a) Agrupis les dades en intervals d’igual longitud —tancats per l’esquerra i oberts per la dreta—. Com afecta la distribució dels intervals a la precisió de les dades obtingudes? Calculis els valors d’interès descriptiu.

Amb R:

Al agrupar-se les dades en intervals, hi ha una pèrdua d’informació. Pèrdua que augmenta amb l’amplitud dels intervals.

Calculem ara els valors descriptius d'interès.

Mitjana aritmètica \(\bar x\) : mean(alçades) \(\rightarrow\) 174.1

Mitjana geomètrica : geometric(alçades) \(\rightarrow\) 173.9395

Mediana (\(M_e\)) : median(alçades) \(\rightarrow\) 173.5

Moda (\(M_o\)) : mfv(alçades) \(\rightarrow\) 176

Variància mostral (\(S_N^2\)) : variancia(alçades) \(\rightarrow\) 56.29

Variància mostral corregida (\(S^2_{(N-1)}\))[La quasivariància. Per defecte amb R.] : var(alçades) \(\rightarrow\) 47.43878

Desviació estàndard (\(S_N\)) : sd(alçades) \(\rightarrow\) 7.578837

Rang(\(R\)) : range(alçades) \(\rightarrow\) 160 \(\quad\) 192

Quantils (a la imatge anterior).

Si es vol calcular —per exemple— únicament el quantil del 25 %: quantile(alçades, c(.25)) \(\rightarrow\) 25% \(\quad\) 168.25

Rang interquartíl·lic (\(IQR\)) : IQR(alçades) \(\rightarrow\) 10.75

Skewness : skewness(alçades) \(\rightarrow\) 0.3157094

Kurtosis : kurtosis(alçades) \(\rightarrow\) 2.459508

El coeficient és positiu. La distribució s’anomena leptocúrtica. Hi ha una major concentració de dades en torn a la mitjana.

a) Agrupis les dades en intervals d’igual longitud —tancats per l’esquerra i oberts per la dreta—. Com afecta la distribució dels intervals a la precisió de les dades obtingudes? Calculis els valors d’interès descriptiu.

Es representen les dades amb un histograma. S’ajusten les dades a una funció de densitat normal —de mitjana i desviació estàndard calculades anteriorment—.

Amb R:

Amb R:

S’observa que a la part cremada (A) l’ICS és major. Hi ha més diversitat específica —per terme mitjà—.

Per tal de comparar la variabilitat entre A i B, es calcula el coeficient de variació: \[\begin{align*} &V_A = \frac{\sigma_A}{ICS_A} = \frac{0.74749}{1.3403330} \cdot 100 \approx 55.8\% \\ &V_B = \frac{\sigma_B}{ICS_B} = \frac{0.62651}{1.00684147} \cdot 100 \approx 62.2\% \end{align*}\]

A la part cremada les dades són més homogènies (\(V_A < V_B\)). En tot dos casos el coeficient de variació és inferior al 80 %, per tant la mitjana és representativa de les dades —més en la part cremada—.

Respecte la forma, l’índex de la zona cremada és quasi leptocúrtic. La curtosis és - 0.88523.

L’índex a la zona no cremada (B) mostra asimetria positiva i curtosis negativa —menor que a la zona cremada—.

Distribució de freqüències o empírica: 22 cares i 28 creus.

Distribució de probabilitat o teòrica: 25 cares i 25 creus.

S’observa que la moneda no és ideal —encara que són poques dades…— la distribució empírica és diferent de la teòrica.

