Es tracta de extraccions sense reemplaçament (permutacions). La probabilitat de no guanyar el premi ve donada per l’expressió \[\frac{\binom{1}{0} \binom{99}{10}}{\binom{100}{10}} = 0.9\]

(choose(1,0)*choose(99,10))/choose(100,10) \(\rightarrow\) 0.9

Per tant, la probabilitat de guanyar el premi és \(1 - 0.9 = 0.1\).

També es pot calcular com \[P(A) = \frac{\binom{100 - 1}{10 - 1}}{\binom{100}{10}} = 0.1\]

Sigui \(A\) l’esdeveniment “tenir premi”, amb:

• Casos favorables = 10.
• Casos possibles = 100.

\(P(A) = 10/100 = 0.1\).

a) \(B\) rebi els quatre reis.

Hi ha quatre reis a la baralla. La probabilitat de que \(B\) rebi els quatre reis és: \[\frac{\binom{52 - 4}{13 - 4}}{\binom{52}{13}} = \frac{\binom{48}{9}}{\binom{52}{13}} \approx 0.26\%\]

choose(48,9)/choose(52,13) \(\rightarrow\) 0.002641056

b) \(B\) no rebi cap rei..

Hi ha quatre reis a la baralla. La probabilitat de que \(B\) no rebi cap rei, és: \[\frac{\binom{52 - 4}{13}}{\binom{52}{13}} = \frac{\binom{48}{13}}{\binom{52}{13}} \approx 30.38\%\]

choose(48,13)/choose(52,13) \(\rightarrow\) 0.3038175

c) Entre \(B\) i \(D\) rebin totes els diamants..

Hi ha tretze diamants a la baralla. La probabilitat de que \(B\) i \(D\) els rebin tots, és: \[\frac{\binom{52 - 13}{13}}{\binom{52}{13}} = \frac{\binom{39}{13}}{\binom{52}{13}} \approx 1.28\%\]

choose(39,13)/choose(52,13) \(\rightarrow\) 0.01279095

d) Entre \(B\) i \(D\) rebin tots els asos i els reis.

Hi ha quatre asos i quatre reis a la baralla. La probabilitat de que \(B\) i \(D\) els rebin tots, és: \[\frac{\binom{52 - 8}{26 - 8}}{\binom{52}{26}} = \frac{\binom{44}{18}}{\binom{52}{26}} \approx 0.21\%\]

choose(44,18)/choose(52,26) \(\rightarrow\) 0.002076008

Sigui \(\Omega = \left\{\binom{52}{2}\ \text{parells de cartes}\right\}\)

Siguin els esdeveniments:

• \(A\) = “la primera carta és un trèvol i la segona no ho és”
• \(B\) = “la primera carta no és un trèvol i la segona sí que ho és”

a) Les dues siguin trèvol \[P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{13}{52} \cdot \frac{12}{51} = \frac{39}{663}\]

Es pot resoldre també aplicant el regle de Laplace:

• Casos favorables: \(binom{13}{2} = 78\)
• Casos possibles: \(binom{52}{2} = 1326\)

Per tant: P(“dos trèvols”) = (casos favorables)/(casos possibles) = 78/1326 = 39/663

b) Almenys una sigui un trèvol.

Es correspon a l’esdeveniment \(A \cup B\) \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - \left[ P(A) \cdot P(B|A) \right] = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \left( \frac{1}{4} \cdot \frac{12}{51} \right) = \frac{15}{34}\]

Es pot resoldre també aplicant el regle de Laplace. Es calcula P(“cap trèvol”):

• Casos favorables: \(binom{39}{2} = 741\)
• Casos possibles: \(binom{52}{2} = 1326\)

P(“cap trèvol”) = (casos favorables)/(casos possibles) = 741/1326 = 247/442

Aleshores, P(“almenys un trèvol”) = 1 – P(“cap trèvol”) = 1 - 247/442 = 15/34

c) Una sigui trèvol i l’altre pica.

Siguin ara els esdeveniments:

• A= “la primera carta és un trèvol i la segona una carta qualsevol”
• B= “la primera és una carta qualsevol i la segona una pica”
• C= “la primera és una carta qualsevol i la segona un trèvol”
• D= “la primera carta és una pica i la segona una carta qualsevol”

Aleshores: \[\begin{align*} &P((AB) \cup (CD)) = P(AB) + P(CD) = \left[ P(A) \cdot P(B|A) \right] + \left[ P(C) \cdot P(D|C) \right] \\ &P((AB) \cup (CD)) = \left( \frac{13}{52} \cdot \frac{13}{51} \right) + \left( \frac{13}{52} \cdot \frac{13}{51} \right) = \frac{13}{102} \end{align*}\]

Es pot resoldre també aplicant el regle de Laplace. Es calcula P(“trèvol i pica”):

• Casos favorables: \(\binom{13}{1} \cdot \binom{13}{1} = 169\)
• Casos possibles: \(\binom{39}{2} = 741\)

Aleshores, P(“trèvol i pica”) = (casos favorables)/(casos possibles) = 169/1326 = 13/102

En el poble sinistrat hi ha 200 persones, de les quals 3 són familiars i 197 no ho són. Durant el terratrèmol moren 70 persones del poble.

La funció de densitat de probabilitat de “nombre de familiars morts = 3” és \[f(3) = \frac{\binom{3}{3} \binom{197}{67}}{\binom{200}{70}} \approx 41.68\%\]

(choose(3,3)*choose(197,67))/choose(200,70) \(\rightarrow\) 0.04167809