Amb R:

L’interval de confiança al 99% de confiança per a la diferència de les mitjanes és \((-6.36939969, -0.03060031)\). Como el \(0\) no és inclòs dins l’interval, es pot afirmar que la diferència entre les produccions mitjanes dels arbres abans i després de seguir el tractament amb el fertilitzant no és nul·la. És a dir: el fertilitzant té algun efecte sobre la producció. S’observa —segons les mitjanes— que el fertilitzant augmenta la producció:

mean(abans) \(\rightarrow\) 23.9

mean(despres) \(\rightarrow\) 27.1

Si el valor buscat de la variable aleatòria. \(t\) deixa a la dreta una àrea de 0.05, aleshores, a l’esquerra l’àrea serà de (1 - 0.05). Aquest àrea és la que ens interessa per a treballar amb la funció de distribució.

Treballant amb els quantils de les cues dreta o esquerra, es té:

qt(c(0.05), df=16, lower.tail=FALSE) \(\rightarrow\) 1.745884

qt(c(1-0.05), df=16, lower.tail=TRUE) \(\rightarrow\) 1.745884

Siguin les variables aleatòries: sexe = { El sexe, D o H } i velocitat = { La sedimentació globular, en mm/hora }. S’efectua el contrast d’hipòtesis: \(H_0\) = "No hi ha diferències de velocitat per raó de sexe” i \(H_1\) = "Sí hi ha diferències de velocitat per raó de sexe”.

Amb R:

S’efectua un anàlisi descriptiu previ per tal de tenir una idea de com són les nostres dades i després s’analitzen els supòsits de l’estadística clàssica per tal d’escollir com comparar les dades (si s’han d’utilitzar proves paramètriques, no paramètriques o robustes). S’observen en primer lloc els patrons. Es verifica el nombre de casos que tenim per grup d’anàlisi ( 12 dones i 12 homes) i es constata que es disposa de poques dades.

Es calculen alguns estadístics descriptius per a la variable velocitat segons la variable sexe i es comparen les dades amb un gràfic:

Amb R:

Aparentment, la velocitat de sedimentació globular és superior en dones. L’estadística descriptiva ens ajuda a identificar relacions i patrons, però no ens permet extreure conclusions més enllà de les dades que tenim —la mostra de treball—. La estadística inferencial sí que ens permet extreure conclusions sobre la població d’estudi. Per exemple per respondre a la pregunta plantejada inicialment: Hi ha diferències en la velocitat de sedimentació globular per raó de sexe? Es comprova el supòsit de normalitat de la mostra:

Amb R:

En tots dos casos es respecta la hipòtesi de normalitat, \(p\-value > 0.05.

Es comprova el supòsit d’homoscedasticitat de la mostra:

Amb R:

S'observa que es respecta la hipòtesi d’homoscedasticitat.

Malgrat l’inconvenient de la manca de dades, es dona per bo l’estudi previ a l’estadística inferencial i es continua amb la prova \(t\) de Student. Es vol avaluar si existeixen o no diferències entre sexes respecte la velocitat de sedimentació globular.

Sigui \(\mu\) la mitjana poblacional, es contrasten les hipòtesis:

• \(H_0:\ \mu_D = \mu_H\) —dones i homes no tenen diferències significatives respecte la velocitat de sedimentació globular—.
• \(H_1:\ \mu_D \neq \mu_H\) —dones i homes tenen diferències significatives respecte la velocitat de sedimentació globular—.

S’utilitzarà la funció t.test() de R, que ve instal·lada per defecte, per realitzar el contrast paramètric d’hipòtesi. [Si es volen fer comparacions unilaterals n’hi ha prou amb afegir l’argument alternative=“less” o alternative=“greater”]

Amb R:

La prova d’hipòtesi ens indica finalment que no existeixen diferències significatives entre sexes a nivell de la velocitat de sedimentació globular, malgrat el que podia suggerir anteriorment el gràfic.

Suposant totes les bàscules correctes, es considera que les mesures són vuit variables aleatòries \(X_1, \cdots , X_8\), cadascuna amb distribució \(\mathcal{N}(1, \sigma^2)\). Aleshores s’aplica la propietat de que la variable aleatòria \[t = \frac{\overline{X}_n - \mu}{S_n / \sqrt{n - 1}}\]

, amb \[\begin{align*} \overline{X}_n &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = 1.00375 \\ S_n^2 &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{X}_n)^2 = 0.001673438 \end{align*}\]

que segueix una distribució \(t\) de Student amb (n-1) g.l. Per tant, amb \[\begin{align*} &n = 8 \\ &\mu = 1 \\ &\overline{X}_n = 1.00375 \\ S_n^2 &= 0.001673438 \Rightarrow S_n = 0.04090767 \end{align*}\]

, es té \[t = \frac{1.00375 - 1}{0.04090767 / \sqrt{8 - 1}} \approx 0.242536\]

Consultant la taula de la t-Student amb 7 g.l., s’obté:

qt(p = 0.99 + 0.01/2, df = 7, lower.tail = TRUE) \(\rightarrow\) 3.499483

Per tant \(P(|t| > 3.499483) = 0.01\). Són poc probables els valors majors —en valor absolut— a 3.499483. Com la \(t\) obtinguda en els càlculs, 0.242536, és menor, sembla raonable considerar que la sospita del fabricant no és una bona conclusió, l’error de mesura de la bàscula número quatre pot ser per atzar.

