L’atzar i el càlcul de probabilitats. Una mica d'història.

Els jocs d’atzar tenen una antiguitat de més de 40000 anys. Ho confirma l’abundant troballa d’ossos d’astràgal —habitualment anomenat taba— d’ovella i de cérvol a les excavacions arqueològiques més antigues i l’àmplia documentació de l’os d’astràgal, com a substitut del dau modern, en cultures més recents —Grècia, Egipte -pintures de la primera dinastia, 3500 a.C.- i, posteriorment, Roma—.

Heròdot d'Halicarnàs (484 aC - 425 aC), historiador i geògraf grec, ja cita la popularitat dels jocs d’atzar, segons ell concebuts pels lidis per enganyar la gana durant una greu carestia.

Els daus més antics es remunten a l’any 3000 a.C., utilitzats en jocs d’atzar i en cerimònies religioses —l’atzar era considerat com la voluntat divina—. Es llençaven quatre daus i la combinació resultant s’utilitzava per a predir el futur.

Pràctiques semblants apareixen en cultures molt diferents, com la tibetana, la hindú o la jueva.

A partir del Renaixement (s. XVI), es comencen a efectuar plantejaments matemàtics de l’atzar. Galileo Galilei (1564 –1642), físic, matemàtic, i filòsof toscà, raona que, llençant tres daus, és més fàcil obtenir un \(9\) que obtenir un \(10\).

[Nota: N’hi ha 216 combinacions equiprobables: 25 d’obtenir un 9 \((P(9) = 25/216)\) i 27 d’obtenir un 10 \((P(10)=27/216)\). Per tant, obtenir un 10 és un \((27 - 25)/216 = 0.01\) més probable que obtenir un 9].

L’anàlisi matemàtic de l’atzar continuarà durant els segles posteriors.

El 1548, sota la direcció del virrei D. Pedro de la Fasca, s’elabora al Perú el primer cens de població elaborat per Espanya. A Europa el primer cens s’elabora a Irlanda l’any 1703 i a Espanya no hi és fins al 1787, impulsat pel compte de Floridablanca.

Molt després de la mort de Gerolamo Cardano, o Girolamo Cardan (1501 - 1576), matemàtic del Renaixement, metge, astròleg, jugador de jocs d'atzar i filòsof, es publica el seu “Libro sobre los juegos de azar” (1663).

[Nota: Passats vuitanta-set anys de la seva mort i vuitanta anys més tard de l’inici de la revolució científica (1583) amb Galileu Galilei. Raó per la qual la seva obra no va tenir ja gaire ressò. Galileu havia resolt l’encàrrec del Gran Duc de Toscana sobre la diferent freqüència del nou i del deu al llançar tres daus simultàniament i sumar els resultats de cada dau. Al fer-ho va determinar que les possibilitats d’un esdeveniment depenen del nombre de combinacions en que aquest pot esdevenir (quantitat, sovint, difícil de calcular).]

En aquesta obra Cardano planteja ja, de manera informal, el concepte d’espai mostral. Per exemple, al llançar dues monedes ideals amb cares equiprobables: (cara, cara), (cara, creu), (creu, cara), (creu, creu). On és fàcil calcular que la probabilitat de “cap cara” és un 25%, la mateixa probabilitat que “dues cares”. Coneixement que li va permetre, en vida, guanyar molts diners en jocs d’atzar amb cada esdeveniment de probabilitat fixa i coneguda —llançament de daus, de monedes, etc. —.

John Graunt (1620 - 1674), estadístic anglès, recolzat per Sir William Petty (1623 –1687), filòsof i economista anglès, es planteja el problema d’estimar la població anglesa a partir d’una mostra. Estimant taxes de mortalitat per edats i deduint-ne la freqüència de naixements d’homes i dones, entre d’altres anàlisis demogràfics rellevants.

Graunt és considerat el primer demògraf —va publicar, de Londres, la primera taula de mortalitat documentada— i Graunt i Petty els pares de l’estadística i precursors de l’economia clàssica.

Blaise Pascal (1623 –1662), filòsof, matemàtic, físic, inventor, escriptor, moralista, místic i teòleg occità, i Pierre de Fermat (17 d'agost de 1601 o 1607/8 – 12 de gener de 1665), jurista i matemàtic occità, resolen el problema dels punts. La situació és la següent: dos jugadors juguen a un joc en què per cada partida guanyada s'obté 1 punt. El primer que arriba a 6 punts s'emporta el premi (24 ducats). El joc s'interromp per causes desconegudes —habitualment per la presència de la policia— en un moment en què el jugador A té 5 punts i el jugador B, 3. Davant la impossibilitat de continuar i acabar la partida, el problema tracta de repartir el premi de manera justa. El problema és resolt a requeriment de De Méré l’any 1654.

La solució plantejada per Pascal va ser més elegant i eficient que la platejada per Fermat. Pascal desenvolupa formes eficients de recompte —el seu famós triangle de Pascal— i el concepte de l’expectativa matemàtica. Per exemple, en la ruleta —suposadament inventada per Pascal— la possibilitat de guany, en una aposta a un sol número de la ruleta, és de 1/37 pel jugador i de 36/37 per a la casa. Així per cada euro jugat el guany esperat és de \(-1/37 \approx -0.027\) euros. És a dir: es perden uns 2.7 cèntims de mitjana per euro —\(35 \cdot 1/37 - 1 \cdot 36/37 = 1/37 \approx 0.027\), es paga la aposta a 35 euros per euro apostat—.

Edmund Halley o Edmond Halley (1656 –1742), astrònom, geofísic, matemàtic, meteoròleg i físic anglès, estudia el problema de les assegurances de vida, elaborant-ne taules complertes de mortalitat (1693).

Jakob Bernoulli (1654 - 1705), matemàtic suís conegut, sobretot, pels seus treballs en càlcul diferencial i en teoria de la probabilitat, aplica el càlcul infinitesimal al càlcul de probabilitats. A més proporciona una definició estricta de probabilitat, basada en el supòsit de que es pot aprendre a partir de l’experiència i demostrar que aquest aprenentatge és quantificable a través d’un procés d’inversió que vincula les probabilitats a priori —definides a partir d’un raonament que va de les causes als efectes— amb les probabilitats a posteriori —definides a partir d’un raonament que va dels efectes a les causes—.

El pas de les freqüències observades d’un resultat de naturalesa eventual al suposat veritable valor de la probabilitat de la seva ocurrència.

La probabilitat és calculada a priori —la probabilitat matemàtica— i validada a posteriori amb els càlculs estadístics adients —la probabilitat estadística—.

La conseqüència d’aquesta revolucionària proposta és la seva primera llei dels grans nombres (1713) amb l’important concepte de límit ^[1], que acabarà portant més endavant a la llei forta d’Andrei Kolmogórov ^[2] (1903 –1987), matemàtic rus, l’any 1933.

Durant el segle XVIII, s’estén el càlcul de probabilitats a problemes de la física i de les assegurances marítimes. Molt influenciats per l’obra de Sir Isaac Newton (1642 - 1727), físic, matemàtic, astrònom, teòleg i autor anglès, es generalitza la metodologia científica i es consideren, per primer cop, els errors de mesura.

El 1763 Richard Price publica als Philosophical Transactions de la Royal Society, de forma pòstuma, "An Essay towards solving a problem in the Doctrine of Chances" obra de Thomas Bayes (1702 –1761), matemàtic anglès, sobre la probabilitat condicionada ^[3] on es presenta per primer cop un cas particular del que avui coneixem com teorema de Bayes.

Aquest teorema demostra com la teoria de la probabilitat es pot estendre de successos independents a successos de resultats connectats. De l’espai mostral complert s’eliminen els casos que no compleixen la condició prèvia plantejada [Vegis més endavant l’apartat Nen o nena?]. Apareix el concepte de probabilitat subjectiva, que té en compte determinats coneixements a priori per part de l’observador i neix així el que es coneix avui en dia com a probabilitat bayesiana, aplicada a tots els àmbits científics i industrials. Per exemple quan una companya d’assegurances calcula la nostra prima a partir de les dades que coneix de nosaltres valorant-ne així el risc a priori. En cas de no tenir cap informació previa sobre el teu nivell real de risc aplicarà la informació estadística que coneix sobre la població general.

L’aportació de Bayes queda però en l’oblit fins que Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827), matemàtic, astrònom i físic francès, la reinventa i supera.

Al segle XIX tots els països d’Europa elaboren oficialment censos de població —amb el primer documentat fet al s. XI en temps de Guillem el Conqueridor— també censos econòmics, climàtics, etc. continuant les idees de Graunt i Petty, de dos segles abans. Apareixen les primeres Agències Oficials d’Estadística i es funda a Londres la Royal Statistical Society (1834) , seguida de la American Statistical Association (1839). L’estadística evoluciona com a ciència separada del càlcul de probabilitats.

En aquest entorn es defineix la probabilitat freqüentista, plantejada per Laplace. La probabilitat d’un esdeveniment és definida com "el valor límit de la seva freqüència relativa al repetir infinitament l’experiència". Probabilitat mai demostrada empíricament, donat que ningú ha repetit mai una experiència infinits cops. La probabilitat freqüentista d’un esdeveniment \(A\) amb \(n\) repeticions de l’experiència ve donada per l’expressió \[ P(A) = \displaystyle\lim_{n \to \infty} fr(A) \], amb \(fr(A)\) la freqüència relativa de l’esdeveniment \(A\). Calculada com el quocient: \[\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos possibles}} = \frac{n_A}{n} \].

La fórmula anterior pressuposa que tots els casos són equiprobables —simetria estadística— i, en certa manera, determinats. És, doncs, una probabilitat objectiva, que no depèn de l’observador. El valor de la probabilitat serà sempre comprés entre 0 i 1: \(0 \leq p \leq 1\), sent 0 en el cas del succés impossible \((\emptyset)\) i 1 en el cas del succés segur \((\Omega)\). Portada a l’extrem, la probabilitat freqüentista nega qualsevol significat a una probabilitat individual —l’esdeveniment singular, irrepetible—.

De fet, fins l’actualitat no s’han pogut generar seqüències realment aleatòries, amb l’ús de generadors de daus quàntics perfectament equiprobables, d’aplicació en el mètode de Montecarlo. El 1947 és la Rand Corporation la primera empresa que desenvolupa una taula d’un milió de dígits aleatoris imperfectes però suficientment útils amb el mètode de Montecarlo.

A l’obra "Miscellanea Analytica" (1730) Abraham de De Moivre (1667 – 1754), matemàtic francès, apareix per primer cop la principal distribució de probabilitat: la distribució normal. També expressa per primer cop, de manera informal, el teorema central del límit, un dels dos principals teoremes de la teoria de les probabilitats. L’altre és la llei dels grans nombres.

Altres contribucions notables es deuen a Adrien-Marie Legendre, (1752 - 1833), matemàtic francès conegut, sobretot, pels seus treballs sobre integrals el·líptiques i sobre teoria de nombres i a Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), matemàtic i científic alemany, que resolen l’estimació de models estàtics, com la posició dels planetes. Legendre implementa el mètode dels mínims quadrats i Gauss demostra que el mètode és òptim quan els errors de mesura segueixen una distribució normal. Gauss desenvolupa les idees de Pascal i De Moivre al respecte de la corba de campana generant-ne la família de corbes de Gauss a partir de dos paràmetres: la mitjana i la variància. Demostrant, com abans s’ha indicat, que la distribució normal descriu a la perfecció la distribució de l’error de mesura. El descobriment de Gauss no té però cap repercussió fins que Laplace el redescobreix el 1810 en la seva obra "Essai sur les probabilités" i estableix formalment el teorema central del límit —també anomenat del límit central—.

En notació moderna: Siguin \(\left\{X_1, \cdots , X_n\right\}\) variables aleatòries independents, idènticament distribuïdes i acotades, discretes o absolutament contínues.

Siguin \(µ = E(X_1)\) i \( \sigma = \sqrt{Var(X_1)} \), aleshores, si \(n\) és prou gran, val l’aproximació: \[ P(n\mu + r_1 \sqrt{n} \leq X_1 + \cdots + X_n \leq n\mu + r_2 \sqrt{n}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{r_1}^{r_2} \frac{1}{\sigma} e^{\frac{-t^2}{2\sigma^2}} dt \]

El teorema de De Moivre-Laplace és un cas particular d’aquest teorema amb la variable aleatòria binomial \(X\) com suma de variables aleatòries independents de Bernoulli \(X_i\).

En definitiva, la probabilitat de que la suma d’un gran nombre de factors aleatoris independents assumeixi qualsevol valor donat és distribuïda normalment.

Les idees de Laplace són desenvolupades i aplicades per Lambert Adolphe Jacques Quételet (1796 - 1874), matemàtic, astrònom, naturalista, estadista i sociòleg belga, precursor de l'estudi demogràfic i fundador de l'Observatoire royal de Belgique, que verifica la distribució normal en un munt d’escenaris diferents. Quetelet descobreix, a partir de nombroses observacions, que els patrons aleatoris són tan fiables que les desviacions observades són prova de manipulació intencionada — en l’actualitat existeix l’economia forense, basada en els mateixos principis— i crea el concepte d’home mitjà, model al qual tots ens aproximem seguint la distribució normal.

Al segle XX hi ha una unificació de criteris, a partir de les conseqüències de la publicació, el 1859, de l’"Origen de les Espècies" de Charles Robert Darwin (1809 – 1882), naturalista, geòleg i biòleg anglès, i l’estudi de poblacions animals i vegetals.

A "Hereditary Genius", Sir Francis Galton (1822 – 1911), estadístic victorià, progressista, polímat, sociòleg, psicòleg, antropòleg, eugenista, explorador, geògraf, inventor, meteoròleg i cosí carnal de Darwin, proposa mètodes estadístics per a contrastar les teories de Darwin. Descobreix i posa nom als conceptes de la regressió a la mitjana i del coeficient de correlació. També propugna l’eugenèsia, la millora de l’espècie humana a través de la reproducció selectiva. Galton inspira durant dècades la investigació en estadística. La seva línia de treball és recolzada per W. F. R. Weldon (1860 – 1906), zoòleg anglès, catedràtic de zoologia de la universitat de Londres i fundador de la revista d’estadística teòrica "Biometrika", que cerca la col·laboració de Karl Pearson (1857 –1936), matemàtic i bioestadístic britànic, qui elabora un gran nombre de taules estadístiques i desenvolupa la prova de khi-quadrat \((\chi^2)\).

El 1905 Albert Einstein (1879 - 1955), físic alemany, nacionalitzat posteriorment suís i estatunidenc, publica un article sobre física estadística per tal d’explicar el moviment brownià segons la distribució normal. Robert Brown (1773 - 1858), reconegut botànic de principis del segle XIX; Ludwig Edward Boltzmann (1844 - 1906), físic austríac pioner de la mecànica estadística, fervent defensor de l'existència dels àtoms; James Clerk Maxwell (1831 –1879), matemàtic i físic teòric escocès que formulà les lleis bàsiques de l'electricitat i el magnetisme d'un mode unificat i altres havien intentat explicar-ho anteriorment, sense èxit, seguint les idees de Quetelet i de Galton.

William Sealey Gosset (1876 –1937), estadístic britànic, utilitza per primer cop el mètode Montecarlo aplicant les taules de Pearson a una mostra de 750 grups de quatre elements de 3000 delinqüents sobre l’estatura i la longitud del dit del cor —elaborada per W.R. McDonnell— i n’obté la distribució t que publica amb el pseudònim de Student.

Seguint les passes de Galton, Ronald Aylmer Fisher (1890 - 1962), científic, matemàtic, estadístic, biòleg evolutiu i genetista anglès, s’interessa per l’eugenèsia, el que el porta cap a la investigació estadística. Fisher planteja els fonaments de l’estadística actual i de nombrosos mètodes d’inferència actualment vigents —exposats a "Statistical Methods for Research Workers"—:

• elecció d’un model a partir de les dades empíriques;
• deducció matemàtica, per càlcul de probabilitats, de les propietats el model;
• estimació dels paràmetres condicionats a la bondat del model elegit;
• validació final del model amb un contrast d’hipòtesis.

A partir de 1950 comença l’època moderna de l’estadística. La informàtica possibilita l’estudi de models cada cop més complexos. Jerzy Neyman (1894 –1981), estadístic i matemàtic nord-americà d'origen polonès, Pearson i Abraham Wald (1902 –1950), matemàtic i estadístic hongarès emigrat als Estats Units, concentren la investigació teòrica en la recerca de procediments òptims d’estimació i contrast d’hipòtesis, basant-se en el fals principi de continuïtat: “una petita desviació en les hipòtesis produirà una petita variació en el resultat final”.

Amb Max Planck (1858 –1947), físic alemany, s’inicia la física quàntica i posteriorment, amb Boltzmann, la matemàtica estadística quàntica. A la mecànica estadística clàssica les partícules —àtoms i molècules— són distingibles i s’apliquen els principis de la combinatòria. La mecànica estadística quàntica, per exemple en el cas dels electrons —estadística Fermi-Dirac per a fermions, partícules de spin semi-enter ½—, descriu els sistemes com un gran nombre de partícules segons les lleis de la mecànica quàntica. Cadascun dels sistemes és composat d’un gran nombre d’estats discrets definits por un conjunt complet de números quàntics on cada partícula del sistema ocupa un dels estats. A diferència de la mecànica estadística clàssica, en aquests sistemes quàntics les partícules són indistingibles. És impossible, doncs, assenyalar una partícula amb un subíndex determinat. En el cas dels bosons, partícules amb spin igual a un número enter positiu o cero, s’aplica altra tipus d’estadística quàntica molt més difícil de constatar. [Partícules amb moment angular intrínsec enter no subjectes al principi d’exclusió de Pauli com sí que ho són els electrons o la condensació de Bose que s’observa únicament sota condicions de laboratori extremadament sofisticades — Informació extreta de Martínez Téllez, Armando; http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com/—]

Wald defineix l’estadística com “...un compendi de mètodes que ens permeten prendre decisions òptimes racionals en casos d’incertesa”.

Actualment es segueixen processos iteratius automatitzats d’aprenentatge —el machine learning— en lloc de l’aplicació d’un procediment òptim. L’abaratiment dels ordenadors i la seva gran capacitat de càlcul i emmagatzematge ha permès l’estudi automàtic de grans volums d’informació estadística contínua en tota mena d’àmbits. El gran repte del segle XXI és com extreure’n la informació útil de l’enorme quantitat d’informació disponible —el big data— amb tècniques eficients de recerca —el data mining—.

Experiència aleatòria

Donat un conjunt \(\Omega \) —no buit—, s’anomena experiència, o experiment, \((E)\) a qualsevol procediment pel qual s’extreu un element \(\omega \) de \(\Omega \). Diem aleshores que \( \omega \) és un esdeveniment elemental. Un cas possible, resultat de l’experiència \(E\) sobre \( \Omega\).

Els esdeveniments elementals verifiquen:

• Sempre succeeix algun d’ells.
• Són mútuament excloents —l’ocurrència d’un d’ells exclou la de tots els altres—.

La unió d’esdeveniments elementals forma esdeveniments compostos.

L’espai mostral és el conjunt de tots resultats possibles de l’experiència.

Suposem que es vol determinar l’eficàcia d’una vacuna sobre la Covid-19. No es pot, òbviament, treballar sobre una mostra de tota la població mundial. Si es treballa però sobre una mostra de 35000 persones, i s’observa que la vacuna és eficaç en 32900 casos, es pot afirmar que la vacuna té un (32900 / 35000 × 100) = 94 % d’eficàcia. Tanmateix, es tracta d’una experiència aleatòria o estocàstica i no d’una experiència determinista. En una experiència determinista els resultats sempre seran els mateixos sota les mateixes condicions. Es pressuposen successos certs i segurs. En una experiència aleatòria, en canvi, no es pot garantir mai el resultat. Només calcular-ne una probabilitat, dins l’interval \([0,\ 1]\). Si la probabilitat és igual a 0 estem davant d’un esdeveniment impossible, si la probabilitat és igual a 1 estem davant d’un esdeveniment segur. Els resultats es pressuposen doncs més o menys probables.

En el món real —dins les ciències experimentals— no existeix el determinisme total, doncs és impossible controlar plenament totes les variables d’un experiment hipotètic. Dins les ciències experimentals, tots els resultats són sempre probables. Una experiència aleatòria es pot repetir tants cops com es vulgui. Els resultats seran sempre probablement similars, sota les mateixes condicions de treball. Mai seran però segurs ni exactes.

Per exemple, si es llença \(n\) cops a l’aire una moneda imparcial, el nombre de cares no serà sempre exactament el 50 % dels casos —únicament serà cert, de manera teòrica, després d’infinits llançaments de la moneda—.

La teoria de la probabilitat estudia els models matemàtics dels fenòmens aleatoris. Kolmogórov a "Els fonaments de la Teoria de la Probabilitat" (1933) planteja el concepte de probabilitat axiomàtica —un axioma és un principi fonamental i evident, indemostrable però, sobre el que es construeix una teoria—. Aquesta cobreix totes les possibles experiències, fins i tot aquelles en que no és possible calcular fàcilment la seva freqüència relativa.

Amb la definició axiomàtica de la probabilitat d’un esdeveniment es superen els inconvenients de la definició del segle XIX com a valor límit de la seva freqüència al repetir indefinidament l’experimentació \( (P(A) = n_A/n)\). Definició que presentava importants inconvenients, en particular per a poblacions infinites:

• No sempre els n esdeveniments elementals possibles són equiprobables.
• No sempre és possible una experimentació indefinida.
• El sistema observat pot variar amb el temps, al llarg de l’experimentació.
• No serveix pels esdeveniments únics, o amb una freqüència relativa molt baixa.

Axiomes de Kolmogórov

Primer axioma

Per a tot esdeveniment: \(0 \leq P(A) \leq 1\). La probabilitat d'un esdeveniment qualsevol és representada per un nombre real comprès entre 0 i 1.

Primer axioma

Si \(\Omega\) designa l'univers associat a l'experiment aleatori en estudi, \(P(\Omega) = 1\). La probabilitat de l'esdeveniment cert, segur, d'obtenir qualsevol resultat de l'univers, és igual a 1.

En altres paraules, la probabilitat de realitzar un o altre dels esdeveniments elementals és igual a 1.

Primer axioma

Tota successió d'esdeveniments dos a dos disjunts, \( \left\{ A_1, A_2, \cdots \right\}\), satisfà \( P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty} P(A_i) \)

És a dir, la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió —numerable— disjunta d'esdeveniments és igual a la suma de les probabilitats d'aquests esdeveniments. Això s'anomena la \(\sigma\)-additivitat, o additivitat numerable. Si els esdeveniments no són dos a dos disjunts, aquesta relació ja no és generalitzadament certa.

Suposem quatre cues del supermercat, a priori igual d’eficients i amb el mateix nombre de persones a cadascuna. Arriba una nova persona i es situa en una de les cues.

Sigui l’esdeveniment \(r_i\) = “la cua i és la més ràpida”. Aleshores, \[ \Omega = \{ r_1, r_2, r_3, r_4 \} \quad i \quad P(r_i) = P(r_1) = \cdots = P(r_4) = \frac{1}{4} \quad i \quad P(r_i^c) = 1 - P(r_i) = \frac{3}{4} \]

De manera què, s’esculli la cua que s’esculli, sempre es tindrà un 0.75 de probabilitats de que no sigui la més ràpida.

---

La definició axiomàtica supera tots els inconvenients descrits sobre la definició freqüentista. La probabilitat passa a ser una mesura d’incertesa —com altra mena de mesura: longitud, temps, ... —. Aquesta mesura es pot basar tant en la freqüència relativa com en altra mena d’informació disponible de l’esdeveniment. S’introdueix així el concepte d’espai de probabilitat.

Espai de probabilitat

Quan es dona una experiència aleatòria, el resultat ens informa dels esdeveniments \(\left\{ A_1, A_2, A_3,\cdots, A_n \right\}\) —els casos— que han resultat certs i dels que no ho han estat. Matemàticament, el resultat es recull en una estructura de \(\sigma\)-àlgebra.

\(A\) és un àlgebra, si verifica:

• Si \(A \in \mathcal{A}\), aleshores \( A^c \in \mathcal{a}\),
• Si \( A,B \in \mathcal{A}\), aleshores \( A \cup B \in \mathcal{A}\).

Si \( \Omega \) és finit o numerable, direm que l’espai mostral és discret. En cas contrari, direm que l’espai mostral és continu.

Un espai de probabilitats és una terna \( (\Omega,\ A,\ P)\) tal que.

• \( \Omega \) és l’espai mostral, el conjunt de resultats possibles —els esdeveniments elementals o casos possibles—.
• \(A\) és la família d’esdeveniments, amb estructura de \(\sigma\)-àlgebra de subconjunts de \( \Omega\).
• \(P\) és una aplicació \( P:\ \Omega \rightarrow [0,1]\), anomenada probabilitat, que acompleix \[P(\Omega) = 1 \], l’esdeveniment segur.
• \( \forall\ i,j\ |\ i \neq j, \left\{A_i, i \geq 1\right\} \subseteq \mathcal{A}(A_i \cap A_j)= \emptyset\).

sigma-additivitat

Si \(\{ A_i \}_{i=1}^{\infty}\) és una col·lecció numerable d’esdeveniments tals que \(A_i \cap A_j = \emptyset \), amb, \(i \neq j\), aleshores \[ P\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) \]

Per a cada esdeveniment \(A\), \(P(A)\) mesura la probabilitat —el grau de certesa— de que \(A\) esdevingui cert.

Es defineix

\[ P( \Omega) = \left\{A\ :\ A \subset \Omega \right\}\], —el conjunt de les parts de \( \Omega \)—, o conjunt potència, com el conjunt en el que els elements són tots els subconjunts de \( \Omega \), amb \[ |P(\Omega)|=2^{|\Omega|} \]

Es defineix

\(A^c = \left\{ \omega \in \Omega\ :\ \omega \notin A \right\}\), el conjunt dels esdeveniments elementals que no són elements de \(A\).

Es llencen a la vegada dues monedes imparcials i distingibles. S’anota \(C = \left\{\text{surt cara}\right\}\) i \(X = \left\{\text{surt creu}\right\}\). Estudiïs els possibles esdeveniments.

L’espai mostral és \( \Omega = \left\{CC, CX, XC, XX\right\}\).

\( \mathcal{P}(\Omega) = \begin{aligned} &\{ \emptyset, \{CC\}, \{CX\}, \{XC\}, \{XX\}, \{CC, CX\}, \{CC, XC\}, \{CC, XX\}, \\ &\{CX, XC\}, \{CX, XX\}, \{XC, XX\}, \{CC, CX, XC\}, \{CC, CX, XX\}, \{CC, XC, XX\}, \\ &\{CX, XC, XX\}, \Omega \} \end{aligned} \)

Observis que \(|P(\Omega)| = 2^4 = 16\).

La família \( \mathcal{A}_1 = \{\emptyset, \{CC\}, \{CX, XC, XX\}, \Omega\}\) és una \(\sigma\)-àlgebra. Contempla únicament els esdeveniments: impossible, segur, dues cares i el seu complementari.

La família \( \mathcal{A}_2 = \{\emptyset, \{CC\}, \{CX\}, \{XC\}, \{XX\}, \Omega\}\) no és una \(\sigma\)-àlgebra —hi ha esdeveniments sense el seu complementari—.

Aleshores:

• \(\emptyset\) = esdeveniment impossible, per exemple {ni cara ni creu}.
• \( \Omega\) = esdeveniment segur, {cara o creu}.
• \(A = \left\{CC\right\}\) = {cara, cara}.
• \(A^c ={CX,XC,XX}\) = {no ha sortit cara a les dues monedes}.

---

Propietats de l'espai de probabilitat

1. \(P(\emptyset) = 0 \). El conjunt \(\emptyset\) s’anomena esdeveniment impossible
2. Si \(A \subseteq B\), aleshores \(P(A) \leq P(B)\), monotonia
3. \(P(A^c) = 1 - P(A)\)
4. \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \), amb \(A\) i \(B\) no necessàriament excloents. Si ho són: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

Si \[ A_i \subseteq \mathcal{A} \], amb \((1 \leq i \leq n )\), disjunts dos a dos, —mútuament excloents— de manera que \( A_i \cap A_j = \emptyset \), amb \(i \neq j\), aleshores

additivitat generalitzada

\[ P\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} P(A_i) - \displaystyle\sum_{1 \leq i < j \leq n} P(A_i \cap A_j) + \displaystyle\sum_{1 \leq i < j < k \leq n} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \cdots + (-1)^{n+1} P\left( \prod_{i=1}^{n} A_i \right)\]

En particular, per \( A,B,C \in \mathcal{A} \) disjunts,

\[ P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C) \]

Es demana la probabilitat de que una carta extreta aleatòriament d’una baralla de 52 cartes sigui un as o un cor.

Siguin els esdeveniments: \(E_1 = \left\{ \text{treure un as}\right\} \quad \text{i} \quad E_2 = \left\{\text{treure un cor}\right\}\).

Ambdós successos són independents i no excloents. \[ P(E_1 ) = \frac{4}{52} \quad \quad P(E_2) = \frac{13}{52} \quad \quad P((E_1 \cap E_2) = \frac{1}{52} \] Per tant

\[ P(E_1 \cup E_2 ) = P(E_1) + P(E_2) - P((E_1 \cap E_2) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} \approx 0.308 \]

Es vol estudiar la probabilitat de presentar alguna de tres característiques: ulls blaus, sexe femella i cabell ros. Dins una població amb probabilitats respectives: 0.2, 0.49 i 0.35.

Siguin els esdeveniments: \( A = \text{”ulls de color blau”} \), \(B = \text{”sexe femella”}\) i \(C = \text{”cabells rosos”}\). Aleshores: \[ P(A) = 0.2 \quad \quad P(B) = 0.49 \quad \quad P(C) = 0.35 \]

I, segons l’additivitat generalitzada: \[ P(A \cup B \cup C) = 0.2 + 0.49 + 0.35 - 0.2 \cdot 0.49 - 0.2 \cdot 0.35 - 0.49 \cdot 0.35 + (0.2 \cdot 0.49 \cdot 0.35) \approx 0.7348 \]

Aproximadament el 73.48 % de la població presenta alguna d’aquestes característiques i el 26.52 % no en presenta cap d’elles.

Observacions sobre l'espai de probabilitat

• Un esdeveniment elemental pot no ser un esdeveniment de probabilitat —\( \notin \mathcal{A}\)—.
• Únicament els esdeveniments elementals de \(\mathcal{A}\) són susceptibles de tenir definida una probabilitat.
• A partir d’una mateixa \(\Omega\) es pot construir més d’una àlgebra \(\mathcal{A}\). A partir de \(\mathcal{A}\) es pot construir més d’una probabilitat \(P\).
• Sempre que parlem de probabilitat d’un esdeveniment, s’han d’especificar \(\Omega\) i \(\mathcal{A}\).

Àlgebres finites

Un esdeveniment \(B \in \mathcal{A}\), que no sigui \(\omega\) ni \(\emptyset\), és un àtom si verifica \[ B \in \mathcal{A}, B \subset \mathcal{A} \implies B = \emptyset \]

, amb \((A \neq \emptyset,\Omega)\). És un àtom si \(B\) no conté únicament el \(\emptyset\).

Els àtoms d’un àlgebra —si és que existeixen— són sempre esdeveniments mútuament excloents.

Tota àlgebra, amb un nombre finit d’esdeveniments, conté —almenys— un àtom i es verifica el següent teorema.

Siguin \(\left\{ A_1, A_2, A_3, \cdots , A_m \right\}\) els àtoms d’un àlgebra finita \(\mathcal{A}\). Aleshores:

1. Tot esdeveniment \(A \in \mathcal{A}\) és reunió d’un o més d’un àtom: \( \left\{ A_{i_1} \cup A_{i_2} \cup \cdots \cup A_{i_k} \right\}, A \neq \emptyset \)
2. \( P(A) = P(A_{i_1}) + \cdots + P(A_{i_k}) \). La probabilitat d’un esdeveniment és igual a la suma de les probabilitats dels àtoms que conté.

Per conèixer la probabilitat de qualsevol esdeveniment d’\(\mathcal{A}\) n’hi ha prou amb conèixer la probabilitat dels seus àtoms.

Probabilitat condicionada

Sempre que dins una població s’hagi de treballar amb determinats subconjunts de la mateixa, a l’hora de prendre una mostra, s’ha de considerar la possibilitat de la probabilitat condicionada.

La probabilitat d’un esdeveniment \(A\) pot veure’s modificada si sabem a priori que s’ha presentat un altre esdeveniment \(B\).

Siguin: \( A,B \in \Omega \) esdeveniments, amb \(P(B) > 0 \).

Es defineix probabilitat d’\(A\) condicionada a \(B\) com \( P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\), amb \( P(A \mid B) +P(A^c \mid B) = 1 \quad \text{i} P(B)> 0\).

La freqüència relativa d’\(A\) condicionada a l’ocurrència de \(B\) es defineix considerant únicament els casos en que apareix \(B\) i en quants d’aquests casos apareix també \(A\).

La freqüència relativa d’\(A\) condicionada a l’ocurrència de \(B\) és, per tant, la freqüència de l’ocurrència conjunta d’\(A\) i \(B\) dividida pel nombre de cops que apareix \(B\): \[ f(A \mid B) = \frac{n_{(A \cap B)}}{n_B} \], o també \[ f(A \cap B) = f(A \mid B) \cdot f(B) = f(B \mid A) \cdot f(A)\]

De manera que sempre s’acomplirà que \[[P(A \cap B) < P(A)], \quad [P(A \cap B) < P(B)]\]

En canvi, \(P(A \mid B)\) pot ser menor, major o igual que \(P(A)\).

Casos possibles:

1. \(P(A \mid B) \neq P(A)\). La presència de \(B\) altera la probabilitat que tenia \(A\) i es diu que \(A\) i \(B\) són esdeveniments dependents. L’esdeveniment \(B\) pot afavorir o desafavorir l’esdeveniment \(A\).
2. \(P(A \mid B) = P(A) \) \(A\) i \(B\) són esdeveniments independents. La presència de \(B\) no altera la probabilitat de \(A\).

Per a tres esdeveniments tenim \[ P(A \mid (B \cap C)) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(B \cap C)} \]

Llencem una moneda dos cops i considerem els esdeveniments \(A = \left\{ \text{surt cara en el primer cop}\right\} \quad \text{i} \quad B = \left\{ \text{surt cara en el segon cop} \right\} \).

Aleshores:

Dins \( \Omega = \{ AB, AB^c, A^cB, A^cB^c \}, \quad P(A \cap B) = \frac{1}{4}\)

Dins \( \Omega = \{ B, B^c \}, \quad P(B \mid A) = \frac{1}{2}\)

Es vol avaluar l’efectivitat d’un fàrmac i es selecciona una mostra de la població entre 20 i 45 anys.

Aleshores —sigui quin sigui el resultat de l’estudi— només es podrà aplicar dins la mateixa franja d’edat. Per tal d’evitar que el factor edat afecti al factor eficàcia del medicament.

Suposem que el 20 % de la població és afectat per una determinada malaltia \(M\) i que un 1 % dels malalts moren \((M^\dagger)\). Calculis la probabilitat d’emmalaltir i de morir.

Aleshores, \(P(M) = 0.20\) i \(P(M^\dagger \mid M) = 0.01\), la probabilitat condicionada a tenir la malaltia. Amb \(P(M \cap M^\dagger) = P(M) \cdot P(M^\dagger \mid M) = 0.20 \cdot 0.01 = 0.002\).

---

Dependència i independència estocàstica

Direm que dos esdeveniments són independents si \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \). La probabilitat de \(A\) no condiciona la probabilitat de \(B\).

En cas contrari, direm que són esdeveniments dependents i es verificarà que \( P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)\).

Es diu que dues variables aleatòries \(X\), \(Y\) són independents si —qualssevol que siguin els intervals de la recta real \(I\), \(J\)— els esdeveniments \( A_I = \{\omega \mid X(\omega) \in I\}, \quad A_J = \{\omega \mid Y(\omega) \in J\} \) són independents. En cas contrari, es diu que són dependents.

Dues variables són independents si els valors que pren una variable no influeixen en la probabilitat dels valors que pren l’altra variable.

Dues variables independents es caracteritzen per \( F(x, y) = F_1(x) \cdot F_2(y)\). I, si són discretes o absolutament contínues, la condició d’independència és també \(f(x,y) =f_1(x) \cdot f_2(y)\). El producte de les funcions de densitat marginals és igual a la funció de densitat conjunta.

Si \(X\) i \(Y\) són dependents, i \(Y\) ha pres un valor \(y_o\), es pot estudiar la distribució de la variable \(X\) condicionada a \(Y =y_o\).

En el cas de que existeixi funció de densitat, i \(f_2(y_o) \neq 0\), la funció \[f(x \mid Y = y_o) = \frac{f(x, y_0)}{f_2(y_0)}\] és la de densitat de probabilitat de la \(X\) condicionada.

Anàlogament \[ f(y \mid X = x_o) = \frac{f(x_0, y)}{f_1(x_0)}, \quad \text{si } f_1(x_o) \neq 0.\]

Es verifica a més que: \(f(x, y) = f_1(x) \cdot f(y \mid X = x) = f_2(y) \cdot f(x \mid Y = y)\).

Si \(A\) i \(B\) són dos esdeveniments d’\(\mathcal{A}\) amb \(P(A) > 0 \quad \text{i} \quad P(B) > 0\), \[ A \perp B \Leftrightarrow [P(A \mid B) = P(A)] \cap [P(B \mid A) = P(B)] \] \[ A \perp B⇔ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\].

