a) Trobis la funció de densitat bivariant de (\(X, Y\)).

La distribució de (\(X, Y\)) és normal bivariant, per ser \(Y_1, Y_2 \sim \mathcal{N}(0,1)\), independents i haver estat \(X,Y\) construïdes com a combinació lineal de \(Y_1, Y_2\).

Aleshores es té que \[\begin{align*} \overline{Y}_1 &= E(Y_1) = 0, \; \text{Var}(Y_1) = 1^2 = 1 \\[10pt] \overline{Y}_2 &= E(Y_2) = 0, \; \text{Var}(Y_2) = 1^2 = 1 \end{align*}\]

I per tant: \[\begin{align*} E(X) &= 2 + E(Y_1) - E(Y_2) = 2 + 0 - 0 = 2 \quad \Rightarrow \quad X \sim N(2, \sqrt{2}) \\[10pt] \text{Var}(X) &= \text{Var}(Y_1) + \text{Var}(Y_2) = 1 + 1 = 2 \\[10pt] E(Y) &= 3 + E(Y_1) + E(Y_2) = 3 + 0 + 0 = 3 \quad \Rightarrow \quad Y \sim N(3, \sqrt{5}) \\[10pt] \text{Var}(Y) &= \text{Var}(Y_1) + [2^2 \cdot \text{Var}(Y_2)] = 1 + (4 \cdot 1) = 5 \\[10pt] \text{Cov}(X, Y) &= E[(Y_1 + Y_2) \cdot (Y_1 + 2Y_2)] \\[10pt] \text{Cov}(X, Y) &= [2 \cdot E(Y_1Y_2)] + [2 \cdot E(Y_2^2)] + E(Y_1^2) + E(Y_1Y_2) \\[10pt] \text{Cov}(X, Y) &= (2 \cdot 0) + (2 \cdot 1) + 1 + 0 = 3 \end{align*}\]

El coeficient de correlació val \[\rho = \frac{\text{COV}(X, Y)}{\sigma_1 \sigma_2} = \frac{3}{\sqrt{2} \sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{10}}\]

La funció de densitat és \[f(x, y) = \frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1 - \rho^2}} \exp \left\{ -\frac{1}{2} \cdot Q(x, y) \right\}\]

amb \[Q(x, y) = \frac{1}{1 - \rho^2} \left[ \frac{(x - m_1)^2}{\sigma_1^2} - 2 \rho \frac{(x - m_1)(y - m_2)}{\sigma_1 \sigma_2} + \frac{(y - m_2)^2}{\sigma_2^2} \right]\]

Per tant: \[f(x, y) = \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{1 - (0.9)}} \exp \left\{ -\frac{1}{2} \cdot Q(x, y) \right\}\]

amb \[Q(x, y) = \frac{1}{1 - (0.9)} \cdot \left[ \frac{(x - 2)^2}{2} - \frac{6}{\sqrt{10}} \frac{(x - 2)(y - 3)}{\sqrt{2} \sqrt{5}} + \frac{(y - 3)^2}{5} \right]\]

b) Cóm es distribueix la variable \(Z = 2 X + 3 Y - 1\)?

La variable \(Z\) es distribueix normalment amb mitjana i variància \[\begin{align*} E(Z) &= [2 \cdot E(X)] + [3 \cdot E(Y)] - 1 = 12 \\[10pt] \text{Var}(Z) &= [4 \cdot \text{Var}(X)] + [9 \cdot \text{Var}(Y)] + [12 \cdot \text{COV}(X, Y)] = 89 \end{align*}\]

Siguin les variables aleatòries: \(\overline X\) = { La producció de blat, en HL/Ha, a la línia \(A\) } i \(\overline Y\) = { La producció de blat, en HL/Ha, a la línia \(B\) }, amb les dues variables aleatòries independents, perquè cada producció s’ha fet en parcel·les diferents i depèn de les característiques edàfiques de cada parcel·la.

S’efectua el contrast bilateral: \(\left[H_0:\ \overline X = Y\right]\) i  \(\left[H_1:\ \overline X \neq Y\right]\), amb \(\alpha = 0.05\).

Si \(H_0\) és certa, es verificarà que \(E(X - Y) = E(X) - E(Y) = \overline X - \overline Y = 0\), i la distribució de \(X – Y\) serà normal de mitjana zero.

