a) La covariància, correlació i rectes de regressió.

Siguin:

• \(X\) la variable aleatòria que recull les notes del primer examen<
• \(Y\) la variable aleatòria que recull les notes del segon examen

Es calculen \[\begin{align*} m_x &= 7.00 & s_x^2 &= 4.22 & b_{21} &= 0.908 \\ m_y &= 7.10 & s_y^2 &= 4.10 & b_{12} &= 0.935 \\ s_{xy} &= 3.83 & r &= 0.921 \end{align*}\]

Amb R:

Amb les rectes de regressió: \[\begin{align*} Y/X &\rightarrow y - 7.10 = 0.908(x - 7) \\ X/Y &\rightarrow x - 7 = 0.935(y - 7.10) \end{align*}\]

i una bona correlació entre les dues notes.

cor(X, Y) \(\rightarrow\) 0.9213

b) La nota esperada en el primer examen en un alumne que ha tret un 6 en el segon.

Utilitzem la recta de regressió \(X/Y\): \[x - 7 = 0.935(6 - 7.10) \Rightarrow x = 5.9715 \approx 5.98\]

c) L’error típic comés a l’estimació anterior.

L’error típic serà: \[\sigma_{\overline{y}} = \sigma_y \cdot \sqrt{1 - \text{cor}(x, y)^2} \approx 2.02 \cdot \sqrt{1 - 0.92^2} \approx \pm 0.7917\]

a) Calculis el percentatge de pares més de 10 cm més alts que els seus fills.

Siguin:

• \(X\) la variable aleatòria que recull l’alçada del pare.
• \(Y\) la variable aleatòria que recull l’alçada del fill.

, amb \(X,Y \sim \mathcal{N}(168,12)\).

S’ha de calcular \(P(X \geq Y + 10) = P(X - Y> = 10)\). Com \((X,Y)\) segueixen una distribució normal bivariada, la variable aleatòria \((X - Y)\) també es distribuirà normalment, amb \[\begin{align*} &\text{E}(X - Y) = \text{E}(X) - \text{E}(Y) = 168 - 168 = 0 \\ &\text{Var}(X) = \text{Var}(Y) = \sigma^2 = 144 \\ &\rho = 0.6 = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)} \cdot \sqrt{\text{Var}(Y)}} \rightarrow \text{COV}(X, Y) = 0.6 \cdot 144 = 86.4 \\ &\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) - (2 \cdot \text{COV}(X, Y)) \\ &\text{Var}(X - Y) = 144 + 144 - (2 \cdot 86.4) = 115.2 \\ &\sigma(X - Y) = \sqrt{115.2} = 10.7 \end{align*}\]

La variable aleatòria \(Z = (X - Y)/10.7\) és \(Z \sim \mathcal{N}(0, 1)\). Per tant \(P(X - Y \geq 10) = P((X - Y)/10.7 \geq 10/10.7) = 0.1750025\)

pnorm(10, mean=0, sd=10.7, lower.tail=FALSE) \(\rightarrow\) 0.1750025

pnorm(0.934579439, mean=0, sd=1, lower.tail=FALSE) \(\rightarrow\) 0.1750025

Hi ha un 17.5 % de pares 10 cm més alts que els seus fills.

b) Demostris que els pares d’alçada superior a la mitjana, tindran fills més baixos que ells, però d’alçada superior a la mitjana.

La millor manera d’estimar l’alçada del fill és a partir de l’alçada del pare. Els coeficients de regressió coincideixen en la correlació perquè les variàncies són iguals. A la recta de regressió Y/X, els coeficients de regressió són: \[\begin{align*} \beta_{12} &= \frac{\text{COV}(X, Y)}{\text{VAR}(Y)} = \frac{86.4}{144} = 0.6 \\ \beta_{21} &= \frac{\text{COV}(X, Y)}{\text{VAR}(X)} = \frac{86.4}{144} = 0.6 \end{align*}\]

Aleshores: \(y – 168 = 0.6 \cdot (x-168)\) i s’observa òbviament que \(x > 168 \implies y > 168\) i que \(y = 0.6 \cdot x\).

El fill tindrà per tant el 60 % de l’alçada del pare i tots dos seran més alts que la mitjana.

c) Demostris que els fills d’alçada superior a la mitjana, tendiran a tenir pares més baixos que ells, però d’alçada superior a la mitjana. És això contradictori?

A la recta de regressió X/Y: \(x – 168 = 0.6 \cdot (y - 168)\) i s’observa òbviament que \(y > 168 \implies x > 168\) i també que \((x – 168) > (y – 168)\).

No és contradictori perquè s’utilitzen rectes de regressió diferents.

La funció de densitat de probabilitat conjunta és:

Aleshores: \[\begin{align*} E(X \cdot Y) &= \left[ 0 \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6}\right) \right] + \left[ 1 \cdot \left(\frac{4}{6} + \frac{5}{6} + \frac{6}{6}\right) \right] = \frac{5}{2} \\ E(X) &= \sum_{i=1}^6 \frac{i}{6} = \frac{7}{2} \\ E(Y) &= \sum_{i=1}^3 \frac{i}{6} = \frac{1}{2} \\ Cov(X, Y) &= E(X \cdot Y) - E(X) \cdot E(Y) = \frac{5}{2} - \left(\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4} \\ \text{Var}(X) &\approx 2.916667 \end{align*}\]

Amb R:

I per tant: \[\rho = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)} \cdot \sqrt{\text{Var}(Y)}} = \frac{0.75}{\sqrt{2.916667} \cdot \sqrt{0.25}} \approx 0.8783\]

Es resol el sistema d’equacions amb \(x = 8\) i \(y = 0\). Per tant les dues rectes es tallen en els punts \(\bar x = 8\) i \(\bar y = 0\)

Ara s’ha d’esbrinar quina de les rectes és la Y/X i quina és la X/Y.