[Nota: El símbol \( \perp \) indica que són esdeveniment independents]

A més, s’acompleix que \[ A \perp B ⇔ A^c \perp B \Leftrightarrow A^c \perp B^c \Leftrightarrow A \perp B^c \]

Si \(A\) i \(B\) són independents, també ho són \( [A^c\ \text{i}\ B]\), \([A\ \text{i}\ B^c]\), \([A^c\ \text{i}\ B^c]\).

De manera més general, podem afirmar que la família d’esdeveniments \(A_i, i \in \mathcal{I} \subseteq \mathcal{A} \) són independents, si per a qualsevol \(k \geq 1\) i qualsevol subfamília finita \(\left\{i_1, \cdots , i_k \right\}\) \[ P(A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_k}) = \prod_{j=1}^{k} P(A_{i_1 j})\]

Regla del producte

La regla del producte permet calcular la probabilitat de l’esdeveniment intersecció d’altres dos dels quals se’n coneixen les seves probabilitats condicionades.

Siguin \(A\) i \(B\) dos esdeveniments d'\(\Omega\), amb \( P\left( \bigcap_{i=1}^{n-1} A_i \right) > 0 \). Aleshores, la regla del producte per a dos esdeveniments, es planteja com \[ P(A \cap B) =P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B)\].

Generalització de la regla del producte.

Sigui \( \{A_i\}_{i=1}^{n} \subseteq \Omega \) tal que \( P\left( \bigcap_{i=1}^{n-1} A_i \right) > 0 \), aleshores: \[ P\left( \bigcap_{i=1}^{n} A_i \right) = P(A_1) \cdot P(A_2 \mid A_1) \cdot P(A_3 \mid (A_1 \cap A_2)) \cdot \dots \cdot P\left(A_n \mid \bigcap_{i=1}^{n-1} A_i \right) \]

\[ P(A_1 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 \mid A_1) \cdot P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \cdot \dots \cdot P(A_n \mid A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}) \] Expressió de la regla del producte generalitzada. [Fórmula de probabilitats compostes]

Calculis amb quin nombre de tirades, de dos daus de sis cares —amb cares equiprobables— resultaria rendible apostar a un doble sis?.

Sigui l’esdeveniment \(E= \text{“doble sis”}\). Aleshores, \(P(E^c) = \frac{35}{36} \) i \(P(E) = \frac{1}{36}\). La probabilitat de treure, almenys, un doble sis en \(n\) tirades és \(p = 1 – (\frac{35}{36})^n \) i —per ser rendible apostar— és necessari \(p > 0.5\).

\[ 1 - \left( \frac{35}{36} \right)^n > 0.5 \implies \left( \frac{35}{36} \right)^n < 0.5 \implies n \cdot \log \left( \frac{35}{36} \right) < \log 0.5 \implies n < \frac{\log 0.5}{\log 35 - \log 36} \approx 24.61 \]

Es pot apostar de manera rendible a un doble sis cada 25 tirades, o més. Antoine Gombaud, Cavaller de Méré (1607 - 1684) va guanyar molts diners apostant a un sis cada quatre jugades i els va perdre apostant a un doble sis cada vint-i-quatre tirades. Va participar, conjuntament amb Marin Mersenne (1588 –1648) , Blaise Pascal (1623 - 1662) i Pierre de Fermat (1601 - 1665) , en la fundació de la teoria moderna de la probabilitat.

Teorema de les probabilitats totals. Teorema de Bayes.

Si es divideix l’espai mostral en una unió d’esdeveniments disjunts —es disposa d’una partició de l’espai mostral— ambdós teoremes permeten calcular respectivament la probabilitat d’un esdeveniment resultant d’un nombre finit de causes excloents, o bé la probabilitat d’una causa, un cop presentat un esdeveniment.

Suposem que es descompon \(\Omega\) en un nombre \(k\) d’esdeveniments excloents. [A l’esquema anterior, \(k = 8\)] \[ \Omega = H_1 + H_2 + \cdots + H_k, \text{ amb } H_i \cap H_j = \emptyset \quad \forall i,j, i \neq j \]

Teorema de les probabilitats totals

Donat un esdeveniment \( A \subset \Omega \), es pot calcular la seva probabilitat com la suma de les probabilitats de les interseccions de l’esdeveniment amb els elements de la partició formada per \(A\). \[ P(A) = \sum_{j=1}^{n} P(H_j) \cdot P(A \mid H_j) \]

En un centre de recuperació de tortugues marines es disposa d’un total de 20 tortugues malaltes, de l’espècie Careta careta. Les tortugues són repartides en tres estanys diferents, en nombre de 8, 4 i 8 exemplars respectivament. Segons la seva gravetat reben un tractament o altre.

El 62,5 % dels exemplars del primer estany estan greus. També ho estan el 50 % dels exemplars del segon estany i el 25 % dels exemplars del tercer estany. Calculis:

1. Quina és la probabilitat de que una tortuga seleccionada a l’atzar no estigui greu?
2. Quina és la probabilitat de que una tortuga greu provingui del primer o del segon estany?
3. Quina és la probabilitat de que una tortuga no estigui greu i provingui del primer estany?

a) Quina és la probabilitat de que una tortuga seleccionada a l’atzar no estigui greu?

L’espai mostral és \(Ω = \left\{ \text{els 20 exemplars de tortuga marina} \right\}\)· Siguin els esdeveniments:

• \(G= \left\{ \text{l’exemplar està greu} \right\}\)·
• \(E_i = \left\{ \text{l’exemplar pertany a l’estany i} \right\}\), amb \(i \in \left\{1, 2, 3\right\}\)·
• Amb \( \Omega = E_1 \cup E_2 \cup E_3\)·

Com cada tortuga pot pertànyer únicament d’un dels estanys. \[ \forall i \neq j, E_i \cap E_j = \emptyset \text{ i, per tant, } \{E_1, E_2, E_3\} \text{ és una partició de } \Omega.\]

Segons l' enunciat:

• \(P(E_1) = \frac{8}{20} = 0.4 \)
• \(P(E_2) = \frac{4}{20} = 0.2 \)
• \(P(E_3) = \frac{8}{20} = 0.4 \)
• \(P(G) = \frac{9}{20} = 0.45 \)

A més:

• \(P(G \mid E_1) = 0.625 \implies P(G^c \mid E_1) = 0.375 \)
• \(P(G \mid E_2) = 0.5 \implies P(G^c \mid E_2) = 0.5\)
• \(P(G \mid E_3) = 0.25 \implies P(G^c \mid E_3) = 0.75 \)

La probabilitat de que una tortuga seleccionada a l’atzar no estigui greu es pot calcular aplicant el teorema de les probabilitats totals: \[ P(G^c) = P(E_1) \cdot P(G^c \mid E_1) + P(E_2) \cdot P(G^c \mid E_2) + P(E_3) \cdot P(G^c \mid E_3) \]

de manera que: \(P(G^c) = 0.4 \cdot 0.375 + 0.2 \cdot 0.5 + 0.4 \cdot 0.75 = 0.55\)

 

[Nota: també es pot calcular com: \(P(G^c) = 1 - P(G) = 1 - 0.45 = 0.55\)].

b) Quina és la probabilitat de que una tortuga greu provingui del primer o del segon estany?

Utilitzant la regla de l’addicció: \[ P((E_1 \cup E_3) \mid G) = P(E_1 \mid G) + P(E_3 \mid G) = \frac{P(E_1) \cdot P(G \mid E_1) + P(E_3) \cdot P(G \mid E_3)}{P(G)} \]

De manera que: \[ P((E_1 \cup E_3) \mid G) = \frac{0.4 \cdot 0.625 + 0.4 \cdot 0.25}{0.45} \approx 0.778 \]

c) Quina és la probabilitat de que una tortuga no estigui greu i provingui del primer estany?

Aplicant la regla del producte: \[ P(G^c \mid E_1) = P(E_1) \cdot P(G^c \mid E_1) = 0.4 \cdot 0.375 = 0.15. \]

Teorema de Bayes

Sigui \({A_i^n}_{i=1}\) una partició d'\(\Omega\) tal que \(P(A_i) > 0\) per a tot \(i \in \left\{ 1,\cdots n \right\}\).

Aleshores, si s’ha presentat un esdeveniment \(A\), la probabilitat de que \(B_i\) en sigui la seva causa és: \[ P(A_i \mid B_j) = \frac{P(A_i \cap B_j)}{P(B_j)} = \frac{P(A_i) \cdot P(B_j \mid A_i)}{P(B_j)} = \frac{P(A_i) \cdot P(B_j \mid A_i)}{\sum_i P(B_j \cap A_i)} = \frac{P(A_i) \cdot P(B_j \mid A_i)}{\sum_i P(A_i) \cdot P(B_j \mid A_i)} \]

, amb \(i \in \left\{1,\cdots n \right\}\).

Es disposa de dues urnes, de composició: \(U_1 = \left\{BBBBBN\right\}\) i \(U_2 = \left\{NNNNBB\right\}\). Es selecciona una de les urnes a l’atzar i es prenen tres boles, una rere l’altra, amb reposició. El resultat és l’esdeveniment \(B = \left\{bbn\right\}\), on \(b\) indica “bola blanca” i \(n\) indica “bola negra”.

Calculis la probabilitat de que la mostra provingui de \(U_1\).

[Adaptació de l’exemple, Daniel Peña(2019), p. 134]

En una primera fase es selecciona l’urna a l’atzar, amb \(P(U_1) = P(U_2) = \frac{1}{2}\). \(B\) es composa de tres esdeveniments independents, per tant:

• \(P(b \mid U_1) = \frac{5}{6}\)
• \(P(b \mid U_2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
• \(P(n \mid U_1) = \frac{1}{6}\)
• \(P(n \mid U_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

\(P(B \mid U_1) = P(bbn \mid U_1) = [P(b \mid U_1)]^2 \cdot [P(n \mid U_1)]^1 = (\frac{5}{6})^2 \cdot (\frac{1}{6}) = \frac{25}{216}\)

\((B \mid U_2) = P(bbn \mid U_2 )=[P(b \mid U_2 )]^2 \cdot [P(n \mid U_2)]^1 = \frac{1}{3}^2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{27}\)

Aleshores —aplicant el teorema de Bayes— \[ P(U_1 \mid B) = \frac{P(U_1) \cdot P(B \mid U_1)}{P(U_1) \cdot P(B \mid U_1) + P(U_2) \cdot P(B \mid U_2)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{25}{216}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{25}{216} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{27}} = \frac{25}{41} \approx 0.61 \]

Hi ha un 61 % de probabilitat de que la mostra \(B\) provingui de l’urna \(U_1\).

Tversky i Kahneman ^[4] es plantegen el següent problema: Un taxi es veu implicat en un accident nocturn amb topada i fugida posterior. Hi ha dues companyies de taxis a la ciutat, la Verda i la Blava. El 85% dels taxis de la ciutat són Verds i el 15 % Blaus.

Un testimoni identifica el taxi com a Blau. El tribunal comprova la fiabilitat del testimoni sota les mateixes circumstàncies de la nit de l’accident i arriba a la conclusió de que el testimoni identifica correctament cadascun dels colors en el 80 % dels casos i s’equivoca en el 20%.

Es proposen quatre possibles opcions per a la probabilitat de que el taxi implicat en l’accident fos realment Blau:

1. 80 %
2. 15 %
3. (15/100)·(80/100) %
4. 41 %

Els autors observen que la major part dels estudiants donen per bona l’opció a) —que coincideix amb la fiabilitat del testimoni—. Tenen raó els estudiants?

Siguin els esdeveniments i probabilitats: \(B = \left\{ \text{El taxi és Blau} \right\}\) i \(V = \left\{ \text{El taxi és Verd} \right\}\), amb \(P(B) = 0.15\) i \(P(V) = 0.85\)

\(I_B = \left\{ \text{El taxi és identificat com a blau}\right\}\), amb \(P(I_B \mid B) = 0.8\) i \(P(I_B \mid V) = 0.2\)

Es calcula: \[ P(B \mid I_B) = \frac{P(I_B \mid B) \cdot P(B)}{P(I_B \mid B) \cdot P(B) + P(I_B \mid V) \cdot P(V)} \] \[ P(B \mid I_B) = \frac{0.8 \cdot 0.15}{0.8 \cdot 0.15 + 0.20 \cdot 0.85} = \frac{0.12}{0.12 + 0.17} = \frac{0.12}{0.29} \approx 0.41 \]

Per tant, la resposta correcta és la c. Els estudiants no tenen raó. Cauen en la nomenada fal·làcia de les taxes base. Ignorar la probabilitat a priori d’una suposada causa en la valoració d’una evidència.

L’any 2020 el 0.237 % dels homes de 68 anys d’edat varen desenvolupar un determinat tipus de càncer. Altres estudis varen calcular que, al llarg de tota la vida, el 0.043 % dels homes desenvolupen aquest tipus de càncer. Sabent que el 2.5 % de la població masculina tenia, l’any 2020, 68 anys, calculis la probabilitat de que un home de 68 anys, desenvolupés aquest tipus de càncer.

[Dades basades en la Red Española de registros de Cáncer (REDECAN)]

Es consideren els esdeveniments i probabilitats —en homes—

\(C= \left\{ \text{desenvolupar càncer} \right\}\), amb \(P(C) = 0.00043 \) —la probabilitat a priori—

\(\text{"68"} = \left\{ \text{home amb 68 anys d’edat} \right\}\), amb \(P(\text{"68"}) = 0.025\) i \(P(\text{"68"} \mid C) = 0.00237\)

Es calcula \[ P(C \mid \text{"68"}) = P(C) \cdot \frac{P(\text{"68"}) \mid C)}{P(\text{"68"})} = \frac{0.00043 \cdot 0.00237}{0.025} = 0.000040764 \].

La probabilitat de que un home de 68 anys, desenvolupés aquest tipus de càncer és aproximadament d’un 0.0041 %.

[Nota: Les probabilitats de la forma \(P(A_i)\) són probabilitats a priori; les de la forma \(P(A_i \mid B)\) són probabilitats a posteriori; i les de la forma \(P(B \mid A_i)\) són versemblances.]

Dues màquines \( M_1 \quad \text{i} \quad M_2 \) produeixen respectivament el 20 i el 80 % de la producció d’una empresa. La probabilitat de que cadascuna de les màquines produeixi una peça defectuosa és respectivament 0.02 i 0.01.

Quina és la probabilitat de que una peça defectuosa \((D)\) —elegida aleatòriament entre la producció— hagi estat fabricada per la primera màquina?

S’aplica el teorema de Bayes. \[ P(M_1 \mid D) = \frac{P(M_1) \cdot P(D \mid M_1)}{P(D)} = \frac{P(M_1) \cdot P(D \mid M_1)}{P(M_1) \cdot P(D \mid M_1) + P(M_2) \cdot P(D \mid M_2)} \] \[ P(M_1 \mid D) = \frac{0.20 \cdot 0.02}{0.20 \cdot 0.02 + 0.80 \cdot 0.01} = \frac{0.004}{0.004 + 0.008} = \frac{0.004}{0.012} = \frac{1}{3} \]

La probabilitat de que una peça defectuosa —elegida aleatòriament entre la producció— hagi estat fabricada per la primera màquina és aproximadament d’un 33 %.

Extensió d’ambdós teoremes a infinites causes

En cas de tenir una infinitat numerable de causes disjuntes dues a dues, amb \[\Omega = \bigcup_{i=1}^{\infty} H_i\]\[H_i \cap H_j = \emptyset \quad \forall i,j, i \neq j\]\[\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} P(H_i) = 1\]

es poden estendre els teoremes de les probabilitats totals i de Bayes, \[P(A) = \sum_{i=1}^{\infty} P(H_i) \cdot P(A \mid H_i)\]\[P(H_i \mid A) = \frac{P(H_i) \cdot P(A \mid H_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n} P(H_j) \cdot P(A \mid H_j)}\]

Probabilitat versus sentit comú

El càlcul de probabilitats contradiu sovint la resposta intuïtiva a moltes situacions plantejades. Un exemple clar és el que ja s’ha vist amb la probabilitat condicionada, concretament amb el teorema de Bayes, que no resulta gens intuïtiu. Vegem-ne d’altres.

El problema dels aniversaris

Es planteja la pregunta de quantes persones ha d’haver en una reunió per tal que la probabilitat de que dues d’elles celebrin el seu aniversari el mateix dia de l’any superi el 50 %.

La resposta a la pregunta plantejada no és gens intuïtiva i es resol per inducció. Suposem anys de 365 dies. Sigui \(P(n)\) la probabilitat de que en un grup de \(n\) persones no n’hi hagi dues amb l’aniversari el mateix dia de l'any. La probabilitat de que una nova persona afegida al grup \((n + 1)\) no tingui el mateix aniversari que cap de les altres és \((365 - n)/365\)·

A més, per ser aquest un esdeveniment independent de l’anterior, es verifica que \(P(n + 1) = (365 - n) / 365·P(n)\). És evident que \(P(1) = 1\), i per inducció resulta \[P(n) = \frac{365 \cdot 364 \cdot \cdots \cdot (365 - n + 1)}{365^n}\]

Per tant, la probabilitat de que alguna coincideixi serà \(1 - P(n)\), i aleshores \[(1 - P(n)) > 0.5 \implies n \geq 23\]

Ha d’haver a la reunió més de 23 persones. En efecte \[1 - \frac{365 \cdot 364 \cdot \cdots \cdot 343}{365^{23}} \approx 1 - 0.49 = 0.51\]

Calculem-ne tots els casos:

---

Amb R:

---

No s’ha de confondre la qüestió plantejada amb la probabilitat de que algú en una reunió amb n persones hagi nascut en una data concreta. Probabilitat que seria aleshores \(1 - (364/365)^n \rightarrow 1 - (364/365)^261 > 0.51.\) i caldrien més de 261 persones.

La cua del supermercat

A l’hora d’escollir la cua del supermercat es planteja el dilema d’elegir. L’origen del càlcul de probabilitats. La capacitat humana de preveure la situació més favorable. Suposis que en la zona de caixes hi ha quatre cues amb, aparentment, igual previsió de temps d’espera. N’hem d’escollir una qualsevol, potser pensant que serà la més ràpida.

El càlcul de probabilitats ens diu, implacable, que tenim un 25 % de probabilitat de que ho sigui i un 75 % de que no ho sigui. Som sempre en mans de l’atzar i probablement no haurem escollit bé la cua.

[Vegis l'exemple 1 dels Axiomes de Kolmogórov]

L’efecte Yule-Simpson

Edward Hugh Simpson (1922 –2019), estadístic britànic. Va treballar com a criptoanalista civil a Bletchley Park durant la Segona Guerra Mundial (1942-1945), amb l’equip d’Alan Turing. Simpson ens descriu aquesta paradoxa en un article publicat el 1951. ^[5] La qüestió ja havia estat descrita prèviament per Karl Pearson, et al., el 1899 ^[6] i per Udny Yule el 1903. ^[7]

El terme paradoxa de Simpson l’utilitza per primer cop Colin R. Blyth el 1972. ^[8]

L’efecte Yule-Simpson és una paradoxa en la qual una tendència que apareix en diversos grups de dades desapareix al combinar-los. Aleshores els resultats ens indiquen la tendència contrària. És una situació molt freqüent dins les ciències socials i l'estadística mèdica. Al analitzar millor les relacions causals, la paradoxa desapareix. Vegem-ne un cas real. ^[9]

La taula mostra els percentatges d'èxit sobre 350 pacients en un estudi comparat de dos tractaments (\(A\) i \(B\)) de càlculs renals grans i petits. El tractament \(A\) és quirúrgic i el \(B\) per nefrolitotomia percutània.

La paradoxa es dona al observar —segons les dades de la taula— que el tractament \(A\) és el més efectiu al considerar-se les dades per separat —tant en els càlculs renals petits (93 %) com en els càlculs renals grans (73 %)—. En canvi el tractament \(B\) és el més eficaç globalment (83 %) al considerar-se les dades agrupades.

La variable amagada o factor de confusió està en la importància —desconeguda en el seu moment— de la grandària del càlcul renal, que determina un o altre tractament. Al no considerar aquest factor, els resultats queden distorsionats.

En aquest cas, no s’haurien de considerar les dades agrupades. Avui en dia es prescriu el tractament \(A\) —quirúrgic, més eficaç i agressiu— en el cas de càlculs renals grans i el tractament \(B\) —menys eficaç i menys agressiu— en el cas de càlculs renals petits.

Un altre exemple famós és la demanda presentada l’any 1973 contra la Universitat de Berkeley per discriminació de gènere en el procés d’admissió dels seus estudiants. Segons les dades agrupades —de la demanda— semblava evident una discriminació favorable a l’admissió dels homes.

Tanmateix, al observar les dades desglossades per Departaments es va determinar que no hi ha havia discriminació —o que, en tot cas, si la hi fora, seria estadísticament significativa a favor de les dones—.

La fal·làcia ecològica

La fal·làcia ecològica, nomenada també fal·làcia de població, o d’ambigüitat per divisió, consisteix en una mala interpretació de les dades estadístiques quan s’infereix una característica individual de les estadístiques agrupades del grup al que pertanyen.

Per exemple:

• Agregar homes i dones al estudiar determinats factors respecte als quals mostren característiques individuals molt diferents, suposant que formen una població homogènia. Un cas molt documentat en l’àmbit mèdic és el de les diferències entre homes i dones a l’hora de diagnosticar l’infart de miocardi a partir dels seus símptomes.
• Considerar que sí un país té una renda per càpita superior a un altre tots els seus habitants són més rics.
• Parlar en general dels habitants d’un país o d’un grup ètnic com si tots els seus habitants tinguessin les mateixes característiques. W. S. Robinson (1913-1996) va citar l’existència d’una correlació positiva entre ser immigrant i ser analfabet—segons el US Census Bureau 1930—. ^[10] Per a fer-ho es basava en la taula següent.

Al estudiar millor les dades es demostra que la correlació és falsa. Fins i tot, en determinats estats, la immigració fa disminuir l’analfabetisme.

Correlació i causalitat

L’existència d’una correlació estadística implica la d’una associació però no d’una causalitat, i l’inrevés. La revista Nature va publicar un estudi (1999) en el que es demostrava que els nens menors de dos anys que dormien amb llums nocturnes tenien més probabilitats de patir miopia. Més tard es va demostrar que els pares miops tenen més probabilitats de mantenir els llums encesos per la nit i la causa de la miopia dels seus fills era únicament hereditària.

Una relació causal tampoc implica sempre una correlació. A més, l’existència d’una correlació causal tampoc ens informa de la seva direcció. Per exemple, podem observar una correlació entre vida activa i nivell cognitiu, però no podem inferir-ne la relació causal.

La llei de Bendford

Els nombres que comencen per 1 són tan freqüents com els que comencen per qualsevol altre dígit? Intuïtivament diríem que sí. El 1881, Newcomb ^[11] intueix que no ho és al observar que les pàgines de les taules de logaritmes eren proporcionalment més usades segons el valor del primer dígit del número a buscar —les pàgines dels números que començaven per 1 eren més gastades per l’ús que les dels que començaven per 2, etc.—.

És a dir: el desgast era proporcional a l’ús i per tant a la freqüència del primer dígit. Però és Frank Albert Benford, Jr., (1883 - 1948), enginyer electrònic i físic estatunidenc conegut per redescobrir i generalitzar la que és coneguda com a Llei de Benford, una distribució estadística sobre la freqüència del primer dígit en un conjunt de dades, qui ho formalitza matemàticament el 1938. ^[12]

La Llei de Bendford estableix que la probabilitat del primer dígit d d’un nombre \(x\) és \[P(d) = \log_{10}(d + 1) - \log_{10}(d)\], generalitzable a \[P(n_1 n_2 \cdots n_i) = \log_{10}\left(1 + \frac{1}{n_1 n_2 \cdots n_i}\right)\]

Per exemple \[P(1) = \log_{10}(1 + 1) - \log_{10}(1) = 0.301030\]\[P(89) = \log_{10}\left(1 + \frac{1}{89}\right) = 0.0048525\]

Per saber quin és el primer dígit d'un nombre \(n\), es divideix \(n\) entre \(10^{(k-1)}\) —amb \(k\) el nombre de xifres que té \(n\)— i s’observa en quin interval \([1,2), [2,3), \cdots [9,10)\) cau el resultat.

Es pot pensar el resultat d'aquesta divisió com una variable aleatòria \(X\) amb domini \([1, 10)\). Aquesta variable aleatòria segueix la llei de Bendford sí i només sí el \(log_10{⁡X}\) es distribueix uniformement dins l’interval \([0, 1]\).

Aquesta llei s’ha utilitzat per a detectar fraus fiscals o en manipulacions de resultats numèrics —en resultats electorals— on hi haurà quantitats inventades que no s’ajustaran a les freqüències previstes. [Per exemple el cas de Kevin Lawrence sentenciat a vint anys de presó. O l’estudi de tretze anys fiscals de Bill Clinton, que varen resultar correctes]

També s’ha utilitzat per analitzar les diferències de llargària del genoma entre diferents tipus d'organismes i predir-ne la llargària màxima en procariotes.

Prenem la població de l’any 2020 dels 947 pobles de Catalunya —conjunt de dades plenament aleatori—. La freqüència del primer dígit s’ajusta força a aquesta llei.

[Dades extretes de l’Institut d’Estadística de Catalunya (IDESCAT, https://www.idescat.cat/ )].

Contra més dades hi hagi, millor serà l’ajustament.

La paradoxa de Bertrand

Paradoxa formulada per Joseph Louis François Bertrand (1822-1900) ^[13] —matemàtic i economista francès—.

S’enuncia com:

• Suposem tres capses, cadascuna amb dos compartiments tancats.
• La capsa \(A\) conté dues monedes d’or \((O_1 \quad \text{i} \quad O_2)\); la capsa \(B\) conté dues monedes de plata \((P_1 \quad \text{i} \quad P_2)\); i la capsa \(C\) conté una moneda d’or \((O_3)\) i una moneda de plata \((P_3)\).
• Dins cada compartiment hi ha una única moneda.
• Suposem que elegim una capsa a l’atzar, obrim un dels compartiments a l’atzar i veiem que conté una moneda d’or.
• Quina és la probabilitat de que l’altra moneda de la mateixa capsa sigui també d’or?

La solució intuïtiva és dir que la probabilitat és del 50 %. Solució que és errònia pels següents motius:

• Percebre intuïtivament la selecció de la capsa i posteriorment la de la moneda com esdeveniments independents. És la fal·làcia de l’eix del temps, Falk (1986), creure erròniament que la moneda mostrada actualment no pot afectar a un esdeveniment anterior en el temps, l’elecció de la capsa. Es confonen condicionament i causalitat.
• No percebre correctament l’espai mostral. La intuïció ens diu que, un cop elegida la capsa, només ens queden —al eliminar plata i plata— dos casos equiprobables i que, per tant, hi ha un 50 % de probabilitat de que la moneda sigui d’or o de plata. No es diferencia doncs l’ordre de col·locació de les monedes dins la capsa.

L’enunciat ens posa una condició —una de les monedes és d’or— per tant se’ns demana una probabilitat condicionada. Amb tres possibilitats equiprobables:

• Que sigui la única de la capsa \((O_3, P_3)\) —l’altra moneda és la de plata—.
• Que sigui la primera moneda de la capsa \((O_1, O_2)\) —l’altra moneda és la d’or—.
• Que sigui la segona moneda de la capsa \((O_1, O_2)\) —l’altra moneda és la d’or—.

Per tant, la probabilitat de que la moneda sigui de plata és igual a \( \frac{1}{3}\) i la de que sigui d’or és igual \((1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).

Es disposa de l’espai mostral amb sis esdeveniments de probabilitat \(\frac{1}{6}\). \[Ω = \left\{(A, O_1, O_2), (A, O_2, O_1), (B, P_1, P_2), (B, P_2, P_1), (C, O_3, P_3), (C, P_3, O_3)\right\}\].

Siguin els esdeveniments:

• \[M_O = \left\{ \text{la moneda del compartiment obert és d'or}\right\}\] \[M_T= \left\{ \text{la moneda del compartiment tancat és d'or}\right\}\]

 

Aleshores \[P(M_T \mid M_O) = \frac{P(M_O \cap M_T)}{P(M_O)} = \frac{P(M_O \cap M_T)}{(P(O_1 \cap M_O ) + P(O_2 \cap M_O) + P(O_3 \cap M_O)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = \frac{2}{3}\]

---

Aquesta paradoxa presenta diferents variants:

La paradoxa de Monty Hall

És potser la més coneguda de totes. El Problema de Monty Hall és un problema de probabilitats amb un concursant i tres portes tancades. Darrera d’una de les portes hi ha un cotxe i darrera de les altres dues portes hi ha una cabra. [Inspirat pel concurs televisiu Let's Make a Deal ("Fem un tracte"), famós entre 1963 i 1986 i presentat per Monty Hall]

El concursant selecciona una de les portes. Aleshores el presentador —que sap on és el premi— obre una de les altres dues portes. Mostra que hi ha una de les cabres i ofereix al concursant la possibilitat de canviar d’elecció.

Té el concursant una major probabilitat de guanyar el cotxe si canvia de porta?

La resposta intuïtiva és que la probabilitat no variarà i seguirà sent de \(\frac{1}{3}\). El cert, però, és que sí que ho fa. És millor canviar de porta i aleshores la probabilitat de guanyar el cotxe passa de \(\frac{1}{3}\) a \(\frac{2}{3}\).

Si no es canvia de porta, és clar que la probabilitat de guanyar és \(\frac{1}{3}\). A la taula següent es recullen totes les possibilitats de guanyar \((1)\) o perdre \((0)\) si es canvia de porta \((A, B, C)\).

S’observa clarament que es guanya en 6 dels 9 casos possibles, per tant la probabilitat de guanyar canviant de porta és clarament igual a \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3}\).

Dilema del presoner

Aquest dilema és proposat per Hardin, 1968:

Tres presoners esperen judici sabent que només un d’ells morirà.

El jutge li diu al primer presoner que el tercer es salva i li pregunta si vol intercanviar la seva sort amb la del segon presoner.

Què hauria de respondre?

A priori la probabilitat de morir de cada presoner és \(\frac{1}{3}\). El raonament intuïtiu erroni és pensar que com el tercer presoner es salva, només queden dues opcions i per tant la probabilitat de morir és \(\frac{1}{2}\) i no val la pena intercanviar-se pel segon presoner.

Siguin els esdeveniments:

• \(M_1 = \left\{ \text{el primer presoner mor}\right\}\)
• \(M_2 = \left\{ \text{el segon presoner mor}\right\}\)
• \(S_3 = \left\{ \text{el tercer presoner es salva}\right\}\)

Tenim aleshores la probabilitat condicional:

\[ \begin{align*} P(M_1 \mid S_3) &= \frac{P(M_1 \cap S_3)}{P(S_3)} = \frac{P(M_1) P(S_3 \mid M_1)}{1} = \frac{P(M_1) \cdot 1}{1} = \frac{1}{3} \text{, i per tant:} \\ P(M_2 \mid S_3) &= 1 - P(M_1 \mid S_3) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \end{align*} \]

Al primer presoner no l’interessa gens canviar-se pel segon. En el cas de fer-ho tindria el doble de probabilitat de morir.

Nen o nena?

Conegut també com el problema dels dos fills, els nens de Jones o el problema de la senyora Smith (Gardner, 1959):

• A. El Sr. Jones té dos fills. El fill gran és una nena. Quina és la probabilitat de que ambdós fills siguin nenes?
• B. El Sr. Smith té dos fills. El fill petit és un nen. Quina és la probabilitat de que ambdós fills siguin nens?

La resposta intuïtiva és \(\frac{1}{2}\) per a ambdues preguntes. La segona pregunta ens indueix a creure que hi ha dues possibilitats equiprobables pel sexe del segon fill i que la probabilitat de que ambdós siguin nens no condiciona la informació donada.

Altra raonament erroni és suposar que la família és seleccionada aleatòriament i que el que es demana és calcular la probabilitat de que els dos fills siguin nens. També no tenir en compte la informació de que un d’ells és nen i, en aquest cas, la resposta errònia és \(\frac{1}{4}\).

Siguin els esdeveniments:

• \(H = \left\{ \text{home}\right\} \quad \text{i} \quad D = \left\{ \text{dona}\right\}\), amb \(\Omega = \left\{(HH), (HD), (DH), (DD) \right\}\), on la primera lletra correspon al fill gran.

 

A la condició A, l’espai mostral queda restringit a \( \Omega = \left\{(DH), (DD) \right\} \) amb els dos esdeveniments equiprobables, per tant la probabilitat de que el fill petit sigui també una nena és \(\frac{1}{2}\).

A la condició B s’explicita que el senyor Smith té dos fills i que almenys un d’ells és nen. L’espai mostral és ara diferent a l’anterior, amb \(\Omega = \left\{(HH), (HD), (DH)\right\}\) amb els tres esdeveniments equiprobables, per tant la probabilitat de que el fill gran sigui també un nen és \(\frac{1}{3}\).

Les tres targetes

Shannon i Weaver (1949) substitueixen les capses de Bertrand per un joc amb targes i les monedes d’or i plata per marques de color vermell i negre. Gardner (1982), proposa el següent joc equivalent:

Tres homes, asseguts formant un triangle, mantenen els ulls tancats mentre juguen. Se’ls posa un barret vermell o un barret negre sobre els seus caps. Se’ls proposa obrir els ulls a la vegada i que es fixin en el barret dels altres, però no en el seu. Han d’endevinar el color del seu barret.

Prenent com a base el mateix plantejament, Batanero, Godino i Roa (2004) ^[14] ens plantegen la següent activitat:

• Prenem tres targes de la mateixa forma i mida. La primera és de color blau per les dues cares (A i B). La segona és de color vermell per les dues cares. La tercera és de color blau per una cara i vermell per l’altre.
• Posem les tres targes en una capsa i en seleccionem una tarja a l’atzar. Mostrem una de les cares i preguntem pel color de la cara oculta. Repetim el procés, posant de nou la tarja dins la capsa abans de cada nova extracció.
• Es fan prediccions sobre el color de la cara oculta i es guanya un punt cada vegada que la predicció és correcta.
• Quina és la millor estratègia per guanyar en el joc?

Intuïtivament es tendeix erròniament a pensar que cada vegada la probabilitat és \(\frac{1}{2}\) i que per tant no n’hi ha estratègia possible perquè el color de la cara oculta no depèn del color de la cara mostrada.

L’estratègia correcta és, però, apostar pel mateix color que la cara mostrada. En aquest cas la probabilitat és de \(\frac{2}{3}\).

Siguin els esdeveniments:

• \(B_M = \left\{ \text{color blau mostrat}\right\}\), \(V_M = \left\{ \text{color vermell mostrat}\right\}\)
• \(B_O = \left\{ \text{color blau ocult}\right\}\), \(V_O = \left\{ \text{color vermell ocult}\right\}\)

L’espai mostral és \( \Omega = \left\{BB, BB, VV, VV, VB, BV \right\} \). Blaus i Vermells es consideren repetits segons es mostri la cara A o la cara B de la tarja.

Si la cara mostrada és blava, l’espai mostral queda reduït a \( \Omega = \left\{ BB, BB, BV \right\}\) i aleshores \(P(B_O \mid B_M ) = \frac{2}{3}\).

Si la cara mostrada és vermella, l’espai mostral queda reduït a \( \Omega = \left\{ VV, VV, VB \right\}\) i aleshores \(P(V_O \mid V_M ) = \frac{2}{3}\).

Altra solució possible és considerar els esdeveniments: \(B = \left\{ \text{color blau} \right\} \quad \text{i} \quad V = \left\{ \text{color vermell} \right\}\), amb l’espai mostral: \( \Omega = \left\{BB, BV, VB, VV \right\}\), on els esdeveniments amb dues cares repetides tenen el doble de probabilitat:

• \(P(BB) = \frac{1}{3}\); \(P(BV) = \frac{1}{6}\); \(P(VB) = \frac{1}{6}\); \(P(VV) = \frac{1}{3}\)
• \(P \left(\text{“mateix color”}\right) = P(BB) + P(VV) = \frac{2}{3}\)

També, aplicant la fórmula de la probabilitat composta per a esdeveniments dependents es té:

\begin{align*} P(BB) &= P(B) \cdot P(B_o \mid B_M) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \\ P(VV) &= P(V) \cdot P(V_o \mid V_M) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \\ P(BV) &= P(B) \cdot P(V_o \mid B_M) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \\ P(VB) &= P(V) \cdot P(B_o \mid V_M) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \end{align*}

És doblement probable que la cara oculta sigui la mateixa que la mostrada.

Els jocs d’atzar

Sovint es somia amb la possibilitat de guanyar en una loteria —la rifa de Nadal ens farà rics i ens solucionarà tots els nostres problemes econòmics—. Però, la probabilitat de que ens toqui un número entre \(100000\) és \(\frac{1}{100000} = 0.001\) %. Tal com seleccionar una gota de \(0.01\) mL en \(1\) L d’aigua.

Tots els jocs d’atzar es basen en la fantasia del guany. Matemàticament són sota el concepte de l’esperança matemàtica i aquesta és habitualment en contra de qui juga. Per exemple, en la Loteria Primitiva, la probabilitat d’encertar els 6 números es pot calcular com: \[ \frac{1}{49} \cdot \frac{1}{48} \cdot \frac{1}{47} \cdot \frac{1}{46} \cdot \frac{1}{45} \cdot \frac{1}{44} = 9.932116447 \cot 10^{-11} \]

Probabilitat que és encara molt més baixa que la de la rifa de Nadal.

Altres jocs d’atzar semblen equitatius però no ho són —jugar a parells i senars, apostar a un número amb el resultat de la suma de dos daus, moltes apostes amb monedes, ...—. Per exemple, sembla equiprobable apostar a parell o a senar però en realitat tenim un \(4\) % més de probabilitat de guanyar apostant a senar.

