Suposis un dau de sis cares —amb \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}\) i \(A = 2^{\Omega}\) —. De distribució equiprobable, \(P_i = \frac{1}{6}\), amb \(1 \leq i \leq 6\).

Aleshores, l’aplicació \(X(i) = 1\) si \(i \subset \{2, 4, 6\}\) i \(X(i) = -1\) si \(i \not\subset \{1, 3, 5\}\), és una variable aleatòria que mesura el guany o pèrdua d’una aposta monetària d’una unitat a si surt un nombre parell al llançar el dau.

S’observa que \[X^{-1}((-\infty, a]) = \begin{cases} \emptyset & \text{si } a \leq -1 \\ \{1, 3, 5\} & \text{si } -1 \leq a < 1 \\ \Omega & \text{si } a \geq 1 \end{cases}\]

La funció de distribució associada a la variable aleatòria \(X\) és \[F(a) = P(X \leq a) = \begin{cases} P(\emptyset) = 0 & \text{si } a < -1 \\ P(\{1, 3, 5\}) = 0.5 & \text{si } -1 \leq a < 1 \\ P(\Omega) = 1 & \text{si } a \geq 1 \end{cases}\]

a) El valor del paràmetre \(k > 0\).

\[\begin{align*} \sum_{a=0}^{4} P_a &= 1 \implies k \times \sum_{a=0}^{4} P_a \implies k \times (0 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) = 1 \\ k \times 30 &= 1 \implies k = \frac{1}{30} \end{align*}\]

b) El nombre mitjà de fractures i la variabilitat.

\[\begin{align*} \mu_X &= E[X] = \sum_{a=0}^{4} aP_a \\ \mu_X &= \frac{1}{30} \left[(0 \times 0^2) + (1 \times 1^2) + (2 \times 2^2) + (3 \times 3^2) + (4 \times 4^2)\right] \\ \mu_X &= \frac{1}{30} \times 100 = 3.\hat{3} \\ \sigma^2 &= VAR[X] = E[(X - \mu_X)^2] = \sum_{a=0}^{4} a^2 P_a - \mu_X^2 = 11.8 - 11.\hat{11} \\ \sigma^2 &\approx 0.688889 \end{align*}\]

Variància <- function(x){((length(x)-)/length(x))*var(x)}

v <-c ( rep(0,0), rep(1,1), rep(2,4), rep(3,9), rep(4,16))

mean(v) \(\rightarrow\) 3.333333

variancia(v) \(\rightarrow\) 0.6888889

c) La moda.

if (!require("modeest")) install.packages("modeest", dependencies = TRUE)

library(modeest)

mfv(v) \(\rightarrow\) 4

El valor més repetit és el 4.

Es considera l’experiment aleatori consistent en llançar dues monedes. Sigui \(X\) la variable aleatòria que comptabilitza el nombre de cares obtingudes. Aleshores el rang de la variable \(X\) és \(Rang(X) = \{0, 1, 2\}\).

La massa de probabilitat ve donada pels valors \(P_1 = P(X = 0) = 0.25; \quad P_2 = P(X = 1) = 0.50; \quad P_3 = P(X = 2) = 0.25\)

La funció de distribució ve donada per, \[\begin{align*} F(x) &= 0, \text{ si } x < 0 \\ F(x) &= \frac{1}{4}, \text{ si } 0 \leq x < 1 \\ F(x) &= \frac{3}{4}, \text{ si } 1 \leq x < 2 \\ F(x) &= 1, \text{ si } x \geq 2 \end{align*}\]

\(X\) és una variable aleatòria discreta que pren els valors \(\{0, 1, 2, 3\}\) amb probabilitat no nul·la. La seva funció de densitat és:

\(f(0) = 1/8; \quad f(1) = 3/8; \quad f(2) = 3/8; \quad f(3) = 1/8\)

Amb R:

La funció de distribució és: \[\begin{align*} F(x) &= 0 \quad &x < 0 \\ F(x) &= \frac{1}{8} \quad &0 \leq x < 1 \\ F(x) &= \frac{4}{8} \quad &1 \leq x < 2 \\ F(x) &= \frac{7}{8} \quad &2 \leq x < 3 \\ F(x) &= 1 \quad &x \geq 3 \end{align*}\]

