L’interval garanteix la presència en el seu interior d’almenys el \(88.\bar 8\) % de les dades. Donat que \((13, 37) = (\bar x -3\sigma, \bar x + 3\sigma)\) i, segons el teorema de Chebyshev, \(1 - \frac{1}{3^2} = 0.\bar 8 \)

Donat un \(h > 0\), amb \(X\) una variable aleatòria d’esperança i variància finites, la desigualtat de Chebyshev ens dona una acotació de la probabilitat de desviació de \(X\) respecte la seva esperança: \[P(|X - E(X)| \geq h) \leq \frac{\text{Var}(X)}{h^2}\]

Aplicant la desigualtat de Chebyshev es té \[P(|X - 60| \geq h) \leq \frac{2^2}{h^2} \implies P(|X - 60| < h) \geq 1 - \frac{2^2}{h^2}\]

Per tant \[\begin{align*} &1 - \frac{2^2}{h^2} = 0.80 \implies h = 2\sqrt{5} \approx 5 \\ &P(55 < X < 65) \geq 0.80 \end{align*}\]

Es necessiten doncs 65 cadires.

\(h = \frac{182 - 178}{2} = 2\)

Amb \(h = 2\), es té \[\begin{align*} \mu - 2\sigma &= 178 - (2 \cdot 2) = 174 \\ \mu + 2\sigma &= 178 + (2 \cdot 2) = 182 \end{align*}\]

Les alçades que es donen dins l’interval són dins de dues desviacions estàndard de l’alçada mitjana de 178 cm.

La desigualtat de Chebyshev estableix que, al menys, l'alçada del \(\left[1 - \frac{1}{2^2} = 0.75 = 75 \ \% \right]\) dels alumnes de la classe és dins l’interval donat.

També es podria resoldre com \[\begin{align*} &\xi = h \implies \sigma = 178 - 174 = 4 \\ &P(|X - 178| < 4) \geq 1 - \left(\frac{2^2}{4^2}\right) = 1 - \frac{4}{16} = \frac{3}{4} = 0.75 = 75\% \end{align*}\]

La vida mitjana de tres anys correspon a 36 mesos \(h = \frac{41-36}{2} = 2.5\)

Amb \(h = 2.5\) es té \[\begin{align*} \mu - 2\sigma &= 36 - (2.5 \cdot 2) = 31 \\ \mu + 2\sigma &= 36 + (2.5 \cdot 2) = 41 \end{align*}\]

Aplicant la desigualtat de Chebyshev, al menys, el \(\left[1 - \frac{1}{2.5^2} = 0.84 = 84 \ \%\right]\) dels ordenadors duren de 31 a 41 mesos.

També es podria resoldre com \[\begin{align*} &\xi = h \implies \sigma = 36 - 31 = 5 \\ &P(|X - 36| < 5) \geq 1 - \left(\frac{2^2}{5^2}\right) = 1 - \frac{4}{25} = 0.84 = 84\% \end{align*}\]

La vida mitjana de tres hores correspon a 180 minuts. L’interval és (120, 240) minuts. \(h = \frac{240 - 180}{10} = 6\)

Amb \(h = 6\), es té \[\begin{align*} &\mu - 6\sigma = 180 - (6 \cdot 10) = 120 \\ &\mu + 6\sigma = 180 + (6 \cdot 10) = 240 \end{align*}\]

Aplicant la desigualtat de Chebyshev, al menys, el \(\left[1 - \frac{1}{6^2} = 0.9722 = 97.22 \ \%\right]\) de les bactèries viuen entre 2 i 4 hores.

Al ser \(\bar x = 45\) i \(\sigma = 6\), en l’interval \((\bar x -3\sigma,\bar x +3\sigma) = (27, 63)\) hi ha el 88.88 % de les dades.

Només pesant 3 kg menys que la mitjana, no es pot afirmar que l’alumne en qüestió és massa prim. Seria massa prim si pesés menys de 27 kg —el que seria 18 kg menys de la mitjana—.

