per exemple, en el creixement exponencial d’una població bacteriana i en altres fenòmens de creixement al llarg del temps —el nombre de pacients, les despeses de manteniment, ... —.

La constància del temps es pot explicitar en un gràfic logarítmic de la variable, observant-se una línia aproximadament recta.

També es pot aplicar la mitjana geomètrica quan hi ha pocs valors i aquests són molt diferents entre sí.

Un empleat obté uns augments de sou en tres anys consecutius, del \( 6, 10\ \text{i}\ 12\) % respectivament, sobre el sou de l’any anterior. Calculis l’augment mitjà del sou.

---

Amb R:

---

L’augment mitjà aproximat ha estat del \( 9.31\) % [\(1 + 0.0931 = 1.0931\)].

En un cultiu bacterià, el nombre de bactèries per unitat de superfície s’incrementa en tres dies de \(200\) a \(5000\). Calculis l’increment mitjà diari en %.

Sigui \(x\) l’increment buscat. Aleshores l’increment serà igual a \(200 \cdot (1 + x )^i \), on \(i\) és el número del dia.

Segons l’enunciat, l’increment és \( 200 \cdot (1 + x)^3 = 5000 \implies x \approx 1.924 = 192.4 \) %.

Es disposa de la mostra \( X = \left\{4, 7, 6, 7, 5, 8, 9 \right\}\). Calculis la seva mitjana geomètrica.

---

Amb R:

---

Mitjana harmònica

Es disposa d’un conjunt d’elements \( \left\{ x_1, x_2,···, x_n \right\} \) no nuls. Es defineix la mitjana harmònica com la suma dels recíprocs \( (1\ /\ x_i ) \) multiplicada pel nombre d’elements del conjunt \((n)\). \[\bar{x}_H = \frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} \]

De vegades és necessari assignar pesos \(w_i\) als valors \(x_i\) i calcular la mitjana harmònica pesada. \[\bar{x}_H = \frac{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}{\frac{w_1}{x_1} + \frac{w_2}{x_2} + \cdots + \frac{w_n}{x_n}} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} w_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \left( \frac{w_i}{x_i} \right)} \]

La mitjana harmònica ponderada no s’utilitza sovint. Únicament quan els resultats de les observacions són en relació inversa amb la magnitud a expressar amb una mitjana aritmètica. Es calcula com: \[ \bar{x}_H = \frac{n_1 + n_2 + \cdots + n_k}{\frac{n_1}{\bar{x}_{H1}} + \frac{n_2}{\bar{x}_{H2}} + \cdots + \frac{n_k}{\bar{x}_{Hk}}} \]

En particular, és útil en farmacologia, per a calcular velocitats o densitats mitjanes, o la vida mitjana d’un producte.

La mitjana harmònica i la mitjana geomètrica són estimadors de tendència central molt robustos. No són tant influenciats com la mitjana aritmètica pels valors extrems de la mostra.

En un determinat comerç es ven un article a diferents preus segons la quantitat: \(10\) articles a \(1\) €; \(5\) articles a \(0.75\) €; \(1\) article \(0.20\) €. Quin és el nombre mitjà d’articles per cada cèntim d’euro? \[\bar{x}_H = \frac{3}{\frac{100}{10} + \frac{75}{5} + \frac{20}{1}} = \frac{1}{15} \approx 0.07 \]

El nombre mitjà d’articles per cada cèntim d’euro és \(0.07\).

Es pot fer també el raonament següent: respectivament, els articles surten a \( 10, 15\ \text{i}\ 20 \) cèntims d’euro. Per tant \(3\) articles a un preu mitjà de \( 3/(10 + 15 + 20) = 1/15 = 0.0\bar{6} \approx 0.07\)·

Un mòbil es trasllada de \(A\) fins a \(B\) amb una velocitat mitjana de \(20\) km/h; per tornar de \(B\) fins \(A\) ho fa en canvi a una velocitat mitjana de \(50\) km/h. Calculis la velocitat mitjana global.

La mitjana global és \[ \bar{x}_G = \frac{1 + 1}{\frac{1}{20} + \frac{1}{50}} = \frac{200}{7} \approx 28.57 \]

La velocitat mitjana global és 28.57 km/h.

Es pot fer també el raonament següent: suposem la distància \( \overline{AB} = \overline{BA} = 100 \) km. En el primer recorregut \( A \rightarrow B \) tarda \( \frac{100}{20} = 5\) hores. En el segon recorregut \( B \rightarrow A \) tarda \( \frac{100}{50} = 2 \) hores. Per tant, ha recorregut \(200\) km en total en \(7\) hores i la seva velocitat mitjana és \( \frac{200}{7} \approx 28.57 \) km/h.

Es disposa de la mostra \( X = \left\{ 4, 7, 6, 7, 5, 8, 9 \right\} \). Calculis la seva mitjana harmònica.

---

Amb R:

---

Mitjana quadràtica

Donat un conjunt d’elements \( \left\{ x_1, x_2,\ \cdots\ , x_n \right\} \) es defineix la mitjana quadràtica [RMS, Root Mean Square] com l’arrel quadrada de la mitjana aritmètica dels elements al quadrat.

Es disposa de la mostra \( X = \left\{ 4, 7, 6, 7, 5, 8, 9 \right\} \). Calculis la seva mitjana quadràtica.

---

Amb R:

---

Mitjana ponderada

La mitjana ponderada és una mesura de tendència central molt utilitzada. Es calcula assignant pesos \( \left\{ p_1, p_2,\ \cdots\ , p_n \right\} \) als elements de la mostra, segons la seva importància. \[ \bar{x}_p = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_i} \]

Quan tots els elements tenen el mateix pes, coincideix amb la mitjana aritmètica.

Es disposa de la mostra \( X = \left\{ 4, 7, 6, 7, 5, 8, 9 \right\} \), amb pesos \(P = \left\{2, 2, 4, 1, 3, 1, 3 \right\}\). Calculis la seva mitjana ponderada.

---

Amb R:

---

Com més gran és el pes d’un element, més importància adquireix en el càlcul. Si tots els elements tenen el mateix pes la mitjana ponderada coincideix amb la mitjana.

---

Amb R:

---

Relació entre mitjanes

Dins la mateixa sèrie de dades, s’acompleix sempre que: mitjana harmònica ≤ mitjana geomètrica ≤ mitjana aritmètica ≤ mitjana quadràtica.

Mesures de posició no central

Les mesures de posició no central —o mesures de tendència no central— permeten conèixer punts característics d’una mostra, punts que no han de ser necessàriament centrals. Divideixen la mostra en grups —d’igual nombre de valors— amb un cert interès.

Quantils

Anomenem quantil d’ordre p —amb \(0 < p < 100 \)— al valor que divideix la variable en dues parts. Deixa a l’esquerra —els valors inferiors— el \(p\) % dels valors de les dades. I a la dreta —els valors superiors o iguals— el corresponent \((1 - p)\) % dels valors de les dades. [El quantil amb \(p = 50\), es correspon amb la mediana]

Per calcular el quantil es segueix el següent procediment:

• Es calcula el \(p\) % de les dades: \( a = \frac{p}{100} \cdot n\).
• Si \( a \notin ,athcal{Z} \), el quantil d’ordre \(p\) és: \( x_{[a]+1} \), amb \([a]\) la part entera d’\(a\).
• Si \( a \in \mathcal{Z} \), el quantil d’ordre \(p\) és: \( \frac{x_a + x_{a + 1}}{2} \)·
• <

Dels quantils se’n destaquen els quartils, els decils i els percentils, que divideixen la distribució en quatre —tres quartils—, deu —nou decils— i cent parts —noranta-nou percentils— respectivament. [El segon quartil, el cinquè decil i el quinquagèsim percentil es corresponen amb la mediana]

Generis un vector de dades amb els nombres naturals del \(0\) al \(100\) i calculis els seus quantils.

---

Amb R:

---

Quartils

Els quartils són tres casos particulars de percentil amb nom propi. Divideixen la mostra en quatre porcions iguals. El primer percentil \(P_25\), deixa a l’esquerra el 25 % de les dades. S’anomena quartil \(Q_1\).

El segon percentil \(P_50\), deixa a esquerra i a dreta el 50 % de les dades. S’anomena quartil \(Q_2\). Coincideix amb la mediana (\(\tilde{x}\)).

El tercer percentil \(P_75\), deixa a l’esquerra el 75 % de les dades. S’anomena quartil \(Q_3\).

