a) La funció de densitat conjunta bivariant.

Es recullen els valors de la funció de densitat conjunta, \(f(x, y)\):

Calculats com:

• \(f(k,1) = 0\), amb \(k > 1\) —és impossible que \(X = k\) i \(Y = 1\)—
• \(f(1,1) = P([X = 1] \cap [Y = 1]) = 1/36\) —P(“1” al primer dau i “1” al segon dau)—.
• \(f(1,2) = 1/36\) —P(“1” al primer dau i “2” al segon dau)—.
• \(f(2,2) = 2/36\) —P(“1” al primer dau i “1” o “2” al segon dau)—.
• Etc.

   

b) Les funcions de densitat marginals.

c) Són \(X\), \(Y\) independents?

No ho són. Per exemple: \[f(4,4) = \frac{4}{36} \neq f_1(4) \times f_2(4) = \frac{6}{36} \times \frac{7}{36}\]

A més, si la variable \(Y\) pren el valor \(k\), la variable \(X\) ha de prendre un valor inferior o igual a \(k\), és a dir, és dependent de \(Y\).

d) Distribució de la variable \(X\), condicionada a \(Y\) = 3.

La variable \(X\) només pot prendre els valors 1, 2, 3. Utilitzant \[f(x | Y = y_0) = \frac{f(x, y_0)}{f_2(y_0)}\]

, es té, com s’observa a la columna \(Y = 3\) de la taula: \[\begin{align*} f(1 | Y = 3) &= \frac{1/36}{6/36} = \frac{1}{6} = f(2 | Y = 3) \\ f(4 | Y = 3) &= \frac{3/36}{6/36} = \frac{1}{2} \end{align*}\]

El valor de \(A\) dependrà de \(S\) i, per tant, el valor de \(P(A)\) i de \(P(A^c)\) dependrà del valor de \(S\) —un vianant és, per exemple, molt més propens a ser atropellat per un vehicle quan creua amb el semàfor en verd per als vehicles —.

Per a qualsevol parell de valors possibles de \(A\) i \(S\), s'ha de considerar la distribució conjunta de probabilitats de \(A\) i de \(S\) i calcular-hi la probabilitat de que aquest parell d'esdeveniments es produeixin junts quan el vianant ignora l'estat del semàfor.

Com el vianant pot ser atropellat en qualsevol estat del semàfor, la resposta a la probabilitat marginal es trobarà sumant \(P(A│S)\) per a tots els valors possibles de \(S\), amb cada valor de \(S\) ponderat per la seva probabilitat.

La taula següent mostra les probabilitats condicionades, en funció de la posició del semàfor. Les columnes de la taula han de sumar 1 perquè la probabilitat de ser atropellat o no és 1, independentment de l’estat del semàfor.

Probabilitat condicionada, \(P(A│S)\):

Multiplicant cada columna de la distribució condicionada per la probabilitat de que es produeixi aquesta columna es calcula la distribució conjunta de probabilitats de \(A\) i \(S\).

Distribució conjunta, \(P(A,S)\):

\[\begin{align*} &P(A^c) = P(A^c | R) + P(A^c | G) + P(A^c | V) = 0.5787 \\ &P(A) = 1 - P(A^c) = 0.4213,\ \text{igual a la probabilitat marginal de ser atropellat} \end{align*}\]

a) La funció de densitat conjunta.

Es recullen els valors de la funció de densitat conjunta, \(f(x, y)\):

b) Les funcions de densitat marginals.

c) Són \(X\), \(Y\) independents?

No ho són. Per exemple \[f(2,1) = 0 \neq f_1(2) \times f_2(1) = \frac{1}{36} \times \frac{10}{36}\]

A més, si la variable \(Y\) pren el valor \(k\), la variable \(X\) ha de prendre sempre un valor superior a \(k\), és a dir, és dependent de \(Y\).

Siguin les variables aleatòries: \(F\) = "fumador"; \(H\) = "home"; \(D\) = "dona"

a) Calculis la probabilitat marginal de ser fumador i la probabilitat condicionada, segons el sexe.

