Es calculen els g.l. com el nombre de categories menys un (en aquest cas, 1 g.l.). Els valors observats són 33 i 31. Els valors esperats serien —simplificant al 50% per a cada gènere— 32 i 32.

Amb R:

Els valors esperats serien:

chisq.test(freq)$expected \(\rightarrow\) 32 \(\quad\) 32

El valor crític tabulat, al 95% i 1 g.l. s’obté amb:

qchisq(0.95,1) \(\rightarrow\) 3.841459, amb \(0.8026 > 0.05\) i \(0.0625 < 3.841459\). Per tant, no es pot rebutjar la hipòtesi nul·la.

Amb 40 homes i 24 dones ja es superaria el valor crític al 95%.

Amb R:

S’observa ara que \(p\)-value \(= 0.0455 < 0.05\) i que el valor crític \(3.841459 < 4\), rebutjant-se la hipòtesi nul·la.

a) Trobis \(a\) tal que \(P(U > a) = 0,01\), amb \(m = 15\) i amb \(m = 65\).

Es consulta directament la taula khi-quadrat:

qchisq(0.01, 15, lower.tail = F) \(\rightarrow\) 30.57791

qchisq(0.01, 65, lower.tail = F) \(\rightarrow\) 94.42208

Sense utilitzar R, el segon cas \((m = 65)\) —per exemple— es calcularia buscant primer \(y_{0,1}\) tal que \(P(Y > y_{0,1}) = 0,01\), sent \(Y\) variable aleatòria \(\mathcal{N}(0,1)\). Consultant la taula de la normal reduïda s’obté \(y_{0,1} = 2.326348\).

qnorm(0.01,0,1,lower.tail=FALSE) \(\rightarrow\) 2.326348

Obtenint-se un valor aproximat a l’anterior \[a = \frac{1}{2} \cdot \left( 2.326348 + \sqrt{2 \cdot 65 - 1} \right)^2 \approx 93.63\]

b) Trobis \(b\) tal que \(P(|V| > b) = 0,01\), amb \(n = 10\) i amb \(n = 45\).

Es consulta directament la taula \(t\) de Student

qt(p = 0.99 + 0.01/2, df = 10, lower.tail = TRUE) \(\rightarrow\) 3.169273

Per \(n = 45\), sense utilitzar R, s’interpola entre \[\begin{align*} n = 40 &\rightarrow 2.704459 \\ n = 60 &\rightarrow 2.660283 \end{align*}\]

qt(p = 0.99 + 0.01/2, df = 40, lower.tail = TRUE) \(\rightarrow\) 2.704459

qt(p = 0.99 + 0.01/2, df = 60, lower.tail = TRUE) \(\rightarrow\) 2.660283

, utilitzant els recíprocs dels g.l. \[\frac{2.704459 - b}{\frac{1}{40} - \frac{1}{45}} = \frac{2.704459 - 2.660283}{\frac{1}{40} - \frac{1}{60}} \Rightarrow b \approx 2.6897\]

qt(p = 0.99 + 0.01/2, df = 45, lower.tail = TRUE) \(\rightarrow\) 2.689585

Es té \(f_A \sim \mathcal{B}(600 \cdot 0.5 = 300, \sqrt{600 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = 5\sqrt{6})\), distribució que pot aproximar-se a una distribució \(\mathcal{N}(300, 150)\).

Per tant, la variable aleatòria \((f_A -300)/150\) és aproximadament \(\mathcal{N}(0, 1)\).

Anàlogament, \(f_B \sim \mathcal{B}(800 \cdot 0.5 = 400, \sqrt{800 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = 10\sqrt{2})\), distribució que pot aproximar-se a una distribució \(\mathcal{N}(400, 200)\).

Per tant, la variable aleatòria \((f_B-400)/200\) és aproximadament \(\mathcal{N}(0, 1)\).

Resulta doncs que \(D^2\) segueix aproximadamente la distribució \(\chi^2_2\).

