La possible pèrdua o benefici és una variable aleatòria que pren els valors

• 400000 – 20 = 399980, amb probabilitat 3/100000
• -20, amb probabilitat 99997/100000

El benefici esperat és igual a l’esperança matemàtica d’aquesta variable: \[E(X) = 399980 \cdot \frac{3}{100000} - 20 \cdot \frac{99997}{100000} = -8\]

El que significa que si una persona jugués molts cops perdria per terme mitjà 8 € cada cop.

\[\begin{align*} &\mu_M = \mu_X = 25 \\ &\sigma_M = \frac{\sigma_X}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{100}} = 0.4 \\ &\text{Var}(X_M) = 0.16 \end{align*}\]

a) Funció de distribució i de densitat de \(X\).

\[\begin{align*} F(X) &= x^n \\ f(x) &= n \cdot x^{(n-1)}, \quad \text{amb} \ x \in (0,1) \end{align*}\]

b) Esperança i variància de \(X\).

\[\begin{align*} &E(X) = \frac{n}{n+1} \\ &E(X^2) = \frac{n}{n+2} \\ &\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{n}{n+2} - \left( \frac{n}{n+1} \right)^2 = \frac{n}{(n+2)(n+1)^2} \end{align*}\]

Amb R:

Aleshores: \[\sigma^2 \in \left[ \frac{(n-1) \cdot \tilde{s}^2}{\chi^2_{(n-1; 0.025)}}, \frac{(n-1) \cdot \tilde{s}^2}{\chi^2_{(n-1; 0.975)}} \right]\]

Per tant: \[\begin{align*} &\chi^2_{(n-1; 0.025)} = 3.246973 \leq \frac{10 \cdot 1.447636}{\sigma^2} \leq \chi^2_{(n-1; 0.975)} = 20.19067 \\ &\frac{10 \cdot 1.447636}{20.19067} \approx 0.72 \leq \sigma^2 \leq \frac{10 \cdot 1.447636}{3.246973} \approx 4.46 \\ &0.85 \leq \sigma \leq 2.11 \end{align*}\]

Siguin

• \(A\) = { El primer jugador }
• \(B\) = { El segon jugador }
• \(C\) = { El tercer jugador }
• \(X_A, X_B,X_C, X_D\) el possible guany de cada jugador. Variables aleatòries que prenen el valor 20 o 0 segons el jugador corresponent tregui la bola blanca o no.

a) Calculis l’esperança de cada jugador.

Siguin els esdeveniments

• \(B_i\) = { El jugador i treu una bola blanca }
• \(N_i\) = { El jugador i treu una bola negra }

, amb \(i \in \{ 1, 2, 3 \}\).

Seguint l’ordre establert (\(A, B, C\)) les possibilitats són:

• El primer jugador extreu la bola blanca:\[E(X_A) = 20 \cdot P(B_1) + 0 \cdot P(N_1) = 20 \cdot \frac{2}{4} + 0 \cdot \frac{2}{4} = 10 \, \text{€}\]
• El primer jugador extreu una bola negra i el segon jugador la bola blanca: \[E(X_B) = 20 \cdot P(B_2 \cap N_1) = 20 \cdot P(N_1) \cdot P(B_2 \mid N_1) = 20 \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{4} = 5 \, \text{€}\]
• El primer i el segon jugador extreuen una bola negra i el tercer jugador la bola blanca: \[\begin{align*} E(X_C) &= 20 \cdot P(B_3 \cap N_2 \cap N_1) = 20 \cdot P(N_1) \cdot P(N_2 \mid N_1) \cdot P(B_3 \mid N_1 \cap N_2) \\ E(X_C) &= 20 \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{4} = 2.5 \, \text{€} \end{align*}\]

b) Si els 20 € els posen entre tots ells, quant els tocaria posar a cadascun per tal de que el joc fos equitatiu?

Després d’un gran nombre de jugades, els jugadors \(A\), \(B\) i \(C\) guanyen, per terme mitjà, les quantitats indicades.

Si els 20 € els posen entre tots, cada jugador ha de posar una quantitat proporcional al guany per tal de que el joc sigui equitatiu. Les quantitats equitatives —del jugador A al jugador C— serien: \[11.43 + 5.71 + 2.86 = 20 \text{ €}\]

\[\begin{align*} E(X) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x \, f(x) \, dx = \int_0^1 \frac{x}{4 \cdot \sqrt[3]{x}} \, dx = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} \right]_0^1 = \frac{3}{20} \\ E(X^2) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \, f(x) \, dx = \int_0^1 \frac{x^2}{4 \cdot \sqrt[3]{x}} \, dx = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^{\frac{5}{3}+1}}{\frac{5}{3}+1} \right]_0^1 = \frac{3}{32} \\ \text{Var}(X) &= E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{3}{32} - \left( \frac{3}{20} \right)^2 = \frac{3}{32} - \frac{9}{400} = \frac{57}{800} = 0.07125 \end{align*}\]

\[\begin{align*} E(X) &= \frac{1}{6} (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5 \\ \text{Var}(X) &= E(X^2) - (E(X))^2 \\ E(X^2) &= \frac{1}{6} (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = \frac{91}{6} \\ \text{Var}(X) &= \frac{91}{6} - \left( \frac{7}{2} \right)^2 = \frac{35}{12} = 2.91\bar{6} \end{align*}\]

Amb R:

