Tornar a l'index4 - Problemes ressolts d'Espais de probabilitat i Àlgebres finites.
Enunciat 4.1
Sigui \(\Omega\) = “el conjunt de casos possibles que resulten de la tirada d’un dau”. Quines de les següents classes de conjunts són \(\sigma\)-àlgebres:
- \(\mathcal{A}_1 = \{\emptyset, \Omega\}\)
- \(\mathcal{A}_2 = \{\emptyset, X, X^c, \Omega\}\), amb \(X \subseteq \Omega\)
- \(\mathcal{A}_3 = 2^\Omega\), el conjunt potència.
- \(\mathcal{A}_4 = \{\emptyset, \{1\}, \{2,3\}, \{4,5\}, \Omega\}\)
Solució
1. Sí que ho és. És la σ-àlgebra més petita assignable a un espai mostral. Acompleix les tres condicions per ser una σ-àlgebra:
- És tancada sota complement: \(\forall A \in \mathcal{A}_1, A^c \in \mathcal{A}_1\). En efecte, \[\emptyset \in \mathcal{A}_1 \quad \emptyset^c = \Omega \in \mathcal{A}_1 \quad \Omega \in \mathcal{A}_1 \quad \Omega^c = \emptyset \in \mathcal{A}_1\]
- És tancada sota unions numerables: \[\forall A_i \in \mathcal{A}_1, \bigcup_{k=1}^{\infty} A_k \in \mathcal{A}_1\]
- En efecte, \[\emptyset \cup \Omega = \mathcal{A}_1 \in \mathcal{A}_1\]
- \(\Omega \in \mathcal{A}_1\).
2. És fàcil determinar que \(\mathcal{A}_2\) és també una \(\sigma\)-àlgebra.
3. És fàcil determinar que \(\mathcal{A}_3\) és també una \(\sigma\)-àlgebra. Qualsevol operació entre conjunts de \(P(\Omega)\) és tancada.
4. \(\mathcal{A}_4\) no és una \(\sigma\)-àlgebra. Per exemple, \({1}^c = \{2,3,4,5\} \notin \mathcal{A}_4\).
Enunciat 4.2
Siguin
- \(\Omega\)= “el conjunt de casos possibles que resulten de la tirada d’un dau”.
- \(S\) = “el conjunt de casos senars possibles que resulten de la tirada d’un dau”.
- \(P\) = “el conjunt de casos parells possibles que resulten de la tirada d’un dau”.
Es considera l’àlgebra \(\mathcal{A} = \{ \emptyset, S, P, \Omega \}\), amb
- \(P(S) = P(P) = 0.5\)
- \(P(S) + P(P) =1\)
Expliquis perquè, en aquest cas, un esdeveniment elemental no és un esdeveniment de probabilitat.
Solució
Per exemple, l’esdeveniment elemental “que surti un 4” no pertany a \(\mathcal{A}\). Per tant no té probabilitat. Únicament es pot dir —cas de sortir un 4 en una tirada— que s’ha presentat l’esdeveniment “el nombre és parell” i que la seva probabilitat és 0.5.
Les probabilitats de 2, 4, i 6 —cas parell— ens són desconegudes. Únicament sabem que la suma de les seves probabilitats és igual a 0.5.
Enunciat 4.3
D’una baralla francesa de 52 cartes, se n’extreu una d’elles. Calculis la probabilitat de que:
- Sigui figura o piques.
- Sigui figura però no de diamants.
Solució
El conjunt d’esdeveniments elementals és \(\Omega = \{\text{les 52 cartes de la baralla}\}\).
Siguin els esdeveniments \(F = \{\text{figures}\},\ P = \{\text{piques}\},\ D = \{\text{diamants}\}\).
1. Sigui figura o piques. \[P(F \cup P) = P(F) + P(P) - P(F \cap P) = \frac{12}{52} + \frac{13}{52} - \frac{3}{52} = \frac{22}{52} = \frac{11}{26}\]
Hi ha 12 figures, 13 piques i 3 figures són piques.
2. Sigui figura però no de diamants. \[P(F \cap D^c) = \frac{12 - 3}{52} = \frac{9}{52}\]
3 de les dotze figures són diamants.