Sigui la sèrie ordenada \( (x_1, x_2, x_3, ··· ,x_n ) \), aleshores:

\[ Q_1 = x_{\left[\frac{1}{4}(n+1)\right]}; \quad Q_2 = x_{\left[\frac{1}{2}(n+1)\right]} = \tilde{x}; \quad Q_3 = x_{\left[\frac{3}{4}(n+1)\right]} \]

Es disposa d’una mostra \(M\) = “alçades de la població \(X\)” amb \( M = \left\{ 164, 188, 164, 174, 173, 183, 168, 161, 178, \cdots , 173, 168, 175, 171 \right\} \). Calculis les freqüències i la distribució per quartils de la mostra \(M\).

---

Amb R:

---

Percentils

Un cop ordenades les dades, s’anomena percentil \(p\)-èsim \((P_p)\) al valor que fa que —com a mínim— el \(p\) % de les dades de la mostra siguin inferiors o iguals al valor i almenys el \((100 - p)\) % de les dades de la mostra en siguin superiors o iguals.

Si \( \frac{np}{100}\) és un valor enter, el percentil \(p\)-èsim resulta de fer la mitjana entre la dada que ocupa el lloc \( \frac{np}{100}\) i la següent —com amb la mediana—.

Pot ocórrer —segons sigui la mostra— que, per a diferents valors de \(p\), hi hagi un mateix percentil.

Els percentils \(P_p\) són els \(99\) punts que divideixen una mostra ordenada en \(100\) parts iguals. Amb el mateix nombre d’elements cadascuna. El percentil \(50\) és la mediana.

Per calcular un percentil s’efectua la operació \( \frac{np}{100}\) —on \(n\) és el nombre d’elements de la mostra ordenada i \(p\) el percentil buscat—. S’obté un valor real amb una part entera \((E)\) i una part decimal \((D)\). Si la part decimal és zero, l’element buscat és \((E + 1)\). En cas contrari, l’element buscat és \( \left[\frac{E + (E + 1)}{2} \right]\).

Es disposa d’una mostra \(M\) d'alçades de la població \(X\), amb \( M = \left\{164, 188, 164, 174, 173, 183, 168, 161, ··· , 167, 180, 173, 168, 175, 171 \right\} \). Calculis el percentil al \(43\) %.

---

Amb R:

---

El \(43\) % de les dades són inferiors a \(172.07\).

Rang

El rang \((R)\) o recorregut estadístic és la diferència entre els valors màxim i mínim d’un conjunt d’elements. És la mesura de dispersió més simple de totes, excepte si la mostra té únicament dos valors.

A mesura que la mostra creix el rang va perden informació sobre la dispersió de la mostra. Es calcula com \(R = x_max - x_min \).

S’anomena rang o suport d’una variable aleatòria \(X : \Omega \rightarrow \mathcal{R} \) al conjunt de valors que pren la variable aleatòria: \( \text{Rang}(X) = \{X(\omega) \in \mathbb{R} : \omega \in \Omega\} \).

Es disposa d’una mostra \(M\) d'alçades de la població \(X\), amb \( M = \left\{164, 188, 164, 174, 173, 183, 168, 161, ··· , 167, 180, 173, 168, 175, 171 \right\} \). Calculis el rang de distribució de la mostra \(M\).

---

Amb R:

---

En aquest exemple —aproximat a una distribució normal— es podria estimar la desviació típica de la població com \( \hat{S} \approx \frac{R}{6} = \frac{188 - 160}{6} = \frac{28}{6} = 4.\overline{6}\). Això és així donat que en una distribució normal el 99.7 % dels seus valors són dins l’interval \( 6 \sigma\).

Rang interquartíl·lic

El rang interquartíl·lic \((IQR)\) és una estimació estadística de la dispersió d’una distribució de dades. Consisteix en la diferencia entre el tercer i el primer quartil. Amb aquesta mesura s’eliminen els valors extremadament allunyats.

És molt recomanable quan la mesura de tendència central utilitzada és la mediana. Aquest estadístic és insensible a possibles irregularitats en els extrems. [Mesura adient en el cas en que es desitgi que determinades observacions extremes no ens afectin. Com a inconvenient té que només es tenen en consideració el \(50\) % dels valors centrals]

En una distribució, trobem el \(50\) % de les dades ubicades dins del rang interquartíl·lic. Conforme augmenta l’\(IQR\), més gran és la dispersió de les dades.

Es defineix com \( R_I = Q_3 - Q_1 \)

Es disposa d’una mostra \(M\) d'alçades de la població \(X\), amb \( M = \left\{164, 188, 164, 174, 173, 183, 168, 161, ··· , 167, 180, 173, 168, 175, 171 \right\} \). Calculis el rang interquartíl·lic de la mostra \(M\).

---

Amb R:

---

Mesures de dispersió

Les mesures de posició redueixen la informació de la mostra a un únic valor que no ens indica la concentració de les dades, la seva dispersió respecte a la mesura de tendència central. Ens indiquen quant juntes o separades de la mesura de tendència central són les dades.

Com més separades siguin, direm que són més disperses.

Per exemple —si es consideren les variables \(X = {0, 50, 100}\) i \(Y = {50, 50} \)— s’observa que \(\bar{x} = \bar{y} = 50 \). Tanmateix \(\bar {y}\) és més representativa que \( \bar{x} \) donat que la variable \(Y\) és menys dispersa que la variable \(X\). A \(Y\) la desviació és cero, mentre que a \(X\) és \(50\).

Variància poblacional i variància mostral

En cas de disposar de tota la població, la variància poblacional es calcula com la mitjana aritmètica de les diferències al quadrat entre la mitjana poblacional i les dades de la mostra. \[ \sigma^2 = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n} \]

Amb \( \mu \) la mitjana poblacional i \(n\) la mida de la població.

Al elevar les diferències al quadrat es garanteix que les diferències absolutes respecte a la mitjana no s’anul·len entre sí. A més, se’n ressalten els valors allunyats.

Quasi mai es té accés a tota la població i únicament se’n disposa d’una mostra. En aquest cas es calcula la quasivariància mostral [O variància mostral estimada. Estimador no esbiaixat de \(\sigma^2\). És a dir: \(S^2 \rightarrow \sigma^2\).] com \[S^2 = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1} \]

Amb \(\bar {x} \) la mitjana mostral i \(n\) la mida de la mostra. El denominador \((n-1)\) ens indica els graus de llibertat (g.l.) [Si se’n coneixen \(n, x\) ̅ i els \((n-1)\) primers elements de la mostra, l’últim element no és lliure. Resta ja totalment determinat pels valors coneguts].

Habitualment, la mostra és una part petita i representativa de la població total. El més correcte és doncs utilitzar la quasivariància. Molts cops es fa referència a la variància quan en realitat s’està calculant la quasivariància —que és el que fan la majoria dels programes informàtics—.

Es disposa d’una mostra \(M\) d'alçades de la població \(X\), amb \( M = \left\{164, 188, 164, 174, 173, 183, 168, 161, ··· , 167, 180, 173, 168, 175, 171 \right\} \). Calculis la variància de la mostra \(M\).

---

Amb R:

---

Es disposa d’una mostra \(M\) d'alçades de la població \(X\), amb \( M = \left\{164, 188, 164, 174, 173, 183, 168, 161, ··· , 167, 180, 173, 168, 175, 171 \right\} \). Calculis la quasivariància de la mostra \(M\).

---

Amb R:

---

La quasivariància de la mostra és \(46.98\). [Observis que la variància —no corregida— és \(46.0384\)]

Característiques de la variància

1. Si es suma una constant a una variable, la variància de la nova variable no canvia. La distància de les dades a la mitjana segueix sent la mateixa. \[ (x_i + c) - (\bar{x} + c) = x_i - \bar{x} \]
2. Si es multiplica una variable per una constant, la variància de la nova variable és igual a la de l’antiga multiplicada per la constant al quadrat. Al multiplicar les dades, multipliquem també la dispersió.

Les dues propietats anteriors es poden resumir en una. \[ Y = a \cdot X + b \Rightarrow S_Y^2 = a^2 \cdot S_X^2 \]

Mostris matemàticament les propietats de la variància descrites anteriorment.

---

Amb R:

---

S'observa que \( \text{Var}\ x = \text{Var}\ (x + 5) = 9.166667 \), i que \( \text{Var}\ (x \cdot 5) = (5^2)\cdot(\text{Var}\ x) = 229.1667 \)

Variància entre poblacions

Es disposa de les dades d’una certa característica en dues poblacions diferents —de les que es disposa de \(n_1\) i \(n_2\) mostres, respectivament—.