S’ha de resoldre l’equació \(0.5 = 1 - \frac{1}{h^2} \implies h = \sqrt{2} \approx 1.414\)

S’ha de resoldre l’equació \(0.95 = 1- \frac{1}{h^2} \implies h = 4.47\)

\[\begin{align*} \mu - 4.47\sigma &= 50 - (4.47 \cdot 2) = 41.06 \implies A = 41 \\ \mu - 4.47\sigma &= 50 + (4.47 \cdot 2) = 58.94 \implies B = 59 \end{align*}\]

\[\begin{align*} P(\mu - k\sigma \leq X \leq \mu + k\sigma) &\geq 1 - \frac{1}{k^2} \geq 0.9 \implies k = 3.1622 \\ [\mu - (3.1622 \cdot 5)] &\leq X \leq [\mu + (3.1622 \cdot 5)] \implies 84.189 \leq X \leq 115.811 \end{align*}\]

També \[P(|X - \mu| < \xi) \geq 1 - \frac{V(X)}{\xi^2} \geq 0.9 \implies 0.9 = 1 - \frac{V(X)}{\xi^2} \implies \xi = 15.811\]

L’interval és \[(\mu - 15.811) \leq X \leq (\mu + 15.811) \implies 84.189 \leq X \leq 115.811\]

Amb R:

Amb els resultats obtinguts s'elabora la taula:

S’observa que —almenys— el 75 % té un nivell de lactat en repòs dins l’interval (0.48 – 1.01); als 5’ d’iniciar l’exercici dins l’interval (3.09 – 8.12); ··· ; i als 65’ de recuperació dins l’interval (0.45 – 1.18).

a) Quin percentatge de treballadors té un sou d’entre 1200 i 2000 €?

S’aplica la desigualtat de Chebyshev \(P(\mu - \sigma k) \geq 1 - {1}{k^2}\). L’interval proposat s’ajusta a \(k = 4\) \[P(1600 - (100 \cdot 4) < X < 1600 + (100 \cdot 4)) \geq 1 - \frac{1}{4^2} = \frac{15}{16} \approx 0.94\]

Es pot assegurar que, com a mínim, el 94 % dels treballadors tenen un sou entre 1200 i 2000 €.

b) En quin interval de sous es trobarà, com a mínim, el 75 % dels treballadors?

Es fa ara el procés invers \[P(1600 - (100 \cdot k) < X < 1600 + (100 \cdot k)) \geq 1 - \frac{1}{k^2} = 0.75 \implies k = 2\]

Com a mínim, el 75 % dels sous dels treballadors estarà entre 1400 i 1800 €.

S’observa que \[P(|X - E(X)| \geq 4) = P(X \leq -2) + P(X \geq 6) = 1 - P(-2 < X < 6)\]

Aplicant la desigualtat de Chebyshev \[P(|X - E(X)| \geq 4) \leq \frac{\text{Var}(X)}{4^2} = \frac{E(X^2) - (E(X))^2}{16} = \frac{18 - 4^2}{16} = \frac{1}{8}\]

Per tant \[1 - P(-2 < X < 6) \leq \frac{1}{8} \implies P(-2 < X < 6) \leq \frac{7}{8}\]

Aplicant la desigualtat de Chebyshev \[1 - P(|X_n - \mu| \geq 1) = P(|X_n - \mu| < 1) \geq 0.95 \implies 0.05 \geq P(|X_n - \mu| \geq 1)\]

Com que la variància de la mitjana mostral és \(\sigma^2/n\), aplicant de nou la desigualtat de Chebyshev i igualant les fites es té \[P(|X_n - \mu| \geq 1) \frac{16/n}{1^2} = 0.05 \implies n = \frac{16}{0.05} = 320\]

Sigui \(k\) = { nombre de desviacions típiques respecte la mitjana }, amb \[k = \frac{\text{límit superior} - \mu}{\sigma} = \frac{150 - 100}{10} = 5 \implies h = 5\sigma = 50\]

Com \[\left(1 - \frac{1}{k^2}\right) = \left(1 - \frac{1}{5^2}\right) = 0.96\]

, el 96% dels dies l’aforament serà dins l’interval \[[\mu - h, \mu + h] = [100 - 50, 100 + 50] = [50, 150]\]

Un 2 % dels dies serà per sota i un altre 2 % dels dies serà per sobre (omplint l’aforament).