Sigui \(X\) la variable aleatòria que compte el nombre d’èxits al treure cara en llançar una moneda, amb \(X \sim \mathcal{Be}(0.5)\), amb \(p = q = 0.5\).

Aleshores \[\begin{align*} f(0) &= P(X = 0) = p^0 \cdot q^1 = 0.5^0 \cdot 0.5^1 = 0.5 \\ f(1) &= P(X = 1) = p^1 \cdot q^0 = 0.5^1 \cdot 0.5^0 = 0.5 \end{align*}\]

La probabilitat d’èxit és la mateixa que la de fracàs i igual a 0.5.

Sigui \(X\) la variable aleatòria que recull el nombre de cops que surt un 3. Dins l’espai mostral \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), es considera un èxit quan \(X = 1\) —el resultat és igual a 3— i un fracàs quan \(X = 0\) —el resultat és diferent de 3—, amb \(X \sim \mathcal{Be}(1/6)\), \(p = P(\{ \text{ surt un 3 }\}) = 1/6\) i \(q = 1 - p = 5/6\)

Per tant, la probabilitat d’èxit —treure un tres— ve donada per \[f(1) = P(X = 1) = p^1 \cdot q^{(1-1)} = \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^0 = \frac{1}{6} \approx 17\%\]

La probabilitat d’èxit és aproximadament del 17 % i la de fracàs del 83 %.

a) En una població de 60000 habitants, calculis la probabilitat de que 3 individus manifestin la malaltia.

Sigui \(X\) la variable aleatòria que recull els individus que manifesten la malaltia. \(X\) segueix una distribució \(X \sim \mathcal{B}(60000, 0.00005)\).

Per tant \[P(X = 3) = \binom{60000}{3} \cdot \left(\frac{5}{100000}\right)^3 \cdot \left(\frac{99995}{100000}\right)^{59997}\]

Amb R:

La probabilitat és aproximadament del 22.4 %.

b) Quina és la probabilitat de que hi hagi més de 5 individus amb ELAF en una població de 90000 habitants?

Es tindria \(X \sim \mathcal{B}(90000, 0.00005)\) \[\begin{align*} P(X > 5) &= 1 - P(X \leq 5) \\ P(X \leq 5) &= 0.7029326 \end{align*}\]

pbinom(c(5), size=90000, prob=0.00005, lower.tail=F) \(\rightarrow\) 0.2970674

\(P(X > 5) = 1 - 0.7029326 \approx 29.71\ \%\)

Siguin

• \(M\), la variable aleatòria que recull el nombre de malalts, amb \(M \sim \mathcal{B}(250, 0.4)\)
• .
• \(L\), el nombre de llits necessaris per atendre tots els malalts.

Es demana \(P(M \leq L) = 0.8\)

qbinom(c(0.80), size=250, prob=0.4) \(\rightarrow\) 107

Per tant es necessiten 107 llits.

Sigui \(X\) la variable aleatòria que recull el nombre de cares obtingudes, amb \(X \sim \mathcal{B}(8, 0.5)\).

Cada tirada és independent de l’anterior, per tant, la probabilitat de cada esdeveniment elemental és \(\frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}\)

La probabilitat de tenir una ratxa de 3 cares seguides en sis tirades de probabilitat 0.5 és \[\binom{8}{3} \cdot \frac{1}{256} = \frac{20}{64} = 0.21875\]

dbinom(3,8,0.5) \(\rightarrow\) 0.21875

La probabilitat és aproximadament del 21.88 %

Sigui \(X\) la variable aleatòria que recull el nombre de supervivents de la malatia, amb , amb \(X \sim \mathcal{B}(100, 0.95)\).

S’ha de calcular \(P(X = 80) = \binom{100}{80} \cdot 0.95^{80} \cdot 0.05^{20}\).

dbinom(k=80, n=100, p=0.95) \(\rightarrow\) 8.441893e-08

Sigui \(X = (X_1, X_2, X_3, X_4)\) el vector aleatori de components les variables aleatòries que comptabilitzen el nombre d’individus d’entre els 10 que són dels grups A⁺, B⁺,AB⁺ i O⁺ respectivament.

Aleshores \(X \sim \mathcal{M}(10, 0.46, 0.07, 0.04, 0.43)\) i \(P(X = (4,0,0,6)) = \frac{10!}{4!6!} \cdot 0.46^4 \cdot 0.43^6 = 0.05943761232\)

dmultinom(c(4,0,0,6),10,c(0.46,0.07,0.04,0.43)) \(\rightarrow\) 0.05943761

La probabilitat de que 4 siguin A⁺ i 6 siguin O⁺ és aproximadament del 5.9 %.