Siguin \(x_1 = \left( x_{11}, \cdots, x_{1n_1} \right) \quad \text{i} \quad x_2 = \left( x_{21}, \cdots, x_{2n_2} \right) \) els corresponents vectors de dades, amb mitjanes i variàncies respectives \( \left( \bar{x}_1, \bar{x}_2 \right) \quad \text{i} \quad \left( S_{n_1}^2, S_{n_2}^2 \right) \).

La variància global dins les subpoblacions —la mitjana ponderada de les variàncies— es calcula aleshores com \[\frac{S_{n_1}^2 \cdot n_1 + S_{n_1}^2 \cdot n_2}{n_1 + n_2} \].

Sent la variància entre les subpoblacions —la variància de les mesures de les subpoblacions— \[ \frac{\left( \bar{x}_1 - \bar{x} \right)^2 \cdot n_1 + \left( \bar{x}_2 - \bar{x} \right)^2 \cdot n_2}{n_1 + n_2} \].

La variabilitat total \( S_{n_1 n_2}^2 \) serà igual a la suma de totes dues variàncies. \[S_{n_1 n_2}^2 = \frac{S_{n_1}^2 \cdot n_1 + S_{n_1}^2 \cdot n_2}{n_1 + n_2} + \frac{\left( \bar{x}_1 - \bar{x} \right)^2 \cdot n_1 + \left( \bar{x}_2 - \bar{x} \right)^2 \cdot n_2}{n_1 + n_2} \]

Expressió generalitzable a \(K\) subpoblacions. \[S_{n_K}^2 = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{K} S_{n_i}^2 \cdot n_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{K} n_i} + \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{K} \left( \bar{x}_i - \bar{x} \right)^2 \cdot n_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{K} n_i} \]

Desviació estàndard o típica

La desviació estàndard —o desviació típica— mesura la dispersió associada a la mitjana. La mitjana de les desviacions de les dades respecte a la mitjana —en les mateixes unitats que les dades—.

La desviació estàndard és igual a l’arrel quadrada de la variància. \[\sigma = \sqrt{\overline{\sigma^2}} = \frac{\displaystyle\sum\_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n} \] \[ S = \sqrt{S^2} = \frac{\displaystyle\sum\_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1} \]

Amb \( \sigma \) la desviació estàndard poblacional i \( S \) la desviació estàndard mostral.

Tant la variància com la desviació típica són sempre positives o cero. Valen cero únicament en el cas de que tots els valors coincideixin amb la mitjana —cas de representativitat absoluta de la mitjana—.

Es disposa d’una mostra \(M\) d'alçades de la població \(X\), amb \( M = \left\{164, 188, 164, 174, 173, 183, 168, 161, ··· , 167, 180, 173, 168, 175, 171 \right\} \). Calculis la desviació típica de la mostra \(M\).

Amb R:

---

La desviació típica de la mostra és \(6.85\).

Variable tipificada, estandarditzada o normalitzada

Donat un vector de dades \( x \in \mathcal{R}^n \), es calculen la mitjana \(\bar{x}\) i la desviació típica \(S\).

Es pot normalitzar \(x\) fent el canvi al vector \(Z = \left( Z_1, \cdots, Z_n \right) \in \mathcal{R}^n \), donat per \(z_i = \frac{x_i - \bar{x}}{S} \), amb \( i = \left\{1,···,n \right\} \).

El vector \(z\) té com a peculiaritat que \( \bar{z} = 0 \quad \text{i} \quad S_z = 1 \). Si un valor de \(z\) és \(> 0\), significa que és per sobre de la mitjana, i viceversa.

Es vol concedir una beca d’estudis i n’hi ha dos candidats possibles: un alumne amb \(9\) punts, que prové d’un centre de mitjana \(6\) i desviació típica \(1\). Un altre amb \(10\) punts, que prové d’un centre de mitjana \(7\) i desviació típica \(2\).

Determinis quin alumne la mereix més. [Adaptació de l’exemple, MA. Mirás i E. Sánchez, 2018, p.35]

Al normalitzar les dades es poden comparar millor els dos alumnes: \[ z_1 = \frac{9 - 6}{1} = 3 \] \[z_2 = \frac{10 - 7}{2} = 1.5 \]

Queda evident quin és el millor candidat. El primer alumne té millors notes —malgrat tenir menys punts—.

Coeficient de variació de Pearson

El coeficient de variació de Pearson \((r)\) mesura la variació de les dades respecte a la mitjana. Sense tenir en compte les unitats en les que s’expressen —és adimensional—. \[V(x) = r = \frac{S}{|\bar{x}|} \]

, amb \( \bar{x} \neq 0 \).

Pren valors entre \(0\) i \(1\). Si el coeficient és molt proper al \(0\), significa que existeix poca variabilitat en les dades i és una mostra molt compacta. En canvi, si tendeix a \(1\), és una mostra molt dispersa.

També es sol multiplicar el resultat per cent per tenir-lo en %. A més, \( \bar{x} = 1 \implies tr = S \).

Representa una mesura de la dispersió relativa, adimensional —amb \(x\) ̅ com a unitat de mesura— i permet comparar la dispersió de varies distribucions. A major valor de \(r\), menor representativitat de \(x\) ̅—i viceversa—.

En general, valores inferiors a \(0.1\) indiquen una alta concentració; entre \(0.1\) i \(0.5\) una concentració mitjana; i valors superiors a \(0.5\) una alta dispersió i una mitjana poc o gens representativa.

El seu valor màxim és \( \sqrt{n-1} \). Fet que s’utilitza per expressar la dispersió com a coeficient de variació relativa —en %—. \[ V_r = \frac{r}{\sqrt{n - 1}} \cdot 100 \]

Calculis el coeficient de variació relativa d’una mostra amb \( n = 80 \quad S = 2 \quad \bar{x} = 10 \)

Tenim que: \[ V(x) = r = \frac{S}{|\bar{x}|} = \frac{2}{10} = 0.2 \] \[V_r = \frac{r}{\sqrt{n - 1}} \dot 100 = \frac{0.2}{\sqrt{80 - 1}} \dot 100 \approx 2.25\% \]

El coeficient de variació relativa de la mostra és \(2.25\) %.

Es disposa de cinc mostres, \( M_x = \text{"alçades de la població X"} \): \( \left\{M_1, M_2, M_3, M_4, M_5 \right\} \) —que es detallen a continuació en la solució amb R—

Trobis en quina de les mostres hi ha més variabilitat.

---

Amb R:

---

S’observa més variabilitat a les mostres \(1\) i \(3\).

Error estàndard de la mitjana

L’error estàndard de la mitjana mesura el grau de dispersió de les mitjanes de totes les mostres possibles que es puguin extreure de la població.

Suposem que es disposa d’una mostra de la població i es vol inferir, a partir de la seva mitjana mostral, la mitjana poblacional. Suposem també —cosa impossible a la pràctica— que es disposa de la mitjana de cadascuna de totes les possibles mostres de la població de la mateixa mida que la primera mostra.

Aleshores, l’error estàndard de la mitjana mesurarà la dispersió de totes aquestes impossibles mitjanes mostrals respecte la mitjana poblacional, calculat com \[\sqrt{\frac{S^2}{n}} = \frac{S}{\sqrt{n}} \]

Rang semi-interquartíl·lic respecte a la mediana.

Ve donat per \[R_{SI} = \frac{Q_3 - Q_1}{M_e}\]

És també adimensional, amb els avantatges i els inconvenients del rang interquartíl·lic.

Mesures de forma. Asimetria i curtosis

Una distribució és simètrica respecte a un paràmetre quan els valors de la variable, equidistants d’aquest paràmetre, tenen la mateixa freqüència. La simetria es refereix habitualment respecte de la mitjana aritmètica, però també respecte de la mediana.

L’asimetria i la curtosis informen sobre la forma de la distribució d’una variable. Aquestes mesures permeten saber les característiques de la seva asimetria i homogeneïtat sense necessitat de representar-les gràficament.

Es poden obtenir tres tipus de corba de distribució segons la seva asimetria.

• Asimetria negativa —a esquerra—. La cua de la distribució s’allarga per a valors inferiors a la mitjana. La major part dels valors són a la part dreta de la distribució.
• Simètrica. Hi ha el mateix nombre d’elements a esquerra i a dreta de la mitjana. En aquest cas, coincideixen la mitjana, la mediana i la moda. La distribució s’adapta a la forma de la campana de Gauss, o distribució normal.
• Asimetria positiva —a dreta—. La cua de la distribució s’allarga per a valors superiors a la mitjana. La major part dels valors són a la part esquerra de la distribució.

Moltes distribucions presents a la natura són d’aquest tipus: estatura dels nens, mida del cor, perímetre toràcic, freqüència cardíaca, fórmula leucocitària, etc.