La probabilitat marginal de ser fumador és \(P(F) = \frac{130}{400} = 0.325\).

Probabilitat de ser fumador/a condicionalment al sexe és:

• Probabilitat de ser fumadora donat que és una dona: \(P(F|D) = \frac{60}{200} = 0.30\)
• Probabilitat de ser fumador donat que és un home:: \(P(F|H) = \frac{70}{200} = 0.35\)

b) És la probabilitat de fumar independent del sexe?

Com \(P(F|H) \neq P(F|D) \neq P(F) = 0.325\), fumar no és independent del sexe i se n’ha de deduir que els homes fumen més que les dones.

c) Si sabem que una persona és fumadora, quina probabilitat hi ha de que sigui dona?

\[P(D|F) = \frac{P(D \cap F)}{P(F)}\]

\(P(D|F) = (60/400)/(130/400) = 60/130 \approx 0.462\)

Hi ha aproximadament un 46 % de probabilitat de que sigui dona, condicionat a ser persona fumadora.

a) Calcular el valor de \(k\).

\[1 = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} k(x + x^2 y) \, dx \, dy = \frac{2}{3} k \implies k = \frac{3}{2}\]

b) Funcions de densitat marginals.

\[f_1(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, dy = \begin{cases} 0 & \text{si } x \notin (0,1) \\ \int_0^1 \frac{3}{2} (x + x^2 y) \, dy = \frac{3}{2}x + \frac{3}{4}x^2 & \text{si } x \in (0,1) \end{cases}\]

\[f_2(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, dx = \begin{cases} 0 & \text{si } y \notin (0,1) \\ \int_0^1 \frac{3}{2} (x + x^2 y) \, dx = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}y & \text{si } y \in (0,1) \end{cases}\]

c) Són independents?

No ho són: \[f(x, y) = \frac{3}{2} \left( x + x^2 y \right) \neq f_1(x) \times f_2(y) \quad \text{[amb } x, y \in (0,1)\text{]}\]

Un o l’altre arribaran en qualsevol moment entre les 21 i les 22 hores. Siguin les variables aleatòries \(X\) i \(Y\) { Els moments d’arribada de cadascú }

\(X\) i \(Y\) són variables aleatòries absolutament contínues i uniformement distribuïdes entre 0 i 60 minuts. La seva funció de densitat és:

\[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{60} & \text{si } x \in (0,60) \\ 0 & \text{si } x \notin (0,60) \end{cases}\]

a) Sabent que el primer (\(X\)) arriba a les 21h 30’.

Aleshores, l’altre (\(Y\)) ha d’arribar entre les 21h 15’ i les 21h 45’. És a dir, entre els moments 15 i 45 de l’interval (0, 60). La probabilitat és:

\[\text{P}(15 < Y < 45) = \int_{15}^{45} \frac{1}{60} \, dy = \frac{1}{2} = 0.5\]

b) Arribant un i l’altre en qualsevol altre moment, aleatòriament.

Les variables aleatòries \(X\) i \(Y\) són independents. Aleshores la funció de densitat conjunta és el producte de les funcions de densitat marginals:

\[f(x,y) = \begin{cases} \left( \frac{1}{60} \right)^2 & \text{si } x,y \in (0,60] \\ 0 & \text{si } x,y \notin (0,60) \end{cases}\]

La regió possible d’arribada és la formada pel quadrat de vèrtex (0, 0) i (60, 60). S’ha de trobar la regió favorable per tal de que es trobin.

Haurem d’integrar \(f(x, y)\) dins la regió favorable —segons el gràfic següent—. La integral serà proporcional a l’àrea marcada en color gris, amb \(x \in (0,60)\) i \(y \in (0,60)\).

