Tornar a l'index10. Descomposició de la variància
Enunciat 10.1
Calculis la variància de i entre els conjunts de dades.
\(A = \{ 7, 9, 11 \}\)
\(B = \{ 11, 14, 15, 17 \}\)
Solució
Amb R:
Es calcula la intravariància: \[M(V) = \frac{(2.67 \cdot 3) + (4.69 \cdot 4)}{3 + 4} = 3.82\]
Es calculen les mitjanes de A, B i la mitjana global:>
mean(A) \(\rightarrow\) 9
mean(B) \(\rightarrow\) 14.25
mean(c(A,B)) \(\rightarrow\) 12
Es calcula la intervariància.: \[V(M) = \frac{[(9 - 12)^2 \cdot 3] + [(14.25 - 12)^2 \cdot 4]}{3 + 4} = 6.75\]
S’observa que la variabilitat és major entre grups (6.75) que dins del grup (3.82).
Es comprova que intervariància + intravariància = variància total:
variancia(c(A,B)) \(\rightarrow 10.57 = 3.82 + 6.75\)
Enunciat 10.2
S’ha mesurat el colesterol sèric, en mg/L en dos grups d’individus: un (\(P\)) ha rebut un placebo i l’altre (\(T\)) un tractament per tal de reduir el colesterol sèric.
\(P = \{4.3, 5.15, 6.32, 4.25, 4.51, 3.98, 4.17, 4.8\}\)
\(T = \{3.25, 3.70, 3.52, 4.29, 3.41\}\)
Analitzis la intravariància i la intervariància dels dos grups.
És efectiu el tractament?
Solució
Amb R:
Es calcula la intravariància: \[M(V) \approx \frac{(0.58 \times 8) + (0.16 \times 5)}{8 + 5} \approx 0.42\]
Es calcula la intervariància: \[V(M) \approx \frac{[(4.69 - 4.28)^2 \times 8] + [(3.63 - 4.28)^2 \times 5]}{8 + 5} \approx 0.27\]
Comprovem que intervariància + intravariància = variància total:
variancia(c(P,T)) \(\rightarrow 0.6757564 \approx 0.69 = 0.42 + 0.27\)
La variabilitat és major dins els grups (0.42) que entre els grups (0.27). Aproximadament, el 61 % de la variabilitat es deu a les diferències entre grups i la resta, el 39 %, a les diferències dins els grups.
S’agrupen les dades, no balancejades, en un únic data.frame per tal de representar-les gràficament:
Amb R:
Al gràfic s’observa clarament que el tractament sembla ser efectiu.
Enunciat 10.3
Per tal de mesurar els grams de coure per cada 100 g de calcopirita —la principal mena del coure— s’obtenen mostres comparables a tres localitats i tres profunditats diferents.
Les dades recollides es resumeixen en la següent taula:
Es pot deduir —segons aquests resultats— quin factor —localitat o profunditat— és més rellevant?
Quin seria el millor criteri per tal d’explotar un jaciment, segons les dades recollides?
Solució
Amb R:
Als diagrames s’observa que la localitat té més importància que la profunditat. La més productiva és la L3 i la millor profunditat és la P2.
Amb les dades inicials es calculen:
Amb R:
S’analitza ara la variabilitat en termes relatius al quocient de variació:
- Variabilitat entre localitats (intervariància): \[V_L(M) = \frac{(11.03 - 13.78)^2 + (13.77 - 13.78)^2 + (16.53 - 13.78)^2}{3} \approx 5.05\]
- Variabilitat dins les localitats (intravariància): \[M(V_L) = \frac{0.76 + 1.30 + 3.38}{3} \approx 1.81\]
Quedant evident que el factor localitat (la variabilitat entre localitats) és força rellevant.
Anàlogament:
- Variabilitat entre profunditats (intervariància) \[V_P(M) = \frac{(13.47 - 13.78)^2 + (14.87 - 13.78)^2 + (13.00 - 13.78)^2}{3} \approx 0.63\]
- Variabilitat dins les profunditats (intravariància) \[M(V_P) = \frac{4.65 + 8.86 + 5.18}{3} \approx 6.23\]
- La variabilitat dins les profunditats no és important.
- Variabilitat total \[V = V_L(M) + M(V_L) = V_P(M) + M(V_P) = 6.86\]
És evident també que el factor profunditat (la variabilitat entre profunditats) té poca influència.
S’obtenen també la mediana i els quantils, per profunditat i per localitat:
Per exemple, a P1, el 50 % dels minerals observats tenen menys de 12.20 g, aproximadament, i la resta és per sobre d’aquesta quantitat.
Per corroborar les conclusions, seria convenient realitzar un anàlisis descriptiu de la variància (ANOVA) per profunditats i per localitats.
Jordi Coll Vera - 2022