En particular —si la distribució és acotada per l’esquerra amb el valor zero— és útil normalitzar les dades aplicant logaritmes [distribució logarítmica-normal]. Com a curiositat, en molts idiomes —per exemple l’anglès— el nombre de fonemes per paraula s’ajusta també a aquesta distribució.

D’aquesta manera, l’interval \((0, 1)\) es transforma en \((-\infty, 0)\) i s’allarga la part esquerra de la corba. En especial quan el coeficient de variació és més gran del \(33\) % —quan la desviació tipus és gran comparada amb la mitjana—.

Es disposa de la mostra \(X = \left\{ 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 14 \right\}\).

Trobis entre quin interval de valors es troba la massa central de les dades de la mostra.

---

Amb R:

---

Mediana logarítmica [\(mdlog(x)\)]: \[ 10^{\left( \frac{\sum f_j \times \log_{10} x_j}{n} \right)} \]

Factor de dispersió [\(fdisp(x)\)]: \[ 10^{\left( \sqrt{ \frac{\sum f_j \times (\log_{10} x_j)^2}{n} - \left( \frac{\sum f_j \times \log_{10} x_j}{n} \right)^2 } \right)} \]

Mitjana logarítmica [\(mlog(x)\)]: \[ 10^{\left( \frac{\sum f_j \times \log_{10} x_j}{n} + 1.1513 \times \sqrt{ \frac{\sum f_j \times (\log_{10} x_j)^2}{n} - \left( \frac{\sum f_j \times \log_{10} x_j}{n} \right)^2 } \right)} \]

Moda logarítmica [\(dlog(x)\)]: \[ 10^{\left( \frac{\sum f_j \times \log_{10} x_j}{n} - 2.3026 \times \sqrt{ \frac{\sum f_j \times (\log_{10} x_j)^2}{n} - \left( \frac{\sum f_j \times \log_{10} x_j}{n} \right)^2 } \right)} \]

Observem doncs, que la massa central de les dades es troba entre \( 6.693\ /\ 1.463 \approx 4.58 \quad \text{i} \quad 6.693 \cdot 1.463 \approx 9.79 \).

Coeficient d’asimetria de Fisher

El coeficient d’asimetria [primer coeficient de Fisher] és una mesura adimensional que ens indica la simetria de la distribució d’una variable respecte a la mitjana aritmètica, sense necessitat de fer la representació gràfica. Indica també si hi ha el mateix nombre d’elements a esquerra i a dreta de la mitjana. \[\frac{\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}_n)^3}{S_n^3(x)} = \frac{\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x}_n)^3 \dot n_i}{S_n^3(x)} \]

Com més proper a zero és el coeficient, més simètrica és la mostra i com més llunyà de zero, més asimètrica.

Es disposa d’una mostra \(M\) d'alçades de la població \(X\), amb \( M = \left\{164, 188, 164, 174, 173, 183, 168, 161, ··· , 167, 180, 173, 168, 175, 171 \right\} \). Calculis el coeficient d’asimetria de la mostra \(M\).

---

Amb R:

---

El coeficient d’asimetria de Fisher de la mostra —equivalent a COEFICIENTE.ASIMETRIA.P en Microsoft Excel— és 0.045. El que ens indica una distribució quasi normal.

Curtosis

La curtosis —o apuntament— és una mesura de forma que ens indica quan d’escarpada o d’aplanada és una corba o distribució. Tracta d’estudiar la distribució de freqüències en la zona central, al voltant de la mitjana.

Es mesura amb el coeficient de curtosis —el segon coeficient de Fisher— \[\frac{\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}_n)^4}{S_n^4} - 3 = \frac{\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{nk} (x_i - \bar{x}_n)^4 \dot n_i}{S_n^4} - 3 \]

Ens indica la quantitat de dades que hi ha properes a la mitjana. A major grau de curtosis, més escarpada —o apuntada— serà la forma de la corba.

El coeficient de curtosis distingeix els següents tipus de distribució:

• Mesocúrtica. Amb coeficient de curtosis nul —com la distribució normal—.
• Platicúrtica. Amb coeficient de curtosis negatiu.
• Leptocúrtica. Amb coeficient de curtosis positiu. Hi ha una gran concentració de valors al voltant de la mitjana i als extrems de la distribució.

L’objectiu serà, en tot cas, analitzar si la variable en estudi és aproximadament normal.

R disposa de la base de dades de 272 observacions d’erupcions volcàniques del Guèiser “Old Faithful” al parc nacional de Yellowstone. Amb dues variables: duració de l’erupció i temps d’espera fins la propera erupció —ambdues en minuts—. Es vol analitzar la distribució de les dades.

---

Amb R:

---

La curtosis \(-1.51\) ens indica una distribució platicúrtica. Les erupcions s’agrupen en una distribució bimodal —respecte a durada i temps d’espera—. Hi ha una relació directament proporcional entre la duració de l’erupció i el temps d’espera fins la propera erupció. Les erupcions més freqüents són les de poca durada.

Dades univariants en taules de freqüències

Les taules de freqüències, en particular amb les variables discretes, són una bona manera de presentar les dades. Serveixen per a comparar l’aparició d’un element \(X_i\) dins un conjunt d’elements \(\left\{ X_1, X_2,X_3···X_n \right\}\).

La freqüència pot ser:

• Absoluta. Representa el nombre \((n_i)\) de vegades que un valor \((x_i)\) apareix en una mostra \(\left\{ X_1, X_2,X_3···X_n \right\}\). La suma de les freqüències absolutes de tots els elements diferents de la mostra ha de ser el nombre total d’elements \((n)\).
• Relativa. Representa la proporció \((f_i)\) de vegades que s’ha observat un valor \((x_i)\) en una mostra \(\left\{ X_1, X_2,X_3···X_n \right\}\), respecte la mida \((n)\) de la mostra: \( f_i = \frac{n_i}{n}\).
• La freqüència relativa és la freqüència absoluta dividida pel nombre total d’elements (n).
• La suma de les freqüències relatives de tota la mostra és igual a \(1\), \((0 ≤ f_i ≤ 1)\). Multiplicada per \(100\) ens dona el %.
• Absoluta acumulada. Representa el nombre \((N_i)\) d’observacions més petites o iguals que un determinat valor \(x_i : N_i = \displaystyle\sum_{l=1}^{i} n_l \)
• Relativa acumulada. Representa la proporció \((F_i)\) de la freqüència absoluta acumulada del valor \(x_i\), respecte la mida \((n)\) de la mostra: \( F_i = \frac{N_i}{n} = \displaystyle\sum_{l=1}^{i} f_l \).
• La freqüència relativa acumulada d’un element és la suma de les freqüències relatives dels elements menors o iguals a ell.

Quan es disposa de la taula de freqüències, la mitjana aritmètica i la variància mostral es calculen fàcilment. \[ \bar{x}_n = \frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{k} n_i \cdot x_i = \displaystyle\sum_{i=1}^{k} n_i \cdot f_i \]

Es disposa de les notes d’un examen de filosofia de \(40\) estudiants d’un Institut de Secundària.

N = \(\left\{ 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, \cdots , 6, 6, 7, 7, 7, 7,8, 8, 9, 10 \right\} \). Trobis la seva distribució per freqüències i calculis la variància i desviació típiques.

[Adaptació de l’exemple, O. Julià i D. Márquez, 2011, p.53]

---

Amb R:

---

La desviació típica de les notes és \(2.22\).

En un estudi sobre paràsits en \(44\) tortugues marines es recullen dades sobre la variable aleatòria \(X\) = {nombre de paràsits/individu}, amb el resultat de >/p>

\( X = \left\{ 0, 2, 0, \cdots , 1, 3, 0, 1, 0, 1 \right\}\). Representis les dades, en freqüències i gràficament. [Adaptació de l’exemple, MA. Mirás i E. Sánchez, 2018, p.17]

La mida de la mostra és \( n = 44 \). El vector d’observacions és \( X = (x_1, x_2, ···, x_44 )\). La variable \(k = 6 \) pren els diferents valors \(x = (0, 1, 2, 3, 4, 5)\).

---

Amb R:

---

Dades agrupades per intervals

De vegades interessa agrupar les dades per intervals, basats en el que s’anomena marca de classe —el punt mitjà dels intervals—.

Per a calcular la mitjana, la variància i la desviació típica, s’aplica la mateixa fórmula que en el cas de les taules de freqüències. Es substitueixen els valors \(x_i\) per les marques de classe \(z_i\).