Fem la taula de possibles resultats amb la suma dels dits de dues mans, i comptem quants resultats són parell i quants senar.

\( P(\text{"parell"}) = \frac{13}{25} = 0.52 \quad \text{i} \quad P(\text{"senar"}) = \frac{12}{25} = 0.48\), lleugerament inferior. Hi ha un 4 % més de probabilitat de guanyar apostant a parell.

En el cas de la suma del resultat de llençar dos daus ben equilibrats, a quin número hauríem d’apostar?

---

Amb R:

---

Suposem que ens juguem l’esmorzar llençant una moneda a l’aire. Si surten dues cares seguides pago jo i si surt una creu i a continuació una cara pagues tu. Hi ets d’acord?

La probabilitat de dues cares seguides és \(\frac{1}{4}\), per tant la de que no sigui així és \(\frac{3}{4}\). Si hi jugues, pagaràs molts esmorzars...

Els tests diagnòstics

Un test diagnòstic és una prova utilitzada per tal de detectar la presència o absència d’una determinada condició —un embaràs, una infecció vírica, un problema metabòlic, etc.—.

El problema dels tests diagnòstics rau en que mai són fiables al 100 % i aleshores es poden donar dos casos erronis:

• el fals positiu: no es dona la condició i el test és positiu \((T^+)\).
• el fals negatiu: es dona la condició i el test és negatiu \((T^-)\).

El fals negatiu és òbviament el més problemàtic.

Definim \(\alpha\) com el coeficient de falsos positius —el percentatge de casos en que hi ha un fals positiu— i \(\beta\) el coeficient de falsos negatius —el percentatge de casos en que hi ha un fals negatiu—.

Sigui l’esdeveniment \(C = \left\{ \text{"es dona la condició"}\right\}\).

Aleshores:

• \(\alpha = P(T^+ \mid C^c)\)
• \(\beta = P(T^- \mid C)\)

I s’especifica:

• Sensibilitat del test: \(S = P(T^+ \mid C) = 1 - \beta\). La capacitat del test per detectar la condició en els subjectes que la tenen realment.

   

• Especificitat del test: \(E = P(T^- \mid C^c) = 1 - \alpha\). La capacitat del test per detectar l’absència de la condició en els subjectes que no la tenen realment.

Definint:

• \(S = \frac{\text{(veritables positius)}}{\text{(veritables positius + falsos negatius)}}\)
• \(E = \frac{\text{(veritables negatius)}}{\text{(veritables negatius + falsos positius)}}\)

Interessa sempre que totes dues —especificitat i sensibilitat del test— siguin el més altes possible.

En un test d’antígens per detectar la Covid-19 les dades obtingudes sobre 200 individus asimptomàtics —dels quals una PCR prèvia havia detectat Covid-19 en 100 dels individus— varen ser les següents:

Calculis l’efectivitat del test.

\begin{align*} &\alpha = P(T^+ \mid Covid^-) = \frac{5}{100} = 0.05 \rightarrow E = 1 - \alpha = 0.95 \\ &\text{També:}\ E = \frac{VN}{VN + FP} = \frac{95}{95 + 5} = 95\%. \\ &\beta = P(T^- \mid Covid^+) = \frac{10}{100} = 0.10 \rightarrow S = 1 - \beta = 0.90 \\ &\text{També:}\ S = \frac{VP}{VP + FN} = \frac{90}{90 + 10} = 90\%. \\ &\text{Taxa d'Encerts} = \frac{VN + VP}{\text{TOTAL}} = \frac{95 + 90}{200} = 0.925 = 92.5\%. \\ &\text{Taxa d'Errors} = \frac{FN + FP}{\text{TOTAL}} = \frac{10 + 5}{200} = 0.075 = 7.5\% = 1 - \text{Taxa d'Encerts}. \end{align*}

Índex de Youden

L’índex de Youden \((J)\) ens informa de la fiabilitat d’una prova diagnòstica, basant-se en les conceptes d’especificitat \((E)\) i de sensibilitat \((S)\). Va ser proposat per Youden, W.J. (1950). ^[15], amb: \[ J = E + S-1 \quad \text{amb} \quad (-1 \leq J \leq 1) \]

A l’exercici anterior: \(J = E + S - 1 = 0.95 + 0.90 - 1 =0.85 \). El test d’antígens per la Covid-19 té doncs un 85 % de fiabilitat.

Variables aleatòries

Es defineix un espai de probabilitats \(( \Omega, \mathcal{A}, P) \) al cos \( \mathcal{R}\) dels nombres reals. Amb l’espai mostral \( \Omega \) format per tota mena d’elements —símbols, persones, colors, ...—.

Dins \(\Omega\), ens interessa l’estudi d’alguna característica numèrica associada a cadascun dels esdeveniments elementals \( \omega \in \Omega \) i es fa necessari transformar l’espai mostral en nombres reals. Les variables aleatòries.

Les variables aleatòries —ja sigui per mesura directa d’una variable quantitativa o per codificació d’una variable qualitativa— són variables numèriques —nombres reals— utilitzades en el càlcul de probabilitats. Per exemple: l’alçada d’una muntanya elegida a l’atzar, el resultat de la suma de les dues cares superiors d’uns daus, la longitud d’una fulla elegida a l’atzar, ....

Els processos que depenen de l’atzar són nomenats també processos estocàstics. Els valors de les variables aleatòries —o estocàstiques— venen determinats per l’atzar.

Si \(X\) és la variable aleatòria que recull els resultats d’un determinat experiment aleatori, s’assigna un nombre real \(x\) a cada resultat de l’experiment. Es diu que \(x\) és una realització de la variable aleatòria \(X\).

• Si el resultat és numèric —una variable quantitativa— s’assigna directament el seu valor real.
• Si el resultat no és numèric —una variable qualitativa— es transforma arbitràriament en un nombre real.

Formalment es defineix l’aplicació \(X\ :\ \Omega \rightarrow \mathcal{R},\ \omega \rightarrow X(ω) \in \mathcal{R} \) dins l’espai de probabilitats \(( \Omega, \mathcal{A}, P) \) —que fa correspondre un nombre real a cada esdeveniment elemental—.

\(X\) és una variable aleatòria si per a tot nombre real \(x\) \[ A = \omega \in \Omega \mid X(\omega) \leq x \in \mathcal{A} \].

\(A\) és un esdeveniment.

O —el que és equivalent— amb \( a \in \mathcal{R}\), donat \[ X^{-1}((-\infty, a]) = \{\omega \in \Omega \mid X(\omega) \leq a\} \], una variable aleatòria és una funció \[X : \Omega \to \mathbb{R} \text{ tal que } X^{-1}((-\infty, a]) \in \mathcal{A}\]

La probabilitat de que \(X\) prengui un valor entre \(a, b \in \mathcal{R}\) es denota com \[ P(a < X < b) \text{ i } P(X > c) = 1 - P(X \leq c) \], amb \[c \in \mathbb{R}, \text{ i } P(X > c) + P(X \leq c) = 1\]

S’assigna un valor arbitrari a cada element de la variable.

---

Amb R:

---

Suposis un dau de sis cares —amb \(Ω = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\} \quad \text{i} \quad A = 2^{|\Omega|}\)—. De distribució equiprobable, \(P_i = \frac{1}{6}\), amb \(1 \leq i \leq 6\).

Aleshores, l’aplicació \[X(i) = 1 \text{ si } i \in \{2, 4, 6\} \text{ i } X(i) = -1 \text{ si } i \in \{1, 3, 5\}\], és una variable aleatòria que mesura el guany o pèrdua d’una aposta monetària d’una unitat a si surt un nombre parell al llençar el dau.

S’observa que \[X^{-1}((-\infty, a]) = \begin{cases} \emptyset & \text{si } a < -1 \\ \{1, 3, 5\} & \text{si } -1 \leq a < 1 \\ \Omega & \text{si } a \geq 1 \end{cases}\]

Propietats de les variables aleatòries

1. Per ser \(A\) un esdeveniment, té una probabilitat. Es pot obtenir la probabilitat de que la variable aleatòria prengui valors inferiors a un valor \(x\) donat \(P(A) = P(X \leq x)\).
2. Es pot també obtenir la probabilitat de que una variable aleatòria prengui valors dins un interval \(P(a < X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a)\).
3. Les dues propietats anteriors justifiquen el perquè de la condició de variable aleatòria.
3. Donades dues variables aleatòries \(X, Y\) definides sobre un mateix espai de probabilitats \((\Omega, \mathcal{A}, P)\), es poden definir la suma, el producte i el quocient —amb denominador no nul— obtenint-ne altra aplicació que verifica també la condició de variable aleatòria.

Variables aleatòries discretes

Es diu que una variable aleatòria és discreta, si el conjunt de valors que pren amb probabilitat no nul·la és finit o infinit numerable amb probabilitat positiva. Les variables aleatòries discretes es corresponen a experiments en els que es compte el nombre de cops que ha succeït un esdeveniment.

Per tant, \[\exists I \subset \mathbb{N} / \text{Rang}(X) = \{a_i : i \in I \text{ i } P_i = P(X = a_i) > 0 \forall i \in I\}\]

Els valors de \(P_i\) s’anomenen massa de probabilitat de la variable \(X\), amb \(\sum_{i \in I} P_i = 1\).

Per a cada \(i \in \mathcal{I}\), la funció de distribució \(F\) presenta una discontinuïtat de salt finit en \(a_i\). \(P_i\) coincideix amb el valor d’aquest salt. El que significa que existeix una successió de nombres reals \(\left\{x_1, x_2, \cdots ,x_n \right\}\) tal que \[P(X = x_i) = P_i \neq 0 \text{ i } P(X \neq x_i) = 0, \text{ amb } i = \{1, 2, \dots, n\}\]

La funció de distribució de probabilitat associada a la variable aleatòria \(X\) presenta una quantitat numerable de punts de discontinuïtat i, en cadascun d’ells, la funció experimenta un salt.

Es pot definir aleshores la funció de densitat de probabilitat de la variable aleatòria per:

\begin{align*} &f(x_i) = P(X = x_i) \quad i = 1, 2, \dots, n \\ &f(x) = 0 \quad x \neq x_i \\ \end{align*}

, que verifica:

1. \(0 \leq f(x) \leq 1\)
2. \(\sum_i f(x_i) = 1\)
3. \(F(x) = \sum_{x_i \leq x} f(x_i)\)

I la funció de distribució de probabilitat com: \[F(x) = \displaystyle\sum_{x_i \leq x} f(x_i)\]

Les variables aleatòries discretes es poden caracteritzar per la seva funció de densitat de probabilitat o per la seva funció de distribució de probabilitat.

Es considera l’experiment aleatori consistent en llençar dues monedes. Sigui \(X\) la variable aleatòria que comptabilitza el nombre de cares obtingudes. Aleshores el rang de la variable \(X\) és \(Rang(X) =\left\{0, 1, 2 \right\}\).

La massa de probabilitat ve donada pels valors \(P_1 = P(X = 0) = 0.25\), \(P_2 = P(X = 1) = 0.50\), \(P_3 = P(X = 2) = 0.25\).

La funció de distribució ve donada per,

Variables aleatòries absolutament contínues

Es diu que una variable aleatòria és contínua si pot prendre qualsevol valor real dins un interval.No és possible conèixer el valor exacte d’una variable contínua. Es representa sempre dins un interval, amb un determinat error de mesura —segons la seva precisió—. Per tant, la probabilitat d’una mesura amb precisió infinita serà sempre zero

Les variables aleatòries contínues es poden caracteritzar —tal com les discretes— per la seva funció de densitat de probabilitat o per la seva funció de distribució.

Consideris el cas en el que el rang de la variable aleatòria és un conjunt infinit no numerable. Per analogia amb el concepte de massa de probabilitat del cas discret, podem assignar a cada valor \( x \in Rang(X)\) un valor \(f(x) > 0\) de manera que la “suma” de tots els valors sigui igual a la unitat.

Aleshores es diu que una variable aleatòria és contínua si la seva funció de distribució no té discontinuïtats —salts—. El conjunt de valors que pren, amb probabilitat no nul·la, és numerable i la corresponent funció de distribució pot representar-se en forma d’una integral.

Formalment:

Sigui \((\Omega, \mathcal{A},P)\) un espai de probabilitat, \(X\ :\ \Omega \rightarrow \mathcal{R}\) una variable aleatòria amb \(F\) la funció de distribució associada a \(X\).

Es diu que \(X\) és una variable aleatòria absolutament contínua si existeix una funció de densitat \(f:\ \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}\) tal que, \(\forall a \in \mathcal{R}\), \[F(a) = P(X \leq a) = \int_{-\infty}^{a} f(x) \, dx\]

La funció \(f:\ \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}\), \(f(x)\) s’anomena funció de densitat de probabilitat de la variable aleatòria \(X\). Funció que verifica, \(\forall a \in \mathcal{R}\):

1. \(f(x) \geq 0\)
2. \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1\)
3. \(F'(x) = f(x)\)
4. \(P(a < x \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\)

La funció de densitat de probabilitat no representa una probabilitat. Tanmateix, però, \(f(x)\ dx\) s’interpreta com la probabilitat infinitesimal de que la variable aleatòria \(x\) assumeixi valors dins l’interval \((x, x + dx)\). Pot interpretar-se com la corba límit que obtindríem en l’histograma d’una població disminuint indefinidament les amplades de cada classe.

Conèixer la funció de densitat de probabilitat ens permet calcular, per integració, qualsevol probabilitat.

\begin{align*} &P(x \leq x_0) = \int_{-\infty}^{x_0} f(x) \, dx \\ &P(x_0 < x \leq x_1) = \int_{x_0}^{x_1} f(x) \, dx \end{align*}

Per a variables aleatòries contínues \(X\) \[F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt\], amb \(f(t)\) la funció de densitat.

1. Si X és una variable aleatòria absolutament contínua, es verifica \begin{align*} &P(X = c) = 0 \\ &P(a < X \leq b) = P(a < X < b) = P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) \end{align*}
2. El punt anterior no és —en general— cert per a variables aleatòries no contínues. En efecte, per aquestes variables és \begin{align*} &P(a < X \leq b) = \displaystyle\lim_{x \to b^{-}} F(x) - F(a) \\ &P(a \leq X < b) = \displaystyle\lim_{x \to b^{-}} F(x) - \displaystyle\lim_{x \to a^{-}} F(x) \\ &P(a \leq X \leq b) = F(b) - \displaystyle\lim_{x \to a^{-}} F(x) \\ &P(X = c) = F(c) - \displaystyle\lim_{x \to c^{-}} F(x) \\ &P(X < c) = P(X \leq c) - P(X = c) = \displaystyle\lim_{x \to c^{-}} F(x) \end{align*}

Es pot observar que tots els límits ho són per l’esquerra, és a dir: des de valors menors que \(b\).

Variables aleatòries en àlgebres finites

Sigui \(A\) un esdeveniment d’un àlgebra \(\mathcal{A}\). S’anomena indicador d’\(\mathcal{A}\) a la variable aleatòria \[I_A(\omega) = \begin{cases} 1 & \text{si } \omega \in A \\ 0 & \text{si } \omega \notin A \end{cases} \]

Teorema

Sigui \(X\) una variable aleatòria sobre \((\Omega, \mathcal{A}, P)\), sent \(\mathcal{A}\) un àlgebra finita. Suposem que \(X\) assoleix els valors \(\left\{x_1, x_2, \cdots , x_m \right\}\) amb probabilitat no nul·la.

Aleshores \[B_1 = \{\omega \mid X(\omega) = x_1\}, \dots, B_m = \{\omega \mid X(\omega) = x_m\}\] és el conjunt d’esdeveniments mútuament excloents d'\(\mathcal{A}\) —cadascun d’ells reunió d’un o més àtoms d'\(\mathcal{A}\)— i es verifica \[X = x_1 I_{B_1} + \cdots + x_m I_{B_m}\]

Corol·lari:

Si \(Y = g(X)\) és un altra variable aleatòria construïda a partir de \(X\) mediant una funció \(g\), aleshores \[Y = g(x_1) I_{B_1} + \cdots + g(x_m) I_{B_m}\]

Funció de distribució de probabilitat

La funció de distribució de probabilitat d’una variable aleatòria ens diu amb quina probabilitat pren la variable cadascun dels seus valors. És una funció de variable real que s’introdueix per a conèixer com es reparteix la probabilitat dels valors que pren una variable aleatòria. Defineix unívocament la probabilitat de la variable aleatòria \(X\). Formalment: \[F(x) = P(X \leq x), \ \forall x \in \mathcal{R}\]

Si \((\Omega, \mathcal{A}, P)\) és un espai de probabilitat i \( X\ :\ \Omega \rightarrow \mathcal{R}\)) una variable aleatòria, la funció de distribució associada a \(X\) és l’aplicació \(F\ :\ \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}\) donada per: \[F(a) = P(X^{-1}((-\infty, a])), \ a \in \mathcal{R}\]

En el llançament d’un dau, la variable aleatòria \(X\) pren valors de \(x \in \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}\), cadascun amb probabilitat \(\frac{1}{6}\), amb: \[ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{per } x < 1, \\ \frac{1}{6}, & \text{per } 1 \leq x < 2, \\ \frac{1}{3}, & \text{per } 2 \leq x < 3, \\ \frac{1}{2}, & \text{per } 3 \leq x < 4, \\ \frac{2}{3}, & \text{per } 4 \leq x < 5, \\ \frac{5}{6}, & \text{per } 5 \leq x < 6, \\ 1, & \text{per } x \geq 6. \end{cases} \]

Observis que si \((X \leq x)\) no fos un esdeveniment, \(F(x)\) no existiria.

Propietats de la funció de distribució de probabilitat.

La funció de distribució de probabilitat, com a funció de distribució acumulada, presenta les següents propietats:

1. \( \forall x \in \mathcal{R}, \ 0 \leq F(x) \leq 1 \)
2. \( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \quad \displaystyle\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 \)
3. \(\forall x_1, x_2 \in \mathcal{R}, \ F(x) \text{ és creixent: } x_1 < x_2 \rightarrow F(x_1) \leq F(x_2)\)
4. \(\forall x \in \mathcal{R}, \ F(x) \text{ és contínua a la dreta: } \displaystyle\lim_{x \to a^{+}} F(x) = F(a)\)
5. \(P(a < x \leq b) = F(b) - F(a) = \int_a^b f(t) \, dt\)

La probabilitat de l’esdeveniment \(a < X \leq b\) és igual a l’àrea compresa sota la corba de densitat de probabilitat \(f(t)\) entre \(x = a\) i \( x = b\).

La funció de distribució associada a la variable aleatòria \(X\) és \[F(a) = P(X \leq a) = \begin{cases} P(\emptyset) = 0 & \text{si } a < -1 \\ P(\{1, 3, 5\}) = 0.5 & \text{si } -1 \leq a < 1 \\ P(\Omega) = 1 & \text{si } a \geq 1 \end{cases} \]

Distribució conjunta de dues o més variables

Es tracta d’una distribució de probabilitat conjunta de dues o més variables aleatòries —joint distribution— en el cas en que la realització de la seva distribució de probabilitat es produeix simultàniament. La distribució pot ser bivariada —amb dues variables— o multivariada —amb més de dues variables—. Formalment:

Sigui \((\Omega, \mathcal{A}, P)\) un espai de probabilitats, amb \(X\) i \(Y\) dues variables aleatòries definides sobre \((\Omega, \mathcal{A}, P)\).

El parell \((X, Y)\) defineix aleshores una aplicació: \( \Omega \rightarrow \mathcal{R} \cdot \mathcal{R}\), que a cada esdeveniment elemental \( \omega \) fa correspondre un parell de nombres reals \((x, y) = (X(\omega),Y(\omega))\).

S’introdueix la funció de distribució conjunta de dues variables per tal d’estudiar-hi la distribució del parell \((X, Y)\), amb \[F(x, y) = P([X \leq x] \cap [Y \leq y])\]

Fixant un valor a \(x\) o a \(y\) i fent variar \(y\) o \(x\), se’n dedueixen unes propietats anàlogues a les de la funció d’una variable.

Es verifica a més que \[P([a < X \leq b] \cap [c < Y \leq d]) = F(b, d) - F(a, d) - F(b, c) + F(a, c)\]

La funció de densitat de probabilitat conjunta és diferent segons \(X\) i \(Y\) siguin variables aleatòries discretes o absolutament contínues.

Amb \(X\) i \(Y\) discretes: \begin{align*} &f(x_i, y_j) = P([X = x_i] \cap [Y = y_j]), \text{ es verifica} \\ &\sum_{i, j} f(x_i, y_j) = 1 \\ &F(x, y) = \sum_{x_i \leq x, y_i \leq y} f(x_i, y_j) \end{align*}

Amb \(X\) i \(Y\) absolutament contínues, \(f(x, y)\) és tal que \begin{align*} &F(x, y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u, v) \, du \, dv \\ &\frac{\delta^2 F(x, y)}{\delta x \cdot \delta y} = f(x, y) \end{align*}

\(f(x,\ y)\ dx\ dy\), s’interpreta com la probabilitat de que el parell \((x,\ y)\) es trobi en el rectangle infinitesimal \((x, y) \rightarrow (x + dx,\ y + dy)\).

Variables marginals

Coneguda la distribució conjunta del parell \((X,\ Y)\), ens pot interessar la distribució de la variable \(X\) o de la variable \(Y\) —amb independència una de l’altra—. S’anomena distribució marginal d’una variable a l’obtinguda al estudiar la variable aïlladament, independentment de la resta. La distribució marginal s’obté a partir de la distribució conjunta acumulant als marges de la taula la suma de les freqüències relatives de les files o les columnes. La funció de densitat marginal és també diferent segons \(X\) i \(Y\) siguin variables aleatòries discretes o absolutament contínues.

• Amb \(X\) i \(Y\) discretes, la funció de densitat de la \(X\) marginal és \(f_1(x_i) = \sum_j f(x_i, y_j)\), amb \(i\) fixe i \(j\) variant.
• Amb \(X\) i \(Y\) absolutament contínues: \[f_1(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, dy\] \[f_2(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, dx\]

Es vol calcular la probabilitat de que un vianant sigui atropellat per un cotxe mentre creua la carretera en un pas de vianants, sense parar atenció al semàfor.

Sigui \(A\) la variable aleatòria discreta, que pren els valors \(A = \left\{1,\ 0 \right\}\), segons el vianant sigui atropellat \((A = 1)\) o no \((A = 0)\).

Sigui \(S\) la variable aleatòria discreta, que pren els valors \(S=\left\{R,\ G\ ,\ V \right\}\), segons el semàfor estigui en roig \((S = R)\), groc \((S = G)\) o verd \((S = V)\).

El valor d’\(A\) dependrà de \(S\) i, per tant, el valor de \(P(A)\) i de \(P(A^c)\) dependrà també del valor de \(S\) —un vianant és, per exemple, molt més propens a ser atropellat per un vehicle quan creua amb el semàfor en verd pels vehicles—

Per a qualsevol parell de valors possible d’\(A\) i \(S\), s'ha de considerar, doncs, la distribució conjunta de probabilitats d’\(A\) i \(S\) i calcular la probabilitat de que aquest parell d'esdeveniments es produeixin junts quan el vianant ignora l'estat del semàfor.

Com el vianant pot ser atropellat en qualsevol estat del semàfor, la resposta a la probabilitat marginal es trobarà sumant \(P(A \mid S)\) per a tots els valors possibles de \(S\), amb cada valor de \(S\) ponderat per la seva probabilitat.

La taula següent mostra les probabilitats condicionals, en funció de la posició del semàfor —les columnes de la taula han de sumar 1 perquè la probabilitat de ser atropellat o no és 1, independentment de l’estat del semàfor—.

Suposem ara que \(P(R)= 0.3\) —el semàfor, pels vehicles, és en roig el 30 % del temps—, \(P(G) = 0.1\) —el semàfor és en groc el 10 % del temps— i \(P(V) = 0.6\) —el semàfor és en verd el 60 % del temps—.

Multiplicant cada columna de la distribució condicional per la probabilitat de que es produeixi aquesta columna es calcula la distribució conjunta de probabilitats d’\(A\) i \(S\).

\begin{align*} &P(A^c) = P(A^c \mid R) + P(A^c \mid G) + P(A^c \mid V) = 0.5787 \\ &P(A) = 1 - P(A^c) = 0.4213 \end{align*}, la probabilitat marginal de ser atropellat és un 42.13 %.

Es disposa de les dades següents sobre l’hàbit de fumar, segons el sexe.

1. Calculis la probabilitat marginal de ser fumador i la probabilitat condicionada, segons el sexe.
2. És la probabilitat de fumar independent del sexe?
3. Si sabem que una persona és fumadora, quina probabilitat hi ha de que sigui dona?
1. La probabilitat marginal de ser fumador és \(P( \text{“fumador”})= \frac{130}{400} = 0.325\).
2. \(P( \text{“fumador”} \mid \text{“dona”}) = \frac{60}{200} = 0.30\) i \(P(\text{“fumador”} \mid \text{“home”}) = \frac{70}{200} = 0.35\). Com les probabilitats són diferents, fumar no és independent del sexe i se n’ha de deduir que els homes fumen més que les dones.
3. \(P(\text{“dona”} \mid \text{“fumadora”}) = \frac{P(\text{“dona”} \cap \text{“fumadora”})}{P(\text{“fumadora”})} = \frac{ \frac{60}{400}}{\frac{130}{400}} = \frac{60}{130} \approx 0.462\). Hi ha aproximadament un 46 % de probabilitat de que sigui dona, condicionat a ser persona fumadora.

Esperança d’una variable aleatòria

L’esperança matemàtica és una generalització del concepte de mitjana aritmètica. En teoria de la probabilitat, representa la mitjana dels valors que pot prendre la variable aleatòria ponderats per la probabilitat d'aquests valors. El valor mitjà "esperat" de la variable al repetir molts cops l'experiment aleatori. El concepte del valor esperat ja va ser debatut per Blaise Pascal i Pierre de Fermat per tal de resoldre el problema dels punts (ja explicat anteriorment).

L'ús de la lletra \(E\) per indicar el valor esperat es deu a William Allen Whitworth, ^[16] matemàtic i capellà anglès (1840 - 1905). Formalment:

Donada una successió de valors observats \(\left\{x_1, x_2, \cdots, x_n \right\}\) i les seves respectives freqüències \(\left\{f_1, f_2, \cdots, f_n \right\}\), amb \[\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f_i = N \]

Es defineix l’esperança matemàtica com \[\mu = E(X) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{i=1}^{n} f_i \cdot x_i = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot \frac{f_i}{N}\]

La freqüència relativa \(\frac{f_i}{N}\) es pot considerar com la probabilitat que té un valor \(x_i\) de presentar-se en front al nombre total \(N\), amb \(P(X = x_i) = \frac{f_i}{N}\) i per tant \[\mu = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)\]

Expressió que representa la mitjana \(\mu\) o esperança matemàtica d'una variable aleatòria discreta. Si \(X\) és una variable aleatòria discreta amb funció de densitat \(f(x_i) = P(X = x_i)\), es defineix l’esperança de \(X\) com \[E(X) = \displaystyle\sum_i x_i \cdot P(X = x_i) = \displaystyle\sum_i x_i \cdot f(x_i)\]

[Nota: S’exigeix que la sèrie sigui convergent. Per exemple, si \(X\) és una variable discreta amb funció de probabilidad \(p(n) = \frac{6}{{\pi}^2 \cdot n^2}\), aleshores \(X\) no és integrable, donat que la sèrie \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n p(n) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{{\pi}^2 n^2}\) és divergent.

Amb un dau regular de sis cares: \(E(X) = \frac{1}{6} \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3.5\) [Nota: Observis que 3.5 no és un dels valors possibles del dau]

---

En el cas d'una variable aleatòria absolutament continua, es defineix l’esperança de \(X\) per l’integral de Lebesgue \[E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \, dx\], amb \(f(x) =\) funció de densitat de probabilitat de \(X\).

[Nota: S’exigeix que la integral existeixi. No totes les variables aleatòries són integrables. Per exemple, si \(X\) segueix una distribució de Cauchy, amb funció de densitat \(f(x)= \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{1 + x^2}\) amb \(x \in \mathcal{R}\), aleshores \(X\) no és integrable, donat que \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\pi} \frac{|x|}{1 + x^2} \, dx\) és divergent]

Significat de l’esperança matemàtica

Es poden donar diferents interpretacions de l’esperança matemàtica.

1. Com a valor mitjà. Representa una mida de centralització, el valor mitjà teòric de tots els valors que pot prendre la variable aleatòria.
2. Com a interpretació física. Representa el centre de gravetat o de masses dels punts que corresponen als valors de la variable aleatòria, al assignar-los una quantitat de massa proporcional a la funció de densitat en cada punt.
3. En els jocs d’atzar. Representa el guany mitjà per jugada quan la variable aleatòria recull el guany o pèrdua d’un joc determinat. Un joc és equitatiu quan la seva esperança matemàtica és zero.

Propietats de l’esperança matemàtica

L’esperança matemàtica mostra les següents propietats.

1. Linealitat. \(E(X + Y) =E(X) + E(Y)\) i \(E(a \cdot X) = a \cdot E(X)\), per a qualsevol variable aleatòria \(X\), \(Y\).
2. Independència. \(E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)\), amb \(X\), \(Y\) variables estocàsticament independents.
3. És influenciada pels valors extrems de la variable, com es desprèn de la interpretació física com a centre de masses.
4. Sigui \(Y = g(x)\) una variable aleatòria obtinguda de \(X\) mediant una funció \(g\). L’esperança de la nova variable aleatòria \(Y\) s’obté aleshores com:
• En el cas discret: \(E(Y) = E(g(x)) = \sum_i g(x_i) \cdot f(x_i)\)
• En el cas absolutament continu: \(E(Y) = E(g(x)) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) \cdot f(x) \, dx\)

Es planteja l’experiment aleatori de llençar dues monedes amb \(X\) la variable aleatòria que comptabilitza el nombre de cares obtingudes. El rang de la variable \(X\) és \(Rang(X) = \left\{ 0, 1, 2 \right\}\)

\[P_1 = P(X = 0) = 0.25\] \[P_2 = P(X = 1) = 0.50\] \[P_3 = P(X = 2) = 0.25\], amb \[E(X) = 0 \cdot 0.25 + 1 \cdot 0.5 + 2 \cdot 0.25 = 1\]

En un joc d’atzar, es llença una moneda. Si surt cara, es guanyen dos euros, en cas contrari, no es guanya res. Quina quantitat s’hauria de demanar per poder apostar si es vol que l’esperança del joc sigui de -0.5?

Siguin \(C = \{\text{"cara"}\}, \ X = \{\text{"creu"}\}, \ G = \{\text{"guany en el joc"}\}, \text{ i } a = \{\text{"preu de l'aposta"}\}\). Aleshores: \begin{align*} &\begin{cases} G = 2 - a & \text{si } C \\ G = -a & \text{si } X \end{cases} \\ &E(G) = G(C) \cdot P(C) + G(X) \cdot P(X) \\ &E(G) = (2 -a) \cdot 0.5 + (-a) \cdot 0.5 = 1-a = -0.5 \implies a= 1.5 \end{align*}

Variància d’una variable aleatòria

La variància mesura la dispersió mitjana dels valors d’una variable aleatòria respecte del seu valor mitjà. Es defineix com l’esperança del quadrat de la desviació de la variable respecte la seva mitjana.

En el cas d’una mostra aleatòria \(\left\{x_1, x_2, \dots ,x_n \right\}\) la dispersió d’un valor \(x_i\) respecte la mitjana \(m\), es pot mesurar per \((x_i - m)^2\) i la mitjana aritmètica d’aquesta dispersió s’anomena variància de la mostra \((s^2)\), amb \[s^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i - m)^2 \cdot \frac{f_i}{N} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i - m)^2 \cdot P(X = x_i)\]

Si \(X\) és una variable aleatòria amb esperança finita \(E(X)\), s’anomena variància de \(X\) a l’esperança de la nova variable \[Y = (X - E(X))^2\].

Propietats de la variància d’una variable aleatòria

La variància mostra les següents propietats.

1. \(\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = E(X^2) - {\mu}^2\)
2. \(\text{Var}(X) \geq 0\)
3. Si \(X\) és una constant, \(X = k\) per quelcom \(k \in \mathcal{R}\), aleshores \(\text{Var}(X) = 0\).
4. \(\text{Var}(X) = 0 \leftrightarrow P(X = \mu) = 1\)
5. \(\text{Var}(X + k) = Var(X) \quad \forall k \in \mathcal{R}\)
6. \(\text{Var}(k \cdot X) = k^2 \cdot \text{Var}(X) \quad \forall k \in \mathcal{R}\)
7. El mínim de la funció \(f(m) = E((X - m)^2\) s’assoleix amb \(m = \mu\), de manera que: \(\text{Var}(X) = f(\mu) = \text{mínim}\ \left\{f(m)\ :\ m \in \mathcal{R} \right\}\)
8. Si \(\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}\) és la desviació típica de \(X\) i \(Z = \frac{X - \mu}{sigma}\), aleshores \(E(Z) = 0\) i \(\text{Var}(Z) = 1\)
9. Si \(X\), \(Y\) són variables aleatòries dependents, es té que \(\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2 \cdot \text{Cov}(X,Y)\), amb \(\text{Cov}\) = "covariància"
10. Si \(X\), \(Y\) són variables aleatòries independents, es té que \(\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)\)
11. \(\text{Var}(Y) = E[\text{Var}(Y \mid X)] + \text{Var}[E(Y \mid X)]\), aplicant el teorema de Pitàgores.

S’anomena desviació típica \(\sigma\) a l’arrel quadrada de la variància i representa una mesura de dispersió de la mateixa dimensió física de la variable.

Descomposició de la variància

Amb la descomposició de la variància es pot detectar l’existència de grups dins la població o la mostra estudiada —la partició—. El que es pretén és determinar si la variabilitat de la variable estudiada és deguda, amb major grau, a diferències entre els grups —la intervariància— o dins dels grups —la intravariància—. Formalment:

Sigui \(Psi\) un conjunt amb \(\left\{A_1, A_2, \cdots, A_l \right\}\) subconjunts de \(\Omega\). La col·lecció de conjunts \(\left\{A_1, A_2, \cdots, A_l \right\}\) conformen una partició de Ψ si satisfan \begin{align*} &\bigcup_{i=1}^{l} A_i = \Psi \\ &A_i \cap A_j = \emptyset, \ \forall i \neq j \end{align*}

Suposis que \(\left\{A_1, A_2, \cdots, A_l \right\}\) conformen una partició de la població o de la mostra estudiada, amb \(\{\bar{x}_1, \bar{x}_1, \dots, \bar{x}_l \}\) les mitjanes de la variable d’interès.

Suposis que \(\{ S_1^2, S_2^2, \dots, S_l^2 \}\) representen les variàncies mostrals de la variable per a  \(\{A_1, A_2, \cdots, A_l \}\) respectivament.

Aleshores \[V(x) = \frac{1}{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{m} S_j^2 \cdot n_j + \frac{1}{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{m} (\bar{x}_j - \bar{x}_T)^2 \cdot n_j = M(V) + V(M) = S_\omega^2 + S_b^2\], amb \(V(x)=\) intravariància + intervariància. La suma de la variància interna dels grups \((S_\omega^2)\) ponderada pel nombre d'observacions en cada grup i la variància entre els grups \((S_b^2)\).

Calculis la variància de i entre dos conjunts de dades: \(A = \{ 7, 9, 11 \}\) i \(B = \{ 11, 14, 15, 17 \}\)

---

Amb R:

---

S’observa que la variabilitat és major entre grups que dins del grup i que la variància total és igual a la intervariància més la intravariància —sense tenir en compte els arrodoniments—.

Teorema de Chebyshev

Pafnuti Lvóvitx Txebixov (1821 - 1894), matemàtic rus —el seu nom apareix transliterat també com Chebychev, Chebyshov, Tchebycheff o Tschebyscheff— ens planteja la seva famosa desigualtat. Sigui una variable aleatòria amb esperança i variància finites. Aleshores, donat un \(h > 0\), es verifica \[P(|X - E(X)| \geq h) \leq \frac{\text{Var}(X)}{h^2}\], desigualtat que ens proporciona una acotació de la probabilitat de desviació d’una variable aleatòria respecte la seva esperança matemàtica. Proporciona una acotació del percentatge d’una mostra que es troba a una certa distància de la mitjana.

Per a \(k > 1\), dins l’interval \(\bar{x} \pm k\sigma\) es troba, almenys, el \((1- \frac{1}{k^2})\) % de la mostra. La desigualtat de Chebyshev relaciona la mitjana amb la variància, segons l’expressió \[f(|x_i - \bar{x}| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2}\]

La freqüència relativa del nombre de dades al voltant de la mitjana \(k\) vegades la desviació típica és sempre major o igual que \((1 - \frac{1}{k^2})\). En aquest sentit, la desigualtat de Chebyshev representa una justificació teòrica del caràcter de mesura de la dispersió de la desviació típica.

Un exemple d’aplicació es dona en les analítiques de sang, on s’indiquen els intervals adequats per a cada factor analitzat. Suposem-ne tres valors —majors que 1— de \(k\).

On \((|x_i - x| < k\sigma)\) representa les dades \(x_i\) dins l’interval \((\bar{x} - k\sigma,\ ,\bar{x} + k\sigma)\) de manera que almenys el 75 % de les dades —per exemple— és dins l’interval \((\bar{x} - 2\sigma,\ ,\bar{x} + 2\sigma)\). El que ens indica en definitiva la desigualtat de Chebyshev és que qualsevol variable agrupa les seves dades al voltant de la mitjana conforme a aquesta desigualtat. Les dades es concentren al voltant de la mitjana segons el % corresponent en relació a la desviació típica de la mostra.