Es verifica \[\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx &= 1 \implies \int_{0}^{3} k(1 + x)dx = 1 \\ k \times \left[ x + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3} &= k \times \frac{15}{2} = 1 \implies k = \frac{2}{15} \\ F(x) &= \int_{-\infty}^{x} f(x)dx \\ F(x) &= 0 \quad \text{si } x \leq 0 \\ F(x) &= \frac{2}{15} \quad \text{si } 0 < x < 3 \\ F(x) &= 1 \quad \text{si } x \geq 3 \end{align*}\]

b) Probabilitat de que \(X\) sigui comprés entre 1 i 2.

\[P(1 < x \leq 2) = \int_{1}^{2} f(x) dx = \int_{1}^{2} \frac{2}{15}(1 + x) dx = \frac{1}{3}\]

c) Probabilitat de que \(X\) sigui menor que 1.

\[P(x \leq 1) = F(1) = \frac{2}{15} \left(1 + \frac{1^2}{2}\right) = \frac{1}{5}\]

d) Sabent que \(X\) és major que 1, probabilitat de que sigui menor que 2.

Es tracta d’una probabilitat condicionada \[P(x < 2 | x > 1) = \frac{P(1 < x \leq 2)}{P(x > 1)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{12}\]

a) Representis la funció de densitat de \(X\).

Amb R:

b) Calculis la probabilitat de que el rastre sigui actiu menys de 1 minut.

\[P(X < 1) = \int_{0}^{1} \frac{x}{2} \, dx = 0.25\]

c) Calculis el temps mitjà de persistència del rastre.

\[\mu = E(X) = \int_{0}^{1} x \frac{x}{2} \, dx + \int_{1}^{2} x \left(1 - \frac{x}{2}\right) dx = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} = 0.5\]

El temps mitjà de persistència del rastre és 30 segons.

d) Calculis una mesura de dispersió.

\[\sigma^2 = \text{VAR}(X) = \int_{0}^{1} x^2 \frac{x}{2} \, dx + \int_{1}^{2} x^2 \left(1 - \frac{x}{2}\right) dx - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{8} + \frac{11}{24} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3}\]

La variància és \(\frac{1}{3}\).

Es verifica: \[\begin{align*} 1 &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{0}^{1} (ax + b) dx = \left[ \frac{ax^2}{2} + bx \right]_{0}^{2} = \frac{4a}{2} + \frac{2b}{2} \\ 0.25 &= \int_{\frac{1}{2}}^{1} (ax + b) dx = \left[ \frac{ax^2}{2} + bx \right]_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{3a}{8} + \frac{4b}{8} \end{align*}\]

Es resol el sistema d’equacions: \[\begin{cases} 2a + b = 1 \\ 3a + 4b = 2 \end{cases} \implies a = \frac{2}{5} \text{ i } b = \frac{1}{5}\]

a) \(P(0 < X \leq 1)\)

\[P(0 < X \leq 1) = \int_{0}^{1} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{0}^{1} = 1\]

b) \(P(0 < X \leq 1)\

\[P(X \leq 1/2) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}\]

c) \(P(X \geq 0.5)\)

\[P(X \geq 1/2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\]

Calculem la funció de distribució:

Amb R:

Sigui \(X\) la variable aleatòria que pren els valors de la suma dels punts dels dos daus.

\(X\) pren els valors: \(\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\)

Amb \(P(X)\), respectivament igual a \(\{1/36, 2/36, 3/36, 4/36, 5/36, 6/36, 5/36, 4/36, 3/36, 2/36, 1/36\}\)

Amb R:

a) La probabilitat de que una bombeta duri entre 5000 i 10000 hores.

Es calcula \(P(5000 < x \leq 10000)\): \[\int_{5000}^{10000} \frac{1}{10000} \cdot e^{\frac{-x}{10000}} \, dx = 0.23865121854191\]

pexp(10000, rate = 1/10000) - pexp(5000, rate = 1/10000) \(\rightarrow\) 0.2386512

b) La probabilitat de que una bombeta duri més de 5000 hores.

\[P(x > 5000) = 1 - P(0 < x \leq 5000) = 1 - \left[-e^{\frac{-x}{10000}} \right]_{0}^{5000} \approx 1 - 0.39 = 0.61\]

1 - pexp(5000, rate = 1/10000) \(\rightarrow\) 0.6065307

c) La probabilitat de que una bombeta duri més de 10000 hores.

1-pexp(10000, rate = 1/10000) \(\rightarrow\) 0.3678794