El valor de \(D^2\) observat és \[D^2 = \left( \frac{290 - 300}{5 \sqrt{6}} \right)^2 + \left( \frac{410 - 400}{10 \sqrt{2}} \right)^2 = \frac{7}{6} \approx 1.17\]

Es trobaran unes freqüències més disperses que les observades si \(D^2\) supera 1.17. La probabilitat de que això sigui així és \(P(\chi^2_2 > 1.17) = p\).

Sense utilitzar R s’hauria d’interpolar amb els valors de les taules entre 1.832581 i 1.021651 —valors que corresponen, en les taules als valors 0.4 i 0.6, amb 2 g.l.—.

qchisq(0.4, 2, lower.tail=F) \(\rightarrow\) 1.832581

qchisq(0.6, 2, lower.tail=F) \(\rightarrow\) 1.021651

De manera que, interpolant: \[\frac{p - 0.4}{1.17 - 1.832581} = \frac{0.6 - 0.4}{1.021651 - 1.832581} \Rightarrow p \approx 0.5634\]

pchisq(1.17, 2,lower.tail=FALSE) \(\rightarrow\) 0.5571059

Amb R:

En total, 8 dels 31 homes i 15 de les 24 dones de la mostra practiquen esport.

Es creen dos nous vectors amb aquesta informació

Amb R:

Segons ens indica la sortida de funció prop.test, l’interval de confiança al 92% de confiança és: \((-0.6249422, -0.1089287)\)

Donat que el 0 no és dins l’interval, es pot concloure que les proporcions d’homes i dones que practiquen esport no coincideixen.

qchisq(c(0.05), df=13, lower.tail=TRUE) \(\rightarrow\) 5.891864

qchisq(c(1-0.05), df=13, lower.tail=FALSE) \(\rightarrow\) 5.891864

a) \(P(X \leq x) = 0.99\), amb \(m = 12\) i \(P(X > x) = 0.1\), amb \(m = 42\).

Utilitzem la funció de quantils indicant que l’àrea de cua és cap a l’esquerra:

qchisq(0.99,12,lower.tail = T) \(\rightarrow\) 26.21697

Utilitzem la funció de quantils indicant que l’àrea de cua és cap a la dreta:

qchisq(0.1, 42, lower.tail = F) \(\rightarrow\) 54.0902

b) \(P(Y \leq y) = 0.6\), amb \(n = 20\) i \(P(|Y| > y) = 0.01\), amb \(n = 45\).

Utilitzem la funció de quantils indicant que l’àrea de cua és cap a l’esquerra:

qt(0.6,20,lower.tail = T) \(\rightarrow\) 0.2567428

Utilitzem la funció de quantils indicant que l’àrea de cua és cap a la dreta:

qt(0.01,45,lower.tail = F) \(\rightarrow\) 2.412116

a) Quines serien les freqüències teòriques?

A les dues poblacions es segueix una distribució binomial respecte la freqüència de sexes. Per tant la freqüència teòrica és, en tots dos casos, el terme mig (\(np\)):

• A la població \(A\), \(n = 1000\) i \(p = 0.5\), per tant la freqüència tòrica és 500.
• A la població \(B\), \(n = 1200\) i \(p = 0.5\), per tant la freqüència tòrica és 600.

b) Calculis la probabilitat de que les freqüències teòriques observades siguin encara més disperses que les que hem observat.

S’efectua l’aproximació de la distribució binomial a una distribució \(\mathcal{N}(np, \sqrt{npq})\):

• \(A \sim \mathcal{N}(500, 15.81)\)
• \(B \sim \mathcal{N}(600, 17.32)

Siguin:

• \(f\) = { El nombre de mascles a la població \(A\) }

   

• \(f'\) = { El nombre de mascles a la població \(B\) }

   

Aleshores \[\begin{align*} \frac{f - 500}{15.81} &\sim \mathcal{N}(0,1) \\ \frac{f' - 600}{17.32} &\sim \mathcal{N}(0,1) \end{align*}\]

amb \(f\) i \(f'\) independents i per tant \[\chi^2 = \left( \frac{f - 500}{15.81} \right)^2 + \left( \frac{f' - 600}{17.32} \right)^2\]

es distribueix aproximadament segons una \(\chi^2\) amb 2 g.l. Contra més es separin \(f\) de 500 i \(f'\) de 600, més gran serà la dispersió de la freqüència i més alt serà el valor de la variable aleatòria.