Per a la mediana, primer es localitza la classe de la mediana \((L_i, L_{i + 1})\) —aquella en que \(F_i \geq 0.5 \quad \text{i} \quad F_{i - 1} \leq 0.5\)— i posteriorment s’aplica la fórmula \[ M = L_i + \frac{L_{i+1} - L_i}{n_i} \left( \frac{N}{2} - N_{i-1} \right) \]

, on \(N\) és la grandària de la mostra —\(N_k\), a la taula anterior—.

Per als quartils i els percentils es segueix la mateixa idea. Es localitza la classe corresponent i després s’utilitza la fórmula anterior substituint \( \frac{N}{2}\) pel seu equivalent.

Per exemple, per al tercer quartil es troba la seva classe \((L_i, L_{i+1}) \) —aquella en que \(F_i \geq 0.75 \quad \text{i} \quad F_{i-1} \leq 0.75 \)— i posteriorment s’aplica la fórmula \[Q_3 = L_i + \frac{L_{i+1} - L_i}{n_i} \left( \frac{3N}{4} - N_{i-1} \right) \]

Es disposa de les edats de \(27\) mestres d’una escola de primària. \(E = \left\{ 23, 24, 24, \cdots , 55, 57, 59, 63 }\). Agrupis les dades per intervals.

[Adaptació de l’exemple, O. Julià i D. Márquez, 2011, p.55]

---

Amb R:

---

Si es disposa de les dades agrupades i es vol calcular la mitjana: \(\bar{x}_{27} = \frac{25 \cdot 5 + 35 \cdot 5 + 45 \cdot 12 + 55 \cdot 4 + 65 \cdot 1}{27} \approx 41.667 \)

La desviació típica és: \( s_27 = 10.541\).

La classe de la mediana és \((40, 50) \) ja que \(F_3 = 0.815\ (18.52\ \%)\) i \(F_2 = 0.370\ (37.04\ \%)\), per tant \[ M = 40 + \left(\frac{50 - 40}{12}\right) \cdot \left( \frac{27}{2} - 10 \right) \approx 42.91 \]

i el primer quartil resulta \[ Q_1 = 30 + \left(\frac{30 - 20}{5}\right) \cdot \left( \frac{27}{4} - 5 \right) \approx 33.5 \]

Transformacions de dades

El principal objectiu de la descripció de les dades és obtenir-ne una visió el més clara i simple possible. En general convé representar les dades amb únicament dos o tres dígits i escollir correctament les unitats de magnitud. El que equival a efectuar una transformació lineal del tipus \(y = ax + b\).

De manera que \[\bar{y} = \frac{\sum y}{n} = \frac{\sum (a + bx)}{n} = a + b \bar{x} \] \[S_y = |b| S_x \]

Els coeficients d’asimetria i de curtosi no es veuen alterats —per ser adimensionals—. Les transformacions lineals no canvien la forma de la distribució de les dades. El que no és el mateix en el cas de les transformacions no lineals.

Quan les variables no es poden relacionar linealment entre sí, s’han d’efectuar transformacions no lineals.

La transformació de les dades ens proporciona distribucions més simètriques que permeten aplicar determinades tècniques estadístiques que ho requereixen. Les transformacions més utilitzades són:

• \(f(x) = x^2 \). Comprimeix l’escala per a valors menors que \(1\) i l’expandeix per a valors superiors a \(1\). És útil per aconseguir simetria en distribucions amb coeficient d’asimetria negatiu. La transformació \( g(x) = \sqrt{x} \) té l’efecte contrari.

   

• \(f(x) = \frac{1}{x} \). Comprimeix l’escala per a valors alts i l’expandeix per a valors baixos.
• \(f(x) = ln(x)\). És la transformació més utilitzada. S’utilitza molt en distribucions que descriuen la mida de les coses. Al expressar la variable en logaritmes, la distribució es transforma en aproximadament simètrica i, aleshores
• \( \text{mediana}\ (y) = \ln [\text{mediana}\ (x)] \).
• \( \text{percentil}\ p(y) = \ln [\text{percentil}\ p(x)] \).
• \( \bar{y} = \frac{1}{n} (\ln x_1 + \cdots + \ln x_n) \neq \ln \bar{x} \) —equivalent a la mitjana geomètrica—.
• \( S_y \neq \ln S_x \).

Consideris el següent vector de dades: \( D = \left\{ 2.2, 7.6, 2.9, \cdots , 5.9, 6.7, 3.4, 40\right\}\). Observis el resultat de l’histograma de \(x\) i de \(\ln{x}\).

[Adaptació de l’exemple, MA. Mirás i E. Sánchez, 2018, p.43]

---

Amb R:

---

S’observa el canvi en l’histograma, al aplicar la transformació logarítmica.

---

Amb R:

---

El mateix succeeix en el cas del diagrama de caixa. La distribució és més simètrica i desapareixen tres dels quatre outliers.

Intervals de confiança dels paràmetres

Interval de confiança per a \( \mu \)

Es vol estimar la mitjana poblacional \( (μ) \) a partir de la mitjana mostral \( (\bar{x}) \) amb \(\pm ME \), el cas habitual quan les dades són quantitatives.

Es consideren dos casos possibles:

1. Si es coneix el valor de \( \sigma \) —la desviació estàndard poblacional—, l’\(IC\) es determina a partir de l’expressió \[ \bar{x} \pm z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] Es té, per tant, en compte que les dades provenen d’una distribució normal o amb \(n \geq 30\).
2. Si es desconeix el valor de \( \sigma \) o bé \(n < 30\), l’\(IC\) es determina a partir de l’expressió \[ \bar{x} \pm t_{n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \], amb \( t_{n-1} \) el valor crític de la distribució \( t\) de Student amb \((n-1)\) g.l. i \(s\), la desviació estàndard mostral.

Amb mostres grans, els valors de \(t\) s’aproximen cada cop més als valors de \(z\). Quan \(n\) és petit, el \(ME\) augmenta i la corba és una campana de Gauss més aplanada i ample —l’interval de confiança és més ample—.

Interval de confiança per a una proporció

Quan les dades són qualitatives —categòriques—, el més habitual és voler estimar la proporció —el percentatge— de la categoria d’interès, amb \(\hat p\) la proporció poblacional estimada. Es suposa una distribució normal o \(n \leq 30\) —més endavant es tracten altres casos—. S’estima, doncs, a partir de l’expressió \[\hat{p} \pm z_{\alpha} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot (1 - \hat{p})}{n}} \]

Diferència entre dues mitjanes

Es pretén comparar dues poblacions i estimar-hi la diferència entre les seves mitjanes poblacionals \( μ_1 - μ_2\). El procediment a seguir és calcular \(\left[ (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm ME \right] \). Es consideren dos casos possibles:

1. \( \sigma_1\ \text{i}\ \sigma_2 \) són conegudes, amb distribució normal o \(n_1, n_2 \geq 30 \). L’\(IC\) es determina a partir de l’expressió \[ (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm z_{\alpha} \cdot \sqrt{\frac{\sigma_1}{n_1} \cdot \frac{\sigma_2}{n_2}} \]
2. Es desconeixen les desviacions estàndard poblacionals i/o les mides mostrals són inferiors a 30. Suposant que \( \sigma_1 \approx \sigma_2 \) —més endavant es tracten altres casos—. S’utilitza \[ (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{(n_1 + n_2 - 2)} \cdot \sqrt{\frac{(n_1 - 1) \cdot s_1^2 + (n_2 - 1) \cdot s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}} \]

Diferència entre dues proporcions

Es comparen característiques categòriques i es vol estimar la diferència entre dues proporcions poblacionals \( p_1\ \text{i}\ p_2\). Es pren la diferència entre les proporcions estimades a la mostra \( \left[ \hat{p}_1 - \hat{p}_2 \pm ME \right] \) [El resultat és més clar si \( (p_1 - p_2) \geq 0 \), encara que seguiria sent correcte a la inversa]

L’interval de confiança es calcula com \[ (\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z_{\alpha} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}_1 \cdot (1 - \hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2 \cdot (1 - \hat{p}_2)}{n_2}} \], amb \(n_1\ \text{i}\ n_2 \) prou grans —amb \(n_1, n_2 \geq 30 \)—.

Representació gràfica de les dades

Un gràfic —o una gràfica— és el recurs de representar les dades numèriques amb línies, diagrames, dibuixos, etc. La representació gràfica és un important complement de l’anàlisi estadístic d’una mostra. Capta l’atenció del lector i aporta, d’un cop d’ull, una major comprensió de la mostra.

• Sovint ajuda a que el lector es llegeixi a més el text i les taules.

Gairebé tot anàlisi estadístic comença amb alguna representació gràfica. El llenguatge R disposa de moltes llibreries i funcions gràfiques i a Internet es troben fàcilment molts exemples de com aplicar-les.