Amb R:

dades <- c(4,7,6,7,5,5,4); mean(dades) \(\rightarrow\) 5.428571

Calculat com: \[\frac{4 + 7 + 6 + 7 + 5 + 5 + 4}{7} \approx 5.43\] o bé com: \[ \frac{(4 \cdot 2) + (7 \cdot 2) + (5 \cdot 2) + 6}{7} \approx 5.43\]

S’observa a més que \[\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \left( x_i - \overline{X}_n \right) = 0\]

dades <- c(4,7,6,7,5,8,9); median(dades) \(\rightarrow\) 7

Els elements són agrupats en classes. Com \(n\) és senar, la mitjana serà el valor que ocupa la posició 31 —dins la classe \([11,13)\) — \[\tilde{x} = 11 + \left( \frac{\frac{61}{2} - (5 + 11 + 10)}{7} \right) \cdot 2 = \frac{86}{7} \approx 12.29\]

Es té que \[D = 7 + \left( \frac{11 - 5}{2 \cdot 11 - 5 - 10} \right) \cdot 2 = 12\]

S’observa que \(D = 12, \tilde x = 12.29, \bar x = 12.2951\). S’acompleix així la inequació: \(D < \tilde x < \bar x\)

La moda és sempre menor que la mediana i la mediana és sempre menor que la mitjana.

Amb R:

La moda de la mostra és 7, el valor central.

Amb R:

L’augment mitjà aproximat ha estat del 9.31 % —donat que \(1 + 0.0931 = 1.0931\)—.

Sigui \(x\) l’increment buscat, l’increment serà igual a \(200 \cdot (1 + x)^i\), on \(i\) és el número del dia.

Aleshores, segons l’enunciat, l’increment és \(200 \cdot (1 + x)^3 = 5000 \implies x \approx 1.924 = 192.4 \text{ %}\).

Amb R:

La mitjana geomètrica de la mostra és 6.37.

O també, amb igual resultat:

Amb R:

\[\overline{x}_H = \frac{3}{\frac{100}{10} + \frac{75}{5} + \frac{20}{1}} = \frac{1}{15} \approx 0.07\]

El nombre mitjà d’articles per cada cèntim d’euro és 0.07.

També es pot fer el següent raonament: Respectivament, els articles surten a 10, 15 i 20 cèntims d’euro. Per tant 3 articles a un preu mitjà de \[\frac{3}{10 + 15 + 20} = \frac{1}{15} \approx 0.07\]

La mitjana global és \[\overline{x}_G = \frac{1 + 1}{\frac{1}{20} + \frac{1}{50}} = \frac{200}{7} \approx 28.57 \text{ km/h}\]

Amb R:

La mitjana harmònica de la mostra és 6.15.

Amb R:

La mitjana quadràtica de la mostra és 6.76.

Amb R:

La mitjana ponderada de la mostra és 6.44.

Com més gran és el pes d’un element, més importància adquireix en el càlcul. Si tots els elements tenen el mateix pes la mitjana ponderada coincideix amb la mitjana —en aquest cas igual a 6.571429—.

Amb R:

Amb R:

a) Les freqüències i la distribució per quartils.

Amb R:

b) El percentil al 43 %.

quantile(alçades, c(.43)) \(\rightarrow\) 172.07

El 43 % de les dades són inferiors a 172.07.

c) El rang de distribució.

range(alçades) \(\rightarrow\) 160 \(\quad\) 188

En aquest exemple —aproximat a una distribució normal— es podria estimar la desviació tipus de la població a partir de \[\hat{s} \approx \frac{R}{6} = \frac{188 - 160}{6} = \frac{28}{6} = 4.\overline{6}\]

Això és així donat que en una distribució normal el 99.7 % dels seus valors són dins l’interval \(6 \sigma\).

d) El rang interquartíl·lic.

Q1 <- quantile(alçades, c(.25)) \(\rightarrow\) 25% \(\quad\) 168

Q3 <- quantile(alçades, c(.75)) \(\rightarrow\) 75% \(\quad\) 177.75

IQR(alçades) \(\rightarrow\) 9.75

Q3 - Q1 \(\rightarrow\) 75%

e) La variància i la quasivariància i la desviació típica.

Amb R:

La variància de la mostra és 46.04 i la quasivariància 46.98.

La desviació típica de la mostra, calculadad de dues maneres, és 6.85.