Enunciat 4.4
En un determinat país, els canals de televisió vistos amb més preferència són els canals: A, B i C. El 35% de la població prefereix el A, el 25% el B i el 20% el C. El 13% mira el A i el B; el 12% el A i el C; i el 8% el B i el C. Finalment, el 5% els mira tots tres.
Calculis:
- El percentatge de persones que miren, almenys, un dels canals.
- El percentatge de persones que només mira el canal A.
- El percentatge de persones que miren el B i el C, però no el A.
- El percentatge de persones que miren el A o bé no miren ni el B ni el C.
Solució
\(\Omega = \{\text{població de la ciutat}\}\).
L’esdeveniment \(\{\text{un ciutadà mira el canal A o B o C}\}\) s’indicarà com \(A o B o C\), respectivament —observis que un ciutadà no és un esdeveniment –no té sentit determinar, amb les dades de que es disposa, la probabilitat d’un ciutadà en concret—.
Es construeix l’àlgebra d’esdeveniments a partir de totes les unions, interseccions i complementacions de A, B i C.
1. El percentatge de persones que miren, almenys, un dels canals: \[\begin{align*} &P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C) \\ &P(A \cup B \cup C) = 0.35 + 0.25 + 0.20 - 0.13 - 0.12 - 0.08 + 0.05 = 0.52 = 52\% \end{align*}\]
2. El percentatge de persones que només mira el canal A: \[\begin{align*} &P(A \cap B^c \cap C^c) = P(A \cup B \cup C) - P(B) - P(C) + P(B \cap C) \\ &P(A \cap B^c \cap C^c) = 0.52 - 0.25 - 0.20 + 0.08 = 0.15 = 15\% \end{align*}\]
3. El percentatge de persones que miren el B i el C, però no el A: \[P(A^c \cap (B \cup C)) = 0.9 + 0.3 + 0.5 = 0.17 = 17\%\]
4. El percentatge de persones que miren el A o bé no miren ni el B ni el C: \[P(A \cup (B^c \cap C^c)) = 1 - 0.17 = 0.83 = 83\%\]
Enunciat 4.5
Es disposa d’un dau en el que la probabilitat de cada cara és proporcional al nombre de punts inscrits en ella. Trobis la probabilitat d’obtenir, amb aquest dau, un nombre senar.
Solució
\(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}\). Es té la \(\sigma\)-àlgebra \(\mathcal{A} = P(\Omega)\).
Cada esdeveniment elemental és un esdeveniment de probabilitat \(P(i) = \lambda \cdot i\). Amb \(i = \{1, 2, \cdots , 6 \}\) i \(\lambda\) una constant de proporcionalitat.
Aleshores, \[\sum_{i=1}^{6} \lambda \cdot i = \lambda \cdot 21 = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{21}\]
Per tant:<(p>
\(P(\text{nombre senar}) = P(\{1, 3, 5\}) = (1/21) \cdot (1 + 3 + 5) = 3/7\)
Enunciat 4.6
Expliquis, en termes d’espai de probabilitat, la fórmula clàssica de Laplace: \[\text{probabilitat} = \frac {\text{nombre de casos favorables}}{\text{nombre de casos possibles}}\]
Solució
Es té \(\Omega = \{\omega_1, \omega_2, ···, \omega_n \}\), amb la \(\sigma\)-àlgebra \(\mathcal{A} = P(\Omega)\).
Cada \(\omega_j\) representa un esdeveniment possible, amb tots igualment probables. Per tant: \[\displaystyle\sum_{i=1}^{n} P(\omega_j) = 1 \Rightarrow n \cdot P(\omega_j) = 1 \Rightarrow \forall j, P(\omega_j) = \frac{1}{n}\]
Si \(A\) és un esdeveniment que consta de \(k\) esdeveniments elementals, es té que \[\begin{align*} &A = \{\omega_{i_1}, \omega_{i_2}, \cdots, \omega_{i_k} \} \\ &P(A) = P(\{\omega_{i_1}, \omega_{i_2}, \cdots, \omega_{i_k} \}) = \sum_{j=1}^{k} P(\omega_{i_j}) = k \cdot \frac{1}{n} = \frac{k}{n} \end{align*}\]
Enunciat 4.7
Vint persones s’ordenen aleatòriament, amb totes les ordenacions igualment probables. Trobis la probabilitat de que dues persones concretes siguin una al costat de l’altra.