Elements d’un gràfic

Els elements que un gràfic pot mostrar són:

• El títol principal. Ha de descriure clarament el que el gràfic il·lustra. [ main ]
• El títol secundari. Pot aclarir algun matís del títol principal. Es situa sovint sota l’eix horitzontal. [ sub ]
• La descripció. Es situa a peu de gràfic. És una petita explicació que no ha de repetir mai el que ja es veu al gràfic.
• La llegenda. Identifica, sovint amb colors distintius, les diferents sèries de dades. No es mostra si no és necessari.
• La regió de dades i símbols, on es mostren el gràfic, les senyals, els apuntadors i les marques.[ type; lty; pch ]
• Els eixos i escales principals, horitzontal i vertical. Indiquen sovint el nom de les variables i les unitats de magnitud. En els gràfics de barres, l’eix vertical és l’eix de les categories. Si és necessari, poden existir eixos secundaris.[ xlab; ylab; xlim; ylim; log ]

Tipus de gràfics

Diagrama de barres (barplot)

El diagrama de barres és una forma de representar les variables qualitatives o discretes, sempre que no estiguin agrupades. És el gràfic indicat per a les variables ordinals.

Sobre l’eix horitzontal es col·loquen els valors de la variable. Sobre cadascun d’ells es dibuixa una barra vertical d’alçada proporcional a cada freqüència absoluta \((n)\). Barra proporcional al nombre d’observacions de cada categoria de la mostra.

És un gràfic fàcilment manipulable. Per tal de no induir a confusió ni engany, s’ha de realitzar-se sempre amb l’escala de mesura i els punts d’origen correctes.

El llenguatge R disposa de la funció barplot(height), on height és un vector o una matriu.

En cas de ser un vector, determina les alçades de les barres del gràfic. En cas de ser una matriu i el paràmetre beside=FALSE, cada barra del gràfic es correspon amb una barra de l’alçada indicada a les barres apilades.

Si beside=TRUE, els valors de cada barra es juxtaposa, en lloc d’apilar-se.

Les etiquetes de les barres es col·loquen al paràmetre names.arg=(character vector). Amb el paràmetre horiz=TRUE, es genera un diagrama de barres horitzontals.

Podem obtenir ajuda sobre els paràmetres del gràfic a la documentació de R, amb ?barplot o bé help(barplot).

Representis les dades de l’exemple 45 amb un diagrama de barres.

---

Amb R:

---

Diagrama de sectors (pie chart)

El diagrama de sectors és molt visual i útil quan hi ha força variació en les dades. En cas contrari pot induir a confusió i és millor utilitzar el gràfic de barres.

S’utilitza únicament per a variables qualitatives nominals —sense ordenar— amb una escala estrictament nominal. Mai s’ha d’utilitzar amb variables ordinals.

Es construeix representant, sobre un cercle \((360^\circ)\), sectors de mida i angle proporcionals a la freqüència relativa (%) del valor que representa cada categoria.

Podem obtenir ajuda sobre els paràmetres del gràfic a la documentació de R, amb ?pie o bé help(pie).

Representis, en un diagrama de sectors, el següent vector de dades: \( \left\{13, 14, 15, 16, 17, 18 \right\} \)

---

Amb R:

---

S’observa, en aquest cas en el que les dades recollides són totes semblants, que el gràfic de barres és més fàcil d’interpretar.

Representis les notes de l’exercici 45 en un diagrama de sectors.

---

Amb R:

---

Representis les notes recollides a la taula següent en un gràfic de sectors. [Adaptació de l’exemple, O. Julià i D. Márquez, 2011, p.57]

---

Amb R:

---

Diagrama de caixa (boxplot)

El diagrama de caixa (Tukey, 1977), utilitza bàsicament cinc valors i és un gràfic simple, però poderós. Mostra molt clarament la distribució de les dades i les seves principals característiques.

Permet també comparar diversos conjunts de dades a l’hora. Comparar diferents subpoblacions, estudiar-ne les cues i la simetria.

Podem obtenir ajuda sobre els paràmetres del gràfic a la documentació de R, amb ?bxp o help(bxp)

Propietats. Les dades es resumeixen en cinc nombres —representats gràficament a cop d’ull— que proporcionen informació sobre la localització, la dispersió, el biaix i les cues:

• La localització s’observa, a l’interior de la caixa, en la línia que la talla i que representa la mediana, el \(P_{50}\).
• La dispersió ve donada tant per l’alçada de la caixa, com per la distància entre els extrems dels bigotis (whiskers) —els dos braços—. Aquests comencen, un en el primer quartil \((P_{25})\), acabant en el mínim; l’altre en el tercer quartil \((P_{75})\), acabant en el màxim. L’alçada de la caixa ve donada, doncs, pels límits \(P_{25}\) i \(P_{75}\) i s’anomena rang interquartíl·lic \((RIC)\) —conté aproximadament el \(50\) % dels elements de la mostra—.
• El biaix s’observa en la desviació entre la línia de la mediana en relació al centre de la caixa. També en la relació entre les longituds dels bigotis.
• Les cues s’aprecien per la longitud dels bigotis en relació a l’alçada de la caixa. També per les observacions, que es marquen explícitament.

S’utilitza per a representar una variable quantitativa —variable numèrica—.

Permet visualitzar, a través dels quartils, cóm és la distribució, el seu grau d’asimetria, els valors extrems, la posició de la mediana, etc.

Es composa de:

• Un rectangle —la caixa—, delimitat pel primer i tercer quartil \((Q_1\ \text{i}\ Q_3)\). Dins la caixa, una línia indica on es troba la mitjana (quartil \(Q_2)\). El límit inferior de la caixa \((L_I)\) calculat com \(L_I = Q_1 - 1.5(Q_3 - Q_1)\). El límit superior \((L_S)\) calculat com \( L_S = Q_3 + 1.5(Q_3 - Q_1)\). [Nota: Es defineix un pas com a \(1.5\) vegades el \(RIC\), i un bigoti s’estén des de la meitat de la part superior de la caixa fins a la major observació de les dades si es troben dins d’un pas. Igualment en la part inferior de la caixa]
• Dos braços —els bigotis— Un que comença en el primer quartil i acaba en el mínim, i altre que comença en el tercer quartil i acaba en el màxim.
• Les dades atípiques —els valors extrems o outliers—. Els valors que no compleixen certs requisits d’heterogeneïtat de les dades. Es situen per sobre —fins l’adjacent superior, sovint el valor màxim de la mostra— o per sota dels bigotis del diagrama —fins l’adjacent inferior—. [Nota: L’adjacent és un valor teòric. Un error que es comet sovint és representar en el diagrama els valors dels adjacents. En el diagrama únicament s’han de representar els valors de la mostra que més se’ls aproximin, per sota —cas de l’adjacent superior— o per sobre —cas de l’adjacent inferior—]

Els diagrames de caixa permeten detectar les dades atípiques. Són útils per a comparar la distribució d’una determinada variable en diferents subpoblacions. La posició central ens indica també l’asimetria de la variable.

N’hi ha moltes variants d’aquest tipus de gràfic. Pretenen mostrar altres característiques de les dades: marques en la caixa per a comparar la localització de diferents mostres —i veure si la diferència és estadísticament significativa—; marques per a ubicar la mitjana aritmètica; deformacions de la caixa —per aclarir-ne la distribució—. [Nota: Per exemple: Benjamini, (1988) crea el gràfic de got, en el que n’involucra conceptes d’estimació de densitats; Zani, Riani i Corbellini (1998) presenten una generalització del gràfic de caixa a dues dimensions. Una variant del boxplot, és el notched boxplot de McGill, Larsen i Tukey, en el qual el gràfic regular és suplementat amb els intervals de confiança per a la mediana, representats per un parell de cunyes als costats de la caixa.]

Representis les notes de l’examen de filosofia de l’exercici 45 en un diagrama de caixa.

[Adaptació de l’exemple, O. Julià i D. Márquez, 2011, p.59]

---

Amb R:

---

S’observen els bigotis i els intervals de confiança per a la mediana.

Histograma (hist)

L’histograma és un dels gràfics estadístics més utilitzats. A cop d’ull, ens proporciona una imatge de la distribució de les dades de la mostra. Es tracta, bàsicament, d’un gràfic de barres que representa les dades agrupades en rangs o intervals.

Les dades provenen de variables quantitatives contínues que divideixen la recta real en classes o intervals —si és possible, d’igual longitud— comptant quantes observacions cauen dins cada classe. Tant els límits de l’interval com el seu punt mitjà poden donar títol a cada barra, que representa la freqüència absoluta de l’interval. Els intervals abasten tot el conjunt sense intersecar-se, de manera que cada element és només dins un interval.