En el nostre cas \(f = 487\) i \(f' = 620\) i per tant \[\chi^2 = \left( \frac{487 - 500}{15.81} \right)^2 + \left( \frac{620 - 600}{17.32} \right)^2 \approx 2.01\]

pchisq(2.01,2,lower.tail=F) \(\rightarrow\) 0.3660446

Que el dau sigui ben construït concorda amb la hipòtesi nul·la, amb \(i\) = {1,2,3,4,5,6}, \(\left[H_0:\ p_i = 1/6\right]\). Si \(H_0\) és certa, les freqüències obtingudes haurien de ser prop de les freqüències teòriques \(300 \cdot 1/6 = 50\) i aleshores \[\chi^2 = \sum_{i=1}^6 \frac{(f_i - np_i)^2}{np_i} = \frac{7^2 + 1^2 + 6^2 + 5^2 + 16^2 + 9^2}{50} = 8.96\] seguirà aproximadament una distribució \(khi\)-quadrat amb \(6 -1 = 5\) g.l.

qchisq(0.95,5) \(\rightarrow\) 11.0705

Com \)8.96 < 11.0705\), no es pot rebutjar \(H_0\). Per tant s’accepta que el dau és ben construït.

• \(R\) = { El descendent és de color roig }
• \(N\) = { El descendent és de color negre }
• \(B\) = { El descendent és de color blanc}

, amb \(\Omega = \{R,N,B\}\), \(P(R) = 9/16\), \(P(N) = 3/16\) i \(P(B) = 4/16\)

Es construeix la taula de freqüències observades i de freqüències teòriques:

Aleshores \[\chi^2 = \sum_{i=1}^n \frac{(f_i - np_i)^2}{np_i} = \frac{2^2}{36} + \frac{2^2}{12} + \frac{4^2}{16} = 1.4444\] segueix aproximadament una distribució chi-quadrat amb \(4 - 1 = 3\) g.l.\/p>

qchisq(0.95,3) \(\rightarrow\) 7.814728

Com \(1.4444 < 7.814728\), s’accepta \(H_0\). El model genètic concorda amb els valors obtinguts, al nivell \(\alpha = 0.05\) de significació.

Es contrasta la hipòtesi \(H_0\): "Les dades concorden amb el model genètic". Les quatre probabilitats depenen del paràmetre \(q\), que serà estimat pel mètode de la màxima versemblança: \[\mathcal{L} = \left( \frac{1}{2} p \right)^{442} \cdot \left( \frac{1}{2} q \right)^{38} \cdot \left( \frac{1}{2} p^2 + pq \right)^{514} + \left( \frac{1}{2} q^2 \right)^6 = 0\]

Substituint \(p = 1-q\), es té \[\mathcal{L} = \left( \frac{1}{2} (1 - q) \right)^{442} \cdot \left( \frac{1}{2} q \right)^{38} \cdot \left( \frac{1}{2} (1 - q)^2 + (1 - q) q \right)^{514} + \left( \frac{1}{2} q^2 \right)^6 = 0\]

Prenent logaritmes neperians: \[\begin{align*} \frac{\delta \, \lg \mathcal{L}}{\delta q} &= 442 (\lg (1 - q) - \lg 2) + 38 (\lg q - \lg 2) + 514 (\lg (1 - q)^2 - \lg 2) + 6 (\lg q^2 - \lg 2) = 0 \\ \frac{\delta \, \lg \mathcal{L}}{\delta q} &= \frac{442}{1 - q} + \frac{38}{q} - \frac{1028 \, q}{1 - q^2} + \frac{12}{q} = 0 \end{align*}\]

Multiplicant per \(q(1-q)^2\) s’obté fàcilment l’equació de segon grau \(770 q^2 + 221 q - 25 = 0\), amb solució positiva \(q = 0.087 \implies p = 0.913\).