Al normalitzar les dades es poden comparar millor els dos alumnes: \[\begin{align*} &z_1 = \frac{9 - 6}{1} = 3 \\ &z_2 = \frac{10 - 7}{2} = 1.5 \end{align*}\]

Ara queda evident quin és el millor candidat. El primer alumne té millors notes —malgrat tenir menys punts—.

Es té \[\begin{align*} &V(x) = r = \frac{S}{|\overline{x}|} = \frac{2}{10} = 0.2 \\ &V_r = \frac{r}{\sqrt{n-1}} \cdot 100 = \frac{0.2}{\sqrt{80 - 1}} \cdot 100 \approx 2.25\% \end{align*}\]

El coeficient de variació relativa de la mostra és 2.25 %.

Amb R:

S’observa més variabilitat a les mostres 1 i 3.

Amb R:

S’observa que la massa central de les dades es troba entre \(6.693/1.463 \approx 4.58\) i \(6.693 \cdot 1.463 \approx 9.79\).

Amb R:

El coeficient d’asimetria de Fisher de la mostra és 0.045. El que ens indica una distribució quasi normal.

Amb R:

La curtosis \(-1.51\) ens indica una distribució platicúrtica. Les erupcions s’agrupen en una distribució bimodal —respecte a durada i temps d’espera—. Hi ha una relació directament proporcional entre la duració de l’erupció i el temps d’espera fins la propera erupció. Les erupcions més freqüents són les de més durada.

Amb R:

La desviació típica de les notes és 2.22.

S’observen, al diagrama de caixa, els bigotis i els intervals de confiança per a la mediana.

Amb R:

S’agrupa la variable \(T_max\) en intervals de 2 °C i es compta el nombre de dies dins cada interval —les freqüències absolutes— i es dibuixa l’histograma i la normalització de les dades.

Es poden calcular també les freqüències relatives —el quocient entre la freqüència absoluta i el nombre total de dades—.

La mida de la mostra és \(n = 44\). El vector d’observacions és \(X = (x_1, x_2, \cdots ,x_44)\). La variable \(k = 6\) pren els diferents valors \(x = (0, 1, 2, 3, 4, 5)\).

Amb R:

Amb R:

Si es disposa de les dades agrupades es pot calcular la mitjana com: \[\overline{x}_{27} = \frac{(25 \cdot 5) + (35 \cdot 5) + (45 \cdot 12) + (55 \cdot 4) + (65 \cdot 1)}{27} \approx 41.667\]

La desviació típica és: \(s_{27} \approx 10.541\).

La classe de la mediana és \((40,50)\) ja que \(F_3 = 0.815\ (18.52 \text{ %})\ \text{ i } F_2 = 0.370\ (37.04 \text{ %})\), per tant \[M = 40 + \frac{50 - 40}{12} \left( \frac{27}{2} - 10 \right) \approx 42.91\]

i el primer quartil resulta \[Q_1 = 30 + \frac{30 - 20}{5} \left( \frac{27}{24} - 5 \right) \approx 33.5\]

Amb R:

Amb R:

Amb R:

El primer valor \((1.0)\) ens indica la magnitud mínima i l’últim \((8.3)\) la magnitud màxima. A l’esquerra de la barra hi tenim les parts enteres de la variable i a la dreta els valors del primer decimal.

Per exemple, hi ha tres terratrèmols de magnituds 4 (4.0, 4.1, 4.1).

S’observa asimetria positiva —la freqüència disminueix a mesura que augmenta la magnitud—.

Amb R:

Observis que el gràfic de barres horitzontals és més senzill i més clar.

Amb R:

Observis que el gràfic ens permet analitzar la dispersió i identificar-hi els diferents clusters.

Amb R:

S’observa que les diferències es donen principalment en la precipitació total acumulada i en la velocitat del vent. L’any més regular ha estat l’any 2020.

Amb R:

Amb R:

Amb R:

S’observa que els vents predominants són del sud-oest (entre WSW i SSW).