També es poden utilitzar variables qualitatives ordinals, amb un nombre elevat de dades.

A l’eix de les \(x\) es representen totes les categories, fins i tot les no representades dins la mostra. La idea d’agrupar dades en forma d’histogrames es coneix des de 1662, amb el treball de Graunt [John Graunt (Londres, 24 d'abril de 1620 - Londres, 18 d'abril de 1674). Estadístic anglès, demògraf i fundador de la bioestadística]. Però no és fins el 1926 que apareixen les primeres normes sobre la seva construcció amb la fórmula d’Sturges per a determinar-hi el nombre de barres: \[ k = 1 + log_2{⁡n} \], on \(k\) és el nombre de barres i \(n\) la mida de la mostra.

Fórmula que prové de la igualtat: \[ n = \displaystyle\sum_{i=0}^{k-1} \binom{k-1}{i} = (1 + 1)^{(k-1)} = 2^{(k-1)} \]

El procediment per a dissenyar un histograma és el següent:

1. Definir els intervals o classes, d’igual longitud si és possible.
2. Calcular-ne les freqüències absolutes —el nombre d’observacions dins cada interval—.
3. Calcular-ne les freqüències relatives —el nombre d’observacions dins cada interval, dividit per la mida de la mostra, \(n\)—.
4. Dibuixar-hi les barres de l’histograma amb alçades proporcionals a les freqüències relatives.

Visualment, és important que les barres siguin d’igual amplada —cosa que es diu si els intervals també ho són—. Si no és possible, és convenient representar les barres amb una alçada igual a la freqüència relativa dividida per l’amplitud de l’interval.

El quid principal d’un histograma rau, doncs, en el càlcul correcte del nombre d’intervals i, conseqüentment, de barres. Considerant les freqüències acumulades —en percentatge— i representant quants elements de la mostra presenten —almenys— un determinat valor de la variable en estudi o un de menor —per exemple, menys d’una edat determinada— representarem un histograma de freqüències acumulades i unint els extrems de cada barra amb una línia tindrem un polígon de freqüències acumulades.

Podem obtenir ajuda sobre els paràmetres del gràfic a la documentació de R, amb ?hist o bé help(hist).

El següent vector recull les edats de \(27\) mestres d’una escola de primària. Representis en un histograma. \[ edats = \left\{23, 24, 24, 25, 25, 32, \cdots , 49, 51, 55, 57, 59, 63\right\} \]

[Adaptació de l’exemple, O. Julià i D. Márquez, 2011, p.57]

---

Amb R:

---

L’estació meteorològica de l’Institut Europa ha recollit les dades de la temperatura màxima del mes de gener de 2021 —en \(^\circ C\) —, corresponents al temporal meteorològic Filomena, primera setmana de gener de 2021.:

\[ T_{max} = \left\{9.61, 9.22, 9.67, 10.78, 9.83, \cdots , 17.33, 19.44, 22.33, 19.5, 17.72 \right\} \]

Representis les dades normalitzades en un histograma.

S’agrupa la variable \(T_{max}\) en intervals de \(2\ ^\circ C \) i es compta el nombre de dies dins cada interval —les freqüències absolutes—.

Es dibuixa l’histograma i la normalització de les dades.

---

Amb R:

---

Es poden calcular també les freqüències relatives —el quocient entre la freqüència absoluta i el nombre total de dades—.

Gràfic de punts (stripchart)

El gràfic de punts és un diagrama de dispersió unidimensional, alternatiu del diagrama de caixa quan es treballa amb mostres petites.

És útil per afegir les dades a altres gràfics, per tal de mostrar-ne la seva distribució. Els diagrames de caixa amaguen la distribució de les dades.

Podem obtenir ajuda sobre els paràmetres del gràfic a la documentació de R, amb ?stripchart o bé help(stripchart).

Es volen generar 75 dades normalitzades, situant la seva distribució sobre un diagrama de caixa i assenyalant-hi la mitjana de la distribució amb una línia discontínua.

---

Amb R:

---

Diagrama de tija i fulles (stem)

El diagrama de tija i fulles [Stem-and-Leaf Diagram] (Tukey, 1977) és un semigràfic que permet presentar la distribució d’una variable quantitativa.

Consisteix en separar cada dada en l’últim dígit —la fulla— de les xifres davanteres restants —la tija—.

És especialment útil per a conjunts de dades de mida petita-mitjana —entre 20 i 50 elements— amb dades no agrupades al voltant d’una única tija.

Ens dona una idea visual de la distribució de les dades, l’asimetria, etc. A la vegada que l’analista recull la informació en el seu quadern de camp va veient la distribució de les dades.

El gràfic ens mostra:

1. El centre de la distribució.
2. La forma general de la distribució.
• Simètrica. Les parts a cada costat del centre són una imatge especular.
• Esbiaixada a l’esquerra. La cua de l’esquerra —els valors menors— és significativament més llarga que la de la dreta —els valors majors—.
• Esbiaixada a la dreta. La situació oposada a l’anterior.
3. Desviacions de la forma global de la distribució.
• Outliers. Les observacions individuals que cauen significativament per fora del patró general de les dades.
• Gaps. Els forats en la distribució.

L’avantatge principal d’aquesta representació és la seva rapidesa i la possibilitat de fer-se a ma.

Té també desavantatges:

• És lleig i no serveix per a presentacions definitives.
• Funciona únicament amb poques dades.
• No permet distingir clarament diferents poblacions.

Podem obtenir ajuda sobre els paràmetres del gràfic a la documentació de R, amb ?stripchart?stem o bé ?stripcharthelp(stem).

Es disposa dels resultats del % de ciment en unes perforacions geològiques: \( C = \left\{ 10, 20, 31, \cdots , 16, 13, 19, 25 \right\} \). Representis \(C\) en un diagrama de tija i fulles.

---

Amb R:

---

Es disposa de les següents magnituds d’un terratrèmol en l’escala de Richter: \(R = \left\{1.0, 8.3, \cdots , 7.7, 1.5 \right\} \). Representis \(R\) en un diagrama de tija i fulles.

---

Amb R:

---

El primer valor \((1.0)\) ens indica la magnitud mínima i l’últim \((8.3)\) la magnitud màxima. A l’esquerra de la barra hi tenim les parts enteres de la variable i a la dreta els valors del primer decimal. Per exemple, hi ha tres terratrèmols de magnituds \(4 (4.0, 4.1, 4.1)\).

S’observa asimetria positiva —la freqüència disminueix a mesura que augmenta la magnitud—.

Pictograma

Un pictograma és un tipus de gràfic que representa amb dibuixos la característica estudiada. Representa les freqüències —relatives o absolutes— d’una variable —qualitativa o discreta—.

Puntuem la família Simpson.

---

Amb R:

---

Polígon de freqüències

El polígon de freqüències, és un gràfic que permet la ràpida visualització de les freqüències de cadascuna de les categories de l’estudi. Normalment s’utilitza amb freqüències absolutes, però també amb freqüències relatives.

Es consideren les freqüències acumulades i es representen quants elements de la mostra presenten —almenys— un determinat valor de la variable en estudi o un de menor —per exemple, menys d’una edat determinada—.

Es simulen 1000 dades aleatòries representades en polígons de freqüències.

---

Amb R:

---

 

Es generen \(1000\) dades aleatòries amb una distribució \(N(20,\ 5)\). Es simula una distribució de freqüències agrupades usant el mètode d’Sturges. Es construeix un histograma d’Sturges, usant el verdader nombre de classes i s’afegeix el polígon de freqüències. Posteriorment es construeixen els histogrames modificant en la funció \(hist\) l’argument \(breaks\) per Sturges, Scott i Freedman-Diaconis.

Gràfics en coordenades polars (polar plot, radar chart)

Aquest tipus de gràfic és força criticat. Un gràfic de barres (barplot) pot mostrar la mateixa informació de manera més clara i senzilla. A més, el canvi d’ordre de les categories pot variar molt la forma del polígon i afectar a la seva interpretació visual, especialment si les categories es presenten amb diferents escales.

R disposa de bones llibreries per a dissenyar aquest tipus de gràfic, com 'fmsb', 'ggplot' i 'ggplot2'. També es poden dissenyar funcions pròpies.

A l’exemple següent, utilitzarem 'fmsb'. El format d’entrada de les dades és molt específic. Cada fila ha de ser una entitat i cada columna una variable quantitativa. Les primeres dues files proporcionen el mínim i el màxim que s’utilitzarà per a cadascuna de les variables quantitatives.