Les probabilitats estimades seran aleshores:

I per tant:

Sense tenir en compte que hi ha una freqüència inferior a 5, i considerant que el nombre de graus de llibertat és \(4 - 1 - 1 = 2\) per haver estimat un paràmetre a partir de la mostra, es té: \[\chi^2 = \sum_{i=1}^n \frac{(f_i - np_i)^2}{np_i} = \frac{(442 - 456.5)^2}{456.5} + \frac{(514 - 493)^2}{493} + \frac{(38 - 43.5)^2}{43.5} + \frac{(6 - 3.8)^2}{3.8} = 3.087\]

qchisq(0.95,2) \(\rightarrow\) 5.991465

Com \(3.087 < 5.991465\), s’accepta \(H_0\). Les dades concorden amb el model genètic, al nivell \(\alpha = 0.05\) de significació.

Es contrasta la hipòtesi nul·la \(H_0\): "El deteriorament psicogènic del pensament o memòria i la depressió són símptomes independents". Es disposa d’una taula de contingència de 2 × 2. Utilitzant la correcció de Yates, es té \[\begin{align*} \chi^2 &= n \sum \frac{\left( \left| f_{ij} - \frac{f_{i.} \cdot f_{.j}}{n} \right| - \frac{1}{2} \right)^2}{f_{i.} \cdot f_{.j}} \\ \chi^2 &= 100 \left( \frac{\left( \left| 38 - \frac{69 \cdot 47}{100} \right| - \frac{1}{2} \right)^2}{69 \cdot 47} + \dots + \frac{\left( \left| 22 - \frac{31 \cdot 53}{100} \right| - \frac{1}{2} \right)^2}{31 \cdot 53} \right) = 4.824 \end{align*}\]

qchisq(0.98,1) \(\rightarrow\) 5.411894

Com \(4.824 < 5.411894\), s’accepta \(H_0\). Els símptomes són independents, al nivell \(\alpha = 0.02\) de significació.

Es contrasta la hipòtesi nul·la \(H_0\): "L’historial acadèmic és independent del nivell socioeconòmic aparent". Es té una taula de contingència 3 × 3 amb \[\begin{align*} \chi^2 &= n \left( \left( \sum_{ij} \frac{f_{ij}^2}{f_{i.} \cdot f_{.j}} \right) - 1 \right) \\ \chi^2 &= 1725 \left( \left( \frac{81^2}{636 \cdot 349} + \frac{322^2}{636 \cdot 942} + \dots \right) - 1 \right) = 134.685 \end{align*}\]

Amb \((3 - 1) \cdot (3 - 1) = 4\) g.l. i \(\alpha = 0.001\) es té:

qchisq(0.999,4) \(\rightarrow\) 18.46683

Com \(134.685 > 18.46683\), es rebutja \(H_0\) i s’accepta que l’historial acadèmic i el nivell socioeconòmic aparent no són independents, al nivell \(\alpha = 0.001\) de significació.