- Repartits en una filera.
- Repartits en un cercle.
Solució
a) Repartits en una filera.
Hi ha \(20!\) ordenacions possibles. Les dues persones concretes \((X, Y)\) poden col·locar-se juntes en 19 llocs diferents i de 2 maneres diferents en cadascun d’aquests llocs —esquerra-dreta o dreta-esquerra—.
Les divuit persones restants poden permutar-se de \(18!\) maneres diferents.
Per tant, la probabilitat demanada és \[\frac{2 \cdot 19 \cdot 18!}{20!} = \frac{1}{10} = 0.1 = 10\%\]
b) Repartits en un cercle.
Ara no hi ha ni primer ni últim. Les vint persones es poden col·locar de \(19!\) maneres diferents.
Les dues persones concretes \((X, Y)\) poden col·locar-se juntes de 2 maneres diferents en cadascun d’aquests llocs —esquerra-dreta o dreta-esquerra—.
Les divuit persones restants poden permutar-se de \(18!\) maneres diferents. Per tant la probabilitat demanada és \[\frac{2 \cdot 18!}{19!} = 0.1052632 \approx 10.53\%\]
Enunciat 4.8
S’escull un nombre a l’atzar entre l’1 i el 1000. Trobis la probabilitat de que sigui múltiple de 2 o de 3 o de 4 o de 5.
Solució
Es té \(\Omega = \{x:\ 1 \leq x \leq 1000\}\). El marge no importa. El resultat seria el mateix, per exemple, entre el 1 i el 300.
Siguin els esdeveniments i probabilitats: \[\begin{align*} &A = \{\dot {2}\}, \, P(A) = \frac{1000/2}{1000} = \frac{1}{2} \\ &B = \{\dot {3}\}, \, P(B) = \frac{1000/3}{1000} = \frac{1}{3} \\ &C = \{\dot {4}\}, \, P(C) = \frac{1000/4}{1000} = \frac{1}{4} \\ &D = \{\dot {5}\}, \, P(D) = \frac{1000/5}{1000} = \frac{1}{5} \end{align*}\]
S’ha de calcular, tenint en compte que els \(\dot {4}\) també són \(\dot {2}\) i, per tant, \(P(A \cup B \cup C \cup D) = P(A \cup B \cup D)\)): \[\begin{align*} &P(A \cup B \cup D) = P(A) + P(B) + P(D) - P(AB) - P(AD) - P(BD) + P(ABD) \\ &P(A \cup B \cup D) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} - \frac{1}{10} - \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{22}{30} = \frac{11}{15} \end{align*}\]
Enunciat 4.9
Es llancen a la vegada dues monedes imparcials i distingibles. S’anota \(C = \{\text{Surt cara} \}\) i \(X = \{\text{Surt creu}\}\). Estudiïs els possibles esdeveniments.
Solució
L’espai mostral és \(\Omega = \{ CC, CX, XC, XX \}\).
\[P(\Omega) = \left\{\begin{aligned} &\emptyset, \{CC\}, \{CX\}, \{XC\}, \{XX\}, \{CC, CX\}, \{CC, XC\}, \{CC, XX\}, \\ &\{CX, XC\}, \{CX, XX\}, \{XC, XX\}, \{CC, CX, XC\}, \{CC, CX, XX\}, \\ &\{CC, XC, XX\}, \{CX, XC, XX\}, \Omega \end{aligned} \right\}\]
Observis que \(\mid P(\Omega) \mid = 2^4 = 16\).
La família \(\mathcal{A}_1 = \{ \emptyset, \{CC\}, \{CX,XC,XX\}, \Omega \}\) és una \(\sigma\)-àlgebra. Contempla únicament els esdeveniments: impossible, segur, dues cares i el seu complementari.
