a) La funció de distribució de la variable aleatòria “temps d’espera”.

El viatger arriba en un moment qualsevol i tots els moments tenen igual probabilitat. La variable aleatòria segueix una distribució uniforme contínua a l’interval (0, 10). La seva funció de distribució \(F(X) = P(X \leq x)\) val

• 0, si \(x \leq 0\)
• \(x/10\), si \(0 < x < 10\)
• 1, si \(x \geq 10\)

La funció de densitat de probabilitat, dins l’interval \((0, 10)\), és \[f(x) = \frac{1}{10}\] .

b) Probabilitat de que esperi el tren menys de 5 minuts

\[P(X < 5) = F(5) = \frac{5}{10} = 0.5\]

c) Esperança i variància de la variable aleatòria “temps d’espera”.

\[ \begin{align*} E(X) &= \frac{0 + 10}{2} = 5 \\ Var(X) &= \frac{(10 - 0)^2}{12} = \frac{100}{12} = \frac{25}{3} \approx 8.33\end{align*}\]

d) Probabilitat de que esperi exactament 8 minuts.

Com \(X\) és una variable aleatòria absolutament contínua, \(P(X = 8) = 0\).

Se sap que \[\begin{align*} E(X) &= m = \frac{a + b}{2} \\ \text{Var}(X) &= \sigma^2 = \frac{(b - a)^2}{12} \end{align*}\]

Per tant, es plantegen les equacions \[\begin{align*} a + b &= 2m \\ b - a &= 2\sqrt{3} \cdot \sigma \end{align*}\]

D’on es dedueixen \[\begin{align*} a &= m - \sqrt{3} \cdot \sigma \\ b &= m + \sqrt{3} \cdot \sigma \end{align*}\]

a) Calculis la probabilitat d’obtenir un 5.

fdensitat <- function(x, min = 1, max = 6) ifelse(x >= min & x <= max & round(x) == x, 1/(max - min + 1),0)

fdensitat(5) \(\rightarrow\) 0.1666667 = 1/6

b) Calculis la probabilitat d’obtenir un resultat menor o igual a 5.

fdistribució <- function(q, min = 1, max = 6) ifelse(q < min, 0, ifelse(q >= max, 1, (floor(q) - min+1)/(max - min +1)))

fdistribució(5) \(\rightarrow\) 0.8333333 = 5/6

c) Representis gràficament les funcions de densitat i distribució de probabilitat.

Amb R:

a) La probabilitat d’haver d’esperar més de 40 minuts.

Es té \(X \sim \mathcal{U}(0,60)\), amb \(P(X > 40) = 1 - P(X \leq 40)\).

punif(40, min = 0, max = 60, lower.tail = FALSE) \(\rightarrow\) 0.3333333

1 - punif(40, min = 0, max = 60) \(\rightarrow\) 0.3333333

La probabilitat d’haver d’esperar més de 40 minuts és aproximadament del 33 %.

b) La probabilitat d’haver d’esperar entre 25 i 30 minuts.

S’ha de calcular \(P(X \leq 30) - P(X \leq 25)\).

punif(30, min=0, max=60)- punif(25, min=0, max=60) \(\rightarrow\) 0.08333333

La probabilitat d’haver d’esperar entre 25 i 30 minuts és aproximadament del 83 %