Es contrasta doncs: \(\left[H_0\ : E(X - Y) = 0\right]\) i \(\left[H_1\ : E(X - Y) \neq 0\right]\), a partir de la mostra de valors independents de les diferències entre les dues línies: \((2, 1, 2, -1, 3, 0,-2, 5, 2,-2)\)

Amb R:

Es calcula \[t = \sqrt{10-1} \cdot \frac{1 - 0}{/2.260777} = 1.327\]

Amb 9 g.l. i \(\alpha = 0.05\) com \(1.327 < 2.262\) s’accepta que no hi ha diferències significatives entre la producció de les dues línies de blat.

Es carrega, a R, l’arxiu original de Pearson —transformat en cm—:

pearson=read.table("https://divulgatio.cat/images/aules/images/aules/999_Estadistica_PR/19/dades/Pearson_cm.txt", header=TRUE)

a) L’alçada esperada d’un fill que el pare mesura 185 cm. Quina és la desviació esperada de la mesura del fill per cada centímetre de desviació del pare?

Com la regressió és lineal per a la distribució normal bivariant, s’utilitza la recta de regressió \(Y/X\) \[\begin{align*} m_1 &= \overline{x} = 171.93 \\[10pt] m_2 &= \overline{y} = 174.46 \\[10pt] \sigma_1 &= s_x = 6.97 \\[10pt] \sigma_2 &= s_y = 7.15 \\[10pt] \rho &= \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = 0.5013383 \end{align*}\]

La recta de regressió \(Y/X\) és \(y - \bar y = a_R (x - \bar x)\), amb \[a_R = \frac{s_{xy}}{s_x^2} = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} \cdot \frac{s_y}{s_x} = \rho \cdot \frac{s_y}{s_x} = 0.5013383 \cdot \frac{7.15}{6.97} \approx 0.51429\]

I, per tant, \(y - 174.46 = 0.51429 \cdot (x - 171.93)\)

Aleshores, amb x=185 cm d’alçada del pare, l’alçada esperada del fill serà \(y = 0.51429 \cdot (185 - 171.93) + 174.46 = 181.18\) cm

Amb R:

S'obté la recta \(y = 0.51409x + 86.07215 \pm6.189\)

S’observa que per cada centímetre que \(x\) es desvia de \(\bar x\), són d’esperar únicament 0,514 cm de desviació de \(y\) respecte \(\bar y\).

Així, de pares alts —d’alçada superior a \(\bar x\) — és d’esperar fills d’alçada superior a \(\bar y\) però amb alçada menys desviada que els pares —alçades més properes a \(\bar y\) —.

[Nota: Desviació observada per F. Galton que la va nomenar «regressió a la mitjania» i és l’origen del terme matemàtic «regressió».]

b) Si s’escull una família al atzar, la probabilitat de que l’alçada del fill superi en 3 cm la del pare.

S’ha de calcular \(P(Y - X >3\). Com (\(X, Y\)) normal bivariant, (\(Y - X\)) és normal, sent \[\begin{align*} E(Y - X) &= 174.46 - 171.93 = 2.53 \\[10pt] \text{Var}(Y - X) &= 7.15^2 + 6.97^2 - (2 \cdot 7.15 \cdot 6.97 \cdot 0.50) \approx 49.87\end{align*}\]

Aleshores, amb \(Z \sim \mathcal{N}(0, 1)\), \[\text{P}(Y - X > 3) = \text{P} \left( Z > \frac{3 - 2.53}{\sqrt{49.87}} \right) = \text{P}(Z > 0.09425) = 0.49624\]

pnorm(0.009425,0,1, lower.tail=FALSE) \(\rightarrow\) 0.49624

c) La probabilitat de que l’alçada del fill superi els 175 cm.

De la mateixa manera \[\text{P}(Y > 175) = \text{P} \left( Z > \frac{175 - 174.46}{7.15} \right) = \text{P} \left( Z > \frac{54}{715} \right) = 0.4698987\]

pnorm((54/715),0,1, lower.tail=FALSE) \(\rightarrow\) 0.4698987

d) La probabilitat de que l’alçada del fill superi els 190 cm sabent que el pare mesura 185 cm.

La distribució de \(Y\) condicionada a \(X = 185\) és normal amb paràmetres \[\begin{align*} m &= 174.46 + 0.51429(185 - 171.93) = 181.18 \\[10pt] \sigma &= 7.15 \sqrt{1 - 0.5013383^2} \approx 6.1865 \end{align*}\]

aleshores \[\text{P}(Y > 190 \mid X = 185) = \text{P} \left( Z > \frac{190 - 181.18}{6.1865} \right) = \text{P}(Z > 1.425684959)\]

I, finalment, \(P(Y > 190│X = 185) \approx 7.7 \%\)

pnorm(1.425684959,0,1, lower.tail=FALSE) \(\rightarrow\) 0.07697965

a) Demostrar que les distribucions marginals de \( X \) i \( Y \) segueixen una distribució \( \mathcal{N}(0,1) \).