Donada una distribució de mitjana \(\bar{x} = 25\) i \(\sigma = 4\), quin percentatge de les dades garanteix l’interval \((13,\ 37)\)?

L’interval garanteix la presència en el seu interior d’almenys el 88.8 % de les dades. Donat que \((13,\ 37) = (\bar{x} - 3\sigma,\ \bar{x} + 3\sigma)\), segons el teorema de Chebyshev, \(1 - \frac{1}{3^2}) = 0.\bar{8}\).

En un anàlisi de salut —realitzat en una escola de primària— es constata que el pes mitjà d’un grup de 50 alumnes és de 45 kg amb una desviació típica de 6 kg. Un alumne en concret pesa 3 kg menys que la mitjana. Es pot afirmar que l’alumne és massa prim?

Al ser \(\bar{x} = 45\) i \(\sigma = 6\), en l’interval \((\bar{x} - 3\sigma,\ ,\bar{x} + 3\sigma) = (27,\ 63)\) hi ha el 88.88 % de les dades. Només pesant 3 kg menys que la mitjana, no es pot afirmar que l’alumne en qüestió és massa prim. Seria massa prim si pesés menys de 27 kg —el que seria 18 kg menys de la mitjana—.

Es mesura la concentració de lactat en sang arterial —en mil·limols per litre— de 6 persones joves. La mesura s’efectua abans de realitzar un exercici controlat, en quatre moments durant l’exercici i en altres quatre moments durant el període de recuperació. Es registren els resultats en una taula.

Trobis els intervals al 75 % per a \(k = 2\). [Adaptació de l’exemple, MA. Mirás i E. Sánchez, 2018, p.33]

---

Amb R:

---

S’observa que —almenys— el 75 % té un nivell de lactat en repòs dins l’interval \((0.48\ \text{–}\ 1.01)\); als 5’ d’iniciar l’exercici dins l’interval \((3.09\ \text{–}\ 8.12)\); ··· ; i als 65’ de recuperació dins l’interval \((0.45\ \text{–}\ 1.18)\).

Models de distribucions discretes de probabilitat

Distribució uniforme discreta

Si una variable aleatòria \(X\) pren \(n\) valors \(\{x_1, x_2, \cdots, x_n \}\) amb la mateixa probabilitat, es diu que segueix una distribució uniforme discreta de paràmetre \(n\), on \(n = \{1, 2, \cdots \}\).

Per exemple, a l’experiment aleatori de llençar un dau perfecte de sis cares, amb \(n = 6\). La funció de probabilitat, amb \(i = \{1, 2, \cdots, 6 \}\), és \(f_x (x_i) = \frac{1}{n}\) i la funció de distribució \[F(x_k) = P(X \leq x_k) = \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{n} = \frac{k}{n}\]

Si \(X\) és una variable aleatòria uniforme sobre el conjunt \(\{x_1, x_2, \cdots, x_n \}\), amb \(X\) discreta, direm que segueix una distribució uniforme discreta \(X \sim \mathcal{U}(\{x_1, x_2, \cdots, x_n \})\) o també \(X \sim \mathcal{U}(n)\).

És una distribució teòrica —de molt poca utilitat pràctica—. En la realitat quasi mai s’observa exactament. Sempre hi ha una variabilitat aleatòria i el que s’observa és la distribució empírica de freqüències i no la distribució de probabilitat. Habitualment hi ha una diferència entre els valors esperats i el valors observats. Les principals característiques d’aquesta distribució són: \[\begin{aligned} &E(X) = \mu = \frac{n + 1}{2} \\ &Var(X) = \sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12} \end{aligned} \]

La distribució uniforme discreta apareix —per exemple— en els errors d’arrodoniment. Si les xifres del 0 al 9 són uniformement distribuïdes s’acomplirà que: \[ \begin{aligned} &E(X) = \mu = \frac{n + 1}{2} = \frac{10 + 1}{2} = 5.5 \\ &Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{10^2 - 1}{12} = 8.25 \end{aligned} \]

Sigui \(X \sim \mathcal{U}(6)\) la distribució uniforme que recull els resultats del llançament d’un dau de sis cares. Aleshores,

1. Calculis la probabilitat d’obtenir un 5.
2. Calculis la probabilitat d’obtenir un resultat menor o igual a 5.
3. Representis gràficament les funcions de densitat i distribució de probabilitat.

---

Amb R:

---

Distribució de Bernoulli

Sigui \(A\) un esdeveniment de probabilitat \(p\). Es diu aleshores que una variable aleatòria \(X\) és de Bernoulli —o dicotòmica— si: \[ \begin{aligned} &X(\omega) = 0, \ \text{si } \omega \notin A \\ &X(\omega) = 1, \ \text{si } \omega \in A \end{aligned} \]

La seva funció de densitat de probabilitat, amb \(x = \{0, 1\}\), és \(f(x) = p^x \cdot (1 - p)^(1 - x)\), a més \[ \begin{aligned} &f(1) = p \\ &f(0) = 1 - p = q \\ &E(X) = p \\ &Var(X) = p \cdot q \end{aligned} \]

Sigui \(X\) una variable aleatòria que mesura el nombre d'èxits. Es realitza un únic experiment amb dos únics possibles resultats —èxit o fracàs—. Aleshores la variable aleatòria \(X\) es distribueix com una distribució de Bernoulli \(X \sim \mathcal{Be}(p)\) de paràmetre \(p\).

Calculis la probabilitat de treure cara al llençar una moneda.

\[ X \sim Be(0.5), \text{ amb } \begin{cases} f(0) = P(X = 0) = 0.5^0 \cdot 0.5^1 = 0.5 \\ f(1) = P(X = 1) = 0.5^1 \cdot 0.5^0 = 0.5 \end{cases} \]

Distribució geomètrica

Es realitzen successives proves independents de Bernoulli amb la mateixa probabilitat \(p\) d’èxit. Es diu aleshores que la variable aleatòria \(X\) —que compta el nombre de fracassos abans del primer èxit— segueix una distribució geomètrica \(X \sim \mathcal{Geo}(p)\) de paràmetre \(p\), amb \((0 < p \leq 1)\).

La seva funció de densitat de probabilitat, amb \(k = \{0, 1, 2, \cdots\}\) és \(f_x(k) = P(X = k) = (1 - p)^{k} \cdot p\). La seva funció de distribució de probabilitat, amb \(x = \{0, 1, 2, \cdots\}\) és \[P(x \leq x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{x} p \cdot (1 - p)^k = 1 - (1 - p)^{x + 1}\], la probabilitat acumulada d'una distribució geomètrica. A més \[ \begin{aligned} &E(X) = \frac{1 - p}{p} \\ &Var(X) = \frac{1 - p}{p^2} \end{aligned} \]

Si es considera la variable aleatòria \(Y\) —que compta el nombre de repeticions de l’experiment fins al primer èxit— es diu que segueix una distribució geomètrica modificada de paràmetre \(p\) —amb \((0 < p \leq 1)\)— i funció de densitat de probabilitat —amb \(k = \{0, 1, 2, \cdots \}\)— \[f_Y(k) = P(Y = k) = (1 - p)^k \cdot p\]

A més \[\begin{align*} &E(X) = \frac{1}{p} \\ &Var(X) = \frac{1 - p}{p^2} \end{align*} \]

La distribució geomètrica satisfà una propietat important, anomenada falta de memòria o oblit. Si \(X \sim \mathcal{~Geo}(p)\), aleshores, \(P(X \geq m + n \mid X \geq m) = P(X \geq n)\), per a qualsevol \(m, n \in \mathcal{N}_0 \text{ i } p \in (0, 1]\). Propietat que caracteritza la distribució geomètrica d’entre les distribucions discretes que prenen valors enters no negatius.

Significa que si ja s’han realitzat \((m)\) repeticions de la prova de Bernoulli i no s’ha obtingut el succés èxit —per tant l’experiment no ha finalitzat i \(X \geq m\)— la probabilitat de que es realitzin almenys altres \((n)\) repeticions sense aconseguir-ho —amb \((m + n)\) repeticions— és la mateixa que la de realitzar almenys \((n)\) repeticions sense èxit. Les repeticions anteriors no compten i s’obliden.

Distribució binomial

Sigui \(A\) un esdeveniment de probabilitat \(p\). Es consideren \((n)\) proves independents —en cadascuna de les quals pot o no presentar-se l’esdeveniment \(A\)—. Es pot interpretar la binomial com la suma de \((n)\) variables de Bernoulli independents: \(X = X_1 + \cdots + X_n\), on \(X_i\) val 1 o 0 segons si \(A\) s’ha presentat o no a la prova \((i)\).

Únicament hi ha —a cada prova— dos resultats possibles, mútuament excloents, com, per exemple, el llançament d’una moneda.

Sigui \(X\) el nombre de vegades en que es presenta \(A\), amb valors de 0 a \(n\). La seva funció de densitat de probabilitat —amb \(k = \{0, 1, 2, \cdots ,n \}\)— és \[f(k) = P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]

Es diu que \(X\) segueix la distribució —o llei binomial— \(X \sim \mathcal{B}(n,p)\) de paràmetres \(n\) i \(p\).

A més \[\begin{align*} &E(X) = n \cdot p \\ &Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) \end{align*} \]

Exemples de binomials o experiències de Bernoulli:

• En una bossa hi ha boles blanques, blaves i vermelles. Traiem una bola i mirem si és blanca. L'esdeveniment A podria ser \(\{ \text{"treure bola blanca"}\}\).
• En un referèndum —amb possibles respostes Sí o No— l'esdeveniment \(A\) podria ser \(\{\text{"que surti Sí"} \}\).

La distribució binomial és una distribució asimètrica que es va fent més simètrica a mesura que \(p\) s’aproxima a 0.5 o va augmentant \(n\). De manera que es pot aproximar la distribució binomial, de paràmetres \(n\) i \(p\) a la distribució normal \(\mathcal{N}(np,\ np(1-p))\) —quan \(n\) és gran \((n \geq 30)\) i \(p\) no és massa petita \((p \geq 0.1)\)—.

Una determinada malaltia vírica té una incidència sobre la població d’un 10 %. S’aplica a 10 individus un determinat test antigènic que té una especificitat d’un 75 % i una sensibilitat del 80 %. Calculis la probabilitat de que exactament 4 individus donin positiu al test.

[Adaptació de l’exemple, MA. Mirás i E. Sánchez, 2018, p.163]

Es consideren els esdeveniments:

• \( M = \{ \text{"l’individu està malalt"} \}\)
• \(\text{"+"} = \{ \text{"el test dona positiu"}\}\)
• \(\text{"-"} = \{ \text{"el test dona negatiu"}\}\)

Aleshores, segons l’enunciat,

• \(P(M) = 10% = 0.10\). Un 10 % de malalts a la població.
• Per l'especificitat del test: \(1 - P(\text{"+"} \mid M^c) = 0.75 \implies P(\text{"+"} \mid M^c) = 0.25\). Un 25 % de falsos positius.
• Per la sensibilitat del test: \(1 - P(\text{"-"} \mid M) = 0.80 \implies (\text{"-"} \mid M) = 0.20\). Un 20 % de falsos negatius.

Sigui \(X\) la variable aleatòria que recull el nombre de positius del test. \(X\) segueix una distribució binomial \(X \sim \mathcal{B}(10, p)\), amb \(p\) la probabilitat de que el test sigui positiu. Per tant: \[\begin{align*} &p = P(\text{"+"}) = P(M) \cdot P(\text{"+"} \mid M) + P(M^c) \cdot P(\text{"+"} \mid M^c) \\ &p = 0.1 \cdot 0.8 + 0.9 \cdot 0.25 = 0.305 \\ &P(X = 4) = \binom{10}{4} \cdot 0.305^4 \cdot 0.695^6 = 0.2047988 \end{align*} \].

---

Amb R:

---

Distribució binomial negativa

La distribució binomial negativa és una distribució de probabilitat discreta que inclou la distribució de Pascal. Ampliació de la distribució geomètrica utilitzada en processos en els quals es precisa de la repetició d’assaigs fins aconseguir un nombre de casos favorables —un primer èxit—. Es realitzen successius experiments independents de Bernoulli amb la mateixa probabilitat d’èxit \(p\). La variable aleatòria \(X\) —que compta el nombre de fracassos abans del \(r\)-èsim èxit— segueix una distribució binomial negativa de paràmetres \(r\) i \(p\) —el que es representa com \(X \sim \mathcal{BN}(r, p)\)—. Si \(r = 1\) la distribució binomial negativa coincideix amb la distribució geomètrica.

El seu nom li ve del fet que la seva funció de densitat de probabilitat és equivalent a la d’una binomial però prenent el nombre combinatori en negatiu: \[ \begin{align*} &f_X(k) = P(X = k) = - \binom{-r}{k} \cdot (1 - p)^k \cdot p^r \\ &f_X(k) = P(X = k) = \binom{k + r - 1}{k} \cdot (1 - p)^k \cdot p^r \end{align*}\]

Amb \[ \begin{align*} &k = \{0, 1, \cdots, i \} \\ &r = \{ 1, 2, \cdots, i \} \\ &(0 < p \leq 1) \end{align*}\]

I, a més \[ \begin{align*}&E(X) = \frac{r(1 - p)}{p} \\ &Var(X) = \frac{r(1 - p)}{p^2} \end{align*}\]

Si es considera la variable aleatòria \(Y\) —que compta el nombre de repeticions fins a aconseguir el \(r\)-èsim èxit— aquesta variable segueix una distribució binomial negativa modificada de paràmetres \(r\) i \(p\). La seva funció de densitat de probabilitat és \[f_Y(k) = P(Y = k) = \binom{k-1}{r-1} (1 - p)^{k-r} \cdot p^r \] Amb \[ \begin{align*} &k = \{0, 1, \cdots, i \} \\ &r = \{ 1, 2, \cdots, i \} \\ &(0 < p \leq 1) \end{align*}\] I, a més \[ \begin{align*}&E(X) = \frac{r}{p} \\ &Var(X) = \frac{r(1 - p)}{p^2} \end{align*}\]

Un entomòleg desitja capturar un exemplar d’una papallona de l’espècie Cybosia mesomella que es troba en un percentatge del 2 %. Calculis la probabilitat de capturar 5 papallones d’altra espècie abans de trobar dos exemplars de Cybosia mesomella.

[Adaptació de l’exemple, C. M. Cuadras, 2016, Vol.1, p.119]

Segons l’enunciat, \(r = 2 \quad p = 0.02 \quad k = 5\), amb \(X \sim \mathcal{BN}(2, 0.02)\). Per tant: \[P(X = k) = \binom{k + r - 1}{k} \cdot (1 - p)^k \cdot p^r = \binom{5 + 2 - 1}{5} \cdot (1 - 0.02)^5 \cdot 0.02^2 = 0.00216941\]

---

Amb R:

---

La probabilitat de capturar 5 papallones d’altra espècie abans de trobar dos exemplars de Cybosia mesomella és aproximadament del 0.22 %.

Distribució multinomial

La distribució multinomial és una generalització de la distribució binomial. Siguin \(\{A_1, A_2, \cdots , A_k \}\) esdeveniments mútuament excloents —de probabilitat \(\{p_1, p_2, \cdots ,p_k \}\) respectivament— amb \(\displaystyle\sum_{i=1}^{k} p_i = 1\)

Es consideren n proves independents, amb \(f_i = \{ \text{"nombre de vegades que es presenta"} A_i\}\), amb \(\displaystyle\sum_{i=1}^{k} f_i = n\)

La \(k\)-pla —o vector— \(f_i = (f_1, f_2, \cdots ,f_k)\) segueix una distribució multinomial \(X \sim M(n, p_i )\) de paràmetres \(n\) i \(p\), amb \(p_i = (p_1, p_2, \cdots , p_k)\) i funció de densitat de probabilitat \[f(f_1, \cdots, f_k) = \frac{n!}{f_1! \cdot f_2! \cdot \cdots \cdot f_k!} \cdot p_1^{f_1} \cdot \cdots \cdot p_k^{f_k}\]

Si \(k = 2\), la distribució multinomial coincideix amb la distribució binomial, on \(f_1 = A\) i \(f_2 = A^c\).

A més: \[ \begin{align*} &E(X_i) = n \cdot p_i \\ &Var(X_i) = n \cdot p_i \cdot (1 - p_i) \end{align*}\]

A la taula següent es mostren les probabilitats dels diferents grups sanguinis del sistema ABO, amb Rh⁺, a les Illes Balears, l’any 2021.

[Font: Banc de Sang i Teixits de les Illes Balears][ Adaptació de l’exemple, MA. Mirás i E. Sánchez, 2018, p.171]

Es seleccionen aleatòriament 10 individus Rh⁺ i independents, entre la població. Quina probabilitat hi ha de que 4 siguin A⁺ i 6 siguin O⁺?

Sigui \(X = (X_1, X_2, X_3, X_4)\) el vector aleatori de components les variables aleatòries que comptabilitzen el nombre d’individus d’entre els 10 que són dels grups A⁺, B⁺, AB⁺, O⁺ respectivament. Aleshores \[ \begin{align*} &X \sim \mathcal{M}(10, 0.46, 0.07, 0.04, 0.43) \\ &P(X = (4, 0, 0, 6)) = \frac{10!}{4!6!} \cdot 0.46^4 \cdot 0.43^6 = 0.05943761232 \end{align*}\]

---

Amb R:

dmultinom(c(4,0,0,6),10,c(0.46,0.07,0.04,0.43)) = 0.05943761

---

La probabilitat de que 4 siguin A⁺ i 6 siguin O⁺ és aproximadament del 6 %.

Distribució hipergeomètrica

La distribució hipergeomètrica descriu el nombre d'èxits en una seqüència de \(n\) extraccions d'una població finita sense reposició —el cas contrari de la distribució binomial— que descriu el nombre d'èxits d'extraccions amb reposició. Ens permet calcular la probabilitat de que tinguem \(k\) èxits extraient \(n\) boles sense reposició.

Suposem una urna amb \(N\) boles de les quals \(m\) són blanques i la resta, \((N - m)\) negres. S’extreuen \(n\) boles sense reposició. La probabilitat de tenir \(k\) èxits extraient \(n\) boles blanques del total de les \(N\) boles de l’urna es detalla en la següent taula.

La funció de densitat de probabilitat del nombre \(k\) de boles blanques extretes és \[P(X = k) = f(k) = \frac{\binom{m}{k} \binom{N - m}{n - k}}{\binom{N}{n}} = \frac{\binom{n}{k} \binom{N - n}{m - k}}{\binom{N}{m}}\]

La variable aleatòria \(X\) segueix una distribució hipergeomètrica \(X \sim \mathcal{H}(N, m, n)\) de paràmetres \(N\), \(m\) i \(n\).

El 10% d’un determinat tipus de llavor no germina. D’un paquet de 1000 llavors n’elegim 500 llavors a l’atzar. Quina és la probabilitat de que germinin més de \(450\) d’aquestes llavors?

[Adaptació de l’exemple, MA. Mirás i E. Sánchez, 2018, p.162]

Sigui \(X\), la variable aleatòria que recull el nombre de llavors que germinen. Tenim \(X \sim \mathcal{H}(1000, 500, 0.90)\), amb \[P(X > 450) = P(X = 451) + P(X = 452) + \cdots + P(X = 499) + P(X = 500)\].

---

Amb R:

---

Segons l’enunciat, agafem 500 llavors del paquet amb 900 llavors bones i 100 dolentes. La probabilitat de que germinin més de 450 llavors és aproximadament del 45.81 %.

Distribució de Poisson

Una variable aleatòria discreta \(X\) —que pren valors \(\{0, 1, 2, \cdots ,n, \cdots \}\) amb probabilitat no nul·la— direm que segueix la distribució o llei de Poisson de paràmetre \(\lambda > 0\), \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\) si la seva funció de densitat de probabilitat —amb \( k = \{0, 1, 2, \cdots \}\)— és \[f(k) = P(X = k) = e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!}\], a més \(E(X) = Va(X) = \mu = \sigma^2 = \lambda\)

El paràmetre \(k\) representa el nombre d’esdeveniments realment observats. El paràmetre \(λ\) representa el nombre d’esdeveniments esperats o teòrics. Es pot calcular \(λ\) de tres maneres diferents:

• A partir de \(n\) i \(p\) coneguts.
• Com a valor terme mitjà de la variable.
• Estimat a partir de la mida d’una mostra de valors.

Si \(X_1\) i \(X_2\) són dues variables aleatòries de Poisson de paràmetres \(λ_1\) i \(λ_2\) respectivament, i independents, la variable suma \(X = X_1 + X_2\) segueix també una distribució de Poisson de paràmetre \(λ = λ_1 + λ_2\).

Si \(X\) és una variable aleatòria discreta que segueix una distribució binomial de paràmetres \(n\) i \(p\) —de manera que \(n \rightarrow \infty\), \(p \rightarrow 0\) i el producte \(n \cdot p \rightarrow λ > 0\)— es verifica \[\lim P(X_n = k) = \lim \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} = e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!}\] i la distribució binomial convergeix en llei a una distribució de Poisson de paràmetre \(λ\).

A la pràctica, s’aproxima la distribució binomial a la de Poisson quan \(n \geq 100\) i \(p < 0.05\), prenent com a paràmetre \(λ = n \cdot p\).

La distribució de Poisson és especialment indicada pels esdeveniments molt poc freqüents —amb \(n\) molt gran i \(p\) molt petita—.

Un determinat genotip té una freqüència d’un 1 %. Calculis la probabilitat de trobar exactament una persona amb aquest genotip en un grup de 300 persones.

\(n = 300\), \(p = 0.01\) i \(λ =n·p = 300 \cdot 0.01 = 3\). El nombre esperat de persones amb aquest genotip és 3. Se’ns demana la probabilitat de trobar-ne només 1: \[P(k = 1) = e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-3} \cdot \frac{3^1}{1!} = 0.1493612051 \]

La probabilitat de trobar exactament una persona amb aquest genotip en un grup de 300 persones és aproximadament del 15 %.

En una persona adulta sana, el valor mitjà dels basòfils en una analítica de sang és de 110 basòfils/μL. Quina és la probabilitat de que una analítica de sang en una persona sana contingui menys de 80 basòfils/μL?

[Adaptació de l’exemple, C. M. Cuadras, 2016, Vol.1, p.131]

Es pot considerar que es tracta d’una distribució de Poisson —en un volum determinat de sang podrien haver, en principi, un nombre molt gran de basòfils i la probabilitat de que un basòfil en particular hi sigui és molt petita— i estimar el valor de \(λ\) a partir del nombre mitjà de basòfils, amb \(λ = 110\) i \(P(x < 80) = \displaystyle\sum_{k=0}^{79} e^{-110} \cdot \frac{110^k}{k!}\).

---

Amb R:

---

La probabilitat de que una analítica de sang en una persona sana contingui menys de 80 basòfils/μL és aproximadament del 0.12 %.

Models de distribucions contínues de probabilitat

Distribució uniforme contínua

Una variable aleatòria \(X\) segueix una distribució uniforme contínua, o distribució rectangular, de paràmetres \(a\) i \(b\) —amb \(a \in \mathcal{R} \quad \text{i} \quad a < b\)— si la seva funció de densitat de probabilitat és \[f(x) = \begin{cases} 1\ /\ (b - a), & \text{si } a \leq x \leq b \\ 0, & \text{altrament.} \end{cases} \]

Una variable aleatòria \(x\) normalment distribuïda segueix —per exemple— una distribució aproximadament uniforme contínua dins l’interval \(\mu - \frac{\sigma}{3} < x < \mu + \frac{\sigma}{3}\)·

La seva funció de distribució de probabilitat acumulada és \[F(x) = P(X \leq x) = \frac{x - a}{b - a}\]

A més \[ \begin{align*} &E(X) = \mu = \int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b - a} \, dx = \frac{b + a}{2} \\ &E(X^2) = \int_{a}^{b} x^2 \cdot \frac{1}{b - a} \, dx = \frac{b^3 - a^3}{3(b - a)} \\ &Var(X) = \sigma^2 = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{b^3 - a^3}{3(b - a)} - \left(\frac{b + a}{2}\right)^2 = \frac{(b - a)^2}{12} \end{align*}\]

Amb les dues propietats següents:

1. Si \(X\) segueix una distribució uniforme contínua —de paràmetres \(a, b \in (-\infty, +\infty)\)— la variable \(Y = cX + d\) —amb \(c \neq 0\)— segueix també una distribució uniforme contínua dins l’interval \((ca + d,cb + d)\), si \(c > 0)\) o \((cb + d,ca + d)\), si \(c < 0\).
2. Si \(X\) segueix una distribució uniforme contínua —amb \(F_x\) estrictament creixent en el camp de variació de \(X\)— aleshores \(Y = F_x(X)\) segueix una distribució uniforme contínua dins l’interval \((0, 1)\).

La variable aleatòria \(X\) recull el temps d’espera, en minuts, d’un tren de mitja distància que surt regularment cada hora en punt. Calculis:

1. La probabilitat d’haver d’esperar més de 40 minuts.
2. La probabilitat d’haver d’esperar entre 25 i 30 minuts.
1. Tenim \(X \sim \mathcal{U}(0, 60)\), amb \(P(X > 40) = 1 - P(X \leq 40)\). La probabilitat d’haver d’esperar més de 40 minuts és aproximadament del 33 %.
2. S’ha de calcular \(P(X \leq 30) - P(X \leq 25)\). La probabilitat d’haver d’esperar entre 25 i 30 minuts és aproximadament del 83 %.

---

Amb R:

---

Distribució de Cauchy

La distribució de Cauchy va ser estudiada per Poisson (1824) ^[17] però és Cauchy (1853) ^[18] qui li aporta el seu nom. En l’àmbit de la física, es coneix com a distribució de Lorentz, funció Lorentziana o distribució de Breit-Wigner. Aquesta distribució depèn de dos paràmetres —representats també sovint com \(x_0\) i \(\gamma\), respectivament—:

• escala \((\mu)\), amb \(\mu > 0\)
• situació \((θ)\), amb \(-\infty \theta < +\infty\)

Si \(X\) és una variable aleatòria que segueix una distribució de Cauchy de paràmetres \(\mu\) i \(\theta\) escriurem \(X \sim C(\mu, \theta)\). La seva funció de densitat de probabilitat —amb \(x \in \mathcal{R}\)— és \[f(x)=\mu/π·1/(\mu^2+(x-θ)^2 ) \]

En particular —si \(\mu = 1\) i \(\theta = 0\)— es té la distribució de Cauchy estàndard \(X \sim C(1, 0)\) ^[19]. Amb funció de densitat \[f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{1 + x^2}\]

En aquest cas, la distribució de Cauchy segueix una distribució \(t\) de Student amb 1 g.l. Donat que \[\int x f(x) \, dx = \int \frac{1}{\pi(1 + x^2)} \, dx = \frac{1}{2\pi} \ln(1 + x^2) + k\] i que \[\int_{-\infty}^{+\infty} |x| f(x) \, dx\] no és convergent, la variable \(X\) no té esperança ni variància i la distribució no té moments, asimetria o curtosis. A més, la funció de densitat és simètrica respecte a \(\theta\).

En efecte, en el cas més general \[\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = +\infty\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = +\infty\] d’on resulta \[\int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = +\infty \quad -\infty\] i, per tant, no existeix \(E(X)\).

La moda i la mediana, en canvi, sí que són ben definides i ambdues iguals a \(\theta\).

Comparant els gràfics de la funció de densitat de probabilitat d'una distribució de Cauchy amb el d'una distribució normal de mitjana \(\theta\) i variància \(\mu^2\) s’observa que són molt semblants però quan \(x \rightarrow +\infty\) o \(x \rightarrow -\infty\) la distribució de Cauchy convergeix més lentament a zero —recordem que \(\theta\) és el paràmetre situació i \(\mu\) el paràmetre escala—.

La distribució de Cauchy va ser utilitzada per Benoît Mandelbrot (1924 - 2010), matemàtic de la geometria fractal, i explicada en el seu llibre "The Misbehavior of Markets: A Fractal View of Financial Turbulence", com un atzar salvatge dels mercats financers en front del dòcil atzar gaussià, a través de la metàfora d’un arquer cec que apunta —en qualsevol direcció— a una diana en un mur infinitament llarg. Sovint la fletxa apunta molt lluny de la diana, a \(+\infty\) o a \(-\infty\), el que fa impossible el càlcul de qualsevol mitjana (Mandelbrot i Hudson, 2006).

Simulis una distribució de Cauchy amb 10000 elements.

---

Amb R:

---

Distribució exponencial

Es diu que una variable aleatòria \(X\) s’ajusta a una distribució exponencial de paràmetre \(\lambda > 0\) —i s’escriu \(X \sim \mathcal{E}(\lambda)\)— quan les seves funcions de densitat i de distribució de probabilitat són de la forma \[\begin{align*} &f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, & \text{si } x \geq 0 \\ &f(x) = 0, & \text{si } x < 0 \\ &F(x) = P(X \leq x) = \int_0^x \lambda e^{-\lambda x} \, dx = 1 - e^{-\lambda x}, & \text{si } x \geq 0 \\ &F(x) = 0, & \text{si } x < 0 \end{align*} \] A més \[\begin{align*} &E(X) = \frac{1}{\lambda} \\ &Var(X) = \frac{1}{\lambda^2} \end{align*} \]

La distribució exponencial satisfà una propietat important, anomenada falta de memòria o oblit. Si \(X\) és una variable aleatòria amb distribució exponencial \[P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t), \text{amb } s, t = \{0, 1, \dots\}\]

Suposem que \(X\) representa el temps —mesurat en segons— que un sistema funciona fins que s'espatlla. Suposem que el sistema és en funcionament després de \(s\) segons. Aleshores, la probabilitat de que funcioni després de \(t\) segons més —la probabilitat a l'esquerra a la fórmula anterior— és la mateixa que si el sistema comencés a funcionar de nou —la probabilitat de la dreta a la fórmula anterior—. Aquesta propietat fa que la distribució exponencial sigui un bon model per al temps de vida —o durada— d'un sistema que no envelleix. Suposem una nau espacial que porta 3 anys a l'espai. La probabilitat de que xoqui amb un meteorit el proper any és exactament la mateixa que si la nau sortís en aquest moment de la terra. Això és degut al fet que el xoc amb un meteorit és tan purament accidental que no importa el temps que es porti viatjant, només que encara s’està viatjant.

Realment —a la natura— no hi ha fenòmens sense envelliment però, durant un cert període, molts sistemes —per exemple els electrònics— gaudeixen d'aquesta propietat. La distribució exponencial s’utilitza també sovint per analitzar el temps de vida dels microorganismes.

Sigui la variable aleatòria \(T\) que recull els dies de vida d’un bacteri de l’espècie Staphylococcus aureus, amb \(T \sim \mathcal{E}(0.003)\). Calculis l’esperança de vida del bacteri i la probabilitat de que visqui més de 360 dies.

\((E(T) = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{0.003} = 333.3\) dies. L’esperança de vida del bacteri és aproximadament de 334 dies. \[P(T > 360) = 1 - P(T \leq 360) = e^{-360 \cdot \frac{3}{1000}}\]

---

Amb R:

1 - pexp(360,0.003) = 0.3395955

---

La probabilitat de que visqui més de 360 dies és aproximadament del 34 %.

Un determinat fenomen natural cíclic succeeix —per terme mitjà— cada 15 minuts i s’ajusta a una distribució exponencial. Quina és la probabilitat d’haver d’esperar-se més de 20 minuts per a observar-lo.

Sigui \(X\) la variable aleatòria que recull el temps d’espera. Segons l’enunciat, \(E(X) = 15\), per tant \(\lambda = \frac{1}{15}\). \[P(X > 20) = 1 - P(X \leq 20)\]

---

Amb R:

1 - pexp(20, rate=1/15) = 0.2635971

---

La probabilitat d’haver d’esperar-se més de 20 minuts és aproximadament del 26 %.

Distribució Weibull

La distribució Weibull és una generalització del model exponencial que s’utilitza habitualment per a modelar el temps de vida d’un ésser viu, la vida útil d’un component tecnològic, la dispersió de les senyals de radar, ..., en meteorologia i, en general, en els anàlisis de confiabilitat —el temps de fallada—. Aquesta distribució va ser descrita per Maurice Fréchet (1878-1973), matemàtic francès, l’any 1927. Aplicada per primer cop per Rosin i Rammler (1933). ^[20] i desenvolupada per Ernst Hjalmar Waloddi Weibull (1887 - 1979), enginyer i matemàtic suec, l’any 1951, a qui li deu el nom.

És condicionada per tres paràmetres: \(\alpha\) —el paràmetre de forma—, \(\beta\) —el paràmetre d’escala— i \(\mu\) —el paràmetre de localització—, amb \(\alpha, \beta > 0\) i \( \mu \geq 0\).

La distribució exponencial i la distribució normal poden considerar-se com a casos particulars de la distribució de Weibull. Si \(\alpha <1\), la distribució de Weibull té forma de "J" invertida; si \(\alpha = 1\), coincideix amb la distribució exponencial; i si \(\alpha > 1\), s’aproxima a la distribució normal.

Formalment, una variable aleatòria \(X\) segueix una distribució de Weibull —i escrivim, \(X \sim \mathcal{W}(\alpha, \beta, \mu)\)— si la seva funció general de densitat de probabilitat —amb \(\alpha, \beta >0\) i \(x \geq \mu\)— es calcula com \[f(x) = \frac{\alpha}{\beta} \left( \frac{x - \mu}{\beta} \right)^{(\alpha - 1)} e^{-\left( \frac{x - \mu}{\beta} \right)^{\alpha}}\]

En particular, si \(\mu = 0\), es té la distribució estàndard \[f(x) = \frac{\alpha}{\beta} \left( \frac{x}{\beta} \right)^{\alpha - 1} e^{-\left( \frac{x}{\beta} \right)^{\alpha}}\]

[Nota: Habitualment es fan els canvis de variable: \(\gamma = \frac{1}{\beta}\) i \(\lambda = e^{-\frac{x}{\beta}}\) resultant, per exemple, \(f(x) = \alpha \gamma (x \gamma)^{\alpha - 1} \lambda^{\alpha}\) amb les funcions equivalents \[\begin{align*} &f(x)= \alpha \beta^{-\alpha} x^{(\alpha-1)} e^{(-\frac{x}{\beta})^\alpha} \\ &f(x)=\alpha x^{-1} \left(\frac{x}{\beta}\right)^\alpha e^{(-\frac{x}{\beta})^\alpha} \end{align*} \] i, si \(\beta =1\), \[f(x) = a x^{(\alpha - 1)} e^{-x^{\alpha}}\]

Vegem gràficament les diferents formes de la distribució Weibull.

---

Amb R:

---

La seva funció de distribució, amb \(x \geq 0\), ^[21]ve donada per \[ F(x) = P(X \leq x) = \int_{0}^{x} f(x) \, dx = 1 - e^{-\left( \frac{x}{\beta} \right)^\alpha}\], a més —amb \(\Gamma\) la funció gamma— \[\begin{align*} &E(X) = \beta \cdot \Gamma \left( 1 + \frac{1}{\alpha} \right) \\ &Var(X) = \beta^2 \left[ \Gamma \left( 1 + \frac{2}{\alpha} \right) - \left( \Gamma \left( 1 + \frac{1}{\alpha} \right) \right)^2 \right] \end{align*}\]

Una distribució de Weibull \(T \sim \mathcal{W}(\alpha, \beta)\) es pot caracteritzar també per la taxa o raó de fallada \((t_o)\). Si \(t_o > 0\), tenim que \[\text{Taxa}(t_0) = \frac{f(t_0)}{1 - F(t_0)} = a \cdot \beta \cdot t_0^{(\beta - 1)}\]

• Si \(β < 1\). La taxa de fallades és decreixent amb el temps amb \(T \sim \mathcal{W}(\alpha, \beta)\). És la fase infantil. Les fallades es deuen als errors de disseny.
• Si \(β = 1\). \(\text{Taxa}(t_0 ) = \alpha\) amb \(T \sim \mathcal{E}(\alpha)\). La taxa de fallades es manté constant amb el temps i les fallades es deuen als accidents. És la fase madura.
• Si \(β > 1\). La taxa de fallades és creixent amb el temps amb \(T \sim \mathcal{W}(\alpha, \beta)\). És la fase envellida.

L’evolució de la taxa de fallades es representa així, en el temps, en forma de corba de banyera.

La variable aleatòria \(X\) recull la vida, en milers d’hores, d’un component electrònic. Se sap que \(X \sim \mathcal{W}(2, 3)\). Calculis \(E(X)\) i \(Var(X)\) i la probabilitat de que el component tingui una vida útil de més de 3000 hores.

S'utilitzaran les expressions: \[\begin{align*} &E(X) = \beta \cdot \Gamma \left( 1 + \frac{1}{\alpha} \right) \\ &Var(X) = \beta^2 \left[ \Gamma \left( 1 + \frac{2}{\alpha} \right) - \left( \Gamma \left( 1 + \frac{1}{\alpha} \right) \right)^2 \right] \end{align*}\] i la funció pweibull de R per calcular-hi la probabilitat demanada.

---

Amb R:

---

La variable \(X\) recull la vida mitjana, en anys, d’un determinat component electrònic que segueix una distribució de Weibull de paràmetres \(\alpha = 0.01\) i \(\beta = 2\). Calculis la probabilitat de fallada abans dels 5 anys d’us.

\( \begin{align*} &P(x \leq 5) = F(5) = 1 - e^{-\left(\frac{x}{\beta}\right)^\alpha} = 1 - e^{-\left(\frac{5}{2}\right)^{0.01}} \approx 0.6354914 \\ &P(x \leq 5) = 1 - P(x > 5) \end{align*} \)

---

Amb R:

---

La probabilitat de fallada abans dels 5 anys d’us és aproximadament del 64 %.