La variable \(X\) és la suma de \(n\) variables aleatòries independents \(X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n\), essent \(X_i\) el nombre de punts obtinguts a la \(i\)-èssima tirada del dau. Aleshores —segons el problema anterior— es té: \[\begin{align*} E(X_i) &= \frac{7}{2} \\ \text{Var}(X_i) &= \frac{35}{12} \\ E(X_n) &= E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n) = \frac{7}{2} \cdot n \\ \text{Var}(X_n) &= \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) + \cdots + \text{Var}(X_n) = \frac{35}{12} \cdot n \\ \text{SD}(X_i) &= \sqrt{\frac{35}{12} \cdot n} \end{align*}\]

El rang de la variable \(X\) és \(Rang(X) = \{ 0, 1, 2 \}\)

La massa de probabilitat ve donada pels valors: \[P_1 = P(X = 0) = 0.25; \quad P_2 = P(X = 1) = 0.50; \quad P_3 = P(X = 2) = 0.25\]

L'esperancça és: \[E(X) = (0 \cdot 0.25) + (1 \cdot 0.5) + (2 \cdot 0.25) = 1\]

a) La funció de densitat de probabilitat.

La funció de densitat de probabilitat és la derivada de la funció de distribució: \[f(X) = F'(X) = \begin{cases} 0, & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{1}{6} e^{-\frac{x}{2}} + \frac{2}{3} e^{-x}, & \text{si } x > 0 \end{cases}\]

b) L’esperança matemàtica o duració mitjana.

\[E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \, f(x) \, dx = \int_0^{+\infty} x \left( \frac{1}{6} e^{-\frac{x}{2}} + \frac{2}{3} e^{-x} \right) dx = \frac{4}{3}\]

b>c) La probabilitat de que la duració d’una trucada sigui entre 3 i 6 minuts.

\[\begin{align*} P(3 < X < 6) &= F(6) - F(3) = \left( 1 - \frac{2}{3} e^{-6} - \frac{1}{3} e^{-3} \right) - \left( 1 - \frac{2}{3} e^{-3} - \frac{1}{3} e^{-\frac{3}{2}} \right) \\ P(3 < X < 6) &\approx 0.08932 = 8.932\% \end{align*}\]

d) La probabilitat de que una trucada, que ja dura més de 3 minuts, no passi de 6.

\[\begin{align*} P(X < 6 \mid X > 3) &= \frac{P(3 < X < 6)}{P(X > 3)} = \frac{0.08932}{\frac{2}{3} e^{-3} + \frac{1}{3} e^{-\frac{3}{2}}} \approx \frac{0.08932}{0.107568} \approx 0.8304 \\ P(X < 6 \mid X > 3) &\approx 83\% \end{align*}\]

La possible pèrdua o benefici és una variable aleatòria que pren els valors i probabilitats: \[\begin{align*} P(20) &= \frac{12}{52} = \frac{3}{13} \\ P(0) &= \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \\ P(-11) &= \frac{36}{52} = \frac{9}{13} \end{align*}\]

, amb \(\frac{3}{13} + \frac{1}{13} + \frac{9}{13} = 1\)

El benefici esperat és igual a l’esperança matemàtica d’aquesta variable: \[E(X) = 20 \cdot \frac{3}{13} + 0 \cdot \frac{1}{13} - 11 \cdot \frac{9}{13} = -3\ \text{€}\]

Siguin \(C\) = { Cara }, \(X\) = { Creu }, \(G\) = { Guany } i \(A\) = { Aposta }

, aleshores \[G = \begin{cases} 2 - a, & \text{si } C \\ -a, & \text{si } X \end{cases}\]

, amb \[\begin{align*} E(G) &= (G(C) \cdot P(C)) + (G(X) \cdot P(X)) \\ E(G) &= [(2 - a) \cdot 0.5] + [(-a) \cdot 0.5] = 1 - a = -0.5 \implies a = 1.5 \end{align*}\]

Sigui \(X\) la variable aleatòria que pren els valors de la suma dels punts dels dos daus: \(\{ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\):

Amb \(P(X)\), respectivament igual a \[\left\{ \frac{1}{36}, \frac{2}{36}, \frac{3}{36}, \frac{4}{36}, \frac{5}{36}, \frac{6}{36}, \frac{5}{36}, \frac{4}{36}, \frac{3}{36}, \frac{2}{36}, \frac{1}{36} \right\}\]

i \[\begin{align*} E(X) &= \frac{1}{36} (2 + (2 \cdot 3) + (3 \cdot 4) + (4 \cdot 5) + \cdots + (3 \cdot 10) + (2 \cdot 11) + 12) \\ E(X) &= \frac{1}{36} (2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12) = \frac{252}{36} = 7 \\ \text{Var}(X) &= E(X^2) - (E(X))^2 \\ E(X^2) &= \frac{1}{36} (2^2 + (2 \cdot 3^2) + (3 \cdot 4^2) + \cdots + (3 \cdot 10^2) + (2 \cdot 11^2) + 12^2) \\ E(X^2) &= \frac{1}{36} \cdot 1974 \approx 54.83 \\ \text{Var}(X) &= 54.83 - 7^2 = 5.83 \end{align*}\]

Amb R:

\[\begin{align*} E(X) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x \, f(x) \, dx = \int_0^{+\infty} x \cdot e^{-2x} \, dx = 0.25 \\ E(X^2) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \, f(x) \, dx = \int_0^{+\infty} x^2 \cdot e^{-2x} \, dx = 0.25 \\ \text{Var}(X) &= E(X^2) - (E(X))^2 = 0.25 - 0.25 = 0 \end{align*}\]