a) \(m = 4, n = 12\)

qf(0.05, 4, 12, lower.tail=F) \(\rightarrow\) 3.259167

b) \(m = 8, n = 25\)

Es consulten les taules per a \(m = 8\) i \(n = 20\) i per a \(m = 8\) i \(n = 30\).

qf(0.05, 8, 20, lower.tail=F) \(\rightarrow\) 2.447064

qf(0.05, 8, 30, lower.tail=F) \(\rightarrow\) 2.077248

i s’interpola \(x\) —el valor corresponent a 8 i 25 g.l.— respecte als recíprocs de 20, 25 i 30 g.l.: \[\frac{x - 2.266163}{\frac{1}{25} - \frac{1}{30}} = \frac{2.447064 - 2.266163}{\frac{1}{20} - \frac{1}{30}} \Rightarrow x \approx 2.339\]

qf(0.05, 8, 25, lower.tail=F) \(\rightarrow\) 2.337057

c) Trobis també un \(a\) tal que \(P(F < a) = 0,05\) per a \(m = 5, n = 10\).

S’aplica la propietat \[\text{P}(F_{5,10} < a) = \text{P} \left( F_{10,5} > \frac{1}{a} \right) = 0.05\]

qf(0.05, 10, 5, lower.tail=F) \(\rightarrow\) 4.735063

Aleshores: \[\frac{1}{a} = 4.735063 \implies a \approx 0.2112\]

\[V^2 = u^2 + v^2 + w^2 \rightarrow \left( \frac{V}{\sigma} \right)^2 = \left( \frac{u}{\sigma} \right)^2 + \left( \frac{v}{\sigma} \right)^2 + \left( \frac{w}{\sigma} \right)^2\]

Aleshores, la variable aleatòria \((V/σ)^2\) segueix una distribució \(\chi^2\) amb \(n = 3\) g.l.

Siguin \(V_A\) i \(V_B\) les velocitats de \(A\) i \(B\) respectivament. Es tracta de dues variables aleatòries independents i per tant la variable \[F = \frac{\left( \frac{V_A}{\sigma} \right)^2 / 3}{\left( \frac{V_B}{\sigma} \right)^2 / 3}\]

segueix una distribució \(F\) de Fisher-Snedecor amb 3 i 3 g.l., d’on es dedueix \[\text{P}(V_A \geq 3 \cdot V_B) = \text{P} \left( \frac{V_A}{V_B} \geq 3 \right) = \text{P}(F \geq 9)\]

Consultant la taula \(F\), amb 3 i 3 g.l. es verifica que aquesta probabilitat és de l’ordre de 0.05.

pf(9,3,3,lower.tail=F) \(\rightarrow\) 0.05204402

Amb R:

Com \(p\)-value \(= 0.8259 > 0.05\), s’accepta la independència de febre i antibiòtic, al nivell \(\alpha = 0.05\) de significació. S’ha d’acceptar que l’antibiòtic no és eficaç per combatre el febre. El resultat però no és prou fiable perquè hi ha més d’un 20 % de les caselles amb valors inferiors a 5.

Es pot utilitzar també la fórmula exacta de Fisher. Per a la taula principal es calcula: \[P_1 = \frac{(5 + 3)! \cdot (2 + 3)! \cdot (5 + 2)! \cdot (3 + 3)!}{5! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 3! \cdot (5 + 2 + 3 + 3)!} = \frac{8! \cdot 5! \cdot 7! \cdot 6!}{5! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 3! \cdot 13!} = 0.3263\]

I, amb les taules (distribucions) més extremes que conserven els mateixos totals en files i columnes (\(P_2\) i \(P_3\)):

Amb: \(P_2 = 0.0816\) i \(P_3 = 0.0047\). De manera que \[P(H_0) = P_1 + P_2 + P_3 = 0.3263 + 0.0816 + 0.0047 = 0.426 > 0.05\]

Per tant es rebutja \(H_0\), al nivell \(\alpha = 0.05\) de significació. No es pot acceptar que l’antibiòtic sigui eficaç per combatre el febre.

Amb R:

Com \(p\)-value —corresponent a dues cues— és igual a \(0.5921 > \alpha = 0.05\), es rebutja també \(H_0\), al nivell \(\alpha = 0.05\) de significació.