[Amb Microsoft Excel: DISTR.WEIBULL(5;0.01;2;VERDADERO)]

Es disposa de les dades de la velocitat màxima del vent observades a l’estació meteorològica de l’Institut Europa de l’Hospitalet de Llobregat, entre les dates 01/07/2008 a 30/06/2021. [https://ins-europa.org/meteo/network/]. Calculis la probabilitat d’una velocitat del vent superior a 40 km/h.

Es calculen els paràmetres de forma i escala pel mètode de Blischke-Scheuer (Horst Rinne-2020).

---

Amb R:

---

La probabilitat d’una velocitat màxima del vent superior a 40 km/h és inferior al 1 %.

Distribució gamma

Es diu que una variable aleatòria \(X\) segueix una distribució gamma de paràmetres \(\alpha, \lambda \in \mathcal{N}\) —\(X \sim \mathcal{\Gamma}(\alpha, \lambda)\)— quan la seva funció de densitat —amb \( \geq 0\)— ve donada per \[f(x) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} e^{-\lambda x} x^{(\alpha - 1)}\]

La distribució gamma és relacionada amb la distribució de Poisson i amb la distribució exponencial. S’utilitza sovint per analitzar temps de vida. Donada una distribució de Poisson de paràmetre \(\lambda\) —si \(T\) és una variable aleatòria que segueix una distribució gamma— ens proporcionarà el temps d’espera fins que es produeixi l’esdeveniment \(\alpha\)-èsim. Quan \(\alpha = 1\) la distribució gamma coincideix amb l’exponencial. Amb \[\begin{align*} &E(T) = \alpha \cdot \beta \\ &Var(T) = \alpha \cdot \beta^2 \end{align*} \]

Si \(\alpha\) és un enter positiu la distribució gamma és també nomenada distribució d’Erlang. El nombre d’esdeveniments aleatoris independents que esdevenen en un interval específic de temps és una variable de Poisson —amb una freqüència constant d’ocurrència igual a \(\lambda = \frac{1}{\beta}\)— [Arroyo, Bravo, 2014].

A més \[\begin{align*} &E(T) = \frac{\alpha}{\lambda} \\ &Var(T) = \frac{\alpha}{\lambda^2} \end{align*} \]

Si \(\alpha > 30\), \(X \sim \mathcal{\Gamma}(\alpha, \lambda) \approx X \sim \mathcal{N}\left(\frac{\alpha}{\lambda}, \sqrt{\frac{\alpha}{\lambda^2}}\right)\)·

Vegem gràficament les diferents formes de la distribució Gamma.

---

Amb R:

En un observatori d’aus migratòries l’albirament d’un espècimen d’una determinada espècie d’au segueix una distribució de Poisson amb 10 albiraments per hora de mitjana. Calculis la probabilitat d’albirar-ne 4 espècimens en 30 minuts.

Sigui \(X\) la variable aleatòria que recull els albiraments. Es pot calcular amb la distribució de Poisson o bé amb la distribució gamma. Considerant \(X \sim \mathcal{P}(5)\) es té que \(P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3) \approx 74\) %

---

Amb R:

La probabilitat d’albirar-ne 4 espècimens en 30 minuts és aproximadament del 74 %, en tots dos plantejaments.

Anàlisi de supervivència i confiabilitat

Anàlisi de supervivència

L’anàlisi de supervivència és una tècnica estadística molt utilitzada en medicina —el temps fins a una defunció, el símptoma o malaltia determinats, la fallada d’una pròtesi, ... — (Time-to-event data) i en la indústria en general per a determinar la vida útil d’un component. En aquests casos la variable d’interès és el temps fins l’esdeveniment. Variable que es converteix en la variable resposta al combinar-se els dos elements a investigar:

• Si s’ha produït o no el desenllaç esperat (1, 0).
• El temps transcorregut des de l’inici de l’observació fins al desenllaç esperat —la variable quantitativa—.

El desenllaç esperat ha de ser —en tot cas— un esdeveniment únic i irrepetible [La mort, la fallada total, ...]. El principal problema d’aquest tipus d’anàlisi és la presència d’objectes censurats ["Censored"]. Amb temps d’observació incomplerts. Es tracta dels casos en que no ha estat possible el seguiment del cas fins a l’esdeveniment esperat. Ja sigui per abandó —lost to follow-up— o per ser retirats per part de l’investigador —withdrawals—. L’estudi d’un objecte en particular finalitza, doncs, per tres causes possibles:

1. S’ha produït l’esdeveniment esperat.
2. Ha finalitzat l’estudi sense que s’hagi produït l’esdeveniment.
3. L’objecte d’estudi se’n surt de l’estudi —ja sigui voluntàriament o per causa major aliena a la investigació—.

En els casos 2 i 3 es diu que l’objecte subjecte d’estudi és censurat estadísticament —més endavant s’expliquen els diferents tipus de censura estadística—. Daniel Bernoulli (1766) ja va utilitzar dades censurades al estudiar la mortalitat de la verola i l’efectivitat de la seva vacuna. ^[22]

En el cas d’haver dades censurades els principals mètodes estadístics —i en particular el de Kaplan-Meier— suposen que si no s’hagués censurat el seu comportament hauria estat estadísticament similar al de la resta dels objectes de l’estudi. D’aquesta manera, l’ús estadístic de les dades censurades no resta informació a l’estudi [Censura no informativa]. El fet de saber que un objecte determinat és retirat de l’estudi abans de produir-se l’esdeveniment esperat no ofereix cap informació addicional sobre el seu pronòstic. És diu que la censura és no informativa —al no estar relacionada en absolut amb el pronòstic final—.

En general es pressuposa —a més— que tots els objectes participants en l’estudi són estadísticament homogenis —independentment del seu moment d’entrada a l’estudi— sempre i quan no es modifiquin les condicions de l’estudi —bàsicament els mètodes de diagnòstic o de detecció de fallades—.

En cas de no existir dades censurades es poden utilitzar mètodes estadístics més senzills.

Anàlisi de confiabilitat

Molt relacionat amb l’anàlisi de supervivència tenim l'anàlisi de la confiabilitat. És d'esperar que un determinat procés o producte comercial acompleixi les seves especificacions de qualitat i garantia de manera confiable durant el temps indicat al adquirir-lo. Es pot definir la confiabilitat com la probabilitat de que un producte o servei funcioni de manera satisfactòria, segons el seu objectiu, durant el temps preestablert al adquirir-lo —el període de garantia—. Si el producte deixa de funcionar o no ho fa segons les seves especificacions es diu que hi ha una fallada. Es defineix temps de fallada com “el temps que transcorre fins que hi ha una fallada”. Es defineix vida del producte com “el nombre d'unitats de mesura —temps, cicles, distància, unitats fabricades, ...— de l'objectiu del producte avaluat”. En un estudi de confiabilitat s’avaluen bàsicament els següents aspectes:

1. El quantil \(p\), el temps \(t_p\) en el que es preveu la fallada d’una proporció \(p\) dels productes —es determina el temps de garantia—.
2. Passat \(t_p\) s'espera la supervivència en la proporció \(1 – p\) dels productes.
3. El temps en que el producte comença a fallar sovint —el temps de manteniment, revisió o substitució del producte—.
4. La probabilitat de supervivència en un temps \(t\) addicional.
5. La comparació de diferents materials, proveïdors, dissenys, ... [augment de la confiabilitat].

El temps de fallada és la característica de més interès en un estudi de confiabilitat. És un valor no negatiu que sol tenir un comportament asimètric amb biaix positiu. S'ajusta bé a les distribucions de Weibull, lognormal, exponencial i gamma. No és possible determinar un temps de vida o de fallada exactes. S’estimen bàsicament els quantils de la població en estudi.

Funcions bàsiques en confiabilitat són:

• La funció de densitat contínua \[f(t) \geq 0, \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, dt = 1, \, \text{amb} \, -\infty < t < +\infty\] L’àrea sota la corba indica la probabilitat de fallada entre els dos valors de la integral. Significa que —amb infinits casos— sempre hi haurà fallades.
• La funció de confiabilitat, de distribució exponencial, \(C(t) = e^{-\lambda \cdot t}\). Calcula la probabilitat de supervivència al temps \(t\).
• La funció de risc. Un cop calculada la probabilitat anterior —sobreviure al temps \(t\)— es calcula la probabilitat de fallada just a l’instant següent. En la distribució exponencial el risc és constant; en la distribució de Weibull pot ser decreixent, creixent o constant; en la distribució gamma és constant; la distribució log-normal s’utilitza per a modelar riscos de fallada en processos de fatiga i desgast.
• La funció de risc acumulat. Calcula la probabilitat acumulada de fallada fins al temps \(t\). Si el temps tendeix a infinit també ho fa el risc acumulat. A la llarga tot acaba fallant.

Tests d’estrès i objectes censurats

Per tal d’obtenir dades és necessari realitzar tests —sovint en el laboratori— per tal d'observar fallades en el producte. És necessari accelerar-ne el temps de deteriorament del producte —les condicions d'estrès— per tal de no haver d'esperar mesos o anys per a obtenir-ne resultats. Posteriorment s'extrapolen els resultats a les condicions ambientals normals d'us. Els objectes subjectes d’estudi que no han fallat al finalitzar el test en el temps \(t_l\) —el temps límit del test— són censurats per la dreta. Aquest tipus de censura pot ser [Gutiérrez i De La Vara, 2013]:

• De tipus I. La més habitual. Es poden conèixer els temps de fallada inferiors a \(t_l\). Els objectes subjectes a estudi que encara no hagin fallat al finalitzar el test són registrats com a censurats per la dreta i únicament podem saber que el seu temps de vida és superior a \(t_l\).
• De tipus II. El test finalitza quan un determinat nombre \(r\) dels \(n\) objectes en estudi falla. Dels \((n - r)\) objectes restants només podem saber que el seu temps de fallada és superior a \(t_r\), el temps del \(r\)-èsim objecte fallat.

Els objectes subjectes d’estudi fallats abans d’un temps d’inspecció \(t_i\) es diu que són censurats per l'esquerra. Únicament podem saber d’ells que varen fallar abans de \(t_i\) però no exactament quan.

De vegades no és possible una inspecció contínua i es plantegen determinats intervals de temps d’inspecció \(i_n\), amb \(n = \{1, 2, \cdots \}\). Els objectes subjectes d’estudi fallats durant un cert interval de temps \(i_k\), es diu que són censurats per interval i únicament sabem d’ells que el seu temps de fallada és dins \(i_k\).

Es parla de censura múltiple quan —en un mateix estudi— es disposa de diferents tipus de temps de censura. Pot ocórrer quan algun dels objectes subjectes d’estudi fallen per raons alienes al test o quan en l’estudi hi entren objectes en temps diferents i l’estudi finalitza quan encara n’hi ha objectes sense fallar.

El temps de supervivència \(T\) —en anys— d’una determinada espècie d’insecte es modela segons una distribució de Weibull de paràmetres \( \lambda = 1.8 \quad \text{i} \quad \beta = 1\). Calculis la probabilitat de que un insecte d’aquesta espècie visqui més d’un any.

Utilitzem \[P(T > 1) = e^{-\left(\frac{t}{\beta}\right)^\alpha} = e^{-\left(\frac{1}{1}\right)^{1.8}} = e^{-1} = 0.3678794412 \approx 37\ \text{%}\]

---

Amb R:

pweibull(1, 1.8, 1, lower.tail=FALSE) = 0.3678794

La probabilitat de que un d’aquests insectes visqui més d’un any és aproximadament del 37 %.

Descripció de la supervivència. Kaplan-Meier i Nelson-Aalen.

El mètode de Kaplan-Meier és un mètode no paramètric. No pressuposa cap distribució particular de les dades i no utilitza paràmetres —mitjana, desviació típica, etc.—. És necessari, però, que la censura no sigui informativa. És a dir, que si els objectes censurats subjectes a estudi no ho hagueren estat s’haurien comportat exactament igual —des del punt de vista estadístic— que la resta objecte de seguiment fins a la fi de l’estudi. És bàsic, doncs, que la censura no sigui relacionada amb el pronòstic potencial.

Tots els objectes participants en un estudi de supervivència s’han de considerar homogenis i perfectament comparables. El criteri de classificació i entrada a l’estudi ha de ser el mateix per a tots i els mètodes d’anàlisi han de ser homologables durant tota la duració de l’estudi [En cas contrari es produiria un biaix en els resultats conegut com a fenomen de Will Rogers].

El mètode de Kaplan-Meier precisa —com a mínim— de dues columnes de dades per a cada participant en l’estudi comparatiu:

• el temps d’observació.
• l’estat del participant al final del seguiment:
• Un 1 si han estat censurats —encara segueixen vius i són censurats—.
• Un 0 si han mort —amb fallada—.

Les dades són ordenades —segons el temps de seguiment— en ordre ascendent.

La probabilitat de sobreviure fins a un temps \(t\) es calcula com \[S_t = \prod \frac{S_i}{n_i}\], on \(s_i\) representa els supervivents en el temps \(i\) i \(n_i\) els qui són en risc de fallada en el temps \(t_i\).

L’estimador expressa, doncs, una funció que varia en el temps i no un únic valor. La supervivència és diferent per a cada temps \(t\).

El resultat és una gràfica de supervivència amb el temps a les abscisses i la probabilitat de la supervivència a les ordenades. Comença a l’angle superior esquerra amb una probabilitat 1 de supervivència i va baixant escalonadament cap a la dreta a mesura que es van produint les fallades. Si el temps més llarg es correspon a objectes que no han fallat es deixa al final una línia horitzontal.

L’estimador de Nelson-Aalen és un estimador no paramètric de la taxa instantània acumulada —hazard— de presentar-se l’esdeveniment en estudi. En un determinat temps \(t\) el hazard seria el quocient entre els objectes en estudi que presenten el desenllaç esperat —la fallada— i el nombre en risc de fallar en l’instant \(t\). El hazard acumulat és la suma continuada dels hazard individuals fins a \(t\) \[\hat{H}_t = \sum_{t_i \leq t} \frac{d_i}{n_i} \]

Es disposa de les dades —en anys— d’un estudi de supervivència sobre una determinada malaltia: \( \{4, 4, 6^+, 6^+, 6^+, 6^+, 6, 7, 7, 9, 9, 12, 14\}\). El signe \(+\) representa que el subjecte ha estat censurat. Es vol representar la corba de Kaplan-Meier.

---

Amb R:

La columna survival ens indica els valors de la funció de supervivència. Es mostren també els errors estàndard i els intervals de confiança al 95 % [Els valors poden variar lleugerament amb altres paquets estadístics].

---

Amb R:

La mediana del temps de supervivència és de 9 anys [no la supervivència mediana, que seria igual a 6] —el valor 0.5 de supervivència talla la gràfica en l’abscissa dels 9 anys——. Queden encara 4 subjectes en risc —n.risk = 4—. La supervivència global acumulada és ara \(\leq 50\) %.

Les dades censurades actuen disminuint el denominador dels quocients \( \frac{s_i}{n_i}\) el que provoca que el següent salt sigui de major magnitud. S’aplica Fleming-Harrington —ctype=2— amb cumulative hazard —stype=2—.

---

Amb R:

Es disposa de les dades censurades resultants d’un test de fiabilitat d’un petit component ^[23]. A les dades es registren el nombre de cicles completats per a vint unitats i el temps de fallada per a cada unitat. El test finalitza als 500 cicles, amb 10 unitats encara en funcionament. Calculis l’estimador de màxima versemblança (MLE)

 

Els resultats del test varen ser: \(\{55, 187, 216, 240, 244, 335, 361, 373, 375, 386, 500^+, 500^+, 500^+, 500^+, 500^+, 500^+, 500^+, 500^+, 500^+, 500^+ \}\). El signe \(+\) indica que el valor és censurat.

[Notesa: A R una censura = 1 indica fallada; Les censures són de tipus I, censurat per la dreta]

---

Amb R:

S’assumeix que els temps de fallada segueixen una distribució de Weibull i se’n calculen els paràmetres.

Es genera la corba de probabilitat acumulada segons una distribució de Weibull.

---

Amb R:

S’assumeix que els temps de fallada segueixen una distribució de Weibull i se’n calculen els paràmetres.

---

Amb R:

Es compara el model de Weibull amb el Lognormal. En la comparació, el valor inferior és el millor —s’observa que és el model de Weibull—.

---

Amb R:

En resum, els valors estimats són: \[\begin{aligned} &\hat{\eta} = 606.00500 \\ &\hat{\beta} = 1.72563 \\ &\hat{\mu} = \hat{\eta} \cdot \Gamma\left(1 + \frac{1}{\hat{\beta}}\right) = 540.175 \text{ cicles} \\ &\hat{\sigma} = \hat{\eta} \cdot \sqrt{\Gamma \left( 1 + \frac{2}{\hat{\beta}} \right) - \left( \Gamma \left( 1 + \frac{1}{\hat{\beta}} \right) \right)^2} = 322.647 \text{ cicles} \end{aligned} \]

Comparació de supervivència. Test de log-rank.

Quan es comparen dues o més corbes de supervivència, la hipòtesi nul·la suposa que els grups comparats presenten igual supervivència globalment —no hi ha diferències persistents—. El test de log-rank té en compte les diferents supervivències entre grups al llarg de tot el temps de seguiment —i no únicament a un nombre determinat d’anys, com es fa sovint, el que és erroni—. Modificant lleugerament les dades de l’exemple 54, es planteja la hipòtesi nul·la: \[H_0\ :\ \text{“tots els tractaments tenen igual supervivència”}\]

---

Amb R:

Com 0.03901971 < 0.05, es pot rebutjar \(H_0\). El tractament \(A\) proporciona una major supervivència.

Distribució normal

Ja va ser Abraham de Moivre (1667–1754) —a "Miscellanea Analytica" (1730)— qui va indicar que la suma d’una gran quantitat de variables aleatòries independents —arbitràriament distribuïdes— sempre segueixen una distribució aproximadament normal. La distribució d’aquesta suma és tant més normal quant major és el nombre de variables aleatòries i el teorema central del límit expressa quantitativament aquesta convergència. Aquest fet es dona en la majoria de les variables aleatòries observables en la natura. Determinades per la interacció de nombrosos factors independents. Com el pes, l’edat, el nivell de glucosa en sang, la tensió arterial, etc.

Sota aquestes circumstàncies, els valors més extrems de la variable tenen molt poca probabilitat d’observar-se en la realitat. És molt poc probable que molts factors independents es conjuminin en la mateixa direcció. Els valors centrals representen en canvi la mitjana de la interacció de tots els factors i, per tant, són molt més probables.

Formalment, es diu que una variable aleatòria \(X\), absolutament contínua, segueix una distribució o llei normal si les funcions de densitat i de distribució —amb \(x \in \mathcal{R}\)— són de la forma \[ \begin{aligned} &f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2} \\ &F(a) = P(X \leq a) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{a} e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2} dx \end{aligned} \]

Aquesta distribució teòrica no es dona mai en la natura. Només s’observa de manera aproximada i presenta les propietats següents:

1. La distribució normal depèn de dos paràmetres: \(E(X) = \mu\) i \(Var(X) = \sigma^2\), i s’explicita com \(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\).
2. La funció de densitat \(f\) és simètrica respecte la seva esperança matemàtica \((\bar{x} = \mu)\). És a dir: \(f(\mu - x) = f(\mu + x)\), \(\forall x \in \mathcal{R}\). Moda i mediana són iguals a la mitjana, \(\mu\).
3. La funció de densitat \(f\) té un màxim absolut en \(x = \mu\), amb \(f(\mu) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\)·
4. La funció de densitat \(f\) és estrictament convexa en els intervals \((-\infty, \mu - \sigma)\) i \((\mu + \sigma, +\infty)\), i estrictament còncava en l’interval \((\mu - \sigma, \mu + \sigma)\). \(\mu - \sigma\) i \(\mu + \sigma\) són punts d’inflexió de \(f\).
5. La funció de distribució \(F\) és estrictament creixent en \(\mathcal{R}\). Existeix la inversa \(F^{-1}\). Donat \(\alpha \in (0,1)\), \(a = F^{-1}(\alpha) \leftrightarrow \alpha = F(a)\).
6. Dins l’interval \((\mu - \sigma, \mu + \sigma)\) és compresa aproximadament el 68.26 % de la distribució.
7. Dins l’interval \((\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma)\) és compresa aproximadament el 95.44 % de la distribució.
8. Dins l’interval \((\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma)\) és compresa aproximadament el 99.74 % de la distribució.
9. Si \(X\) segueix una distribució \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) i \(a,b \in \mathcal{R}\) —amb \(a \neq 0\) —aleshores \((a \cdot X + b)\) segueix una distribució \(\mathcal{N}(a\mu + b ,a^2 \sigma^2)\).
10. Si \(X_1\) i \(X_2\) segueixen una distribució \(\mathcal{N}(\mu\mu_1, \sigma_1^2)\) i \(\mathcal{N}(\mu\mu_2, \sigma_2^2)\) i independents, aleshores \(Y = X_1 + X_2\) segueix també una distribució \(\mathcal{N}(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)\).
11. Si \(X_1\) i \(X_2\) segueixen una distribució \(\mathcal{N}(\mu\mu_1, \sigma_1^2)\) i \(\mathcal{N}(\mu\mu_2, \sigma_2^2)\) i independents, aleshores \(Y = X_1 - X_2\) segueix també una distribució \(\mathcal{N}(\mu_1 - \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)\).
12. Si \(X_1\) i \(X_2\) segueixen una distribució \(\mathcal{N}(\mu\mu_1, \sigma_1^2)\) i \(\mathcal{N}(\mu\mu_2, \sigma_2^2)\) i independents, aleshores \(Y = X_1 \cdot X_2\)no s’ha pogut demostrar encara que segueixi també una distribució normal.

Simulis una mostra de 100000 elements amb mitjana 0 i desviació típica 1.

---

Amb R:

S’observa que la simulació s’ajusta gairebé a la perfecció a una distribució normal estàndard.

Se sap que en una determinada població la variable \(X\) que recull el pes —en kg.— d’una persona segueix una distribució normal \(X \sim \mathcal{N}(60, 10)\). Calculis la probabilitat de que la suma dels pesos de 30 persones —elegides a l’atzar— superi els 1900 kg.

Sigui \(S\) la variable aleatòria que recull el pes de la suma dels 30 individus elegits a l’atzar. Amb \[S = \displaystyle\sum_{i=1}^{30} x_i\] aleshores, \[S \sim \mathcal{N} \left( 30 \cdot 60, \sqrt{30 \cdot 10} \right) = S \sim \mathcal{N}(1800, 54.77) \] per tant, \(P(S > 1900) = 1 - P(S \leq 1900)\)

---

Amb R:

1 - pnorm(1900, 1800, 54.77) = 0.03393891

La probabilitat de que la suma dels pesos de 30 persones, elegides a l’atzar, superi els 1900 kg és aproximadament del 3.4 %.

Distribució normal reduïda

Sigui \(X\) una variable aleatòria amb \(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)\). Es fa el canvi de variable \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\), i obtenim \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\), la distribució normal reduïda o estàndard, amb \( P(x_1 < X \leq x_2) = P(z_1 < Z \leq z_2)\). D’aquesta manera, qualsevol valor \(z \in \mathcal{Z}\) representa la seva desviació respecte la mitjana \((\mu)\) expressada com a nombre de desviacions estàndard \((\sigma)\).

La mitjana de la tensió arterial diastòlica, en una determinada població, s’estableix en 80 mmHg amb una desviació estàndard de 9 mmHg. Assumint que la tensió arterial diastòlica segueix una distribució normal, calculis la proporció de persones amb valors superiors a 89 mmHg.

Es tipifica \(z = \frac{x - \mu}{sigma} = \frac{89-80}{9} = 1\) d’on es desprèn que el valor de 89 mmHg correspon a \(+1\ \sigma\) per sobre de \(\mu\) i es pot trobar el valor de la seva probabilitat en la taula de la normal reduïda.

---

Amb R:

pnorm(1,0,1,lower.tail=FALSE) = 0.1586553

Per tant, aproximadament el 15.87 % de la població tindrà valors superiors a 89 mmHg.

[Observis que el 50 % de la població tindra el valor mitjà de 80 mmHg: pnorm(0,0,1,lower.tail=FALSE) = 0.5]

---

La distribució normal reduïda és l’única que està tabulada. Les taules més corrents de la normal reduïda són:

1. La taula acumulativa, on —per a un valor \(y\)— s’obté la probabilitat \(P(Y \leq y)\) —l’àrea a l’esquerra de Y—.
2. La d’intervals de confiança. Donat un valor de \(y\), s’obté el valor de les dues cues \(P(Y < -y) + P(Y > y)\).

Sovint —al analitzar els resultats d’un mostreig— es fa referència als intervals:

• (\(\mu \pm 1.96\ \sigma\)) o (\(y = \pm1.96\)), amb el 95 % de l’àrea total.
• (\(\mu \pm 2.58\ \sigma\)) o (\(y = \pm2.58\)), amb el 99 % de l’àrea total.
• (\(\mu \pm 3.29\ \sigma\)) o (\(y = \pm3.29\)), amb el 99.9 % de l’àrea total.

El límit de significació de la distribució normal centrada i reduïda és:

• en el cas d’un test bilateral \( \rightarrow qnorm(\frac{0.05}{2},0,1,lower.tail=FALSE) = 1.959964\)
• en el cas d’un test unilateral \(\rightarrow qnorm(0.05,0,1,lower.tail=FALSE) = 1.644854\)

Aquest límit (\(z_\alpha\) i \(z_\beta\)) s’utilitza per calcular el nombre d’observacions necessàries per determinar l’existència d’una verdadera diferència \((\delta)\) entre dues mitjanes. Amb mostres independents d’igual variància —procedents d’una població normal—: \[n = 2 \left( z_{\alpha} + z_{\beta} \right)^2 \left[ \frac{\sigma^2}{\delta^2} \right]\]

A la fórmula anterior s’ha d’especificar si —per a \(z_\alpha\)— es tracta d’un test unilateral o bilateral —\(z_\beta\) sempre es correspon al cas unilateral—. La diferència entre un test unilateral i un test bilateral s’explica més endavant en l’apartat “Contrast d’hipòtesis unilaterals i bilaterals”.

Calculis la mida de la mostra per a \(\delta = 1.1\), \(\alpha = 0.05\) (bilateral), \(\sigma^2 = 3.0\) i \(\beta = 0.10\).

Es calculen \(z_\alpha =z_{0.05;bilateral} = 1.959964\), i \(z_\beta =z_{0.10} = 1.281552\). Aleshores \(n = 2 \cdot (1.959964 + 1.281552)^2 \cdot \frac{3.0}{1.1^2} \approx 52.10292\)

---

Amb R:

Es necessita una mostra \(\pm\)53 observacions.

Aproximació de la binomial a la distribució normal

Segons el teorema de Laplace-De Moivre, si \(X_n\) segueix una distribució binomial de paràmetres \(n\) i \(p\) —fent tendir \(n\) a infinit i mantenint \(p\) constant— es verifica \[\displaystyle\lim_{n \to \infty} P\left( \lambda_1 < \frac{X_n - np}{\sqrt{npq}} \leq \lambda_2 \right) = P\left( \lambda_1 < Y \leq \lambda_2 \right)\], amb \(Y \sim \mathcal{N}(0,1)\). I es pot aproximar la distribució binomial —de paràmetres \(n\) i \(p\)— a la distribució normal \(\mathcal{N}(np, npq)\), sempre que \(n \geq 30\) i \(p \geq 0.1\).

Aproximació de la distribució de Poisson a la normal

Sigui \(X\) una variable aleatòria que segueix una distribució de Poisson de paràmetre \(\lambda\). Aleshores, es pot aproximar a una distribució \(\mathcal{N}(\lambda, \sqrt{\lambda})\), sempre que \(\lambda > 25\) —contra més gran sigui \(\lambda\) millor serà l’aproximació—.

Sigui \(X\) la variable aleatòria —amb distribució de Poisson— que recull el nombre de visites diàries d’una pàgina web. Amb un nombre mitjà de visites diàries \(\bar{x} = 100\). Calculis —per aproximació a la distribució normal— els casos següents:

1. La probabilitat de més de 110 visites en un dia.
2. La probabilitat de menys de 95 visites en un dia.
3. El nombre de visites diàries tal que la seva probabilitat excedeixi el valor sigui 0.01.

Segons l’enunciat, \(\lambda = 100\) —el valor de la mitjana de visites diàries—. Es demana l’aproximació a una distribució \(X \sim \mathcal{N}(\lambda,\sqrt{\lambda})\).

Es tipifica \(X\) \[z = \frac{x - \lambda}{\sqrt{\lambda}} = \frac{x - 100}{\sqrt{100}} = \frac{x - 100}{10}\]

a) La probabilitat de més de 110 visites en un dia.

Es calcula \(P(X > 110)\) amb \(X \sim \mathcal{P}(100)\).

Sigui \(z = \frac{110 - 100}{10} =1\), amb \(Z \sim \mathcal{N}(0, 1)\). Aleshores \(P(Z > 1) = 1 - P(Z < 1) = 0.1586553\)

1 - pnorm(1,0,1) = 0.1586553

A \(X \sim \mathcal{P}(100)\) s’observa que l’aproximació és prou acurada. \(P(X > 110) = 1 - P(X < 110) = 1 - P (X \leq 109) = 0.1705599\)

1 - ppois(109, 100, lower.tail=T) = 0.1705599

La probabilitat de més de 110 visites en un dia és aproximadament del 17.06 %.

b) La probabilitat de menys de 95 visites en un dia.

Es calcula \((P(X < 95)\) amb \(X \sim \mathcal{P}(100)\).

Sigui \(z = \frac{95 - 100}{10} = -0.5\), amb \(Z \sim \mathcal{N}(0, 1)\). Aleshores \(P(Z < -0.5) = 1 - P(Z < 0.5) = 0.3085375\)

1-pnorm(0.5,0,1) = 0.3085375

A \(X \sim \mathcal{P}(100)\) s’observa que l’aproximació és prou acurada.

\(P(X < 95) = P(X \leq 94) = 0.05753834\)

ppois(94,100,lower.tail=T) = 0.2951793

La probabilitat de menys de 95 visites en un dia és aproximadament del 29.52 %.

c) El nombre de visites diàries tal que la probabilitat d’excedir-ne el valor sigui 0.01.

Es calcula \(P(X > x) = 0.01\) —equivalent a \(P(X < x) = 0.99\)— amb \(X \sim \mathcal{P}(100)\).

Sigui \(z = \frac{x - 100}{10} \rightarrow x = 10z + 100\), amb\(Z \sim \mathcal{N}(0, 1)\).

Es calcula \(z\). \(P(Z < z) = 0.99 \rightarrow z = 2.326348\)

qnorm(0.99,0,1,lower.tail=TRUE) = 2.326348

qnorm(0.01,0,1,lower.tail=FALSE) = 2.326348

Es verifica, per tant, que 1 - pnorm(2.326348,0,1) = 0.009999997 ≈ 0.01

I, aleshores, \(x = 10 \cdot (2.326348) + 100 \approx 123\)

El nombre de visites diàries tal que la probabilitat d’excedir-ne el valor sigui 0.01 és 123.

Teorema central del límit

El teorema central del límit —també citat com a teorema del límit central— exposa que, si \(\{X_1, X_2, \cdots ,X_n \}\) són variables aleatòries independents, de mitjana i variància —amb \(i \in \{1, 2, \cdots ,n \}\)— \[E(X_i ) = m_i\] \[Var(X_i ) = \sigma_i^2\], l’esperança i la variància de la variable suma es calculen com \[E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \mu_i = \mu \] \[Var(X_1 + X_2 + \cdots + X_n ) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2 = \sigma^2 \] i —sota certes condicions generals— la variable suma reduïda \[z_n = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \mu_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2}}\] convergeix en llei a la distribució normal reduïda.

La funció de distribució \(F_n\) és tal que, \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} F_n(a) = F_Z(a), \, \forall a \in \mathcal{R}\) —amb \(F_z\) la funció de distribució d’una variable normal estàndard \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\)—.

D’aquest teorema se’n poden destacar els següents aspectes:

• Si una variable és suma d’altres variables, la mitjana de la suma és igual a la suma de les mitjanes.
• Quan els sumands són independents, la variància de la variable suma és igual a la suma de les variàncies dels sumands.
• Moltes variables aleatòries —com pesos, alçades, consums, etc.— segueixen una distribució normal. Cadascuna d’elles és suma d’un gran nombre de variables aleatòries independents. Un cas clar és l’alçada d’una persona, que depèn de molts factors —herència, alimentació, exercici físic, etc.—.
• Els errors aleatoris —presents en tota mesura— són també la suma de nombroses variables aleatòries —petits errors elementals independents, com vibracions, corrents d’aire, etc.— i segueixen també una distribució normal.
• La variable suma es distribueix normalment —al ser també el resultat de nombroses causes independents—. Galton va construir la màquina de sota —the bean machine— per a demostrar-ho experimentalment. La màquina consta d’un tauler vertical amb fileres de claus. Les boletes —els pèsols— cauen de la part superior. Reboten aleatòriament i es van dipositant —a mesura que cauen— dins les caselles inferiors. Formant una superfície en forma de campana.

• El teorema de Laplace-De Moivre és un cas particular del teorema central del límit. Una variable aleatòria binomial és suma de \(n\) variables aleatòries de Bernoulli independents. Una conseqüència important d’aquest teorema és que —si la mostra és prou gran, amb l’ideal \(n > 60\)— i s’ha extret de la població aleatòriament, encara que les característiques individuals de la població no segueixin una distribució normal, si que ho farà —aproximadament— la distribució de l’estimador mostral —la distribució dels estimadors calculats en mostres successives—. Com més gran sigui la mostra i com més mostres es calculin millor s’ajustarà l’estimador mostral a la distribució normal. Per exemple. Si s’extreuen aleatòriament 100 mostres de 40 individus cadascuna amb la mesura de la ferritina sèrica en µg/DL d’una determinada població, la mitjana de les mitjanes de totes les mostres serà un bon estimador poblacional i seguirà una distribució normal —amb un error estàndard igual a \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = S\)—.

Suposem el cas plantejat del valor de la ferritina sèrica en la població de Barcelona. Es simula una població de 1800000 persones amb valors de la ferritina sèrica compresos entre 10 i 240 µg/DL.

---

Amb R:

S’observa que la mitjana poblacional ha estat prou ben estimada. En canvi ha disminuït molt el valor de \(S\), igual a 10.3 en front de \(\sigma\), igual 66.4. Aquesta desviació correspon, segons el teorema central del límit, a l’error estàndard de la mitjana. L’error estàndard és igual a \(\frac{66.39449}{\sqrt{40}} \approx 10.5\). A prop dels 10.3 de la desviació estàndard de les mostres.

Distribució lognormal

La distribució lognormal és la que segueix una variable aleatòria amb el seu logaritme distribuït normalment. Formalment, una variable aleatòria positiva X segueix una distribució lognormal amb paràmetres \(\mu\) i \(\sigma\) \(X \sim \mathcal{LN}(\mu, \sigma^2)\) si el logaritme natural de \(X\) segueix una distribució normal de mitjana \(\mu\) i variància \(\sigma^2\) \( \rightarrow ln(X) \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\). El paràmetre \(\mu\) s’anomena d’escala i el paràmetre \(\sigma\) s’anomena de forma.

Les funcions de densitat i de distribució són de la forma \[f(x) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2} (\ln(x)-\mu)^2}\] amb \(x > 0\), i \[F(X) = \Phi\left( \frac{\ln x - \mu}{\sigma} \right)\], amb Φ la funció de distribució acumulada d’una distribució \(\mathcal{N}0,1)\).

La funció de distribució és estrictament creixent en \((0, +\infty)\). Existeix la funció inversa \(F^{-1}\) i donat \(\alpha \in (0, 1)\) \[a = F^{-1}(\alpha) > 0 \iff \alpha = F(a)\], amb \[ \begin{align*} &E[X] = e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}} \\ &Var(X) = \left( e^{\sigma^2} - 1 \right) \cdot e^{2\mu + \sigma^2} \end{align*} \].

A més, el moment \(k\) es calcula com \[e^{k\mu + \frac{k^2\sigma^2}{2}}\]

És una distribució especialment útil per a estudiar distribucions amb asimetria positiva —abundor d’espècies, concentracions de contaminants ambientals, períodes d’incubació, temps de supervivència, ... —. Una variable pot ser modelada com a lognormal si pot ser considerada com a producte multiplicatiu de molts petits factors independents —el que succeeix en molts fenòmens naturals i econòmics—. L’additivitat dels efectes porta a una distribució normal i la proporcionalitat dels efectes porta a una distribució lognormal.

La distribució lognormal, la mitjana geomètrica, i la desviació estàndard geomètrica hi són relacionades: la mitjana geomètrica és igual a \(exp(\mu)\) i la desviació estàndard geomètrica és igual a \(exp(\sigma)\). Aquest fet s’utilitza per a establir-hi intervals de confiança.

La variable aleatòria \(Y\) recull el valor de la renda anual en €. Es vol saber la proporció de la renda per sobre de 40000 € anuals per a un determinat sector econòmic amb distribució salarial —en milers d’euros— segons un model \(Y \sim \mathcal{LN}(2,1.2)\).

Sigui la variable aleatòria \(Y = \{\text{"renda anual en el sector econòmic en qüestió"}\} \). Es considera la variable aleatòria \(X\) tal que \(Y = e^X\). Aleshores, \(X \sim \mathcal{N}(2, 1.2)\). Per tant \[P(Y > 40) = P(e^X > 40) =P(X > ln\ ⁡40 ) = P(X > 3.69)\].

Tipificant les dades, es té \[\begin{align*} &P(X > 3.69) = P\left( Z = \frac{X - \mu}{\sigma} > \frac{3.69 - 2}{1.2} = 1.41 \right) \\ &P(Z > 1.41) = 1 - P(Z \leq 1.41) = 1 - 0.9207302 = 0.07926984 \end{align*}\]

1 - pnorm(1.41,0,1) = 0.07926984

Aproximadament un 7.93 % de la renda és per sobre de 40000 € anuals.