La família \(\mathcal{A}_2 = \{ \emptyset, \{CC\}, \{CX\}, \{XC\}, \{XX\}, \Omega\}\) no és una \(\sigma\)-àlgebra —hi ha esdeveniments sense el seu complementari—.
Aleshores:
- \(\emptyset\) = esdeveniment impossible, per exemple {ni cara ni creu}.
- \(\Omega\) = esdeveniment segur, {cara o creu}.
- \(A = \{CC\}\) = {cara,cara}.
- \(A^c = \{CX, XC, XX\}\) = {no ha sortit cara a les dues monedes}.
Enunciat 4.10
Es pretén estudiar la probabilitat de presentar alguna de tres característiques: ulls blaus, sexe femella i cabell ros. Dins una població amb probabilitats respectives: 0.2, 0.49 i 0.35.
Solució
Siguin els esdeveniments: A = { Ulls de color blau }, B = { Sexe femella } i C= { Cabells rosos }.
Aleshores, \(P(A) = 0.2,\ P(B) = 0.49,\ P(C) = 0.35\) i, segons l’additivitat generalitzada: \[\begin{align*} P(A \cup B \cup C) &= 0.2 + 0.49 + 0.35 - (0.2 \cdot 0.49) - (0.2 \cdot 0.35) \\ &- (0.49 \cdot 0.35) + (0.2 \cdot 0.49 \cdot 0.35) = 0.7348 \end{align*}\]
El 73.48 % de la població presenta alguna d’aquestes característiques i el 26.52 % no en presenta cap d’elles.
Enunciat 4.11
Una àlgebra finita A posseeix tres àtoms A, B i C amb probabilitats respectives: 1/4, 1/3 i 5/12. Determinis cadascun dels esdeveniments d’A i calculis les seves probabilitats.
Solució
Com A és una àlgebra finita, cada esdeveniment estarà format per la unió d’un o més d’un àtom.
Per tant, els esdeveniments seran: \[\{ \emptyset, A, B, C, A \cup B, A \cup C, B \cup C, A \cup B \cup C \} = \Omega\]
Amb probabilitats —segons l’enunciat—: \[\begin{align*} &P(\emptyset) = 0 \\ &P(A) = \frac{1}{4} \\ &P(B) = \frac{1}{3} \\ &P(C) = \frac{5}{12} \end{align*}\]
A més, \[\begin{align*} &P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{7}{12} \\ &P(A \cup C) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12} = \frac{2}{3} \\ &P(B \cup C) = \frac{1}{3} + \frac{5}{12} = \frac{3}{4} \\ &P(A \cup B \cup C) = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{5}{12} = 1 = P(\Omega) \end{align*}\]
Enunciat 4.12
Sigui \(\Omega\) el conjunt de casos possibles que resulten de la tirada d’un dau ordinari. Es consideren els esdeveniments: A = {1, 5, 6} i B = {4, 5, 6}.
Trobis els àtoms de l’àlgebra generada pels esdeveniments A i B i les seves respectives probabilitats.
Solució
L’àlgebra és formada per totes les possibles unions, interseccions i complementacions dels esdeveniments A i B.
Els esdeveniments més petits i mútuament excloents —els àtoms de l’àlgebra— que podem construir són: \[\begin{align*} &A \cap B = \{5, 6\} \rightarrow P(A \cap B) = \frac{1}{3} \\ &A \cap B^c = \{1\} \rightarrow P(A \cap B^c) = \frac{1}{6} \\ &A^c \cap B = \{4\} \rightarrow P(A^c \cap B) = \frac{1}{6} \\ &A^c \cap B^c = \{2, 3\} \rightarrow P(A^c \cap B^c) = \frac{1}{3} \end{align*}\]
Enunciat 4.13
Es llancen, simultàniament, dues monedes i un dau. Es demana:
- Descriguis l’espai d’esdeveniments elementals \(\Omega\) apropiat.
- Expressis explícitament els següents esdeveniments:
- A = { surten dues cares i un nombre senar }
- B = { surt un cinc }
- C = { surt exactament una cara i un nombre parell }
- Expressis explícitament els següents esdeveniments: A i B ocorren, només B ocorre, B o C, ocorren.