Si es coneix \(\sigma = 0.05\) mg la situació canvia. Aleshores, \((X_4|0.05)\) és \(\mathcal{N}(0, 1)\), i es verifica:

qnorm(0.025,0,1,lower.tail=F) \(\rightarrow\) 1.959964

Per tant: \(P(|X_4|0,05|) > 1.96) = P(|X_4| > 0.098) = 0.05\)

Com \(X_4 = 0.90\) mg, és poc probable obtenir un valor tan desviat si la bàscula fos correctement calibrada i seria raonable admetre que no marca bé el pes.

a) Expressar la funció de densitat de \(X_1, X_2, X_3\).

El determinant de la matriu de covariàncies \(C\) és \(det(C) = 8\).

Amb R:

Per tant, el determinant de la matriu de covariàncies \(C\) és igual a 8 i la inversa de \(C\) és: \[C^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{7}{4} & -\frac{9}{8} & \frac{3}{8} \\ -\frac{1}{4} & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} \\ -\frac{9}{4} & 1.375 & -\frac{1}{8} \end{pmatrix}\]

Amb: \[\begin{align*} &f(x_1, \dots, x_n) = \frac{\sqrt{1/3}}{(2\pi)^{3/2}} \exp\{Q\} \\ &Q = -\frac{1}{2} (x_1 - 4, x_2 - 3, x_3 - 5) \begin{pmatrix} \frac{7}{4} & -\frac{9}{8} & \frac{3}{8} \\ -\frac{1}{4} & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} \\ -\frac{9}{4} & 1.375 & -\frac{1}{8} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 - 4 \\ x_2 - 3 \\ x_3 - 5 \end{pmatrix}\end{align*}\]

b) Trobis la distribució conjunta de \[\begin{cases} Z_1 = X_1 + X_2 + X_3 \\ Z_2 = 2X_1 + X_2 + 2X_3 \end{cases}\]

La distribució conjunta de \(Z_1, Z_2\) es normal bivariada, per ser combinació lineal de \(X_1, X_2, X_3\), per tant: \[\begin{align*} &\text{E}(Z_1) = \text{E}(X_1) + \text{E}(X_2) + \text{E}(X_3) = 4 + 3 + 5 = 12 \\ &\text{E}(Z_2) = (2 \cdot \text{E}(X_1)) + \text{E}(X_2) + (2 \cdot \text{E}(X_3)) = (2 \cdot 4) + 3 + (2 \cdot 5) = 21 \\ &\text{Var}(Z_1) = (1 \quad 1 \quad 1) \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 2 & 5 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 20 \end{align*}\]

Amb R:

Per tant: \[\rho = \frac{\text{Cov}(Z_1, Z_2)}{\sigma(Z_1) \cdot \sigma(Z_2)} = \frac{31}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{51}} \approx 0.97\]

La distribució de \(Z_1,Z_2\) és normal bivariant de paràmetres: \[\mu_1 = 12, \quad \sigma_1^2 = 20, \quad \mu_2 = 21, \quad \sigma_2^2 = 51, \quad \rho = 0.97\]

Es planteja el contrast \(H_0:\) “Les dades provenen d’una distribució normal” i \(H_1:\) “Les dades no provenen d’una distribució normal”.

Es verifica la normalitat de les mostres amb el test de Kolmogorov-Smirnov.

Es verifica l’homoscedasticitat de les mostres amb el test de Fisher

S’utilitza la \(t\) de Student per veure si hi ha diferències significatives entre l’àmbit rural i l’àmbit urbà respecte el pes dels nadons, amb \(\alpha = 0.05\)

Es contrasten les hipòtesis: \(H_0:\) “No hi ha diferències significatives en els pesos respecte l’àmbit de la mare” i \(H_1:\) “Sí hi ha diferències significatives en els pesos respecte l’àmbit de la mare”.

Amb R:

Els dos test ks indiquen normalitat de les dades/p>

Al test de Fisher de comparació de variàncies, \(p\)-value = 0.5685 > 0.05, i no es pot rebutjar la igualtat de variàncies.

Al test de Welch de dues mostres, \(p\)-value = 0.8889 > 0.05, s’ha d'acceptar que no hi ha diferències significatives entre el pes dels nadons de mares de l’àmbit urbà i el de mares de l’àmbit rural.

El test de Wilcox ens corrobora el mateix resultat.

S’utilitza la \(t\) de Student per veure si hi ha diferències significatives entre abans i després d’administrar el medicament, amb \(\alpha = 0.05\).

Es verifiquen, per a les dues mostres, les hipòtesis: \(H_0:\) “No hi ha diferències significatives abans i després del medicament” i \(H_1:\) “Sí hi ha diferències significatives abans i després del medicament”

Amb R:

Com \(p\)-value \(= 0.000366 << 0.05\), es rebutja la hipòtesi nul·la de que no hi ha diferències significatives abans i després del medicament i s’accepta que aquest té un efecte significatiu, en aquest cas reduint-ne la freqüència d’apnees que han disminuït en aproximadament un 39.41%.