La supervivència, en anys —després d’una determinada intervenció quirúrgica, en una població determinada— segueix una distribució lognormal de paràmetres d’escala \(\mu = 2.32\) i forma \(\sigma = 0.20\).

• Calculis la probabilitat de sobreviure més de 12 anys.
• Representis la funció de distribució acumulada de la variable.

a) Calculis la probabilitat de sobreviure més de 12 anys.

El valor demanat és la cua de la dreta de la distribució.

pnorm(((log(12)-2.32)/0.2), 0, 1, lower.tail=FALSE) = 0.2048183

plnorm(12, 2.32, 0.2, lower.tail=FALSE) = 0.2048183

La probabilitat de supervivència als 12 anys és aproximadament del 20.48 %.

b) Representis la funció de distribució acumulada de la variable.

Es representa la funció de distribució acumulada de la variable.

---

Amb R:

---

Regressió i correlació lineal en dues variables

El terme regressió es deu a Galton. Com a genetista va estudiar la relació entre l’alçada de pares i fills i va observar que els fills de pares més alts que la mitjana poblacional tendien a ser més baixos que els seus pares —encara que seguien sent més alts que la mitjana—. Galton nomenà aquest fet com a regressió cap a la mediocritat, regression toward the mean, o regressió a la mitjana.

També va estudiar la distribució normal, la variància al voltant de la mitjana, la desviació estàndard i la distribució normal bivariada, amb la seva relació amb l’anàlisi de la regressió.

La regressió té per objectiu estimar el valor mitjà d’una variable —la variable dependent— en base als valors d’una o més variables addicionals —les variables explicatives—. Tant la regressió com la correlació suposen l’anàlisi simultani de dues o més variables respecte la seva covariància i interdependència. S’estudia com es correlacionen entre sí les variables.

A l’anàlisi de la regressió s’intenta descriure la dependència d’una variable quantitativa \(Y\) —la variable dependent o de resposta— en relació a una variable \(X\) —la variable independent, predictora o explicativa—.

En el fons hi ha sempre una intenció de demostrar una causalitat, d’explicació dels canvis de \(Y\) en funció dels canvis de \(X\). Aquesta causalitat és sovint intuïtiva i no demostrada per la pròpia correlació entre les variables —la relació matemàtica— i s’ha de fer posteriorment un bon estudi de la seva relació funcional abans de fer prediccions que tinguin sentit.

Covariància

Donades dues variables aleatòries \(X\) i \(Y\), i una mostra de \(n\) parells d’observacions \[X = \{ x_1, x_2, \cdots , x_n \}\] \[Y = \{ y_1, y_2, \cdots , y_n \}\], amb \[\begin{align*} &\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \\ &\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i \end{align*} \]

s’anomena covariància de la mostra a \[S_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \bar{x} \bar{y}\]

A més, donades dues variables aleatòries \(X\) i \(Y\), amb \[\bar{x} = E(X) \\ \bar{y} = E(Y)\], es defineix la covariància entre \(X\) i \(Y\) com \[Cov(X,Y) = E\left( (X - \overline{X})(Y - \overline{Y}) \right) = E\left( (X - E(X))(Y - E(Y)) \right)\]

Propietats de la covariància

1. \(Cov(X, Y) = E(X \cdot Y) – E(X) \cdot E(Y)\)
2. \(Cov(X, X) = Var(X)\)
3. \(Cov(X, Y) = Cov(Y, X)\)
4. \(Cov(aX, Y) = CovV(X, aY) = a \cdot Cov(X,Y)\)
5. \(Cov(X_1 + X_2, Y) = Cov(X_1, Y) + Cov(X_2, Y)\)
6. \(Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 \cdot Cov(X, Y)\)
7. \(Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) - 2 \cdot Cov(X, Y)\)
8. Si \(X\),\(Y\) són dues variables aleatòries independents, \(Cov(X, Y) = 0\). El recíproc —en general— no és cert.
9. Sí \(Cov(X, Y) \neq 0\) aleshores, les dues variables aleatòries són dependents i la covariància ens proporciona una mesura del seu grau de dependència.

Regressió lineal en dues variables

La correlació bivariada és una tècnica estadística destinada a comprovar:

1. Si dues variables aleatòries són relacionades entre sí;
2. el grau de la relació;
3. la direcció de la relació.

La correlació es basa en l’associació lineal: quan els valors d’una variable augmenten, els valors de l’altra variable poden augmentar o disminuir proporcionalment —per exemple, la relació entre la talla i el pes—. L’estimació lineal de \(Y\) a partir de \(X\) consisteix en trobar —per tot \(i = \{1, 2, \cdots ,n \}\)— dues constants \(\alpha\) i \(\beta\), de manera que \(y_i\) sigui proper a \(\overline{y}_i = \alpha x_i + \beta\)

\(\alpha\) i \(\beta\) es calculen pel mètode dels mínims quadrats, de manera que \[F = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( y_i - (\alpha x_i + \beta) \right)\] sigui mínim.

Resolent les equacions \[\begin{align*} &\frac{\delta F}{\delta \alpha} = 0 \\ &\frac{\delta F}{\delta \beta} = 0 \end{align*}\] s’obtenen \[\begin{align*} &\alpha_R = \frac{s_{xy}}{s_x^2} \\ &\beta_R = \overline{Y} - \alpha_R \cdot \overline{X} \end{align*} \]

Sent \[\begin{align*} &\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \\ &\overline{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i \\ &s_x^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \overline{X} \right)^2 \\ &s_y^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( y_i - \overline{Y} \right)^2 \\ &s_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot y_i - \overline{X} \cdot \overline{Y} \end{align*}\] —amb \(s_{xy}\) la covariància de la mostra—

S’obté així la recta de regressió de la \(Y\) sobre la \(X\): \(y = \alpha_R x + \beta_R\), que sol escriure’s en la forma \(y - \overline{y} = \frac{s_{xy}}{s_x^2} (x - \overline{x})\). Sent \(\beta_{21} = \alpha_R = \frac{s_{xy}}{s_x^2}\) el coeficient de regressió de la \(Y\) sobre la \(X\).

Anàlogament, podem estimar \(Y\) a partir de \(X\). Trobem dues constants \(c\) i \(d\), de manera que \(x_i\) sigui proper a \(c \cdot y_i + d\). S’obté així la recta de regressió de la \(X\) sobre la \(Y\) \[x - \overline{x} = \frac{s_{xy}}{s_y^2} (y - \overline{y})\] Sent \[\beta_{12} = \frac{s_{xy}}{s_y^2}\] el coeficient de regressió de la \(X\) sobre la \(Y\).

Propietats de la regressió lineal en dues variables

1. Les dues rectes de regressió es tallen en el punt \(\bar{X}, \bar{Y}\).
2. Si \(s_{xy} = 0\), les dues rectes són perpendiculars entre sí i paral·leles als eixos de coordinades.
3. La recta de regressió \( Y/X\) —la recta de regressió de la \(Y\) sobre la \(X\)&mfash;serveix per a estimar un valor \(y\) a partir d’un valor donat \(x\).
4. La recta de regressió \(X/Y\) —la recta de regressió de la \(X\) sobre la \(Y\)&mfash;serveix per a estimar un valor \(x\) a partir d’un valor donat \(y\).

Les dues rectes \(Y/X\) i \(X/Y\) són —en general— diferents i no s’han de confondre.

Correlació

Coeficient de correlació de Pearson

El coeficient de correlació de Pearson \((\rho)\) és una mesura paramètrica del grau d’interdependència lineal entre dues variables, pressuposant-ne una distribució normal. Fins a quin punt una d’elles pot considerar-se combinació lineal de l’altra. S’introdueix considerant la identitat fonamental \[\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \left( y_i - (\alpha_R x_i + \beta_R) \right)^2 = s_y^2 \left( 1 - \frac{s_{xy}^2}{s_x^2 s_y^2} \right) = s_y^2 (1 - \rho^2)\], amb \[\rho^2 = \frac{s_{xy}^2}{s_x^2 s_y^2}\], sent \[\rho = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\text{Var}(X) \cdot \text{Var}(Y)}}\] el coeficient de correlació de Pearson, i verificant-se \(0 < \rho^2 < 1\)

Interpretació:

• \(-1 \leq \rho < +1\), amb \(\rho\) del mateix signe que la covariància i que els coeficients de regressió.
• Si \(\rho = \pm 1\), la identitat fonamental és cero. Es verifica \(y_i = \alpha_R \cdot x_i + \beta_R\) —amb \(i = \{1, \cdots ,n \}\)—. Combinació lineal exacta de \(x\). Es diu que hi ha correlació total. Tots els punts \((x_i, y_i)\) són situats sobre les rectes de regressió, que coincideixen.
• Si \(\rho = 0\), la identitat fonamental pren el valor màxim. \(y_i\) difereix molt de l’estimació \(\alpha_R x_i + \beta_R\). Es diu aleshores que les variables són in-correlacionades. Dues variables independents són sempre in-correlacionades.
• Si \(0 < \rho <1\), la correlació és positiva. Al incrementar una variable augmenta també l’altra.
• Si \(-1 < \rho < 0\), la correlació és negativa. Al incrementar una variable disminueix l’altra.

El coeficient de correlació de Pearson és invariant davant transformacions lineals \(\rho(X,Y) = \rho(aX + b,cX + d)\), però no és invariant davant transformacions no lineals. Només serveix per veure si hi ha relació lineal. Per a mesurar la relació —no necessàriament lineal— entre dues variables s’utilitzen coeficients de correlació per rangs. Basats en diferents formes d’ordenar la mostra. Concretament:

• El coeficient de correlació per rangs d’Spearman.
• El coeficient de correlació per rangs de Kendall.

Coeficient de correlació per rangs d’Spearman

El coeficient de correlació per rangs d’Spearman \((\rho_S)\) entre dues variables aleatòries \(X\) i \(Y\) es defineix com el coeficient de Pearson entre les seves funcions de distribució \[\rho_S = \rho(F(X),F(Y))\]

Donada una mostra \(\{(X_1,Y_1),(X_2,Y_2), \cdots, (X_n,Y_n)\}\) es calculen els rangs \[\begin{align*} &{ R_1, R_2,···,R_n } de { X_1,X_2,···,X_(n ) } \\ &{ S_1,S_2,···,S_n } de { Y_1,Y_2,···,Y_n } \end{align*} \]

S’estima el coeficient d’Spearman per a \(\{(R_1,S_1),(R_2,S_2), \cdots ,(R_n,S_n)\}\) com \[\hat{\rho}_s = \frac{\sum_{i=1}^{n} (R_i - \overline{R})(S_i - \overline{S})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (R_i - \overline{R})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (S_i - \overline{S})^2}}\], \(\rho_S\) és una mesura no paramètrica de la dependència monòtona entre \(X\) i \(Y\).

Interpretació:

• Sempre pren valores dins \(-1 \leq \rho_S \leq 1\), si
• \(\rho_S \approx 1\), relació monòtona positiva —perfecta i creixent si \(\rho_S = 1)\)—;
• \(\rho_S \approx -1\), relació monòtona negativa —perfecta i decreixent si \(\rho_S = -1\)—;
• \(\rho_S \approx 0\), no hi ha relació monòtona.
• És invariant davant transformacions monòtones.
• \(X,(Y\) independents \( \implies \rho_S = 0\) . No té perquè certa la implicació inversa —\((X,Y)\) independents amb distribució normal bivariant \(\leftrightarrow \rho_S = 0\)—.

Donada la mostra \(\{(X_1,Y_1 ),(X_2,Y_2 ), \cdots ,(X_n,Y_n)\}\) —amb distribució conjunta, \(F(x,y)\), desconeguda i distribucions marginals,\(F_1(x)\) i \(F_2(y)\) —es vol contrastar si les variables \(X\) i \(Y\) són independents, és a dir \[\begin{align*} &H_0 : F(x, y) = F_1(x) \cdot F_2(y) \\ &H_1 : F(x, y) \neq F_1(x) \cdot F_2(y) \end{align*} \]

Es disposa de l’estadístic de contrast —sempre amb valors positius— \[S_p = \sum_{i=1}^{n} (R_i - S_i)^2\]

Aleshores \[\rho_s = 1 - \frac{6 \cdot S_p}{n \cdot (n^2 - 1)}\]

Coeficient de correlació per rangs de Kendall

Donades dues variables aleatòries \(X\) i \(Y\) es defineix el coeficient de correlació per rangs de Kendall \((\tau)\) com la diferencia entre la probabilitat de concordància i de discordància de qualsevol parell de parells \((X_1,Y_1)\) i \((X_2,Y_2)\) \[\tau = \left[ P \{ (X_2 - X_1)(Y_2 - Y_1) \} > 0 \right] - \left[ P \{ (X_2 - X_1)(Y_2 - Y_1) \} < 0 \right]\]

Donada la mostra \(\{(X_1, Y_1),(X_2,Y_2), \cdots, (X_n,Y_n)\}\), s’estima \(\tau\) com \[\hat{\tau} = \frac{n_c - n_d}{\binom{n}{2}} = \frac{n_c - n_d}{\frac{1}{2} \cdot n \cdot (n-1)}\], on \(n_c\) representa el nombre de parells concordants i \(n_d\) el de parells discordants.

Sent un parell \((X_i,Y_i ), (X_j,Y_j)\) es diu que el parell és

• concordant, si \((X_i < Y_i)\) i \((X_j < Y_j)\) o bé \((X_i > Y_i )\) i \((X_j > Y_j)\).
• discordant, si \((X_i < Y_i)\) i \((X_j > Y_j)\) o bé \((X_i > Y_i )\) i \((X_j < Y_j)\).
• En cas d’empats \((X_i = Y_i )\) o \((X_j = Y_j)\) la fórmula es complica força, amb diferents ajustos de càlcul, segons l’eina informàtica utilitzada —la \(\tau\) indicada al texte s’anomena habitualment \((τ_a)\), sense empats, altres possibles coeficients són \(\tau_b\) i \(\tau_c\), que els tenen en compte—.

La \(\tau\) (tau) de Kendall és una mesura no paramètrica de la dependència monòtona entre \(X\) i \(Y\).

Interpretació:

• Sempre pren valores dins \(-1 \leq \tau \leq 1\), si:
• \(\tau \approx 1\), relació monòtona positiva —perfecta i creixent si \(\tau = 1\)—;
• \(\tau \approx -1\), relació monòtona negativa —perfecta i creixent si \(\tau = -1\)—;
• \(\tau \approx 0\), no hi ha relació monòtona.
• És invariant davant transformacions monòtones.
• \(X, Y\) independents \(\implies \tau = 0\) . No té perquè certa la implicació inversa —\((X,Y)\) independents amb distribució normal bivariant \( \leftrightarrow \tau = 0\)—.

Donada la mostra \(\{(X_1,Y_1 ),(X_2,Y_2 ),\cdots,(X_n,Y_n)\}\) —amb distribució conjunta, \(F(x,y)\), desconeguda i distribucions marginals, \(F_1(x)\) i \(F_2(y)\)— es vol contrastar si les variables \(X\) i \(Y\) són independents, és a dir \[\begin{align*} &H_0 : F(x, y) = F_1(x) \cdot F_2(y) \\ &H_1 : F(x, y) \neq F_1(x) \cdot F_2(y) \end{align*} \]

Es disposa de l’estadístic de contrast \(n_c\) —sempre amb valors dins \([0, \infty)\)—. El seu càlcul manual és força enrevessat. Si \(n > 10\) es pot assumir una distribució \(\mathcal{N}(0,1)\) amb \[z = \frac{3 \tau \cdot \sqrt{n \cdot (n - 1)}}{\sqrt{2 \cdot (2n + 5)}}\]

Contrast d'independència

Formalment, es diu que dues variables aleatòries \(X\), \(Y\) són independents ssi \(\forall x \in X\) i \(\forall y \in Y\), \(P(X = x,Y =y) = P(X = x) \cdot P(Y = y)\), en cas contrari es diu que \(X\), \(Y\) són dependents.

El contrast d’independència és una forma de veure, de manera objectiva, com es relacionen entre sí les dues variables. Es pren una mostra aleatòria —transversal— de la població i es calcula un estadístic de contrast per tal de veure si les probabilitats conjuntes són iguales al producte de les probabilitats marginals per a cadascuna de les variables.

Es plantegen dues hipòtesis de l’estil de \[\begin{align*} &H_0: \text{“X i Y són independents”} \\ &H_1: \text{“X i Y no són independents”} \end{align*}\]

Contrast d'independència en variables quantitatives contínues

Es plantegen les dues hipòtesis \[\begin{align*} &H_0: \text{“la variable explicativa X no influeix en la resposta Y”} \\ &H_1: \text{“la variable explicativa X sí influeix, linealment, en la resposta Y”} \end{align*}\]

L’estadístic de contrast \[T = \hat{\rho} \cdot \sqrt{\frac{n - 2}{1 - \hat{\rho}^2}}\] —amb \(\rho\) ̂ el coeficient estimat de correlació de Pearson— es distribueix com una \(t\) de Student amb \((n-2)\) g.l. Permet contrastar \(H_0\) amb un nivell de significació \(\alpha = 0.05\). Es rebutja \(H_0\) si \(T \geq t_{α,n-2}\).

Es pretén analitzar la correlació entre la duració d’una determinada anestèsia i el despertar de la consciència com per a comptar cap enrere sense error a partir d’un nombre determinat. Es disposa de les dades següents —en minuts—

[Adaptació de l’exemple, Martín, Q. i Paz, Y. del R. (2007), p. 16]

Es volen contrastar les hipòtesis: \[\begin{align*} &H_0: \text{“la duració del despertar no és influïda per la duració de l’anestèsia”} \\ &H_1: \text{“la duració del despertar sí que és influïda per la duració de l’anestèsia”} \end{align*}\]

X <- c(150, 127, 160, 210, 250, 130, 60, 55)

Y <- c(13, 16, 21, 20, 16, 13, 12, 14)

cp = cor(Y,X) = 0.5622309

El valor del coeficient de correlació de Pearson (aprox. 0.56) és a mig camí entre 0 i 1 i no ens permet decidir res sobre el contrast. L’estadístic de contrast \(t\) ens permetrà avaluar \(H_0\), rebutjant-la si \(t \geq t_{\alpha,n-2}\)·

n = 8

t = cp*(sqrt((n-2)/(1-(cp^2)))) = 1.66531

Es calcula \(t_{\alpha,6}\)

qt(0.05/2,6,lower.tail=FALSE) = 2.446912

D’aquest valor es dedueix que no es pot rebutjar \(H_0\) amb \(\alpha = 0.05\), donat que \(t = 1.66531 < t_{\alpha,6}\)

---

Amb R:

La probabilitat \(p\) (\(p\)-value) de que les diferències observades siguin degudes exclusivament a l’atzar es coneix com a significació mostral de la hipòtesi nul·la. Si \(p > \alpha\) s’accepta \(H_0\), en cas contrari \((p \leq \alpha)\) s’accepta \(H_1\).

Com \(p\)-value \(= 0.1469 > 0.05\), no es pot rebutjar \(H_0\), amb \(\alpha = 0.05\) i hem d’acceptar que la duració del despertar no és influïda per la duració de l’anestèsia. Ambdues variables són independents i no es poden correlacionar.

Per tant no es poden ajustar les dades a la recta de regressió que ens indicaria el model \(y = 0.02803x + 11.62385\)

Es vol determinar si les notes de les assignatures següents són relacionades, utilitzant els diferents estadístics de Pearson, Spearman i Kendall.

Es pretén contrastar les hipòtesis: \[\begin{align*} &H_0: \text{“les notes de les dues assignatures no són relacionades”} \\ &H_1: \text{“les notes de les dues assignatures sí són relacionades”} \end{align*}\]

F <- c(6.00, 6.50, 7.50, 8.50, 9.25, 8.75)

Q <- c(8.00, 6.25, 6.75, 7.75, 8.75, 9.25)

Es calcula \(\rho\) de Pearson:

cp = cor(F,Q) = 0.6281193

Es calcula manualment l’estadístic de contrast de Pearson:

n = 6

t = cp*(sqrt((n-2)/(1-(cp^2)))) = 1.61446

cor.test(F, Q, method="pearson", use = "complete.obs") → t = 1.6145; p-value = 0.1817; cor = 0.6281193

Es calcula manualment l’estadístic \(\rho\)_S d’Spearman:

cor.test(F, Q, method="spearman", use = "complete.obs") → S = 14; p-value = 0.2417; rho = 0.6

Es calcula manualment la \(\tau\) ̂ de Kendall:

Es calculen els rangs de \(F\) i de \(Q\), amb \(F\) ordenat de menor a major.

Si \(R_F > R_Q\) el rang és concordant \((+)\); Si \(R_F \leq R_Q\) el rang és discordant \((-)\).

Com no hi ha empats, apliquem la fórmula general amb \(n < 10\): \[\hat{\tau} = \frac{n_c - n_d}{\binom{n}{2}} = \frac{11 - 4}{\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (6 - 1)} = \frac{7}{15} = \mathbf{0.467}\]

library(Kendall)

summary(Kendall(F,Q)) → Score = 7; Var(Score) = 28.33333; denominator = 15; tau = 0.467; 2-sided pvalue =0.25966

En els tres casos \(p\)-value \(> 0.05\) i no es pot rebutjar \(H_0\) amb \(\alpha = 0.05\). S’ha d’acceptar que les dues notes no són relacionades.

Contrast d'independència en variables qualitatives contínues

Es plantegen les hipòtesis \[\begin{align*} &H_0: \text{“la proporció de cadascuna de les modalitats de la variable A és la mateixa per a cadascuna de les modalitats de la variable B”} \\ &H_1: \text{“la proporció de cadascuna de les modalitats de la variable A és diferent per a alguna de les modalitats de la variable B”} \end{align*}\]

En aquest cas —si s’acompleix \(H_0\)— l’estadístic de contrast \[U = \displaystyle\sum_{i=1}^{k} \displaystyle\sum_{j=1}^{m} \frac{(n_{ij} - e_{ij})^2}{e_{ij}}\] es distribueix com una \(chi^2\) amb \((k - 1)(m - 1)\) g.l.

Si \(U \geq \chi^2_{\alpha, (k-1)(m-1)}\) es rebutja \(H_0\). Amb:

• \(A = A_1, A_2, \cdots ,A_k\)
• \(B = B_1, B_2, \cdots ,B_m\)
• \(n_{i_j}\), el nombre de cops que es dona simultàniament \(A_i\) i \(B_j\).
• \(n_i{_.}\), el total de la \(i\)-èsima fila de la variable \(A\).
• \(n_.{_j}\), el total de la \(j\)-èsima columna de la variable \(B\).
• \(e_{i_j} = \frac{n_i{_.} \cdot n_.{_j}}{n}\), les freqüències observades.

Es mesura la diferència entre els valors observats i els valors esperats d’\(A\) i de \(B\), tal com es pot observar a la següent taula —per a poder realitzar aquest test, les freqüències esperades han de ser sempre majors o iguals a 5—:

Es pretén estudiar la possible relació entre les variables: color de la pell i color del cabell. Es disposa d’una mostra de 100 individus amb els resultats següents:

Es contrasten les hipòtesis: \[\begin{align*} &H_0: \text{“el color del cabell és independent del color de la pell”} \\ &H_1: \text{“el color del cabell depèn del color de la pell”} \end{align*}\]

Si les dues variables fossin independents seria d’esperar —respecte al color del cabell— una proporció de 60 i 40 % respectivament per a cadascuna d’elles. Els valors esperats serien:

Es calcula manualment l’estadístic de contrast.

U = (25-21)^2/21 + (25-24)^2/24 + (10-15)^2/15 + (10-14)^2/14 + (15-16)^2/16 + (15-10)^2/10 = 6.1757

Calculem la \(\chi^2\), amb \(\alpha = 0.05\):

qchisq(0.05,2,lower.tail=FALSE) = 5.991465

Aleshores, com \(U = 6.1757 \geq \chi^2 = 5.991465\), es rebutja \(H_0\). El color de la pell i el color del cabell són relacionats, amb \(\alpha = 0.05\).

Es pot també calcular com a taula de contingència:

---

Amb R:

---

Com \(p\)-value \(< 0.05\), es rebutja \(H_0\). Observis també que \(X\)-squared \(= 6.1756 = U\).

Variància residual

Si es resta de la variable \(Y\) la part deguda a la variable \(X\) d’acord amb la regressió lineal \[\tilde{y}_i = y_i - (\alpha_R x_i + \beta_R)\] —amb \(i =1, 2, \cdots ,n\)— es demostra aleshores que la variància de \(Y\) ̃ és \[s_{\tilde{Y}}^2 = s_Y^2 (1 - r^2)\], amb \(r^2\) la part de la variabilitat —en tant per 1— de la variable \(Y\) deguda a la variable \(X\).

S’anomena error típic del valor estimat \(y\) ̃ a \(s_Y\), la desviació típica de \(\tilde{Y}\).

Generalització a variables aleatòries

Es disposa de dues variables aleatòries \(X\) i \(Y\) i es desitja trobar dues constants \(\alpha\) i \(\beta\) de manera que \(Y\) coincideixi al màxim amb \((\alpha \cdot X + \beta)\).

S’aplica el criteri dels mínims quadrats \[E\left[ \left( Y - (\alpha X + \beta) \right)^2 \right] = \text{mínim}\]

S’obté:

• La recta de regressió \(Y/X\) \[Y - E(Y) = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\text{Var}(X)} \cdot (X - E(X))\]
• La recta de regressió \(X/Y\) \[X - E(X) = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\text{Var}(Y)} \cdot (Y - E(Y))\]
• La identitat fonamental \[E\left[ \left( Y - (\alpha_R X + \beta_R) \right)^2 \right] = \text{Var}(Y) \cdot (1 - \rho^2)\]
• El coeficient de correlació poblacional —no confondre amb la correlació \(r\) d’una mostra— \[\rho = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)} \cdot \sqrt{\text{Var}(Y)}}\]
• La variància residual \[\begin{align*} &\tilde{Y} = Y - \alpha_R X + \beta_R \\ &\text{Var}(\tilde{Y}) = \text{Var}(Y)(1 - \rho^2) \end{align*}\]

Regressió no lineal. Corba de regressió de la mitjana

De vegades, una recta és poc adequada per ajustar una variable \(X\) a altra variable \(Y\). Es pot assajar aleshores una funció polinòmica, exponencial, etc. El més interesant, però, és determinar-ne una funció \(y = g(x)\) de manera que entre totes les corbes possibles \(E[(Y - g(X))^2] = \text{mínim}\).

Es demostra que la corba que verifica aquesta propietat és \(y = E(Y \mid X = x)\), anomenada corba de regressió de la mitjana de \(Y/X\), amb \[E(Y \mid X = x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} y \cdot \frac{f(x,y)}{f(x)} \, dy\] l’esperança de \(Y\) condicionada a \(X = x\).

Anàlogament, s’obté la corba de regressió de la mitjana de \(X/Y\) \(x = E(X \mid Y = y)\)

Per mesurar la relació entre \(X\) i \(Y\) s’utilitza la raó de correlació \(Y/X\) \[\eta^2_{Y/X} = \frac{1}{\text{Var}(Y)} \cdot E\left[ \left( g(X) - E(Y) \right)^2 \right]\] que verifica:

1. \(0 \leq \eta^2 \leq 1\)
2. Si \(\eta^2 = 0\), la corba de regressió es redueix a la recta \(y = E(Y)\). Una variable difereix molt de ser funció de l’altra.
3. Si \(\eta^2 = 1\), tota la distribució conjunta està concentrada en la corba \(y = g(x)\). Es verifica que \(Y = g(x)\). Es diu que la regressió és de tipus lineal si \(y = g(x)\) és una recta.

Quan la regressió és no lineal i es desconeix la corba de regressió de la mitjana, s’han d’assajar diferents tipus de corba segons siguin les dades. Suposem-ne els següents \(n\) parells de valors observats de \(X,Y\) \[\begin{align*} &X\ :\ \{x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n \} \\ &Y\ :\ \{y_1, y_2, y_3, \cdots, y_n \} \end{align*}\]

Els ajustaments més importants \(y = g(x)\) —no lineals— que ens podem trobar són:

1. L’exponencial: \(y = a \cdot e^{bx}\), amb \(a > 0\)

Aquest ajustament es pot linealitzar prenent logaritmes neperians \(ln\ y =ln\ (a + bx)\), on els coeficients \(a\) i \(b\) es calculen com \[\begin{align*} a &= \exp\left( \frac{1}{n} \sum \ln y_i - \frac{b}{n} \sum x_i \right) \\ b &= \frac{n \cdot \left( \sum x_i \cdot \ln y_i \right) - \left( \sum x_i \right) \left( \sum \ln y_i \right)}{n \left( \sum x_i^2 \right) - \left( \sum x_i \right)^2} \end{align*}\]

El coeficient de determinació \((R2)\) mesura la bondat de l’ajust, amb \((0 \leq R^2 \leq 1)\) \[R^2 = \frac{\left( \sum x_i \cdot \ln y_i \right) - \frac{1}{n} \left( \sum x_i \right) \left( \sum \ln y_i \right)}{\left[ \sum x_i^2 - \frac{\left( \sum x_i \right)^2}{n} \right] \left[ \sum \left( \ln y_i \right)^2 - \frac{\left( \sum \ln y_i \right)^2}{n} \right]}\]

L’ajustament exponencial és apropiat quan \(y\) creix o decreix molt ràpid en funció de \(x\) —segons sigui \(b > 0\) o \(b < 0\)—.

2. El logarítmic: \(y = \alpha + \beta \cdot ln\ ⁡x\), amb \(x_i > 0\).

Els coeficients són, en aquest cas, \[\begin{align*} &\alpha = \frac{1}{n} \left( \sum y_i - \beta \cdot \sum \ln x_i \right), \\ &\beta = \frac{n \cdot \sum y_i \cdot \ln x_i - \left( \sum \ln x_i \right) \left( \sum y_i \right)}{n \left( \sum \ln^2 x_i \right) - \left( \sum \ln x_i \right)^2}, \\ &R^2 = \frac{\left( \sum y_i \cdot \ln x_i - \frac{1}{n} \sum \ln x_i \cdot \sum y_i \right)^2}{\left( \sum \ln^2 x_i - \frac{1}{n} \left( \sum \ln x_i \right)^2 \right) \left( \sum (y_i)^2 - \frac{1}{n} \left( \sum y_i \right)^2 \right)} \end{align*}\]

L’ajustament logarítmic és apropiat quan \(y\) creix o decreix molt lentament en funció de \(x\).

3. El potencial: \(y = \alpha \cdot x^\beta\), amb \(x_i > 0\).

Es pot ajustar a lineal prenent logaritmes neperians \(ln\ ⁡y = ln\ (\alpha + \beta \cdot ln\ ⁡x)\).

Amb \[\begin{align*} &\alpha = \exp\left( \frac{1}{n} \sum \ln y_i - \frac{\beta}{n} \sum \ln x_i \right), \\ &\beta = \frac{n \cdot \sum (\ln x_i)(\ln y_i) - \left( \sum \ln x_i \right) \left( \sum \ln y_i \right)}{n \cdot \sum (\ln x_i)^2 - \left( \sum \ln x_i \right)^2}, \\ &R^2 = \frac{\left[ \sum (\ln x_i)(\ln y_i) - \frac{1}{n} (\sum \ln x_i)(\sum \ln y_i) \right]^2}{\left[ \sum (\ln x_i)^2 - \frac{1}{n} (\sum \ln x_i)^2 \right] \left[ \sum (\ln y_i)^2 - \frac{1}{n} (\sum \ln y_i)^2 \right]} \end{align*}\]

S’utilitza sovint en biologia al relacionar dues mesures biomètriques \(X\), \(Y\) —entre ambdues mesures, si \(b = 1\), diem que hi ha isometria i, si \(b \neq 1\), diem que hi ha al·lometria—.

Anàlisi de correlació multivariant. Regressió i correlació múltiple

La regressió lineal múltiple és una extensió de la regressió entre dues variables. Estudia la relació i correlació d’una variable respecte a un grup de variables.

Siguin \(\{X_1, X_2, \cdots ,X_{m - 1}, X_m \}\), variables aleatòries d’esperances \(\{ \mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_{m - 1}, \mu_m \}\) i variàncies \(\{\sigma_1^2,\sigma_2^2, \cdots, \sigma_{m - 1}^2, \sigma_m^2 \}\), respectivament.

Es desitja trobar uns coeficients \(b_i\), amb \((i = 0, 1, \cdots, m)\) de manera que \[\hat{X}_m = b_0 + b_1 X_1 + b_2 X_2 + \cdots + b_{m-1} X_{m-1}\] s’ajusti el millor possible a \(X_m\) segons el criteri dels mínims quadrats.

[Nota: La relació anterior es sol escriure com \(\hat{X}_m - \mu_m = b_1 (X_1 - \mu_1) + b_2 (X_2 - \mu_2) + \cdots + b_{m-1} (X_{m-1} - \mu_{m-1})\) i s’anomena hiperplà de regressió de \(X_m\) sobre \(\{X_1, X_2, \cdots, X_{m-1}\}\)].

• De mode que \[E\left[ \left( \hat{X}_m - X_m \right)^2 \right] = \text{mínim}\]

Cada \(b_i\) s’anomena coeficient de regressió de \(X_m\) sobre \(X_i\), amb \((i =1, \cdots, m-1)\).

Indicant per \(r_{ij}\) el coeficient de correlació entre les variables \(X_i\) i \(X_j\). Per a determinar els \(b_i\) es resol prèviament el sistema lineal en les incògnites \(\beta_i\).

\[\begin{align*} \beta_1 + r_{12} \beta_2 + \cdots + r_{1m-1} \beta_{m-1} &= r_{1m} \\ r_{12} \beta_1 + \beta_2 + \cdots + r_{2m-1} \beta_{m-1} &= r_{2m} \\ &\vdots \\ r_{1m-1} \beta_1 + r_{2m-1} \beta_2 + \cdots + \beta_{m-1} &= r_{m-1,m} \end{align*}\]

Posteriorment, a partir dels \(\beta_i\), es calcula \(b_i = \beta_i \frac{\sigma_m}{\sigma_i}\), amb \(i=\{1, \cdots ,m-1 \}\) i el terme independent com \[b_m = \mu_m - \mu_1 b_1 - \mu_2 b_2 - \cdots - \mu_{m-1} b_{m-1}\]

Correlació múltiple

La correlació entre la variable \(X_m\) i la variable \(\widehat X_m\) \[R = correlació(X_m, \widehat X_m)\] mesura el grau de l’ajustament entre \(X_m\) i el millor predictor de \(X_m\) —funció lineal de \(\{X_1, X_2, \cdots ,X_{m-1} \}\)— es calcula aplicant la fórmula \[R^2 = \beta_1 r_{m1} + \beta_2 r_{m2} + \cdots + \beta_{m-1} r_{m-1,m}\]

[Observació: En general, augmentant les correlaciones simples \(r_{m1}, r_{m2}, \cdots ,r_{m-1}\), augmenta també la correlació múltiple \(R\). Però no sempre és així. Pot ocórrer el contrari. Eliminar una variable \(X_i\) per la seva baixa correlació \(r_{mi}\) amb \(X_m\), pot ser inapropiat.]

Propietats:

1. \(0 \leq R \leq 1\)
2. Si \(R = 0\), \(X_m\) no és correlacionada amb les altres variables.
3. Si \(R = 1\), \(X_m\) és exactament combinació lineal de \(\{X_1, X_2, \cdots , X_{m-1}\}\).
4. La variància de la variable residual \(\tilde{X}_m = X_m - \hat{X}_m\) és \(\text{Var}(\tilde{X}_m) = \sigma_m^2 \cdot (1 - R^2)\) i s’anomena variància residual.
5. L’arrel quadrada de la variància residual \(\sigma_m \cdots \sqrt{1 - R^2}\) és l’error típic d’una predicció, \(\widehat X_m\).
6. El coeficient de determinació, \(R^2\), verifica \(R^2 = \frac{Var(\widehat X_m )}{Var (X_m)}\) i s’interpreta com la proporció de variabilitat de \(X_m\) explicada per \(\{X_1, X_2, \cdots ,X_{m-1}\}\).

Correlació parcial

La correlació entre dues variables \(X_1, X_2\) pot no tenir significat si estan influenciades per altres variables \(X_3, \cdots ,X_m\). Per eliminar-ne aquesta influencia, s’obtenen els hiperplans de regressió \(X_1\) sobre \(X_3, \cdots ,X_m\) i \(X_2\) sobre \(X_3, \cdots ,X_m\) —les prediccions lineals \(\widehat X_1\) i \(\widehat X_2\)— i es calcula la correlació entre \((\tilde{X}_1 = X_1 - \hat{X}_1)\) i \((\tilde{X}_2 = X_2 - \hat{X}_2)\) —anomenada correlació parcial—.