Per trobar les distribucions marginals de \( X \) i \( Y \), integrem la funció de densitat conjunta respecte a cada variable per obtenir les densitats marginals.

La funció de densitat conjunta \( f(x, y) \) és proporcional a la funció de densitat d'una distribució normal bivariada centrada en zero i amb variàncies unitàries (ja que és de la forma \( e^{-\frac{1}{2}(x^2 + y^2)} \)). Així, els marginals de \( X \) i \( Y \) seran distribucions normals \( \mathcal{N}(0, 1) \) amb funcions de densitat: \[f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}, \quad f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}\].

En efecte:

Distribució marginal de \(X\):

Per trobar la distribució marginal de \( X \), integrem la funció de densitat conjunta respecte a \( y \) en el domini permès (\( y \leq 0 \)): \[f_X(x) = \int_{-\infty}^0 f(x, y) \, dy.\]

Substituïm la funció de densitat: \[f_X(x) = \int_{-\infty}^0 \frac{1}{\pi} e^{-\frac{1}{2}(x^2 + y^2)} \, dy.\]

Podem treure la constant \(\frac{1}{\pi} e^{-\frac{1}{2}x^2}\) fora de la integral perquè només depèn de \( x \): \[f_X(x) = \frac{1}{\pi} e^{-\frac{1}{2}x^2} \int_{-\infty}^0 e^{-\frac{1}{2}y^2} \, dy.\]

Observem que l'integral restant sobre \( y \) és l'integral d'una funció de densitat normal \( \mathcal{N}(0, 1) \), però limitada al domini \( y \leq 0 \). Per tant, podem expressar-la en termes de la funció de distribució acumulada de la normal estàndard \( \Phi \): \[\int_{-\infty}^0 e^{-\frac{1}{2}y^2} \, dy = \sqrt{\frac{\pi}{2}}.\]

Així, substituïm aquest resultat en l'expressió de \( f_X(x) \): \[f_X(x) = \frac{1}{\pi} e^{-\frac{1}{2}x^2} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}x^2}.\]

Aquesta és la funció de densitat d'una distribució normal \( \mathcal{N}(0, 1) \), de manera que \( X \sim \mathcal{N}(0, 1) \).

Distribució marginal de \(Y\):

Ara, anàlogament, per trobar la distribució marginal de \( Y \), integrem la funció de densitat conjunta respecte a \( x \) en el domini permès (\( x > 0 \)): \[f_Y(y) = \int_0^{\infty} f(x, y) \, dx.\]

Substituïm la funció de densitat: \[f_Y(y) = \int_0^{\infty} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{1}{2}(x^2 + y^2)} \, dx.\]

Treure la constant \(\frac{1}{\pi} e^{-\frac{1}{2}y^2}\) fora de la integral perquè només depèn de \( y \): \[f_Y(y) = \frac{1}{\pi} e^{-\frac{1}{2}y^2} \int_0^{\infty} e^{-\frac{1}{2}x^2} \, dx.\]

Igual que abans, l'integral restant sobre \( x \) és una integral d'una funció de densitat normal \( \mathcal{N}(0, 1) \), però limitada al domini \( x > 0 \): \[\int_0^{\infty} e^{-\frac{1}{2}x^2} \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}.\]

Substituïm aquest resultat en l'expressió de \( f_Y(y) \): \[f_Y(y) = \frac{1}{\pi} e^{-\frac{1}{2}y^2} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}y^2}.\]

Aquesta és la funció de densitat d'una distribució normal \( \mathcal{N}(0, 1) \), per la qual cosa \( Y \sim \mathcal{N}(0, 1) \).

Conclussió:

Per tant, les distribucions marginals de \( X \) i \( Y \) són \( \mathcal{N}(0, 1) \), com es demana demostrar.

b) Demostrar que \( X \) i \( Y \) són variables independents.

Per demostrar la independència, cal mostrar que la funció de densitat conjunta \( f(x, y) \) es pot descompondre com el producte de les funcions de densitat marginals \( f_X(x) \) i \( f_Y(y) \).