Solució
a) Descriguis l’espai d’esdeveniments elementals \(\Omega\) apropiat.
\(\Omega\) = { tota combinació de cara i creu de les dues monedes més la puntuació del dau }
b) Expressis explícitament els esdeveniments.
Siguin C = “cara” i X= “creu”. Amb
- \(C_{m_1}\) = “surt cara a la primera moneda”
- \(X_{m_2}\) = “surt creu a la segona moneda”, etc.
- \(\{ 1, 2, \cdots, 6 \}\) els possibles valors del dau.
Aleshores: \[\begin{align*} A &= \left\{ \{ C_{m_1}, C_{m_2}, 1 \}, \{ C_{m_1}, C_{m_2}, 3 \}, \{ C_{m_1}, C_{m_2}, 5 \} \right\} \\ B &= \left\{ \{ C_{m_1}, C_{m_2}, 5 \}, \{ C_{m_1}, X_{m_2}, 5 \}, \{ X_{m_1}, C_{m_2}, 5 \}, \{ X_{m_1}, X_{m_2}, 5 \} \right\} \\ C &= \left\{ \{ C_{m_1}, X_{m_2}, 2 \}, \{ C_{m_1}, C_{m_2}, 2 \}, \{ C_{m_1}, X_{m_2}, 4 \}, \{ C_{m_1}, C_{m_2}, 4 \}, \right. \\ &\quad \left. \{ C_{m_1}, X_{m_2}, 6 \}, \{ X_{m_1}, C_{m_2}, 6 \}, \{ X_{m_1}, X_{m_2}, 6 \} \right\} \end{align*}\]
c) Expressis explícitament els esdeveniments. \[\begin{align*} A \cap B &= \left\{ C_{m_1}, C_{m_2}, 5 \right\} \\ B &= \left\{ C_{m_1}, C_{m_2}, 5, C_{m_1}, X_{m_2}, 5, X_{m_1}, C_{m_2}, 5, X_{m_1}, X_{m_2}, 5 \right\} \\ B \cup C &= \left\{ \{ C_{m_1}, C_{m_2}, 5 \}, \{ C_{m_1}, X_{m_2}, 5 \}, \{ X_{m_1}, C_{m_2}, 5 \}, \{ X_{m_1}, X_{m_2}, 5 \}, \right. \\ &\quad \{ C_{m_1}, X_{m_2}, 2 \}, \{ X_{m_1}, C_{m_2}, 2 \}, \{ C_{m_1}, X_{m_2}, 4 \}, \{ C_{m_1}, C_{m_2}, 4 \}, \\ &\quad \left. \{ C_{m_1}, X_{m_2}, 6 \}, \{ X_{m_1}, C_{m_2}, 6 \}, \{ X_{m_1}, X_{m_2}, 6 \} \right\} \end{align*}\]
Enunciat 4.14
Siguin A i B esdeveniments tals que \(P(A)\) = 1/4, \(P(A \cup B)\) = 3/4.
Calculis \(P(A \cap B)\), \(P(A^c \cap B^c)\), \(P(A^c \cup B^c)\) i \(P(B \cap A^c)\).
Solució
\[\begin{align*} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + P(B) = \frac{3}{4} \Rightarrow P(B) = \frac{1}{2} \\ P(A \cap B) &= P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \\ P(A^c \cap B^c) &= P(A^c) \cdot P(B^c) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \\ P(A^c \cup B^c) &= P(A^c) + P(B^c) - P(A^c \cap B^c) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{7}{8} \\ P(B \cap A^c) &= P(B) \cdot P(A^c) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} \end{align*}\]
Enunciat 4.15
Provis que, per a tres esdeveniments A, B, C: \[P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)\]
Solució
Per a dos esdeveniments: \[\begin{align*} A \cup B &= A \cup (A^c \cap B) \tag{[1]} \\ A \cup (A^c \cap B) &= (A \cup A^c) \cap (A \cup B) = \Omega \cap (A \cup B) = A \cup B \end{align*}\]
A més, \(A \cap (A^c \cap B) = \emptyset\). Per tant \[P(A \cup B) = P(A) + P(A^c \cap B) \tag{[2]}\]
Per [1]: \[B = (A \cap B) \cup (A^c \cap B) \tag{[3]}\]
Com \((A \cap B)\) i \((A^c \cap B)\) són disjunts: \((A \cap B) \cap (A^c \cap B) = A \cap A^c \cap B \cap B = \emptyset\).