Si només hi ha una variable pertorbadora \(X_3\), la correlació parcial és \[r_{12:3} = \frac{r_{12} - (r_{13} \cdot r_{23})}{\sqrt{1 - r_{13}^2} \cdot \sqrt{1 - r_{23}^2}}\]

El coeficient \(r_{12:3}\) es pot entendre com la correlació entre \(X_1\) i \(X_2\) condicionada a \(X_3\) = constant. La fórmula es recorrent i per a \(m\) variables és \[r_{12 \cdot 34 \cdots m} = \frac{r_{12 \cdot 34 \cdots (m-1)} - \left( r_{1m \cdot 34 \cdots (m-1)} \cdot r_{2m \cdot 34 \cdots (m-1)} \right)}{\sqrt{1 - r_{1m \cdot 34 \cdots (m-1)}^2} \cdot \sqrt{1 - r_{2m \cdot 34 \cdots (m-1)}^2}}\]

Si \(R_{1 \cdot 23 \cdots m}\) és la correlació múltiple entre \(X_1\) i les altres variables \(X_2, \cdots, X_m\), es verifica a més \[1 - R_{1 \cdot 23 \cdots m}^2 = (1 - r_{12}^2)(1 - r_{13 \cdot 2}^2)(1 - r_{14 \cdot 23}^2) \cdots (1 - r_{1m \cdot 23 \cdots (m-1)}^2)\]

Matriu de covariàncies entre M variables

Siguin \(X_1, \cdots ,X_m\) variables aleatòries. La matriu de covariàncies és la matriu simètrica \[C = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1m} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mm} \end{pmatrix} \], amb \[ \begin{align*} c_{ii} &= \text{Var}(X_i) \quad &i &= 1, 2, \dots, m \\ c_{ij} &= c_{ji} = \text{Cov}(X_i, X_j) \quad &i &\neq j = 1, 2, \dots, m \end{align*} \]

La matriu \(C\) té les propietats següents:

1. El seu determinant i el determinant de qualsevol del seus menors principals són no negatius, el determinant de \(C\) és \(\geq 0\) \[\begin{vmatrix} c_{i_1 i_1} & \cdots & c_{i_1 i_k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{i_k i_1} & \cdots & c_{i_k i_k} \end{vmatrix} \geq 0 \], amb \[ \begin{align*} &i_1 \leq \cdots \leq i_k \\ &1 \leq i_j \leq m \end{align*} \]
2. Si \(C\) és de rang \(m\), es diu que la distribució conjunta de \(\{X_1, \cdots, X_m \}\) és no singular. El recorregut d’aquesta distribució és contingut en l’espai euclidià \(\mathcal{R}^m\), formant-se un conjunt de dimensió \(m\).
3. Si \(C\) es de rang \(s < m\), es diu que la distribució es singular de rang \(s\). El recorregut de la distribució és contingut en una varietat lineal de dimensió \(s\). A més, \(s\) variables són linealment independents, mentre que les \(m - s\) restants poden expressar-se com a combinació lineal d’aquestes variables.
4. \(C\) és una matriu definida o semidefinida com a positiva, és a dir, tots els seus valors propis són no negatius.
5. Si \(X, Y\) són dues variables aleatòries combinació lineal de \(\{X_1, \cdots ,X_m \}\), \[ \begin{align*} X &= a_1 X_1 + \cdots + a_m X_m \\ Y &= b_1 Y_1 + \cdots + b_m Y_m \end{align*} \] Indicant els vectors columna \[ \begin{align*} \mathbf{a} &= (a_1, \cdots, a_m)' \\ \mathbf{b} &= (b_1, \cdots, b_m)' \end{align*} \], aleshores \[ \begin{align*} &\text{Var}(X) = \mathbf{a}' C \mathbf{a}, \\ &\text{Var}(Y) = \mathbf{b}' C \mathbf{b}, \\ &\text{Cov}(X, Y) = \mathbf{a}' C \mathbf{b}. \end{align*} \]

Matriu de correlacions entre \(M\) variables

És la matriu simètrica \[R = \begin{pmatrix} 1 & r_{12} & \cdots & r_{1m} \\ r_{21} & 1 & \cdots & r_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{m1} & r_{m2} & \cdots & 1 \end{pmatrix}\] que conté les correlacions entre les variables, \(r_ij\), la correlació entre la variable \(X_i\) i la variable \(X_j\), amb \(i = j = \{1, \cdots, m \}\).

Indicant per \[D_{\sigma} = \begin{pmatrix} \sigma_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sigma_1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \sigma_m \end{pmatrix}\] la matriu diagonal que conté les desviacions típiques de les variables.

Es verifica:

1. \(C = D_\sigma RD_\sigma\)
2. \(R\) té propietats similars a \(C\) —respecte al rang, definida positiva, etc.—.
3. \(0 \leq det\ ⁡(R) \leq 1\)
4. \(R\) expressa les relacions d’interdependència lineal entre cada par de variables. Si \(R = I\) —la matriu identitat— es diu que les \(m\) variables són no correlacionades.
5. Una mesura global de dependència lineal és \(\theta = 1 - det\ (R)\), doncs \(\theta = 0\) si \(R=I\), i \(\theta = 1\) si \(det\ ⁡(R) = 0\).
6. Sigui \( r = (r_{1m}, \cdots, r_{m-1,m})'\) el vector columna amb les correlacions simples de \(X_m\) amb \(\{X_1, \cdots ,X_{m-1}\}\).
7. Sigui \(R_m\) la matriu de correlacions d’ordre \((m - 1) \cdot (m - 1)\) entre les variables \(\{X_1, \cdots , X_{m-1}\}\). Si \(det\ (R_m) \neq 0\), aleshores \[R^2 = r' R_m^{-1} r\] és el coeficient de determinació —igual al quadrat del coeficient de correlació múltiple— entre \(X_m\) i \(\{X_1,\cdots , X_{m-1}\}\).

Distribucions derivades de la distribució normal

Distribució normal bivariant

La distribució normal bivariant és la generalització de la distribució normal a dues variables. Es diu que les variables aleatòries \((X,Y)\) segueixen la distribució normal bivariant de paràmetres \(m_1\), \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) i \(\rho\), si la seva distribució és absolutament contínua amb funció de densitat \[ f(x, y) = \frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1 - \rho^2}} \exp\left\{ -\frac{1}{2} Q(x, y) \right\}\], amb \[Q(x, y) = \frac{1}{1 - \rho^2} \left[ \frac{(x - m_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho \frac{(x - m_1)(y - m_2)}{\sigma_1 \sigma_2} + \frac{(y - m_2)^2}{\sigma_2^2} \right]\] una forma quadràtica en \((x,y)\).

Propietats de la distribució normal bivariant

1. Les distribucions marginals \(X\) i \(Y\) són normals univariants. \(X\) es \(\mathcal{N}(m_1,\sigma_1^2)\), \(Y\) és \(\mathcal{N}(m_2,\sigma_2^2)\). En conseqüència, \(m_1\), \(\sigma_1^2\) i \(m_2\), \(\sigma_2^2\) són els valors de les mitjanes i les variàncies de \(X\) i \(Y\).
2. El paràmetre \(\rho\) és el coeficient de correlació entre \(X\) i \(Y\).
3. La manca de correlació implica independència. Si \(\rho = 0\), \(X\), \(Y\) són estocàsticament independents.
4. Tota combinació lineal \(Z = a X + b Y + c \) —amb \((a neq 0)\) o \((b \neq 0)\)— segueix la distribució normal bivariant.
5. Existeixen dues variables aleatòries \( Y_1, Y_2\) independents amb distribució \( \mathcal{N}(0,1)\) tals que \[\begin{align*} X &= m_1 + a_{11} Y_1 + a_{12} Y_2 \\ Y &= m_2 + a_{21} Y_1 + a_{22} Y_2 \end{align*} \]
6. La funció de densitat de \(Y\) condicionada a \((X = x)\) és \[ f(y \mid x) = \frac{1}{\sigma_2 \sqrt{2 \pi (1 - \rho^2)}} \exp\left\{ \frac{-\left[ y - m_2 - \rho \left( \frac{\sigma_2}{\sigma_1} \right)(x - m_1) \right]^2}{2\sigma_2^2 (1 - \rho^2)} \right\} \], és a dir, és la distribució normal \[ N\left( m_2 + \rho \left( \frac{\sigma_2}{\sigma_1} \right)(x - m_1), \sigma_2^2 (1 - \rho^2) \right)\]
7. La regressió és lineal. Les corbes de regressió de la mitjana \[ \begin{align*} y &= E(Y \mid X = x) \\ x &= E(X \mid Y = y) \end{align*} \] coincideixen amb les rectes de regressió.

Distribució \(khi\)-quadrat

Siguin \(\{Y_1, \cdots ,Y_m \}\) variables aleatòries \(\mathcal{N}(0,1)\) independents. Es considera la variable \[\chi_m^2 = Y_1^2 + \cdots + Y_m^2\], variable aleatòria que segueix una distribució \(khi\)-quadrat amb \(m\) g.l.

Distribució absolutament contínua amb funció de densitat \[f(x) = \frac{2^{-\left(\frac{m}{2}\right)}}{r\left(\frac{m}{2}\right)} e^{-\left(\frac{x}{2}\right)} x^{\left(\frac{m}{2} - 1\right)}\], si \(x > 0\), i \[f(x) = 0\], si \(x \leq 0\).

L’estadístic \(khi\)-quadrat, és útil quan es treballa amb variables nominals, categòriques o amb alguna mena de classificació. La seva fórmula estadística ve donada per \[\chi^2 = \displaystyle\sum \frac{(O - E)^2}{E}\] amb \(O = \{\text{"freqüències observades"}\}\) i \(E = \{ \text{"freqüències esperades"}\}\).

La mostra ha de ser aleatòria, amb mesures totalment independents. Les dades s’han d’aportar en freqüències absolutes —no en percentatges—. Els valors/categories de variables han de ser mútuament excloents. A més, les freqüències observades no han de ser petites.

Propietats de la distribució \(khi\)-quadrat

1. L’esperança i la variància de \(\chi_m^2\) són \[\begin{align*} &\text{E}(\chi_m^2) = m \\ &\text{Var}(\chi_m^2) = 2m \end{align*} \]
2. Si \(\chi_m^2\) i \(\chi_n^2\) són estocàsticament independents, amb \(m\) i \(n\) g.l., \[\chi_{m+n}^2 = \chi_m^2 + \chi_n^2\] La variable suma és també \(khi\)-quadrat, amb \((m + n)\) g.l.
3. \(\chi_m^2\) és un cas especial de la distribució gamma. \(\chi_m^2\) és \(\mathcal{\Gamma}\left(\frac{1}{2}, \frac{m}{2}\right)\). En particular, \(\chi_2^2\) és exponencial de paràmetre \(\alpha = 0.5\)·

Taules \(khi\)-quadrat

La taula \(khi\)-quadrat ens proporciona un \(m\) —tal que \( 1 \leq m \leq 30\)— i diferents valors de \(\alpha\). El valor \(\chi_\alpha^2\) tal que \(P(\chi_\alpha^2 > \chi^2_\alpha)\) correspon a la cua de la dreta de la distribució, de probabilitat \(\alpha\) —com s'observa a la figura anterior—.

Per a \(m > 30\), es pot aplicar la propietat de que \[ Y = \sqrt{2 \chi_m^2} - \sqrt{2m - 1} \] és aproximadament \(\mathcal{N}(0,1)\).

Donat \(y_2α\) tal que \(P(Y > y_2α) = \alpha\) \[ \chi_\alpha^2 = \frac{1}{2} \left( y_{2\alpha} + \sqrt{2m - 1} \right)^2 \]

Suposem la distribució d’alumnes d’un grup classe. Distribuït per gènere, amb 33 homes i 31 dones. Ens interessa la freqüència de la classe o categoria de les dades, en aquest cas, el gènere (home/dona).

Els g.l. són calculats com el nombre de categories menys un —en aquest cas, 1 g.l.—. Els valors observats són 33 i 31. Els valors esperats serien —simplificant al 50% per a cada gènere— 32 i 32.

freq<-c(33,31)

chisq.test(freq) \(\rightarrow\) X-squared = 0.0625, df = 1, p-value = 0.8026

Els valors esperats serien

chisq.test(freq)$expected \(\rightarrow\) 32 32

El valor crític tabulat, al 95% i 1 g.l. s’obté amb

qchisq(0.95,1) \(\rightarrow\) 3.841459

Amb 40 homes i 24 dones ja superaríem el valor crític al 95%.

freq<-c(40,24)

chisq.test(freq) \(\rightarrow\) X-squared = 4, df = 1, p-value = 0.0455. Observem que ara p-value < 0.05.

---

Les funcions de que disposa R pel càlcul de khi-quadrat són —podem també invocar l’ajuda de R amb: ?stats::Chisquare—:

• dchisq(x,df,ncp=0,log=F), retorna resultats de la funció de densitat.
• pchisq(q, df, ncp=0, lower.tail=T, log.p=F), retorna resultats de la funció de distribució acumulada.
• qchisq(p,df,ncp=0,lower.tail=T,log.p=F), retorna resultats dels quantils de la \(khi\) -quadrat.
• rchisq(n,df,ncp=0), retorna un vector de valors de la \(khi\)-quadrat aleatoris.

Els arguments passats a les funcions anteriors són:

• x, q: vector de quantils.
• p: vector de probabilitats.
• n: nombre d’observacions.
• df: graus de llibertat.
• ncp: centralitat de la gràfica khi-quadrat. Si s’omet, l’estudi és amb la gràfica no centralitzada.
• log, log.p: booleà, si TRUE, les probabilitats p són retornades com a log(p).
• lower.tail: booleà, si TRUE (per defecte), les probabilitats són \(P[X \leq x]\), pel contrari, \(P[X > x]\).

Per exemple:

• \(\\chi^2_{0.95, 3}, P(X > x) = 0.95\), amb 3 g.l.:
• qchisq(0.95, 3, lower.tail = F) \(\rightarrow\) 0.3518463
• \(P(X \leq x) = 0.999\), amb 10 g.l.:
• qchisq(0.999, 10, lower.tail = T) \(\rightarrow\) 29.5883
• qchisq((1-0.999), 10, lower.tail = F) \(\rightarrow\) 29.5883
• \(P(X \geq 15.32)\) amb 15 g.l.:
• pchisq(15.32, 15, lower.tail = F) \(\rightarrow\) 0.4286221

Distribució \(t\) de Student

Student és el pseudònim de W.S. Gosset (1876-1937). Va demostrar (1908) que el quocient entre la desviació de la mitjana mostral respecte a la poblacional i la desviació tipus de la mitjana poblacional, es distribueix normalment únicament quan els \(x_i\) es distribueixen normalment i si es coneixen els dos paràmetres \(\mu\) i \(\sigma\). Les desviacions segueixen una distribució \(t\) de Student sempre que les observacions individuals \(x_i\) siguin independents i les seves distribucions siguin —almenys— aproximadament normals.

Aquesta distribució és molt semblant a la normal. És contínua, simètrica, amb forma de campana i de recorregut \((-\infty, +\infty)\). Tanmateix és independent de \(\mu\) i \(\sigma\).

Únicament depèn dels graus de llibertat (g.l.). La variable aleatòria definida com el nombre d’observacions de les que es pot disposar lliurement. Calculada com g.l.= \(n - a\), amb \(a\), el nombre de paràmetres estimats a partir de la mostra i \(n\) la mida de la mostra.

Definició i funció de densitat de la \(t\) de Student

Sigui \(Y\) una variable aleatòria amb distribució \(\mathcal{N}(0,1)\).

Sigui \(\chi^2_m\) altra variable amb distribució \(khi\)-quadrat —amb m g.l. i amb \(Y\) i \(\chi^2_m\) estocàsticament independents—.

Es defineix la distribució \(t\) de Student amb \(m\) g.l. com la que segueix la variable aleatòria \[t = \frac{Y}{\sqrt{\frac{\chi^2_m}{m}}}\]

La distribució \(t\) de Student és de tipus absolutament continu amb funció de densitat \[f(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{m+1}{2}\right)}{\sqrt{m\pi}\cdot \Gamma\left(\frac{m}{2}\right)} \cdot \left( 1 + \frac{t^2}{m} \right)^{-\frac{m+1}{2}}, \quad \text{amb } -\infty < t < +\infty.\]

Propietats de la \(t\) de Student

1. L’esperança i la variància existeixen per a \(m > 1\) i \(m > 2\) respectivament: \(E(t) = 0\), si \(m > 1\) i \(Var(t) = \frac{m}{(m - 2}\), si \(m > 2\).
2. El moment d’ordre \(k\) existeix i és finit per a \(k < m\).
3. La distribució límit de \(t\), per a \(m \rightarrow \infty\), és \(\mathcal{N}(0,1)\).
4. Siguin \(\{ X_1, \cdots ,X_n\}\) variables aleatòries \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) independents, amb \[\begin{align*} &\overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \\ &S_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{X}_n)^2 \end{align*}\] aleshores \[t = \frac{\overline{X}_n - \mu}{S_n / \sqrt{n - 1}}\] segueix la distribució \(t\) de Student amb \((n - 1)\) g.l. —Teorema de Fisher—.

La distribució t s’utilitza en estadística per a fer inferència sobre mitjanes i coeficients de regressió.

Taules de la \(t\) de Student

La taula de la \(t\) de Student proporciona —per als diferents valors de \(m\) \((1 \leq m \leq 30\) i \(m = 40, 60, 120)\)— el valor \(t_α\) tal que \(P(|t| > t_α ) = \alpha\).

Si el nombre de g.l. \(m\) no ve tabulat, \(t_α\) es calcula interpolant respecte als recíprocs dels g.l.

Per a \(m\) gran, la distribució \(t\) pot aproximar-se a la \(\mathcal{N}(0,1)\).

El valor de \(t\) depèn del percentatge de seguretat de l’interval de confiança que es vol obtenir. Es defineix com el valor —el quantil— pel qual en una distribució de Student —amb uns determinats g.l.— un percentatge igual al percentatge de confiança de l’interval queda comprés entre el valor \(-t\) i el valor \(+t\) buscat.

Suposem que es busca el valor \(t\) per a un interval de confiança del 95 %, en una distribució \(t\) de Student amb 15 g.l.

El valor \(t\) pot trobar-se en taules tabulades.

Amb R, el valor \(t\) per a un determinat interval de confiança i g.l. es pot obtenir amb la funció  qt(p, df, lower.tail) —amb: p = confiança interval + (1 - confiança interval)/2— Per exemple:

qt(p = 0.95 + 0.05/2, df = 15, lower.tail = TRUE) \(\rightarrow\) 2.13145

També es pot utilitzar un vector.

Calculem els percentils 0.5 i 99.5 de la distribució \(t\) de Student amb 10 g.l.: qt(c(0.005,0.995), df=10) \(\rightarrow\) -3.169273 \(\quad\) 3.169273

R disposa de quatre funcions per a la distribució \(t\) de Student —podem també invocar l’ajuda de R amb: ? stats::TDist—:

• dt(x,df,ncp,log=F)
• pt(q,df,ncp,lower.tail=T,log.p=F)
• qt(p,df,ncp,lower.tail=T,log.p=F): retorna resultats dels quantils de la \(t\)-Student.
• rt(n,df,ncp): retorna un vector de valors de la \(t\)-Student aleatoris.

Els arguments passats a les funcions anteriors són:

• x, q: un vector de quantils.
• p: un vector de probabilitats.
• n: el nombre d’observacions.
• df: els graus de llibertat.
• ncp: la centralitat de la gràfica t-Student. Per defecte centralizada en 0.
• log, log.p: un booleà, si TRUE, les probabilitats p són retornades com a log(p).
• lower.tail: un booleà, si TRUE —per defecte— les probabilitats són \(P[X \leq x]\), si FALSE, \(P[X > x]\).

Per exemple:

• \(P(T \geq 2.2010)\), amb 11 g.l. pt(2.2010, 11, lower.tail = F) \(\rightarrow\) 0.02499935. S’obté el paràmetre d’àrea de cua, \(\alpha\). S’utilitza la funció de distribució indicant que l’àrea de cua és cap a la dreta.
• \(P(T \leq 1.6939)\), amb 32 g.l. pt(1.6939,32, lower.tail = T) \(\rightarrow\) 0.950001. S’obté el paràmetre d’àrea de cua, \(\alpha\). S’utilitza la funció de distribució indicant que l’àrea de cua és cap a l’esquerra.
• \(P(T \geq t) = 0.01\), amb 23 g.l. qt(0.01, 23, lower.tail = F) \(\rightarrow\) 2.499867. S’obté el valor de \(t\) per a que s’obtingui un àrea de cua de 0.01, amb 23 g.l. S’utilitza la funció de quantils indicant que l’àrea de cua és cap a la dreta.

Distribució F de Fisher-Snedecor

Sigui \(U\) una variable aleatòria amb distribució \(\chi^2_m\) i \(V\) altra variable aleatòria amb distribució \(\chi^2_n\) —amb \(U\) i \(V\) estocàsticament independents—.

Es defineix la distribució \(F\) amb m g.l. en el numerador i \(n\) g.l. en el denominador com el quocient \[F = \frac {\frac{U}{m}}{\frac{V}{m}}\]

Es diu que \(F\) té \(m\) i \(n\) g.l. o \((m,n)\) g.l. i s’indica per \(F_{(m,n)}\). La distribució \(F\) és de tipus absolutament continu amb funció de densitat \[f(x) = \frac{m^{(m/2)} \times n^{(n/2)} \times \Gamma \left( \frac{m+n}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{m}{2} \right) \times \Gamma \left( \frac{n}{2} \right)} \times \frac{x^{(m/2) - 1}}{(mx + n)^{(m+n)/2}}, \quad \text{si } x > 0.\]

Propietats de la distribució F de Fisher-Snedecor

1. L’esperança existeix per a \(n > 2\) i i la variància per a \(n > 4\). \[\begin{align*} &E(F) = \frac{n}{n - 2} \\ &Var(F)= \frac{2n^2 \cdot (m + n -2)} {m \cdot (n - 2)^2 \cdot (n-4)} \end{align*}\]
2. Tenen una moda en el punt \[x = \frac{m - 2}{m} \cdot \frac{n}{n + 2}\], amb \(m > 2\)
3. Si \(F\) té la distribució \(F_{m,n}\), aleshores \(\frac{1}{F}\) té la distribució \(F_{n,m}\). La relació entre \(F_{m,n}\) i \(F_{n,m}\) és \[P(F_{m,n} \leq x) = 1 - P(F_{n,m} \leq 1/x) = P(F_{n,m} > 1/x)\]
4. La distribució límit de \(F_{m,n}\), quan \(n \rightarrow \infty\) és, aproximadament, \(\chi^2_m\): \(F(m, \infty) \equiv \chi^2_m\)
5. Si, \(m,n \rightarrow \infty\), \(F_{m,n}\) convergeix en probabilitat a 1: \(F(\infty, \infty) \equiv 1\)
6. Suposis que \(\{X_1, \cdots X_{n_1})\}\) són independents amb distribució \(\mathcal{N}(\mu_1,\sigma^2)\), i que \(\{Y_1, \cdots, Y_{n_2})\}\) ho són també amb distribució \(\mathcal{N}(\mu_2,\sigma^2 )\). Suposis també que ambdós grups de variables són independents estocàsticament entre sí. A més \[\begin{align*} &S^2_{n_1} = \frac{1}{n_1} \sum_{i=1}^{n_1} (X_i - \bar{X})^2 \\ &S^2_{n_2} = \frac{1}{n_2} \sum_{i=1}^{n_2} (Y_i - \bar{Y})^2 \end{align*}\] Aleshores, la distribució de \[F = \frac{\left( n_1 S^2_{n_1} \right) / (n_1 - 1)}{\left( n_2 S^2_{n_2} \right) / (n_2 - 1)}\] és una \(F\) amb \(n_1 - 1\) i \(n_2 -1\) g.l.

La distribució F s’utilitza en estadística per a fer inferència sobre variàncies.

Taules de la distribució F de Fisher-Snedecor

La taula \(F\) proporciona els valors \(F_\alpha\) tals que \(P(F > F_\alpha) = \alpha\) —per a \(\alpha = 0, 05, 0,025,0,01\ \text{i}\ 0,005\) i diferents valors dels g.l. \(m\) i \(n\)—. Per a determinar valors \(F_\alpha\) corresponents a un valor de \(m\) (o \(n\)) que no es trobi en la taula, s’ha d’interpolar respecte als recíprocs dels g.l.

La distribució \(F\) de Fisher-Snedecor és de gran aplicació en inferència estadística. Principalment en la contrastació de la igualtat de variàncies de dues poblacions normals. En particular en l’anàlisi de la variància (ANOVA). Tècnica que permet detectar l’existència o inexistència de diferències significatives entre mostres diferents. Essencial en tots els casos en els que es vol investigar la rellevància d’un factor en el desenvolupament i naturalesa d’una característica.

Es vol contrastar la hipòtesi de que dues poblacions tenen la mateixa dispersió amb un nivell de significació del 1 %. Se sap que la desviació típica d’una mostra realitzada sobre la primera població és 12, amb una mida mostral de 25. També que en una mostra sobre la segona, de mida 30, la desviació típica va resultar ser 7.

Considerant que ambdues poblacions són normals, s’aplica el contrast \[\begin{align*} &H_0: \sigma_x^2 = \sigma_y^2 \\ &H_1: \sigma_x^2 > \sigma_y^2 \end{align*}\], amb α=0.01.

Segons l’enunciat —prenent com a \(X\) la mostra més gran— \(\sigma_x^2 = 144 \quad \sigma_y^2 = 49 \quad n_x = 25 \quad n_y = 30 \)

Aleshores \[F = \frac{n_x \sigma_x^2 (n_y - 1)}{n_y \sigma_y^2 (n_x - 1)} = \frac{25 \cdot 144 \cdot 29}{30 \cdot 49 \cdot 24} \approx 2.95918\]

qf(0.01, 24, 29, lower.tail=FALSE) \(\rightarrow\) 2.494579

Com \(F = 2.95918 > F_\alpha = 2.494579\), es rebutja \(H_0\) i s’accepta \(H_1 :\sigma_x^2 > \sigma_y^2\). La primera mostra té una major dispersió.

---

R disposa de quatre funcions per a la distribució F de Snedecor —Podem també invocar l’ajuda de R amb: ?stats::Fdist—:

• df(x,df1,df2,ncp,log=F): retorna resultats de la funció de densitat.
• pf(q,df1,df2,ncp,lower.tail=T,log.p=F): retorna resultats de la funció de distribució acumulada.
• qf(p,df1,df2,ncp,lower.tail=T,log.p=F): retorna resultats dels quantils de la distribució \(F\).
• rf(n, df1, df2, ncp): retorna un vector de valors de la distribució F aleatoris.

Els arguments passats a les funcions anteriors són:

• x, q: un vector de quantils.
• p: un vector de probabilitats.
• n: el nombre d’observacions.
• df1, df2: els graus de llibertat —\(df1\) del numerador, \(df2\) del denominador—.
• ncp: booleà. Centralitat de la gràfica de la distribució \(F\). Per defecte no centralitzada.
• log, log.p: booleà, si TRUE, les probabilitats \(p\) són retornades com a \(log(p)\).
• lower.tail: booleà, si TRUE —per defecte— les probabilitats són \(P[X \leq x]\), si FALSE, \(P[X > x]\).

Per exemple:

• \(F(0.5,5,20)\). Valor que té la distribució \(F\) amb una àrea de cua de 0.5 i 5 g.l. en el numerador i 20 g.l. en el denominador. S’utilitza la funció de quantils indicant que l’àrea de cua és cap a la dreta:
• qf(0.5, 5, 20, lower.tail=F) \(\rightarrow\) 0.9003765
• \(P(F < f) = 0.025\), amb \(df1 = 24\) i \(df2 = \infty\). Funció de quantils indicant que l’àrea de cua és cap a l’esquerra, amb 24 g.l. en el numerador i \(\infty\) g.l. en el denominador:
• qf(0.025, 24, Inf, lower.tail=T) \(\rightarrow\) 0.5167146
• Equivalent a \(P(F \geq f) = 1 - 0.025 = 0.975\):
• qf(0.975, 24, Inf, lower.tail=F) \(\rightarrow\) 0.5167146
• \(P(F \geq 158.25)\), amb \(df1 = 1\) i \(df2 = 2\):
• pf(158.25, 1, 2, lower.tail=F) \(\rightarrow\) 0.006259842

Distribució normal multivariant

Generalització, de dimensió \(n\), de la distribució normal. Siguin \(\{X_1, \cdots ,X_n \}\) variables aleatòries, indicant \[ \begin{align*} &\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n)' \\ &\mathbf{m} = (m_1, \dots, m_n)' \\ &\mathbf{C} = c_{ij}, \text{ matriu simètrica } (n \times n) \text{ definida positiva} \end{align*}\]

Es diu que \(\{X_1, \cdots , X_n \}\) segueixen una distribució normal multivariant de paràmetres \(m\) i \(C\) —representat com \(\mathcal{N_n}(m, C)\)— si la seva funció de distribució és absolutament contínua amb funció de densitat \[\begin{align*} f(x_1, \dots, x_n) &= \frac{|C^{-1}|^{1/2}}{(2\pi)^{n/2}} \exp \left\{ -\frac{1}{2}(x - m)'C^{-1}(x - m) \right\} \end{align*} \], sent \((x - m)'C^{-1}(x - m)\) una forma quadràtica definida positiva.

Propietats de la distribució normal multivariant

1. Les distribucions marginals \(\{X_1, \cdots ,X_n \}\) són totes normals univariants. \(X_i\) és \(\mathcal{N}(m_i,c_{ii})\) — \(\forall\ i \in \{1, \cdots , n\}\)—.
2. \(m\) és el vector de mitjanes de les \(n\) variables i \(C\) és la matriu de covariàncies. \[\begin{align*} &m_i = E(X_i) \quad i \in \{1, \dots, n\} \\ &c_{ij} = Cov(X_i, X_j) \quad i, j \in \{1, \dots, n\} \end{align*}\]
3. Existeixen \(n\) variables aleatòries \(\mathcal{N}(0,1)\) i independents \(\{Y_1, \cdots ,Y_n \}\) tals que \[ X_i = m_i + a_{i1} Y_1 + \cdots + a_{in} Y_n \quad i = 1, \dots, n.\] Propietat que caracteritza la distribució \(\mathcal{N_n}(m, C)\).
4. Tota transformació lineal de les variables \(\{X_1, \cdots ,X_n \}\) segueix també una distribució normal multivariant. En particular, tota combinació lineal \(Y = a_1 X_1 + \cdots + a_n X_n\) és normal multivariant. Qualsevol subconjunt format per m variables \((m < n)\) segueix també la distribució normal multivariant.
5. Si les variables aleatòries són mútuament incorrelacionades, són també estocàsticament independents. \(C\) és matriu diagonal \(\implies \{X_1, \cdots , X_n \}\) són estocàsticament independents.
6. La distribució de la forma quadràtica \(Q(x) = (x - m)' C^{-1} (x - m)\) és \(khi\)-quadrat \(\chi^2_m\)·

Aplicacions de la distribució normal multivariant

És la distribució multivariant més utilitzada en estadística. En determinades circumstàncies, segueixen aquesta distribució les variables aleatòries assimilades a:

• Mesures biomètriques estudiades conjuntament —talla, diàmetre d’espatlles, malucs, etc. —.
• Bateries de tests psicològics per a mesurar la personalitat, intel·ligència, etc.
• Variables socioeconòmiques —sous, valor de l’habitatge, població, etc. —.
• Resultats quantitatius de l’eficàcia d’un fàrmac.
• Qualificacions de les diferents matèries d’un curs.

Es pren un subconjunt del paquet de dades "iris" que conté 50 mostres de flors Iris setosa. Es verifica la suposició de normalitat multivariada utilitzant les proves de Mardia, Royston, Henze-Zirkler i Energy.

---

Amb R:

---

Prova de Mardia

L’argument mvnTest = “mardia” en la funció MVN s’utilitza per a calcular els coeficients d’asimetria multivariats i curtosis de Mardia. Així com la significació estadística corresponent. Aquesta funció també pot calcular la versió corregida del coeficient d’asimetria per la mida de mostra petita \((n < 20)\).

---

Amb R:

---

Si les dues proves indiquen normalitat multivariant —Result = YES—, les dades segueixen una distribució normal multivariada, amb \(\alpha = 0.05\) —com és el cas—.

Test Henze-Zirkler

---

Amb R:

---

La última columna indica que les dades NO segueixen una normalitat multivariada al nivell 0.05 de significació: \(p\)-value \( < \alpha = 0.05\)

Test Royston amb MVN

[Nota: Aquest test depén de la prova de Shapiro-Wilk i no s’aplica si el conjunt de dades inclou més de 5000 o menys de 3 casos]

---

Amb R:

---

La última columna indica que les dades NO segueixen una normalitat multivariada amb \(0.05\) de significació: \(p\)-value \( < \alpha = 0.05\)

Test de Doornik-Hansen amb MVN

---

Amb R:

---

La última columna indica que les dades NO segueixen una normalitat multivariada amb \(0.05\) de significació: \(p\)-value \( < \alpha = 0.05\)

Energy test

---

Amb R:

---

La última columna indica que les dades NO segueixen una normalitat multivariada amb \(0.05\) de significació: \(p\)-value \(< \alpha = 0.05\)

---

La variable Petal.With no sembla tendir a la normalitat, excloem doncs aquesta variable i repetim les proves:

---

Amb R:

---

---

Amb R:

---

Els resultats sense Petal.Width segueixen una distribució normal multivariada a un nivell de significació de 0.05 —excepte amb la prova Doornik-Hansen—.

Convergència de successions de variables aleatòries

Sigui \(X_n\) una successió infinita de variables aleatòries \(\{X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots\}\), amb funcions de distribució \(\{F_1(x), F_2(x), \cdots , F_n(x), \cdots\}\).

Quan \(n \rightarrow \infty\), es diu que \(X_n\) pot convergir de diferents formes a una variable aleatòria \(X\) amb funció de distribució \(F(x)\) dins el mateix espai de probabilitat.

[Nota: Sota el concepte determinista de convergència, es diu que una successió \(\{a_n\}\) convergeix a una constant \(a\), si \(\forall n > N\), \(\forall \varepsilon > 0\) existeix un nombre enter —depenent de \(\varepsilon\)— tal que \(|a_n - a| < \varepsilon\). Els elements \(a_n\) de la successió poden ser tan propers a a com vulguem. Amb a l’únic límit possible de la successió]

En general, la propietat de tendir a un límit —que presenten algunes successions numèriques— és el que es coneix —dins l’anàlisi matemàtic— com convergència —o successió matemàtica— i s’indica de diferents formes:

• \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} ⁡X_n = X\)
• \(X_n \xrightarrow{d} X \),quan \(n \rightarrow \infty\)
• \(X_n \rightarrow X\)

Ens podem fer, aleshores, la següent pregunta: En quin sentit \(\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\) pot convergir a una variable aleatòria X?

Es poden definir cinc formes diferents de convergència:

1. La convergència puntual. \[X_n \to X, \text{ si } \forall \omega \in \Omega, X_n(\omega) \to X(\omega)\] És a dir: una sèrie numèrica convergeix a un nombre.
2. La convergència quasi segura. \[X_n \overset{q.s.}{\to} X, \text{ si } P \left( \omega \in \Omega : X_n(\omega) \to X(\omega) \right) = 1\] És a dir: es permet que alguns punts d’\(Omega\) —amb probabilitat zero— no siguin convergents.
3. La convergència en probabilitat. \[X_n \overset{P}{\to} X, \text{ si } \forall \varepsilon > 0, P \left( \omega \in \Omega : |X_n(\omega) - X(\omega)| > \varepsilon \right) \to 0\], quan \(n \rightarrow \infty\).
4. La convergència en llei o en distribució. \[X_n \overset{\mathcal{L}}{\to} X, \text{ si } \forall x \in F_X(x), F_{X_n}(x) \to F_X(x)\] Per a cada punt de continuïtat de la funció de distribució. És a dir: \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} P(X_n \leq x) = P(X \leq x)\)
5. La convergència en mitjana d’ordre \(r\). \[X_n \xrightarrow{r} X, \text{ si } E(|X_n|^r) < +\infty, E(|X|^r) < +\infty \text{ i } \displaystyle\lim_{n \to \infty} E(|X_n - X|^r) = 0 \], amb \(r > 0\)

Convergència quasi segura de successions de variables aleatòries

Donada una successió infinita de variables aleatòries \(\{X_n\}\). Es diu que convergeix de manera quasi segura a la variable aleatòria \(X\), si per a tot esdeveniment elemental \(ω\), —la successió \(X_n(ω)\)— convergeix a \(X(ω)\) per a gairebé tots els \(\omega\) en \(\Omega\), amb probabilitat 1. Excepte en el cas d’un esdeveniment de probabilitat nul·la [\(X_n \rightarrow X\), excepte en conjunts de probabilitat nul·la] i aleshores: \[\begin{align*} &P\left[\omega \in \Omega : \displaystyle\lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X(\omega)\right] &= 1 \\ &P\left[\omega \in \Omega : X_n(\omega) \to X(\omega)\right] &= 1 \end{align*}\]

És a dir: \(P(X_n \rightarrow X) = 1\) i s’indica habitualment com: \(X_n \overset{q.s.}{\to} X\).

Criteri de convergència quasi segura: Si \(\{X_n\}\) és una successió de variables aleatòries independents i \(\varepsilon > 0\), aleshores \[\begin{align*} X_n \xrightarrow{\text{q.s.}} X &\iff \sum_{n=1}^{\infty} P(|X_n - X| \geq \varepsilon) < \infty \end{align*}\]

Teorema:

La convergència quasi segura implica la convergència en probabilitat. El recíproc no sempre és cert. \[ \begin{align*} X_n \xrightarrow{\text{q.s.}} X \implies X_n \xrightarrow{P} X \end{align*} \]

Convergència en probabilitat de successions de variables aleatòries

Es diu que una successió infinita de variables aleatòries \(\{X_n\}\) convergeix en probabilitat a la variable aleatòria \(X\) si, per a cada \(\varepsilon > 0\) —amb \(X_n\) i \(X\) definides dins el mateix espai de probabilitat— \[\displaystyle\lim_{n \to \infty} P\left(|X_n - X| \geq \varepsilon\right) = 0\]

En particular, una successió \(\{X_n\}\) convergeix en probabilitat a una constant \(a\) si \[\displaystyle\lim_{n \to \infty} P\left(|X_n - a| \geq \varepsilon\right) = 0\]

El que s’afirma és que, donat un \(\varepsilon > 0\), \[P\left(|X_n - a| > \varepsilon\right) < \delta\], amb \(\delta \in [0,1]\) i \(n\) suficientment gran.