Es té \(X \sim \mathcal{B}(100,0.5)\), de paràmetres \(n = 100\) i \(p = q = 0.5\).

Per tant \[P(X \geq 60) = \sum_{k=60}^{100} \binom{100}{k} \cdot p^k \cdot q^{(100-k)} = 0.02844397\]

pbinom(100, n=100, p=0.5) - pbinom(59, n=100, p=0.5) \(\rightarrow\) 0.02844397

1 - pbinom(59, , n=100, p=0.5) \(\rightarrow\) 0.02844397

O, aproximant a \(X \sim \mathcal{N}(np, \sqrt{npq}) \rightarrow X \sim \mathcal{N}(50,5)\)

1 − pnorm(59 + 0.5, 50, 5) − pnorm(−0.5, 50, 5) \(\rightarrow\) 0.02871656

Es consideren els esdeveniments

• \(M\) = { L’individu presenta la malaltia }
• \(M^c\) = { L’individu no presenta la malaltia }
• \(T^+\) = { El test dona positiu }
• \(T^-\) = { El test dona negatiu }

Segons l’enunciat

• \(P(M) = 10 \% = 0.10\)
• \(1-P(T^+|M^c) = 0.75\), especificitat del test, \( \implies P(T^+|M^c) = 0.25\)
• \(1-P(T^-|M) = 0.80\), sensibilitat del test, \(\implies P(T^-|M) = 0.20\)

Sigui \(X\) la variable aleatòria que recull el nombre de positius del test. \(X\) seguirà una distribució binomial \(X \sim \mathcal{B}(10,p)\), amb \(p\) la probabilitat de que el test sigui positiu (\(T^+\)).

Per tant \[\begin{align*} p &= P(T^+) = P(M) \cdot P(T^+ | M) + P(M^c) \cdot P(T^+ | M^c) \\ p &= 0.1 \cdot 0.8 + 0.9 \cdot 0.25 = 0.305 \\ P(X = 4) &= \binom{10}{4} \cdot 0.305^4 \cdot 0.695^6 = 0.2047988 \end{align*}\]

choose(10,4)*(0.305^4)*(0.695^6) \(\rightarrow\) 0.2047988

dbinom(4, 10, 0.305) \(\rightarrow\) 0.2047988

La probabilitat és aproximadament del 20.5 %

Sigui \(X\) la variable aleatòria que compte el nombre de persones que han llegit la novel·la, amb \(X \sim \mathcal{B}(4, 0.80)\).

a) Quina és la probabilitat de que al grup hagin llegit la novel·la 2 persones?

S’ha de calcular \(P(X = 2)\)

dbinom(k=2, n=4, p=0.80) \(\rightarrow\) 0.1536

Hi ha una probabilitat del 15.36 %.

b) I com a màxim 2?

S’ha de calcular \(P(X ≤ 2)\)

pbinom(k=2, n=4, p=0.80, lower.tail=TRUE) \(\rightarrow\) 0.1808

Hi ha una probabilitat del 18.08 %.

Sigui \(X\) la variable aleatòria que compte el nombre de persones que són vives, amb \(X \sim \mathcal{B}(5, 2/3)\).

a) Visquin les cinc persones.

S’ha de calcular \(P(X = 5)\)

dbinom(k=5, n=5, p=2/3) \(\rightarrow\) 0.1316872

Hi ha una probabilitat del 13.17 %.

b) Visquin al menys tres persones.

S’ha de calcular \(P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)\)

sum(dbinom(c(3,4,5), n=5, p=2/3)) \(\rightarrow\) 0.7901235

pbinom(c(2), size=5, prob=2/3, lower.tail=FALSE) \(\rightarrow\) 0.7901235

La probabilitat és del 79.01 %.

c) Visquin exactament dues persones.

S’ha de calcular \(P(X = 2)\)

dbinom(k=2, n=5, p=2/3) \(\rightarrow\) 0.1646091

Amb una probabilitat del 16.46 %.

Sigui \(X\) la variable aleatòria que compte el nombre de telèfons que comuniquen, amb \(X \sim \mathcal{B}(10, 1/5)\).

S’ha de calcular \(P(X = 2)\)

dbinom(k=2, n=10, p=1/5) \(\rightarrow\) 0.3019899

Hi ha un 30.20 % de probabilitat.

Sigui \(X\) la variable aleatòria que compte el nombre d’encerts al blanc, amb \(X \sim \mathcal{B}(10, 1/4)\).