Per tant: \[P(B) = P(A \cap B) + P(A^c \cap B) \Rightarrow P(A^c \cap B) = P(B) - P(A \cap B)\]
Substituint a [2]: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
Una demostració alternativa és: \[\begin{align*} A &= (A \cap B) \cup (A \cap B^c) \\ B &= (A \cap B) \cup (A^c \cap B) \end{align*}\]
Per la \(\sigma\)-additivitat, resulta: \[\begin{align*} P(A) &= P(AB) + P(AB^c) \\ P(B) &= P(AB) + P(A^cB) \end{align*}\]
I també: \(A \cup B = (A \cdot B) \cup (A \cdot B^c) \cup (A^c \cdot B)\), on a la dreta es sumen tres esdeveniments que són incompatibles dos a dos. Aleshores, aplicant \(\sigma\)-additivitat i substituint, resulta: \[\begin{align*} P(A \cup B) &= P(AB) + P(A) - P(AB) + P(B) - P(AB) \\ &= P(A) + P(B) - P(A \cap B) \end{align*}\]
De manera anàloga es demostra que, per a la unió de tres esdeveniments (A, B, C), \[P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C) \]
Enunciat 4.16
Es demana la probabilitat de que una carta extreta aleatòriament d’una baralla de 52 cartes sigui un as o un cor.
Solució
Siguin els esdeveniments: \(E_1\) = { treure un as } i \(E_2\) = { treure un cor }.
Ambdós successos són independents i no excloents, amb \[P(E_1) = \frac{4}{52}; \quad P(E_2) = \frac{13}{52}; \quad P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{52}\]
Per tant \[P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = 0.308\]
Enunciat 4.17
Entre vint alumnes n’hi ha quatre amb els ulls de color blau. Si s’escullen dos alumnes a l’atzar, quina és la probabilitat de que:
- Ambdós tinguin els ulls de color blau.
- Cap dels dos tingui els ulls de color blau.
- Almenys un alumne tingui els ulls de color blau.
Solució
a) Ambdós tinguin els ulls de color blau: \[P(blau) = \frac{4}{20} = 0.2 \rightarrow P(blau \cap blau) = 0.2 \cdot 0.2 = 0.04\]
b) Cap dels dos tingui els ulls de color blau: \[P(blau^c) = \frac{16}{20} = 0.8 \rightarrow P(blau^c \cap blau^c) = 0.8 \cdot 0.8 = 0.64\]
c) Almenys un alumne tingui els ulls de color blau. S’ha de calcular \[P(blau \cap blau^c) \cup P(blau^c \cap blau) \cup P(blau \cap blau)\]
Amb \[\begin{align*} P(blau \cap blau^c) &= P(blau^c \cap blau) = 0.04 \cdot 0.64 = 0.0256 \\ P(blau \cap blau) &= 0.04 \end{align*}\]
Per tant, la probabilitat demanada és igual a \(0.0256 + 0.0256 + 0.04 = 0.0912\).
Enunciat 4.18
Un dau està trucat de manera que la probabilitat de sortir un tres o un cinc és un 20 % més gran que la de sortir altre numero qualsevol. Trobis la probabilitat de que:
- Surti un nombre parell.
- Surti un tres o un cinc.
Solució
\(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), amb \(P(\Omega) = 1\).
Segons l’enunciat, \[\begin{align*} P(1) = P(2) = P(4) = P(6) &= a \\ P(3) = P(5) &= 1.2a \end{align*}\]
A més, \[\sum_{i=1}^{6} P(i) = 6.4a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{6.4} = 0.15625\]
Per tant:
a) Surti un nombre parell: \[P(2) + P(4) + P(6) = 3a = 0.46875\]
b) Surti un tres o un cinc: \[P(3) + P(5) = 2 \cdot 1.2a = 0.375\]
Jordi Coll Vera - 2022