O, equivalentment \[\begin{align*} &P\left(\omega \in \Omega : |X_n(\omega) - X(\omega)| > \varepsilon \right) \to 0, \text{ amb } n \to \infty \\ &P\left(|X_n - X| > \varepsilon \right) \to 0 \\ &P\left(|X_n - X| \leq \varepsilon \right) \to 1 \end{align*}\]

La convergència en probabilitat de \(\{X_n\}\) a \(X\) s’anota habitualment com: \(X_n \xrightarrow{P} X\) i presenta les següents propietats:

1. Si \(X_n \xrightarrow{P} X\) i \(g(x)\) és una funció contínua, aleshores: \( g(X_n ) \xrightarrow{P} g(X)\).
2. Si \(X_n \xrightarrow{P} X\), \(Y_n \xrightarrow{P} Y\) i \(g(x,y)\) és una funció contínua, aleshores: \(g(X_n, Y_n) \xrightarrow{P} g(X, Y)\) I, en particular, \[\begin{align*} &X_n + Y_n \xrightarrow{P} X + Y \\ &X_n - Y_n \xrightarrow{P} X - Y \\ &X_n \cdot Y_n \xrightarrow{P} X \cdot Y \end{align*}\]
3. El límit és únic en el sentit quasi segur, és a dir: Si \(X_n \xrightarrow{P} X\) i \(Y_n \xrightarrow{P} Y\), aleshores \(X = Y\) —quasi segurament—.

Teorema:

La convergència en probabilitat implica la convergència en llei —el recíproc no sempre és cert—.

Convergència en llei de successions de variables aleatòries

Donada una successió de variables aleatòries \(\{X_n\}\), es diu que convergeix en llei — o en distribució— a una variable \(X\) amb funció de distribució \(F(x)\) si \[ \forall x \displaystyle\lim_{n \to \infty} F_n(x) = F(x)\], amb \(F(x)\) contínua. I s’indica com \(X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X\).

En són exemple:

• La convergència de la distribució binomial \(X_n \sim \mathcal{B}(n,p)\), quan \(n \rightarrow \infty\) i \(p \rightarrow 0\), a la distribució de Poisson de paràmetre \(\lambda = np\).
• La convergència de la distribució binomial \(X_n \sim \mathcal{B}(n,p)\), quan \(n \rightarrow \infty\) i \(p\) constant, a la distribució \(\mathcal{N}(0,1)\), al considerar el canvi \(Y_n = \frac{X_n - np}{sqrt{npq}}\)·
• El teorema central del límit.
• La convergència de la \(t\) de Student, amb \(n\) g.l. a la distribució \(\mathcal{N}(0,1)\).

Convergència en mitjana d’ordre \(r\) de successions de variables aleatòries

Donada una successió de variables aleatòries \(\{X_n\}\) es diu que convergeix en mitjana d’ordre \(r\) a \(X\) si \[\begin{align*} &E(|X_n|^r) < +\infty \\ &E(|X|^r) < +\infty \\ &\displaystyle\lim_{n\to\infty} E(|X_n - X|^r) = 0 \end{align*}\], amb \(r > 0\).

La convergència en mitjana d’ordre \(r\) s’indica com \(X_n \xrightarrow{r} X\)

Casos particulars:

• Si \(r = 1\) es diu que \(X_n\) convergeix en mitjana a \(X\).
• Si \(r = 2\) es diu que \(X_n\) convergeix en mitjana quadràtica a \(X\).

Teorema:

La convergència en mitjana d’ordre \(r\) implica que

• \(\forall s\), \((0 < s < r)\); \(X_n\) convergeix en mitjana a \(r \implies X_n\) convergeix en mitjana a \(s\).
• \(X_n\) convergeix en mitjana a \(r \implies X_n\) convergeix en probabilitat a \(r\).

Relacions entre els diferents tipus de convergència

La convergència en llei és la forma més dèbil de convergència. Seguida de la convergència en probabilitat. Les relacions entre les formes de convergència es poden observar en el quadre següent —sota certes condicions d’acotació a la successió de variables aleatòries pot també haver relació entre la convergència en mitjana i la convergència quasi segura—:

Teorema de Bernoulli

Donada una variable aleatòria \(X_n\), amb distribució binomial \(\mathcal{B}(n,p)\), es considera la variable aleatòria \(Y_n = \frac{X_n}{n}\), amb funció de densitat \[f\left( Y_n = \frac{k}{n} \right) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}\]

Amb \(Y_n\) la freqüència relativa de la presència d’un esdeveniment de probabilitat \(p\) en \(n\) proves independents.

Es verifica que \[\begin{align*} &E(Y_n) = p \\ &Var(Y_n) = \frac{p(1 - p)}{n} \end{align*} \]

Teorema de Bernoulli:

El teorema de Bernoulli afirma que \[n \to \infty \implies Y_n \xrightarrow{P} p\]

La freqüència relativa \(Y_n\) convergeix en probabilitat a \(p\) quan el nombre \(n\) de proves tendeix a infinit.

Donat un \(\varepsilon > 0\) \[\displaystyle\lim_{n \to \infty} P (|Y_n - p| \geq \varepsilon) = 0\]

Teorema que confirma l’anomenada primera llei empírica de l’atzar: Donat un esdeveniment de probabilitat \(p\) —en una sèrie gran de realitzacions d’una experiència— la seva freqüència relativa s’aproxima molt a \(p\).

Teorema de Poisson

El teorema de Poisson, és una generalització del teorema de Bernoulli.

Sigui un esdeveniment \(A\). S’efectuen \(n\) experiències independents, cadascuna associada a un espai de probabilitats —no necessàriament iguals—. Amb \(\{p_1, \cdots, p_n \}\) les probabilitats de \(A\) en cadascun dels espais.

Aleshores —sent \(X_n\) el nombre de cops que es presenta \(A\)— es verifica \[\begin{align*} &E(X_n) = \sum_{i=1}^{n} p_i \\ &Var(X_n) = \sum_{i=1}^{n} p_i(1 - p_i) \end{align*} \]

Teorema de Poisson:

El teorema de Poisson afirma que si \(n \rightarrow \infty\), amb \(Y_n = \frac{X_n}{n}\) la freqüència relativa, es verifica \(Y_n - \overline{p}_n \xrightarrow{\mathbb{P}} 0 \), sent \[\overline{p}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} p_i\]

La freqüència relativa convergeix en probabilitat a \(p\)

1. .

El teorema de Poisson coincideix amb el teorema de Bernoulli quan \(p_1 = p_2 = \cdots = p_n\).

Criteri de Césaro:

Si existeix \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n = p\), aleshores també existeix \[\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_i = p \]

Llei dèbil dels grans nombres

Un cas molt important de convergència en probabilitat és la llei dels grans nombres.

Es disposa d’una variable aleatòria \(X\) amb esperança \(m\) i variància \(\sigma^2\) —ambdues finites— i de \(\{ X_1, X_2, \cdots , X_n, \cdots \}\) variables aleatòries independents amb la mateixa distribució que X —estrictament, és suficient que les variables aleatòries tinguin igual esperança i variància, i siguin independents. No és necessari que tinguin la mateixa distribució—.

Es considera la variable aleatòria \(\overline {X}_n\) definida com \[ \overline{X}_n = \frac{1}{n} (X_1 + X_2 + \dots + X_n)\]

Llei de Chebyshev dels grans nombres (llei dèbil):

\(\overline {X}_n\) convergeix en probabilitat a \(m\), la \(E(X)\). \[ \overline{X}_n \xrightarrow{P} m = E(X)\]

Donades \(n\) observacions independents \(\{x_1, x_2, \cdots , x_n \}\) d’una variable aleatòria \(X\), la mitjana mostral s’aproxima a la mitjana poblacional a mesura que \(n\) creix —el teorema de Bernoulli és un cas particular d’aquesta llei, donat que \(E(Y_n) = p\) —.

Llei de Khintchine dels grans nombres:

Es disposa de \(\{X_1, X_2, \cdots , X_n, \cdots \}\) variables aleatòries independents igualment distribuïdes. Amb esperança finita \(m\). Sense ser necessari que la variància existeixi. Es considera \[\overline{x}_n = \frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i\], aleshores \[ \overline{X}_n \xrightarrow{P} m \]

Les conseqüències —en el cas de que els moments corresponents existeixin— són:

1. El moment mostral convergeix en probabilitat al moment poblacional. \[\mathbf{a_k} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^k \xrightarrow{P} \mathbf{m_k} = E(X^k)\]
2. Si \(\sigma^2\) existeix, la variància mostral hi convergeix en probabilitat. \[\mathbf{S_n^2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \xrightarrow{\text{P}} \mathbf{\sigma^2}\]
3. El coeficient de correlació mostral convergeix en probabilitat al coeficient de correlació poblacional \(\mathbf{r_n} \xrightarrow{\text{P}} \mathbf{\rho}\).
4. Si el nombre d’observacions \(n\) és gran, qualsevol paràmetre que sigui funció dels moments —covariància, asimetria, curtosis— pot ser aproximat pel corresponent paràmetre mostral.

Llei forta dels grans nombres

La mitjana de \(n\) observacions independents d’una variable aleatòria \(X\) pot convergir —a la vegada— al seu valor mitjà \(m = E(X)\), en probabilitat —llei dèbil dels grans nombres— i de manera quasi segura —llei forta dels grans nombres—.

Llei forta de Borel:

Donada una successió de variables aleatòries independents \(\{X_n\}\) idènticament distribuïdes segons una \(\mathcal{B}(1,p)\), es satisfà què \[\frac{S_n - E[S_n]}{n} \xrightarrow{\text{q.s.}} 0\], amb \[S_n = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i, \ \forall n \in \mathbb{N}\]

Aquesta llei —per la relació entre convergència en probabilitat i quasi segura— reforça la llei dèbil de Bernoulli, i es pot expressar també com \[\frac{S_n}{n} \xrightarrow{\text{q.s.}} p\] Equivalent a \[P\left( \displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = p \right) = 1\]

Llei de Kolmogórov dels grans nombres:

Donada una successió de variables aleatòries independents \(\{X_n\}\), amb mitjanes \(m_i = E(X_i)\) i variàncies \(\sigma_i^2 = Var(X_i)\), en la que s’acompleix \[\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty} \frac{\sigma_i^2}{i^2} < +\infty\] , es verifica que \(\overline{X}_n - \overline{m}_n \xrightarrow{\text{q.s.}} 0\), amb \[\begin{align*} &\overline{X}_n = \frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_i \\ &\overline{m}_n = \frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \end{align*} \]

Si les variables aleatòries són igualment distribuïdes —amb variància comuna \(\sigma^2\)— es verifica que \[\overline{X}_n \xrightarrow{\text{q.s.}} m = E(X)\], convergència forta de la mitjana mostral a la mitjana poblacional.

Es té, doncs, que \[\frac{S_n - E[S_n]}{n} \xrightarrow{\text{q.s.}} 0 \iff E[X_n] < +\infty\], generalització de la llei forta de Borel a variables aleatòries amb distribució arbitrària.

Processos estocàstics

El concepte de procés estocàstic és útil a l’hora d’usar magnituds aleatòries que varien amb el temps. També per a caracteritzar una successió de variables aleatòries que varien en funció d’una altra variable, habitualment en el temps. Cada variable aleatòria per separat —o bé tot el seu conjunt— constitueix un procés estocàstic \(X(t)\) —també nomenat procés aleatori— sempre que evolucioni en el temps d’una manera probabilística.

Formalment [2015, Hillier-Lieberman, 29.1], un procés estocàstic es definit com una col·lecció indexada de variables aleatòries \(\{X_t\}\) —una característica d’interès, quantificable en el temps \(t\)—. La variable \(X_t\) representa l’estat del sistema en el temps \(t\) on \(t\) pren valors d’un conjunt \(T\) donat —generalment el conjunt de nombres enters no negatius—.

El procés estocàstic \(\{X_t\} = \{X_0, X_1, X_2, \cdots \}\) proporciona una representació matemàtica de la forma en que evoluciona la condició d’un sistema físic a través del temps —procés estocàstic de temps discret amb espai d’estats finit—.

Synera mostra una climatologia molt particular i constant en el temps: la probabilitat de que demà sigui un dia sec és 0.8, si avui és un dia sec, i 0.6, si avui és un dia plujós.

L’evolució del temps a Synera és un procés estocàstic. Per a tot \(t = (0, 1, 2, \cdots)\), la variable aleatòria \(X_t\) pren els valors 0 —si t és un dia sec— o 1 —si t és un dia plujós—.

El procés estocàtic \(\{X_t\}\) proporciona un model matemàtic de l’evolució del temps a Synera.

Models de Markov

Un model de Markov és un model estocàstic que simula les transicions entre els estats d’un sistema segons unes probabilitats calculades prèviament. Un model de Markov pot ser bàsicament de dos tipus diferents:

• Una cadena de Markov. Quan les probabilitats de transició entre els estats del sistema resten constants en el temps —al llarg de tota la simulació—. És aplicable —en general— en horitzons temporals curts.
• Un procés de Markov. Quan les probabilitats de transició entre els estats del sistema canvien en el temps de la simulació. És preferible en horitzons temporals llargs.

El matemàtic rus Andrei Markov (1856‐1922), alumne de la Universitat de San Petersburg i deixeble de Chebyshev, qui el promou com adjunt a l’Acadèmia de Ciències de San Petersburg. El 1898 substitueix Chebyshev en els seus cursos de teoria de probabilitat dins la Universitat. Introdueix les cadenes de Markov (1905) per tal d’assolir un model probabilístic capaç d’analitzar la freqüència de les vocals en poemes i textos literaris. Més tard, s’ha aplicat el seu mètode a molts altres àmbits, tant científics com socials.

Les cadenes de Markov són un tipus particular de procés estocàstic en el que la probabilitat d’evolució del procés en el futur depèn únicament del seu estat actual. No hi ha memòria del passat —fet conegut com a propietat markoviana o propietat de Markov—. [Andrei Markov, 1907]

Una cadena de Markov és una seqüència \((X_1, X_2, X_3, \cdots , X_n)\) de variables aleatòries. S’anomena espai estat al domini d’aquestes variables, on \(X_n\) representa el valor de l’estat del procés en el temps \(n\).

Si \(S\) representa el conjunt d’estats possibles, es té que quan \(S < \infty\) la cadena de Markov és finita, en cas contrari direm que és una cadena amb infinits estats.

Un estat de la cadena de Markov pot ser:

1. Accessible. L’estat \(j\) és accessible des de l’estat \(i\) si \(p_{ij}^{(n)} > 0\) per alguna \(n geq 0\) —amb \(p_{ij}^{(n)} > 0\) la probabilitat condicional d’arribar a l’estat \(j\) a partir de l’estat \(i\) en \(n\) passos—. Si a la vegada \((p_{ij}^{(n)} > 0)\) direm que els dos estats es comuniquen. —els estats que es comuniquen entre sí formen una classe, si tots els estats es comuniquen entre sí diem que la cadena de Markov és irreductible—.
2. Absorbent. Estat en el que, si s’hi entra, ja no se’n surt.
3. Recurrent. Estat que pertany a un conjunt d’estats \(T\), tancat. Només és possible passar d’un estat de \(T\) a altre estat de \(T\). Pot haver més d’un conjunt tancat en la mateixa cadena de Markov. Un cop s’ha sortit d’un estat recurrent és segur que s’hi tornarà algun cop —o infinits cops si el procés no acaba mai—.
4. Transitori. Ho són la resta dels estats. Des d’un estat transitori es pot arribar a qualsevol dels tres possibles tipus d’estat de la cadena. És força probable que, un cop s’ha sortit d’un estat transitori, no es torni mai més a visitar.

Una cadena de Markov pot ser:

• De temps continu, quan s’observa de manera contínua en el temps.
• De temps discret, quan s’observa únicament en moments discrets en el temps.

Formalment, es disposa dels espais de probabilitat \(\{(\Omega_1, \mathcal{A}_1, P_1 ), \cdots , (\Omega_n, \mathcal{A}_n, P_n ), \cdots \}\); associats a les experiències \(\{ \xi_1, \cdots, \xi_n, \cdots \}\). Aleshores —sota certes circumstàncies— ens interessa estudiar la llei que permet calcular la probabilitat \(P_n\) en funció dels resultats anteriors.

En teoria de probabilitat, és especialment interessant el cas de les cadenes de Markov de temps discret —en les que \(P_n\) només depèn del resultat de \(\xi_{n - 1}\)—. Quan s’acompleix la propietat de Markov.

Es repren l’exemple 72, reformulant-lo com una cadea de Markov.

Segons l’enunciat: \(P[X_{t + 1} = 0 \mid X_{t = 0} = 0.8 \) i \(P[X_{t + 1} = 0 \mid X_{t = 1} = 0.6 \). Els dos estats possibles són mútuament excloents. Per tant, les seves probabilitats sumen 1.

El procés estocàstic acompleix doncs la propietat de Markov i és una cadena de Markov. Representada pel següent diagrama d’estats.

---

Amb R:

---

S’observa que:

• \(p_{00} =0.8, p_{01} = 0.2\) amb \(p_{00} + p_{01} = 1\)
• \(p_{11} = 0.4, p_{10} = 0.6\) amb \(p_{11} +p_{10} = 1\)

Amb la matriu de transició d’estats:

Així, a partir del clima d’avui es pot predir el clima de demà i dels dies successius. Si avui és un dia sec (0), demà ho serà també amb un 0.8 de probabilitat. Si avui és un dia plujós (1), demà ho serà també amb un 0.4 de probabilitat.

Cadenes de Markov finites

Donat un espai de probabilitat finit \((\Omega,\mathcal{A},P_0)\). Amb \(\{E_1, E_2, \cdots, E_m \}\) els àtoms de l’àlgebra \(\mathcal{A}\) i \(\{E_1, E_2, \cdots, E_m \} = \Omega\).

Es diu que \(\{E_1, E_2, \cdots , E_m \}\) són els estats del sistema i que el vector fila \(p^{(0)}\) representa la distribució inicial del sistema.

\(\mathbf{p}^{(0)}\) descriu la probabilitat \(P_0\), segons la notació: \[\begin{align*} &P_0(E_1) = p_1^{(0)}, \cdots, P_0(E_m) = p_m^{(0)} \\ &\mathbf{p}^{(0)} = \left(\mathbf{p_1}^{(0)}, \cdots, \mathbf{p_m}^{(0)} \right) \end{align*} \]

Sigui \(\{\xi_0, \xi_1, \cdots , \xi_n, \cdots \}\) una successió d’experiències, cadascuna associada als espais de temps \(\{0, 1, \cdots, n, \cdots \}\).

Es defineix \(p^{(n)} = \left(p_1^{(n)}, \cdots, p_m^{(n)}\right)\) —el vector fila que descriu la distribució del sistema en l’experiència \(\xi_n\)—. Es diu que som en la prova \(n\) o en el pas \(n\).

Aleshores —si \(\omega\) és el resultat de \(\xi_n\) i \(\omega \in E_i\)— es diu que som a l’estat \(E_i\) en el pas \(n\).

S’anomena probabilitat de transició en el pas \(n\) —\(p_ij^{(n)}\)— a la probabilitat de passar de l’estat \(E_i\), en el pas \((n-1)\), a l’estat \(E_j\), en el pas \(n\) \[P\left[ E_j^{(n)} \mid E_{i_0}^{(0)}, E_{i_1}^{(1)}, \cdots, E_{i_{(n-1)}}^{(n-1)} \right]\]

Havent passat prèviament pels estats \(E_{i_0}, E_{i_1}, \cdots, E_{i_{n-1}}\). Probabilitat que depèn, per tant, d’aquests estats anteriors.

Es diu que \(\{\xi_0, \xi_1, \cdots , \xi_n, \cdots \}\) constitueixen una cadena de Markov si les probabilitats de transició verifiquen que \[p_{ij}^{(n)} = P\left( E_j^{(n)} \mid E_i^{(n-1)} \right)\]

[Només depèn de l’estat del sistema en el pas \(n - 1\). Únicament del resultat de \(\xi_{n - 1}\) i no dels resultats de \(\xi_0, \xi_1, \cdots, \xi_{n - 2}\)]

Les probabilitats de transició conformen la matriu de transició. Cada fila d’aquesta ha de sumar 1 —per les propietats bàsiques de la probabilitat— \[\sum_{j \in S} p_{ij} = \sum_{j \in S} P(X_1 = j \mid X_0 = i) = P(X_1 \in S \mid X_0 = i) = 1\]

La matriu de transició en un sol pas —donada una cadena de Markov amb \(k\) estats possibles \(S =(S_1, S_2, \cdots, S_k)\) i probabilitats de transició estacionàries— ve donada per l’expressió: \[P_{ij} = P\left( X_{(n+1)} = S_j \mid X_n = S_i \right)\] Aleshores es té la matriu de transició \[\mathbb{P} = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1k} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{k1} & p_{k2} & \cdots & p_{kk} \end{pmatrix}\]

Matriu de transició que ens proporciona les probabilitats relatives de l’estat del sistema en el pas següent. La distribució de la cadena de Markov en el pas \(n\) verifica \[p_j^{(n)} = p_{1j}^{(n)} \cdot p_1^{(n-1)} + \cdots + p_{mj}^{(n)} \cdot p_m^{(n-1)}\]

Partint de \(p^{(0)}\) —la distribució inicial del sistema— i utilitzant les probabilitats de transició en cada pas \(n\) —aplicant reiteradament la propietat de la distribució de la cadena de Markov en cadascun dels passos— es poden calcular les distribucions del sistema —en els passos \(\{1,\cdots,n\}\)—. \[ p^{(1)} = \left( p_1^{(1)}, \cdots, p_m^{(1)} \right), \cdots, p^{(n)} = \left( p_1^{(n)}, \cdots, p_m^{(n)} \right)\]

Equació de Chapman-Kolmogórov

1. :

Sigui \(p_1j^{(n)}\) la probabilitat de passar de l’estat \(E_i\) a l’estat \(E_j\) en \(n\) passos. Aleshores —per \(n \geq 2\)— es verifica \[p_{ij}^{(n)} = \displaystyle\sum_{k=1}^{m} p_{ik}^{(m)} \cdot p_{kj}^{(n-m)}\], per a qualsevol parell de temps, \(m\) i \(n\), amb \(1 \leq m < n\).

En efecte, suposem la cadena de Markov \(\{X_n\}\) —amb probabilitats de transició \(p_ij\)—. Per definició, i aplicant el teorema de les probabilitats totals \[\begin{align*} &p_{ij}^{(n)} = P(X_n = j \mid X_0 = i) \\ &p_{ij}^{(n)} = \frac{P(X_n = j, X_0 = i)}{P(X_0 = i)} \\ &p_{ij}^{(n)} = \frac{\sum_k P(X_n = j, X_m = k, X_0 = i)}{P(X_0 = i)} \end{align*} \]

—aplicant probabilitat condicional— \[p_{ij}^{(n)} = \frac{\sum_k P(X_n = j \mid X_m = k, X_0 = i) \cdot P(X_m = k, X_0 = i)}{P(X_0 = i)}\]

—aplicant la propietat de Markov— \[p_{ij}^{(n)} = \sum_k P(X_n = j \mid X_m = k) \cdot P(X_m = k \mid X_0 = i)\]

—suposant que les probabilitats de transició són estacionàries— \[\begin{align*} &p_{ij}^{(n)} = \sum_k P(X_{n-m} = j \mid X_0 = k) \cdot P(X_m = k \mid X_0 = i) \\ &p_{ij}^{(n)} = \sum_{k=1}^{m} p_{kj}^{(n-m)} \cdot p_{ik}^{(m)} \\ &p_{ij}^{(n)} = \sum_{k=1}^{m} p_{ik}^{(m)} \cdot p_{kj}^{(n-m)} \end{align*}\]

Proposició:

Si \(P\) és la matriu de probabilitats de transició en un pas, la probabilitat d’anar de l’estat i a l’estat \(j\) en \(n\) passos és igual a: \(p_{ij}^{(n)} = \left( \mathbb{P}^n \right)_{ij}\) —l’element \(ij\) de la matriu potència—

En efecte, per inducció sobre \(n\):

• És trivial que s’acompleix per a \(n = 1\) : \(p_{ij}^{(1)} = \left( \mathbb{P}^1 \right)_{ij}\).
• Suposem ara que s’acompleix per a \(n = m\) : \(p_{ij}^{(m)} = \left( \mathbb{P}^m \right)_{ij}\).
• Aleshores, per l’equació de Chapman-Kolmogorov: \(p_{ij}^{(m+1)} = \sum_k p_{ik}^{(1)} \cdot p_{kj}^{(m)}\)
• Per la hipòtesi d’inducció: \[\begin{align*} &p_{ij}^{(m+1)} = \displaystyle\sum_k p_{ik}^{(1)} \cdot (\mathbb{P}^m)_{kj} \\ &p_{ij}^{(m+1)} = (\mathbb{P} \cdot \mathbb{P}^m)_{ij} = (\mathbb{P}^{m+1})_{ij} \end{align*} \]
• És a dir, si s’acompleix per a \(n = m\) també ho fa per a \(n = m + 1\).

Distribució marginal del pas \(n\)-èsim:

Un cop conegudes les probabilitats de transició en \(n\) passos, es calcula la distribució marginal del pas \(n\)‐èsim \[P(X_n = j) = \sum_i P(X_n = j \mid X_0 = i) = \sum_i p_{ij}^{(n)} \cdot \pi_i^0\], on

• \(\pi^0\) és la distribució inicial de probabilitat de \(X_0\), amb \(\pi_i^0 = P(X_0 = i)\).
• \(\pi^n\) és la distribució de probabilitat en \(n\) passos, amb \(\pi_i^n = P(X_n = i)\).

I, per tant \(\pi^n = \pi^0 \cdot \mathcal{P}^n\)

Estat esperat:

Partint d’un instant \(i\), es calcula l’estat esperat en l’instant \(n\) com \[E(X_n \mid X_0 = i) = \displaystyle\sum_{j=0}^{\infty} j \cdot P(X_n = j \mid X_0 = i) = \displaystyle\sum_{j=0}^{\infty} j \cdot p_{ij}^{(n)}\] i, en general, \[E(X_n) = \displaystyle\sum_{j=0}^{\infty} j \cdot P(X_n = j) = \displaystyle\sum_{j=0}^{\infty} j \displaystyle\sum_i p_{ij}^{(n)} \cdot \pi_i^0 \]

Es calcula la matriu de transició associada a un graf.

---

Amb R:

Observis que l’estat 3 és un estat absorbent.

Es calcula la matriu de transició en tres passos a partir de la matriu inicial de l’exercici anterior.

---

Amb R:

Suposis ara que som inicialment a l’estat 1 i es vol calcular les probabilitats dels altres estats, en tres passos —si fossin dies, seria tres dies després—.

---

Amb R:

Com era d’esperar, la suma de les tres probabilitats és igual a 1:

Es repren l’exemple 72. Suposant que el dia és sec a Synera. Quina és la probabilitat de que ho sigui també dos dies més tard?

---

Amb R:

---

La probabilitat que es demana és 0.76. Observis que —si avui és un dia plujós (1)— la probabilitat de que passat demà també ho sigui és 0.28.

Kuntz i Weinstein ^[24][25] descriuen un model de Markov en un estudi sobre l’evolució del càncer de mama. Es consideren quatre estats possibles:

1. càncer localitzat
2. càncer localitzat amb recurrència
3. càncer metastàtic
4. mort

Amb un període de transició entre cada estat de 1 any.

Es calculen les següents matrius de transició; \(A\) (sense tractament), \(B\) (amb tractament):

Suposant una pacient en estat 1, calculis la probabilitat de supervivència en 5 anys en els dos casos descrits.

---

Amb R:

---

La probabilitat de supervivència en cinc anys és —aproximadament— de \(1 - 0.18 = 0.82\) (82 %) en els pacients tractats i de \(1 - 0.19 = 0.81\) (81 %) en els pacients no tractats.

S’observa que la millora del tractament es dona principalment en la disminució de la metàstasi, el pas a l’estat 3, en quasi un 50 %.

Matrius estocàstiques

S’anomena vector probabilístic a un vector fila \(p = (p_1, p_2, \cdots , p_m)\) d’elements no negatius que sumen 1. S’anomena matriu estocàstica a una matriu quadrada amb vectors probabilistics com a files.

En són exemples respectius: la distribució del sistema \(p^{(n)}\) i la matriu de transició \(P\) d’una cadena de Markov.

Propietats:

• Una matriu \(\mathcal{A}\) és estocàstica sí i només sí admet el vector columna \(u\) —amb tots els elements iguals a 1— com a vector propi d’\(\mathcal{A}\). De valor propi \(\lambda = 1\). És a dir: \(\mathcal{A} \cdot u = u\).
• Si \(\mathcal{A}\) i \(\mathcal{B}\) són matrius estocàstiques del mateix ordre, la matriu producte és també una matriu estocàstica. En particular, \(\forall n \ \mathcal{A}^n\) és matriu estocàstica.
• Una matriu estocàstic té —almenys— un valor propi igual a 1. Els altres valors propis són nombres —reals o complexes— de mòdul igual o menor que 1.
• Es diu que una matriu estocàstica \(\mathcal{A}\) es regular si alguna potència \(\mathcal{A}^n\) té tots els seus elements positius. Condició necessària per a que \(\mathcal{A}\) sigui regular és que 1 sigui valor propi simple d’\(\mathcal{A}\). Les matrius regulars s’utilitzen per a estudiar les propietats ergòdiques de les cadenes de Markov, com es veurà més endavant.

Teorema:

Si \(\mathcal{A}\) és una matriu estocàstica regular:

• Cada element de \(\mathcal{A}^n\) tendeix a cada element de \(\mathcal{B}\). Amb \(\mathcal{B}\) una matriu amb totes les files iguals a un vector probabilístic \(p\) d’elements positius: \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \mathcal{A} = \mathcal{B}\)
• \(p\) es únic i vector invariant d’\(\mathcal{A}\) per l’esquerra: \(p \cdot \mathcal{B} = p\)
• \(\forall q\) —vector probabilístic— la successió \(\{q\mathcal{A}, q\mathcal{A}^2, \cdots\}\) convergeix al vector invariant \(p\): \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} q \cdot \mathcal{A}^n = p \)

Cadenes homogènies

Una cadena de Markov és homogènia en el temps —o simplement homogènia— si es verifica \[p_{ij}^{(n)} = p_{ij}, \ \forall i, j, n \in \mathcal{N}.\]

La seva matriu de transició és la següent. On cada \(p_ij\) representa la probabilitat de passar de l’estat \(E_i\) a l’estat \(E_j\) al passar de l’instant \(n - 1\) a l’instant \(n\) —independentment de \(n\)—: \[\mathbb{P} = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1m} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{m1} & p_{m2} & \cdots & p_{mm} \end{pmatrix} \]

Propietats:

\(\mathcal{P}\) és una matriu estocàstica.

• \(\mathcal{P}^n = \mathcal{P}(n) = [p_{ij} (n)]\). La potència \(n\)-èsima de la matriu \(\mathcal{P}\).
• La distribució del sistema en el pas 1 és \(p^{(1)} =p^{(0)} \cdot \mathcal{P}\). En general, \(p^{(n)} = p^{(0)} \cdot \mathcal{P}^n\).

Estats absorbents

Dit d’una forma planera: un estat absorbent és aquell en el que, si s’hi entra, ja no s'hi pot sortir i —a més— s’hi ha de poder arribar en un nombre finit de passos.

Formalment —en una cadena de Markov homogènia— un estat \(E_j\) és absorbent si \(p_{jj} = 1\) —tal com s’observa al graf—.

S’anomena probabilitat d’absorció \(a_j (i)\) a la probabilitat d’arribar a l’estat absorbent \(E_j\) des de l’estat \(E_i\). Amb \[a_j(i) = \displaystyle\sum_{i=1}^{m} p_{ik} \cdot a_j(k)\]

Si una cadena de Markov té \(r\) estats absorbents —i \(m\) estats no absorbents—, reordenant files i columnes, s’expressa la matriu de transició en forma canònica: \[\mathcal{P} = \begin{pmatrix} \mathcal{I} & 0 \\ A & P_1 \end{pmatrix} \]

Amb,

• \(\mathcal{I}\) la matriu identitat \((r \times r)\)
• \(0\) una matriu nul·la \(\left[r \times (m - r)\right]\)
• \(P_1\) una matriu quadrada \(\left[(m - r) \times (m - r)\right]\).

Propietats:

1. \(\mathcal{P}^n = \begin{pmatrix} I & 0 \\ B_n & P_1^n \end{pmatrix}\), on \(P_1^n \to 0\), quan \( n \to \infty\)
2. Es defineix \(\mathcal{N} = (I - P_1)^(-1)\). El nombre mitjà de vegades \(n_{ik}\) que el sistema passa per l’estat \(E_k\), partint de l’estat \(E_i\), abans de ser absorbit, és cadascun dels elements de la matriu \(\mathcal{N} = (n_{ik}\).
3. El nombre mitjà de passos fins arribar a un estat d’absorció partint de \(E_i\) és \(n_i = \sum_{k=r+1}^{m} n_{ik}\)
4. Les probabilitats \(q_{ij}\) d’arribar a l’estat absorbent \(E_j\), partint de \(E_{i + r}\), són elements de la matriu \(\mathcal{Q} = (q_{ij})\) tal que \(\mathcal{Q} = \mathcal{N} \cdot \mathcal{A}\)
5. \(\widetilde{\mathcal{P}} = \lim_{n \to \infty} \mathcal{P}^n = \begin{pmatrix} I & 0 \\ Q & 0 \end{pmatrix}\), amb \[\begin{pmatrix} I \\ Q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ q_{11} & q_{12} & \cdots & q_{1r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ q_{s1} & q_{s2} & \cdots & q_{sr} \end{pmatrix} \quad (s = m - r) \] matriu amb vectors columna propis de valor propi \(\lambda = 1\) i multiplicitat \(r\).

Al graf anterior, el 3 és un estat absorbent. Recordem que un estat absorbent és aquell en el que —si s’hi entra— ja no s’hi pot sortir i —a més— s’hi ha de poder arribar en un nombre finit de passos

Amb R, recuperant l’exemple 74: absorbingStates(cadena) \(\rightarrow\) [1] "3"

Calculis el nombre mitjà de passos per arribar a l’estat 3 si inicialment som a l’estat 1.

La matriu de transició i la forma canònica són:

El nombre mitjà de passos demanat és:

• \(1/3 \cdot (4 + 3) = 2.3\)
• \(1/3 \cdot (2 + 6) = 2.6\)
1. ̅

Amb R: meanAbsorptionTime(cadena) \(\rightarrow\) 2.333333 \(\quad\) 2.666667

Distribució ergòdica o distribució límit.

La distribució estacionària d’una cadena de Markov homogènia amb matriu de transició \(\mathcal{P}\) ve definida pel vector probabilístic invariant \(p = (p_1, p_2, \cdots, p_m)\), de manera que \(p·\mathcal{P}^n = p\).

Donades \(p_{ij}^{(n)}\) les probabilitats de transició en \(n\) passos, si \[\forall i, \ \exists \displaystyle\lim_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = p_{ij}\], amb \(j = \{1, 2, \cdots, m \}\) es diu que \(p = (p_1, p_2, \cdots, p_m)\) és la distribució ergòdica —o d’equilibri— de la cadena de Markov. Amb \(\{p_1, p_2, \cdots , p_m\}\) les seves probabilitats ergòdiques.

[Quan \(n \to \infty\), la distribució ergòdica coincideix amb la distribució estacionària]

A més, es té que \[p_{ij}^{(n)} = \sum_{k=1}^{m} p_{ik}^{(n-1)} \cdot p_{kj}\]

Si \(\mathcal{P}\) és una matriu estocàstica regular, la distribució del sistema arriba a una distribució d’equilibri, independentment de la distribució inicial.

Teorema:

Si \(\mathcal{P}\) és una matriu estocàstica regular i \(p^{(0)}\) és la distribució inicial, aleshores \[\displaystyle\lim_{n \to \infty} p^{(n)} = \displaystyle\lim_{n \to \infty} p^{(0)} \cdot p^{(n)} = p\], amb \(p\) el vector probabilístic invariant de \(\mathcal{P}\) que defineix la distribució estacionària del sistema.

Generalment, existeix una distribució d’equilibri per a una cadena de Markov homogènia quan s’acompleixen les següents condicions:

Teorema:

Si alguna potencia \(\mathcal{P}^r\) de la matriu de transició té una columna amb tots els elements positius, existeix la distribució ergòdica —tal com s’ha descrit inicialment en aquest apartat— que és única.

Es verifica també el teorema anterior —independentment de la distribució \(p^{(0)}\) inicial del sistema—.

Teorema:

Per tal de que existeixi la distribució ergòdica, és condició necessària i suficient que 1 sigui valor propi simple de la matriu de transició \(\mathcal{P}\). Mentre que els altres valors propis han de tenir mòdul inferior a 1.

A l'exemple 74 es planteja el sistema d’eqüacions: \[(x, y, z) \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = (x, y, z) \implies x = 0, \ y = 0, \ z = 1 \]

\(z\) —es correspon a l’estat 3, i es ressol com a estat absorvent —valor 1—

Amb R: steadyStates(cadena), ens indicarà que l'estat 3 és absorvent.

A la llarga l’estat estable del clima a Synera —exemple 73— és:

---

Amb R:

---

El 25 % dels dies seran plujosos i el 75 % seran secs.

 

Jordi Coll Vera - 2022