Es disposa dels resultats acadèmics recollits en la taula següent [CTMA = 'Ciències de la Terra i del Medi Ambient'] :

Mostris els resultats en un diagrama de coordenades polars.

---

Amb R:

---

Observis que el gràfic de barres horitzontals és més senzill i més clar.

Es genera una simulació de dades normalitzades i representades en un gràfic de coordenades polars. [Adaptació de l’exemple, Ross Ihaka, Department of Statistics, University of Auckland. Private Bag 92019, Auckland New Zealand.]

---

Amb R:

---

Observis que el gràfic ens permet analitzar la dispersió i identificar-hi els diferents clusters.

Gràfic en estrella (star plot, spider)

El gràfic en estrella, és un tipus de gràfic radial. Semblant als anteriors. Permet comparar entre sí múltiples variables quantitatives d’una matriu.

Consisteix en una seqüència de radis disposats en angles iguals des del centre d’un polígon. Cada radi representa una de les variables —cadascuna de les columnes de la matriu—. Els noms de les files de la matriu marquen l’extrem de cada radi.

Es disposa de les dades de la temperatura mitjana màxima i mínima (en °C), de la precipitació total acumulada (en mm), de la velocitat mitjana del vent (en km/h), dels índex HDD i CDD dels anys 2011 al 2020, per tal de comparar-les entre sí.

Les dades han estat recollides per l’estació meteorològica de l’Institut Europa de L’Hospitalet de Llobregat.

Nota: Heating Degree Day (HDD) i Cooling Degree Day (CDD) són índexs quantitatius que indiquen la demanda d’energia per escalfar o refredar edificis. La base per determinar si un dia específic és un dia de grau de calefacció (HDD) o un dia de grau de refrigeració (CDD) és la temperatura mitjana diària: \(\overline{T} = [(T_{max} + T_{min})\ /\ 2] \). Cada dia amb una temperatura mitjana inferior a 18 °C es compta com un dia de calefacció. El dia del grau de refrigeració és la contrapart estival del dia del grau de calefacció.

---

Amb R:

---

S’observa que les diferències es donen principalment en la precipitació total acumulada i en la velocitat del vent. L’any més regular ha estat l’any 2020.

Piràmide poblacional

Una piràmide de població, és la gràfica que representa l'estructura d’una població segons sexe i edat. Normalment, les piràmides de població es realitzen a partir de les dades extretes del cens o del padró. Elaborat per instituts d'estadística, oficials de cada país.

Es tracta d'una gràfica de barres horitzontals doble. A l'eix vertical (\(Y\)), es representen els intervals o grups d'edat. També anomenats cohorts —normalment, en intervals de 5 anys—. A l'eix horitzontal (\(X\)), el percentatge de la població de cada grup —corresponent el 100% a la població total—.

Normes de presentació:

• Tots els intervals o grups d'edat representats a l'eix vertical han de correspondre al mateix nombre d'anys.
• Els valors masculins es representen sempre a l'esquerra i els femenins a la dreta.
• Es recomana una proporció 2 (alt) x 3 (ample), per tal que la imatge de la piràmide sigui proporcionada i facilitar d'aquesta manera el comentari del seu perfil, i de les característiques concretes dels diferents grups.

Utilitat:

• Permet realitzar el comentari de la piràmide i comparacions de les característiques de la població de diversos països o poblacions a cop d’ull —sempre que la piràmide hagi estat realitzada amb percentatges i no en xifres de població totals—.
• Permet observar fenòmens demogràfics com l'envelliment de la població, el predomini d'un grup d'edat a la piràmide, el desequilibri o equilibri entre sexes, o la possible evolució de la població representada —creixement ràpid, creixement lent, estabilitat, o disminució de la població—.
• Un estudi més detallat, permet percebre en les entrades —grups més petits— i sortides —grups més grans— de la forma, l'efecte que han tingut sobre la demografia d'aquell lloc guerres, catàstrofes, moviments migratoris, crisis o períodes de recuperació econòmica o de la natalitat.

Interpretació per la forma:

• Piràmide estable. Mostra un patró sense canvis en la fecunditat i la mortalitat.
• Piràmide expansiva. Base ampla i cim petit. Forma clàssica de piràmide. Pròpia de països pobres, amb taxes de natalitat i mortalitat elevades i baixa esperança de vida.
• Piràmide estacionaria. Pròpia de països rics, el percentatge de població per edats es manté estable fins a edats avançades. Amb taxes de natalitat i mortalitat baixes. Indica una població madura que tendeix a l’envelliment.
• Piràmide constrictiva. [en urna cinerària]. Amb una taxa de natalitat i de mortalitat molt baixes. Indica una població envellida.

---

Amb R:

---

Comparem-ne les piràmides, espanyola i francesa, de l’any 2020 [Dades extretes de l’institut Nacional d’Estadística. (INE, https://www.ine.es/) i l’Institut National de la Statistique et des Études Économiques (INSEE, https://www.insee.fr/fr/), respectivament.]: S’observa que la piràmide espanyola és una piràmide constrictiva mentre que la francesa és estacionària. Ambdues piràmides mostren moviments migratoris a les franges joves.

Diagrama de línies

El gràfic lineal —gràfic de línies o diagrama de línies— es composa d’un seguit de dades representades per punts, units per segments lineals. Serveix per veure ràpidament el canvi de tendència de les dades.

Es sol utilitzar amb variables quantitatives, per a veure’n els canvis en el temps. Per exemple, amb sèries temporals.

Podem obtenir ajuda sobre els paràmetres del gràfic a la documentació de R, amb ?stripchart?lines o bé ?stripcharthelp(lines).

Es disposa dels valors de la pluviometria (en mm) registrada a l’estació meteorològica de l’Institut Europa de l’Hospitalet de Llobregat, entre els anys 2008 i 2020. Es desitja saber quina és la tendència de la pluviometria local.

---

Amb R:

---

Gràfic de dispersió

El gràfic de dispersió relaciona dues variables quantitatives dins una o més poblacions. La variable explicativa és la \(x\) i la variable resposta és la \(y\). Cada observació apareix com un punt en el gràfic.

S’utilitza especialment en les fases de comprovació de teories, per tal de trobar relacions de causa-efecte entre les variables. És un gràfic molt útil i força utilitzat en la investigació científica.

Interpretació:

• S’identifica, en un primer moment, l'aspecte general i, posteriorment, les desviacions que presenta.
• Es descriu l'aspecte general basant-se en la forma, la direcció i la força de la relació:
• Forma. Relacions lineals —quan els punts del diagrama de dispersió se situen aproximadament al llarg d'una recta—. Relacions curvilínies —quan els punts del diagrama de dispersió formen aproximadament una corba—. Agrupacions —quan els punts del diagrama de dispersió no formen ni una recta ni una corba, sinó que més aviat estan agrupats—.
• Direcció. Associació positiva quan els valors alts de les dues variables tendeixen a donar-se simultàniament. Associació negativa quan els valors alts d'una variable tendeixen a donar-se amb valors baixos de l'altra.
• Força. Es dirà que una relació entre dues variables és més forta quan els punts del diagrama són més a prop de la recta o de la corba i que la relació és més dèbil com més allunyats siguin de la recta o de la corba.

Podem obtenir-ne ajuda sobre els paràmetres del gràfic a la documentació de R, amb ?stripchart?plot o bé ?stripcharthelp(plot).

Es volen comparar les mesures del pètal, comparant les espècies Iris setosa, Iris versicolor i Iris virginica del dataset “iris” de R.

---

Amb R:

---

Diagrama de Pareto

El diagrama de Pareto, creat per Vilfredo Pareto (1848-1923) representa dades qualitatives. Conegut també com corba 80-20 o distribució A_B-C. Pareto va comprovar que el 20% de la població italiana acaparava el 80% de riqueses i propietats.

El principi de Pareto afirma que el 20 % de les causes vitals originen al voltant del 80 % dels efectes. Des del punt de vista matemàtic, el 20 % de les categories representen el 80 % de les observacions.

És una de les eines estadístiques bàsiques en el control de qualitat.

El diagrama de Pareto es construeix seguint els passos següents:

1. S’ordenen les dades segons la seva freqüència relativa o absoluta.
2. Es representa cadascuna de les categories de la variable amb un rectangle proporcional a la seva freqüència —com en el diagrama de barres—.

Es disposa de les dades de la direcció predominant del vent, durant 4555 dies, registrada a l’estació meteorològica de l’Institut Europa de l’Hospitalet de Llobregat, entre els anys 2008 i 2020.

Es desitja saber quines són les direccions locals predominants del vent.

---

Amb R:

---

 

Jordi Coll Vera - 2022