S’ha de calcular \(1 - P(X=0)\)

1 - dbinom(k=0, n=10, p=1/4) \(\rightarrow\) 0.9436865

pbinom(c(0), size=10, prob=0.25, lower.tail=FALSE) \(\rightarrow\) 0.9436865

Hi ha un 94.37 % de probabilitat.

Siguin els esdeveniments

• \(A\) = { Positiu a la prova d’alcoholèmia }
• \(B\) = { No portar el cinturó de seguretat cordat }

Sigui \(X\) la variable aleatòria que compte o una o altre de les infraccions, amb \(X \sim \mathcal{B}(5, P(A \cup B))\).

Segons l’enunciat

• \(P(A) = 0.05\)
• \(P(B) = 0.1\)

Per tant (amb \(A\) i \(B\) independents): \(P(A \cup B) = 0.05 + 0.1 - (0.05 \cdot 0.1) = 0.145\)

a) ··· la probabilitat de que exactament tres conductores hagin comès alguna de las dues infraccions.

S’ha de calcular \(P(X = 3)\)

dbinom(k=3, n=5, p=0.145) \(\rightarrow\) 0.02228621

Hi ha un 2.23 % de probabilitat.

b) ··· la probabilitat de que al menys un conductor hagi comès alguna de las dues infraccions.

S’ha de calcular \(P(X > 0) = 1 - P(X = 0)\).

1 - dbinom(k=0, n=5, p=0.145) \(\rightarrow\) 0.5430901

pbinom(c(0), size=5, prob=0.145, lower.tail=FALSE) \(\rightarrow\) 0.5430901

Hi ha un 54.31 % de probabilitat.

Sigui \(X\) la variable aleatòria que compte el nombre d’articles defectuosos, amb \(X \sim \mathcal{B}(10000, 0.02)\).

Es té \(n = 10000; \quad p = 0.02; \quad q = 1 -p = 0.98\)

Com \(n\) és gran i \(p\) petita, s’assimila a una distribució normal amb \(X \sim \mathcal{N}(np, npq)\), amb \[\begin{align*} \mu &= np = 10000 \cdot 0.02 = 200; \\ Var &= npq = 10000 \cdot 0.02 \cdot 0.98 = 196; \\ \sigma &= \sqrt{Var} = \sqrt{196} = 14 \end{align*}\]

Sigui \(X\) la variable aleatòria que compte el nombre de respostes correctes, amb \(X \sim \mathcal{B}(25, 2/5)\).

a) Quina és la probabilitat de respondre exactament 7 respostes correctes?

S’ha de calcular \(P(X = 7)\).

dbinom(k=7, n=25, p=2/5) \(\rightarrow\) 0.07998648

Hi ha un 8 % de probabilitat.

b) Quina és la probabilitat d’encertar com a màxim 9 respostes?

S’ha de calcular \(P(X \leq 9)\)

pbinom(k=9, size=25, prob=2/5, lower.tail=TRUE) \(\rightarrow\) 0.424617

Hi ha un 42.46 % de probabilitat.

c) Si s’aprova l’examen quan es responen correctament 13 qüestions, quina és la probabilitat de que passi l’alumne que ha provat sort?

S’ha de calcular \(P(X \geq 13) = P(X > 12)\)

pbinom(k=12, size=25, prob=2/5, lower.tail=FALSE) \(\rightarrow\) 0.1537678

Hi ha un 15.38 % de probabilitat.

d) Quin és el conjunt de números menors possibles d’encerts, amb probabilitat al voltant de 0.95?

S’ha de calcular el quantil de la binomial per a \(p = 0.95\).

qbinom(p=0.95, size=25, prob=2/5, lower.tail=TRUE) \(\rightarrow\) 14

El resultat sol·licitat és 14, es verifica per \(X = 14\):

pbinom(14, size=25, prob=2/5, lower.tail=TRUE), lower.tail=TRUE) \(\rightarrow\) 0.9656085

a) Al quart assaig.

Sigui \(X\) la variable aleatòria que compte el nombre de motors dissenyats no defectuosos. En aquest cas, \(X\) segueix una distribució binomial negativa \(X \sim \mathcal{BN}(3, 0.9)\).

S’ha de calcular \(P(X = 4)\), amb \(r = 3\) i \(P(X) = 0.9\). El valor que pren \(X\) en el punt 4 de la funció de densitat. \[P(X = 4) = \binom{x + r - 1}{r - 1} \cdot p^{r - 1} \cdot q^x \cdot p = \binom{6}{2} \cdot 0.9^2 \cdot 0.1^4 \cdot 0.9 \approx 0.0011\]

dnbinom(x=4, r=3, p=0.9) \(\rightarrow\) 0.0010935

Hi ha un 0.11 % de probabilitat.

b) Al quart assaig o abans.