L’àrea és igual a 1575 —calculada com l’àrea del quadrat [3600] menys l’àrea dels dos triangles de les cantonades [2025]—. La probabilitat és doncs: \(1575/3600 = 7/16 \approx 0.44\)

Trencar el bastó en tres fragments és fer-hi aleatòriament dos talls, \(X\) i \(Y\):

Considerant \(X\) i \(Y\) com a dues variables aleatòries uniformement distribuïdes entre \(0\) i \(h\). La funció de densitat conjunta serà:

\[f(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{h^2} & \text{si } x \in (0, h) \text{ i } y \in (0, h) \\ 0 & \text{en altre cas} \end{cases}\]

Per tal de que els tres fragments \((a, b \text{ i } c)\) puguin formar un triangle, s’haurà de verificar que un dels fragments és menor que la suma dels altres dos: \(h = a + b + c\), amb

\(a \leq \frac{h}{2}; \quad b \leq \frac{h}{2}; \quad c \leq \frac{h}{2}\)

La regió possible per a \((X, Y)\) és el quadrat de vèrtex (0, 0) i (h, h).

S’ha de trobar la regió favorable:

\[\begin{align*} & \text{Si } 0 \leq X \leq \frac{h}{2} \rightarrow \frac{h}{2} \leq Y \leq X + \frac{h}{2} \\ & \text{Si } \frac{h}{2} \leq X \leq h \rightarrow X - \frac{h}{2} \leq Y \leq \frac{h}{2} \\ & \text{Si } 0 \leq Y \leq \frac{h}{2} \rightarrow \frac{h}{2} \leq X \leq Y + \frac{h}{2} \\ & \text{Si } \frac{h}{2} \leq Y \leq h \rightarrow Y - \frac{h}{2} \leq X \leq \frac{h}{2} \end{align*}\]

Finalment s’integra la funció de densitat dins la regió favorable. Però, com la funció de densitat és constant, la probabilitat és proporcional a l’àrea i igual a \(((h^2/4))/h^2 = 1/4\)

Per tal de que l’equació tingui arrels real, ha de verificar-se que \(b^2 - 4c \geq 0\) —si el discriminant és igual a cero hi ha una única arrel real doble. Si és major que cero hi ha dues arrels reals diferents—.

La regió possible és el quadrat de vèrtex (0, 0) i (1, 1). La regió favorable és la part del quadrat que queda per sota de la paràbola \(b^2/4 = c\). Aleshores:

a) Que a i b s’escullin independentment a l’atzar.

La funció de densitat conjunta és \(f(b, c) = 1 x 1 =1\) dins el quadrat, doncs \(b\) i \(c\) són uniformement distribuïts i independents dins (0, 1).

Com \(f(b, c)\) és constant, la probabilitat és igual a l’àrea de la regió favorable: \[\int_{0}^{1} \frac{b^2}{4} \, db = \frac{1}{12}\]

b) Que la funció de densitat conjunta de (b, c) sigui...

La funció de densitat ja no és constant i la probabilitat no serà proporcional a l’àrea. Integrant \(f(b, c)\) dins la regió favorable, tenim \[\int_0^1 \int_0^{\frac{b^2}{4}} \frac{1}{5} (2b^2 + c^2) \, db \, dc = \frac{677}{33600} \approx 0.02\]

La funció de distribució és \[\mathbf{F}(x, y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u, v) \, du \, dv\]

Com \(x, y \in (0,1)\), \[F(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} y + x \frac{y^2}{2} \right) & \text{if } x \in (0,1) \text{ and } y \in (0,1), \\ 0 & \text{in any other case}. \end{cases}\]

Aleshores, \(F(x,y)\) val:

La funció de distribució \(F(x,y)\) ve donada per \[F(a) = P(x \leq a) = \int_{-\infty}^{a} f(x) \, dx\]

Igual a

Per tant, \[\begin{align*} P\left(-\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}\right) &= F\left(\frac{1}{3}\right) - F\left(-\frac{1}{3}\right) \\ P\left(-\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}\right) &= \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 1 = \frac{-8 - 1 + 36}{36} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4} \end{align*}\]