Observem que la funció de densitat conjunta és: \[f(x, y) = \frac{1}{\pi} e^{-\frac{1}{2}(x^2 + y^2)} = f_X(x) \cdot f_Y(y),\]

ja que la funció de densitat conjunta és el producte de les funcions de densitat marginals per a \( x > 0 \) i \( y \leq 0 \). Això confirma que \( X \) i \( Y \) són independents en aquest domini.

c) Analitzar si la distribució conjunta de \( X \) i \( Y \) és normal bivariant, i què es pot deduir d'aquestes condicions.

La distribució conjunta de \( X \) i \( Y \) és normal bivariant perquè la seva funció de densitat té la forma d'una normal bivariada amb mitjanes zero, variàncies unitàries i correlació zero (ja que \( X \) i \( Y \) són independents). La normal bivariada en aquest cas es defineix només en el domini \( x > 0 \) i \( y \leq 0 \), el qual restringeix el seu suport.

Això implica que, tot i que la funció de densitat s'assembla a una normal bivariant, està limitada a un quadrant específic, fet que es tradueix en una distribució truncada en aquest domini.

a) \(P(X \leq x) = 0.99\), amb \(m = 12\) i \(P(X > x) = 0.1\), amb \(m = 42\)

qchisq(0.99,12, lower.tail = T) \(\rightarrow\) 26.21697

qchisq(0.10,42, lower.tail = F) \(\rightarrow\) 54.0902

b) \(P(Y \leq y) = 0.6\), amb \(n = 20\) i \(P(|Y| > y) = 0.01\), amb \(n = 45\)

qt(0.6,20, lower.tail = T) \(\rightarrow\) 0.2567428

Busquem \( y \) tal que, tenint en compte la simetria de la distribució : \(P(Y \leq y) = 0.995\):

qt(0.995, 45, lower.tail = T) \(\rightarrow\) 2.689585

És correcte suposar que el termòmetre número 5 no mesura correctament la temperatura? —amb \(\sigma\) desconegut—

Per determinar si el termòmetre número 5 (amb una mesura de \(0.12^\circ C\)) és consistent amb la distribució \( \mathcal{N}(0, \sigma) \) utilitzem l'estadístic de Grubbs per detectar possibles valors anòmals (outliers). Aquest test calcula la següent estadística per a cada dada: \[G = \frac{|X_i - \overline{X}|}{s}\]

on:

• \( X_i \) és el valor que volem comprovar (en aquest cas, 0.12),
• \( \overline{X} \) és la mitjana de les observacions,
• \( s \) és la desviació estàndard de les observacions.

Comparem el valor de \( G \) amb el valor crític de la distribució \(t\)-Student amb el nivell de confiança que desitgem (habitualment, un nivell de significació de \( \alpha = 0.05 \)).

Amb R:

Com \(p\)-value \( = 0.1915 > \alpha = 0.05\) no tenim suficient evidència per rebutjar la hipòtesi nul·la que tots els valors pertanyen a la mateixa distribució, és a dir, no hi ha evidència suficient per considerar que el valor 0.12 és un outlier amb un nivell de confiança del 95%.

I si es sabés que \(\sigma = 0.05^\circ C\)?

Si sabem que \( \sigma = 0.05^\circ C \), podem calcular el valor \(z\) d’aquest valor mesurat per comprovar si és significativament diferent de la mitjana esperada (0): \(z = \frac{X_i - \mu}{\sigma} = 2.4\)

X <- 0.12; mu <- 0; sigma <- 0.05; z <- (X - mu) / sigma \(\rightarrow\) 2.4

qnorm(0.025, mean=0, sd=1, lower.tail=TRUE) \(\rightarrow\) -1.959964

qnorm(0.025, mean=0, sd=1, lower.tail=FALSE) \(\rightarrow\) 1.959964

Com \(z = 2.4\) no és dins l'interval \(\left(-1.959964, +1.959964\right)\) podem considerar que aquest termòmetre no és prou precís.

Supòsit de Normalitat Bivariada

Quan \( X \) i \( Y \) segueixen una distribució normal bivariant, tenim: \[(X, Y) \sim \mathcal{N} \left( \begin{pmatrix} \mu_X \\ \mu_Y \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \sigma_X^2 & \rho \sigma_X \sigma_Y \\ \rho \sigma_X \sigma_Y & \sigma_Y^2 \end{pmatrix} \right)\]

on:

• \( \mu_X \) i \( \mu_Y \) són les mitjanes de \( X \) i \( Y \),
• \( \sigma_X^2 \) i \( \sigma_Y^2 \) són les variàncies,
• \( \rho \) és el coeficient de correlació entre \( X \) i \( Y \).