S’ha de resoldre \(P(X \leq 4)\), amb \(r = 3\) i \(P(X) = 0.9\). S’utilitza la funció de distribució acumulada amb l’àrea de la cua cap a l’esquerra.

x = 4; r = 3; p = 0.9

pnbinom(x-r, r, p, lower.tail = T) \(\rightarrow\) 0.9477

Hi ha un 94.77 % de probabilitat.

Sigui \(X\) la variable aleatòria que compte el nombre de cares. En aquest cas, \(X\) segueix una distribució binomial \(X \sim \mathcal{B}(5, 0.5)\).

S’ha de calcular \[P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot 0.5^2 \cdot 0.5^3 = 0.3125\]

dbinom(k=2, n=5, p=0.5) \(\rightarrow\) 0.3125

Hi ha un 31.25 % de probabilitat.

Sigui \(X\) la variable aleatòria que compte el nombre de fills de sexe masculí. En una família de tres fills, \(X\) segueix una distribució binomial \(X \sim \mathcal{B}(3, 0.51)\).

a) Al menys un nen.

S’ha de calcular \(P(X \geq 1)\) \[P(X \geq 1) = 1 - \binom{3}{0} \cdot (0.51)^0 \cdot (0.49)^3 = 0.882351\]

1 - dbinom(k=0, n=3, p=0.51) \(\rightarrow\) 0.882351

Hi ha un 88.24 % de probabilitat.

b) Al menys una nena.

S’ha de calcular \(P(X \leq 2)\) \[P(X \leq 2) = 1 - P(X = 3) = 1 - \binom{3}{3} \cdot (0.51)^3 \cdot (0.49)^0 = 0.867349\]

1 - dbinom(k=0, n=3, p=0.49) \(\rightarrow\) 0.867349

Hi ha un 86.74 % de probabilitat.

Sigui \(X\) la variable aleatòria que compte el nombre de cares obtingudes en sis tirades. Per tal de que el joc no finalitzi s’ha de complir que \(X \leq 1\) o \(X \geq 4\). Casos en que els que el nombre de creus o de cares és inferior o igual a 3.

\(X\) segueix una distribució binomial \(X \sim \mathcal{B}(6, 0.5)\).

S’ha de calcular \(P(X \leq 1) + P(X \geq 4)\). \[\begin{align*} P(X \leq 1) &= P(X = 0) + P(X = 1) \\ P(X \geq 4) &= P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) \end{align*}\]

sum(dbinom(c(0:1), n=6, p=0.5)) + sum(dbinom(c(4:6), n=6, p=0.5)) \(\rightarrow\) 0.453125

Hi ha un 45.31 % de probabilitat.

S’han d’extreure 2 piques, 3 diamants, 1 cor i 0 trèvol. Les freqüències \((2, 3, 1, 0)\) segueixen una distribució multinomial amb \(n = 6\) i \(p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = 0.25\).

\[f(2, 3, 1, 0) = \frac{6!}{2! \, 3! \, 1! \, 0!} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(\frac{1}{4}\right)^1 \left(\frac{1}{4}\right)^0 = 0.01464844\]

dmultinom(c(2,3,1,0), prob = c(rep(0.25,4))) \(\rightarrow\) 0.01464844

Hi ha un 14.65 % de probabilitat.

Es defineixen els esdeveniments:

• \(M\) = { Ser afeccionat a la música clàssica }, amb \(P(M) = 1/5 = 0.2\).
• \(M^c\) = { No ser afeccionat a la música clàssica }, amb \(P(M^c) = 4/5 = 0.8\).
• \(H\) = { Ser del sexe masculí }, amb \(P(H) = 1/2 = 0.5\).
• \(D\) = { Ser del sexe femení }, \(P(D) = 1/2 = 0.5\).

Tots els esdeveniments són mútuament excloents i ser afeccionat a la música és independent del sexe. Per tant

• \(P(H \cap M) = P(D \cap M) = 0.2 \cdot 0.5 = 0.1\)
• \(P(H \cap M^c) = P(D \cap M^c) = 0.5 \cdot 0.8 = 0.4\)

S’ha de calcular la probabilitat dels casos: \(1 \cdot (H \cap M), 1 \cdot (H \cap M^c), 1 \cdot (D \cap M)\). Amb una distribució multinomial de \(n = 3\): \[f(1, 1, 1) = \frac{3!}{1! \, 1! \, 1!} \cdot 0.1^1 \cdot 0.4^1 \cdot 0.1^1 = 0.11111111\]

dmultinom(c(1,1,1), prob = c(0.1, 0.4, 0.1)) \(\rightarrow\) 0.1111111

Hi ha un 11.11 % de probabilitat.

