a) Quin tipus de distribució segueix la variable aleatòria velocitat? Quina és la velocitat mitjana del vent a la base Rúskaya?

Sigui \(V\) la variable aleatòria que mesura la velocitat del vent. Segons l’enunciat \[\frac{1}{\mu} = \lambda = \frac{1}{12} \implies \mu = 12\]

Per tant \[V \sim \mathcal{E}(\frac{1}{12})\text{ i } \mu = E[V] = 12\text{ m/s}\]

b) Quina probabilitat té l’anemòmetre de trencar-se?

La probabilitat ve donada per \[\text{P}(V > 35) = \int_{35}^{\infty} \frac{1}{12} e^{-\frac{1}{12}x} \, dx = \frac{1}{\frac{35}{12} e} \approx 0.05411\]

pexp(35,1/12,lower.tail=F) \(\rightarrow\) 0.05411377

c) Quina és la probabilitat de que l’anemòmetre es trenqui en un dia en el que la velocitat del vent ja hagi superat els 30 m/s?

La probabilitat ve donada per \[P(V > 35│V > 30) = \frac{P(V > 35)}{P(V > 30)} = \frac{0.05411377}{0.082085} \approx 0.6592407\]

pexp(35,1/12,lower.tail=F)/pexp(30,1/12,lower.tail=F) \(\rightarrow\) 0.6592406

Sigui \(X\) la variable aleatòria que recull el temps d’espera. Segons l’enunciat, \(E(X) = 15\), per tant \(\lambda = \frac{1}{15}\).

\[P(X > 20) =1 - P(X \leq 20) = e^{-20 \frac{1}{15}} = 0.2635971\]

1 - pexp(20, rate=1/15) \(\rightarrow\) 0.2635971

La probabilitat d’haver d’esperar-se més de 20 minuts és aproximadament del 26 %.

\[\text{P}(X > t) = 1 - \text{P}(X \leq t) = 1 - \int_{0}^{t} e^{-\alpha u} \, du = e^{-\alpha t}\]

Anàlogament \[\begin{align*} \text{P}(X > t + x) &= e^{-\alpha (t + x)} \\ \text{P}(X > t) &= e^{-\alpha t} \\ \text{P}(X > t + x \mid X > t) &= \frac{\text{P}([X > t + x] \cap [X > t])}{\text{P}(X > t)} = \frac{\text{P}(X > t + x)}{\text{P}(X > t)} \\ &= \frac{e^{-\alpha (t + x)}}{e^{-\alpha t}} = e^{-\alpha x} = \text{P}(X > x) \end{align*}\]

La probabilitat d’una espera superior a \(x\), no depèn d’una espera anterior \(t\).

Sigui \(T\) la variable aleatòria que ens dona el temps, en anys, que un detector tarda en avariar-se.

Segons l’enunciat \[\mu = 2 = \frac{1}{λ} \implies \lambda = 0.5\]

, per tant \(T \sim \mathcal{E}(0.5)\).

\[\text{P}(T > 3) = \int_{3}^{\infty} 0.5 e^{-0.5x} \, dx = e^{-1.5} \approx 0.2231\]

pexp(3,0.5,lower.tail=F) \(\rightarrow\) 0.2231302

\[E(T) = \frac{1}{λ} = \frac{1}{0.003} = \frac{1000}{3} = 333.\bar 3\text{ dies}\]

L’esperança de vida del bacteri és aproximadament de 334 dies.

\[P(T > 360) = 1 - P(T \leq 360) = e^{-360 \frac{3}{1000}} = 0.3395955\]

1 - pexp(360,0.003) \(\rightarrow\) 0.3395955

La probabilitat de que visqui més de 360 dies és aproximadament del 34 %.