Combinació Lineal de Variables Reduïdes i Independents

Per expressar \( X \) i \( Y \) com una combinació lineal de dues variables normals independents \( U \) i \( V \) amb \( U, V \sim \mathcal{N}(0, 1) \), podem utilitzar la transformació següent: \[X = \mu_X + \sigma_X U\]

\[Y = \mu_Y + \sigma_Y \left(\rho U + \sqrt{1 - \rho^2} V \right)\]

on:

• \( U \) i \( V \) són variables aleatòries independents amb distribució normal \( \mathcal{N}(0, 1) \),
• La combinació \( \rho U + \sqrt{1 - \rho^2} V \) assegura que \( Y \) tindrà la correlació \( \rho \) amb \( X \) tot mantenint la variància de \( Y \).

Verificació de la Correlació i la Independència

1. Mitjanes: \( E[X] = \mu_X \) i \( E[Y] = \mu_Y \).
2. Variàncies:
• \( \text{Var}(X) = \sigma_X^2 \),
• \( \text{Var}(Y) = \sigma_Y^2 \left[\rho^2 + (1 - \rho^2)\right] = \sigma_Y^2 \).
3. Covariància: \( \text{Cov}(X, Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)] = \sigma_X \sigma_Y \rho \).

Aquesta transformació garanteix que \( X \) i \( Y \) tenen la mateixa distribució conjunta normal bivariada que la definida inicialment, amb les mateixes mitjanes, variàncies i correlació \( \rho \), de manera que s’ha demostrat que es poden expressar com una combinació lineal de dues normals independents \( U \) i \( V \) amb distribució \( \mathcal{N}(0, 1) \).

Segons l'enunciat, les variables aleatòries \( X \) i \( Y \) tenen una distribució normal bivariada amb:

• \( \mu_X = 0 \), \( \sigma_X = 1 \)
• \( \mu_Y = 0 \), \( \sigma_Y = 1 \)
• Correlació \( \rho = \frac{1}{2} \)

a) Quina és la distribució de la variable aleatòria \(Z = 2X - 7Y + 8\)?

Per trobar la distribució de \( Z \), que és una combinació lineal de \( X \) i \( Y \), utilitzarem les propietats de les combinacions lineals de variables normals.

1. Mitjana de \( Z \): \[E[Z] = E[2X - 7Y + 8] = 2E[X] - 7E[Y] + 8 = 2 \cdot 0 - 7 \cdot 0 + 8 = 8\]
2. Variància de \( Z \): \[\text{Var}(Z) = \text{Var}(2X - 7Y) = 2^2 \cdot \text{Var}(X) + (-7)^2 \cdot \text{Var}(Y) + 2 \cdot 2 \cdot (-7) \cdot \text{Cov}(X, Y)\]
3. Sabem que \( \text{Var}(X) = \text{Var}(Y) = 1 \) i \( \text{Cov}(X, Y) = \rho = \frac{1}{2} \), de manera que: \[\text{Var}(Z) = 4 \cdot 1 + 49 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot (-7) \cdot \frac{1}{2} = 4 + 49 - 14 = 39\]
4. Distribució de \( Z \): Com que \( Z \) és una combinació lineal de variables normals, \( Z \sim \mathcal{N}(8, 39) \).

b) Calculis la probabilitat \(P(2Y > X + 2)\)

Aquest càlcul implica reescriure la desigualtat en termes d'una variable aleatòria normal i calcular la probabilitat corresponent.

La desigualtat és: \[2Y > X + 2 \implies 2Y - X > 2\]

Definim una nova variable aleatòria \( W = 2Y - X \).

1. Mitjana de \( W \): \[E[W] = E[2Y - X] = 2E[Y] - E[X] = 2 \cdot 0 - 0 = 0\]
2. Variància de \( W \): \[\text{Var}(W) = \text{Var}(2Y - X) = 2^2 \cdot \text{Var}(Y) + (-1)^2 \cdot \text{Var}(X) + 2 \cdot 2 \cdot (-1) \cdot \text{Cov}(X, Y)\]
3. \[= 4 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot (-1) \cdot \frac{1}{2} = 4 + 1 - 2 = 3\]
4. Distribució de \( W \): \( W \sim \mathcal{N}(0, 3) \).
5. Probabilitat: Ara volem calcular \( P(W > 2) \), que és equivalent a: \[P\left(Z > \frac{2 - 0}{\sqrt{3}}\right)\]

1 - pnorm(2, mean = 0, sd = sqrt(3)) \(\rightarrow\) 0.1241065