Donat que les dues mostres provenen de la mateixa població, les proporcions poblacionals han de ser les mateixes. S’haurà de verificar la hipòtesi nul·la: \(H_0\): "Les freqüències obtingudes pels dos investigadors són comparables". Es a dir: \[P_A (\text{baixa}) = P_B (\text{baixa}) \quad P_A (\text{mitjana})=P_B (\text{mitjana}) \quad P_A (\text{alta})=P_B (\text{alta}).\]

Es tracta de fer un test d’homogeneïtat. Es resol com una taula de contingència 2 × 3: [\chi^2 &= n \left( \left( \sum_{ij} \frac{f_{ij}^2}{f_{i.} \cdot f_{.j}} \right) - 1 \right) = 1725 \left( \left( \frac{1401^2}{255 \cdot 280} + \frac{100^2}{255 \cdot 150} + \dots \right) - 1 \right) = 13.149]

Amb \((3 -1) \cdot (2 – 1) = 2\) g.l. i \(\alpha = 0.01\) es té:

qchisq(.99,2) \(\rightarrow\) 9.21034

Com \(13.149 > 9.21034\), es rebutja \(H_0\). S’accepta que, al menys un dels dos investigadors ha pres incorrectament les dades, al nivell \(\alpha = 0.01\) de significació.

S’efectua el contrast de la hipòtesi nul·la \(H_0\): ”La proporció teòrica d’una classe qualsevol és la mateixa en les dues sèries de dades”, amb \(\alpha = 0.01\).

Com algunes freqüències són massa petites, s’agrupen en 31 classes:

Aleshores \[\chi^2 = n \left( \left( \sum_{ij} \frac{f_{ij}^2}{f_{i.} \cdot f_{.j}} \right) - 1 \right) = 118.91\]

Amb R:

qchisq(0.99,30) \(\rightarrow\) 50.89218

Com \(118.91 > 50.89218\), es rebutja \(H_0\) i s’accepta que les dues sèries pertanyen a poblacions diferents, amb \(\alpha = 0.01\).

S’efectua el contrast de la hipòtesi nul·la \(H_0\): ”la variable aleatòria es distribueix uniformement dins l’interval (10.01, 10.31)”, amb \(\alpha = 0.05\).

Es tenen cinc intervals de classe, tots de la mateixa longitud. La probabilitat de que la variable aleatòria tingui valors en algun d’ells (sota \(H_0\)) és igual a 1/5. O sigui que es té una freqüència teòrica, a cada interval, de \(150 \cdot 0.20 = 30\). Amb:

I aleshores \[\chi^2 = \sum_{i=1}^5 \frac{(f_i - np_i)^2}{np_i} = \frac{4^2}{30} + \frac{2^2}{30} + \frac{5^2}{30} + \frac{1^2}{30} + \frac{2^2}{30} = 1.67\]

Amb \((5 –1) = 4\) g.l. —no s’estima cap paràmetre a partir de la mostra— es té:

qchisq(0.95,4) \(\rightarrow\) 9.487729

Com \(1.67 < 9.487729\), s’accepta \(H_0\). La longitud d’un cargol es distribueix uniformement, amb un nivell \(\alpha = 0.05\) de significació.

S’efectua el contrast d’hipòtesi nul·la \(H_0\): ”El gènere i ser fumador/a són successos independents”

Es construeix la taula de freqüències esperades a partir dels totals de fila i columna:

Aleshores \[\begin{align*} \chi^2 &= n \sum \frac{\left( \left| f_{ij} - \frac{f_{i.} \cdot f_{.j}}{n} \right| - \frac{1}{2} \right)^2}{f_{i.} \cdot f_{.j}} \\ \chi^2 &= 100 \left( \frac{\left( \left| 21 - 19.44 \right| - \frac{1}{2} \right)^2}{36 \cdot 54} + \dots + \frac{\left( \left| 31 - 29.44 \right| - \frac{1}{2} \right)^2}{64 \cdot 46} \right) = 0.19633 \end{align*}\]

qchisq(0.95, 1) \(\rightarrow\) 3.841459

Com \(0.19633 < 3.841459\) no es pot rebutjar \(H_0\). Amb \(\alpha = 0.05\), s’ha d’acceptar que el gènere no influeix en ser o no fumador. Són esdeveniments independents.

Amb R:

Com \(p\)-value \(= 0.6577 > 0.05\), s’accepta la independència de fumar respecte el gènere, al nivell \(\alpha = 0.05\) de significació.