Es considera l’esdeveniment \(R_i\) com { El resultat ha estat el número \(i\) }, amb \(i \in (1,6)\). És clar que \(p_i = P(R_i) = 1/6\), \(\forall i \in (1,6)\) i que cada llançament és independent.

Sigui la variable \(X_i\) que compta el nombre de cops que surt el número \(i\), l’esdeveniment \(R_i\), en les set tirades.

\(X_i\) segueix una distribució \(X_i \sim \mathcal{B}(7, 1/6)\) i \(X = (X_1, \cdots, X_6)\) segueix una distribució multinomial \(X \sim \mathcal{M}(7, 1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6)\).

Se’ns demana calcular, \[P(2, 0, 2, 0, 3, 0) = \frac{7!}{2! \, 2! \, 3!} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^6 = \mathbf{0.0007501715}\]

dmultinom(c(2,0,2,0,3,0), prob = c(rep(1/6, 6))) \(\rightarrow\) 0.0007501715

Hi ha un 0.08 % de probabilitat.

Sigui \(\Omega = \left\{\{AA\},\{Aa\},\{aa\}\right\}\), amb l’esdeveniment \(H\) = { Tenir 1 descendent \(Aa\) i tres descendents \(aa\)".

Aleshores, respecte l’individu II-1: \(P(AA|H) = 0\) —no tindria cap descendent amb genotip \(aa\) i en té tres—.

\(P(Aa|H) = 5/7\). Calculat amb la fórmula de Bayes a partir de la seva descendència coneguda: \[P(Aa | H) = \frac{P(H | Aa) \cdot P(Aa)}{[P(H | AA) \cdot P(AA)] + [P(H | Aa) \cdot P(Aa)] + [P(H | aa) \cdot P(aa)]}\]

, amb:

• \(P(AA) = 1/4 = 0.25\)
• \(P(Aa) = 1/2 = 0.5\)
• \(P(aa) = 1/4 = 0.25\)

La probabilitat de que sigui \(AA, Aa \text{ o } aa\), segons els progenitors, I-1, I-2, és:

• \(P(H|AA) = 0\) —té tres fills \(aa\)—.
• \(P(H | Aa) = \frac{4!}{0! \cdot 1! \cdot 3!} \cdot 0.25^0 \cdot 0.5^1 \cdot 0.25^3 = \frac{1}{32} = 0.03125\)

dmultinom(c(0, 1, 3), prob = c(0.25, 0.5, 0.25)) \(\rightarrow\) 0.03125

• \(P(H | aa) = \binom{4}{3} \cdot 0.5^3 \cdot 0.5^1 = 0.25\)

dmultinom(c(3, 1), prob = c(0.5, 0.5)) \(\rightarrow\) 0.25

Per tant: \[P(Aa | H) = \frac{0.03125 \cdot 0.5}{0 + (0.03125 \cdot 0.5) + (0.25 \cdot 0.25)} = \frac{5}{7}\]

Aleshores: \[P(aa|H) = 1 – \frac{5}{7} = \frac{2}{7}\]

Es tracta d’una distribució multinomial. Segons l’enunciat:

• \(P(AA) = P(aa) = 1/4\)
• \(P(Aa) = 1/2\)

Aleshores

a) La probabilitat de tenir la descendència: \(AA, Aa, Aa \text{ i } aa\).

\[P(AA, Aa, Aa, aa) = \frac{4!}{1! \, 2! \, 1!} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^1 = \frac{24}{128} = \frac{3}{16}\]

b) La probabilitat de tenir dos mascles \(Aa\) i dues femelles \(aa\).

\[P(Aa \cap M, Aa \cap M, aa \cap F, aa \cap F) = \frac{4!}{2! \, 2!} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{512}\]

Sigui \(Y\) la variable aleatòria que comptabilitza el nombre d’individus de entre els 100 que són del grup B⁺, amb \(Y \sim \mathcal{B}(100, 0.07)\).

\[P(Y = 10) = \binom{100}{10} \cdot 0.07^{10} \cdot 0.93^{90} = 0.07124438\]

dbinom(k=10, n=100, p=0.07) \(\rightarrow\) 0.07124438

Hi ha una probabilitat del 7.12 %.