Suposis que \(2x + y = 16\) és la recta Y/X. Aleshores: \(\ b_{21} = -2 \text{ i } b_{12} = -1 \implies \rho^2 = (-2) \cdot (-1) = 2 > 1\), el que és un absurd.

Per tant, la recta \(2x + y = 16\) és la recta X/Y i en aquest cas: \(\ b_{21} = -1 \text{ i } b_{12} = -1/2 \implies \rho^2 = (-1) \cdot (-1/2) = 1/2\)

El signe de \(\rho\) és el mateix que el dels coeficients de regressió, per tant: \(\ \rho = -1/\sqrt{2}\)

Per tal de que dues rectes qualsevol puguin ser rectes de regressió cal que ambdues tinguin pendents del mateix signe.

a) Calcular \(a, b\) i el coeficient de determinació \(R^2\).

Amb R:

Els coeficients seran, doncs: \[\begin{align*} b &= \frac{n \cdot \left[\sum y_i \cdot \ln x_i\right] - \left[\sum \ln x_i\right] \cdot \left[\sum y_i\right]}{n \cdot \left[\sum (\ln x_i)^2\right] - \left(\sum \ln x_i\right)^2} \\ b &= \frac{(9 \cdot 346.57) - (24.95 \cdot 104)}{(9 \cdot 98.01) - 24.95^2} \approx 2.02 \\ a &= \frac{1}{n} \cdot \left[\sum y_i - (b \cdot \sum \ln x_i)\right] = \frac{1}{9} \cdot [104 - (2.02 \cdot 24.95)] \approx 5.96 \end{align*}\]

L’ajustament entre el (\(ln\ x\)) i (\(y\)) és molt bo: \[\begin{align*} R^2 &= \frac{\left(\sum y_i \cdot \ln x_i - \left(\frac{1}{n} \cdot \sum \ln x_i \cdot \sum y_i\right)\right)^2}{\left[\sum (\ln x_i)^2 - \frac{1}{n} (\sum \ln x_i)^2\right] \left[\sum (y_i)^2 - \frac{1}{n} (\sum y_i)^2\right]} \\ R^2 &= \frac{\left(346.57 - \left(\frac{1}{9} \cdot 24.95 \cdot 104\right)\right)^2}{\left[98.01 - \left(\frac{1}{9} \cdot 24.95^2\right)\right] \left[1320 - \left(\frac{1}{9} \cdot 104^2\right)\right]} \approx 0.9947 \end{align*}\]

cor(log(A), S) \(\rightarrow\) 0.9973649

El model logarítmic és doncs, aproximadament: \[S = 2.0198\ ln\ A + 5.9556\]

b) Analitzar si també serien adequats els models:

Exponencial, \(S = a \cdot e^{bA}\)

Els coeficients seran: \[\begin{align*} b &= \frac{n \cdot \left(\sum x_i \cdot \ln y_i\right) - \left(\sum x_i\right) \cdot \left(\sum \ln y_i\right)}{n \cdot \left(\sum x_i^2\right) - \left(\sum x_i\right)^2} \\ b &= \frac{(9 \cdot 1403.82) - (511 \cdot 21.53)}{9 \cdot 87381 - 511^2} \approx 0.0031 \\ a &= \exp\left(\frac{1}{n} \sum \ln y_i - \frac{b}{n} \sum x_i\right) \cdot \exp\left(\frac{b}{n} \sum x_i - \frac{1}{n} \sum x_i\right) \\ a &= \exp\left(\frac{1}{9} \cdot 21.53 - \frac{0.0031 \cdot 511}{9}\right) \approx 9.17 \\ R^2 &= \frac{\left(\sum x_i \cdot \ln y_i - \frac{1}{n} \sum x_i \cdot \sum \ln y_i\right)^2}{\left[\sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n}\right] \left[\sum (\ln y_i)^2 - \frac{(\sum \ln y_i)^2}{n}\right]} \\ R^2 &= \frac{\left(1403.82 - \left(\frac{1}{9} \cdot 511 \cdot 21.53\right)\right)^2}{\left[87381 - \frac{511^2}{9}\right] \left[22.56 - \frac{21.53^2}{9}\right]} \approx 0.53411 \end{align*}\]

L’ajustament exponencial \(S = 9.17 \cdot e^{0.0031·A}\) no és bo:

Potencial, \(S = a \cdot A^b\)

Els coeficients seran: \[\begin{align*} b &= \frac{[n \cdot \sum (\ln x_i) \cdot (\ln y_i)] - [(\sum \ln x_i) \cdot (\sum \ln y_i)]}{n \cdot \sum (\ln x_i)^2 - (\sum \ln x_i)^2} \\ b &= \frac{9 \cdot 65.10 - (24.95 \cdot 21.53)}{9 \cdot 98.01 - 24.95^2} = 0.1877 \\ a &= \exp\left(\frac{1}{n} \sum \ln y_i - \frac{b}{n} \sum \ln x_i\right) \\ a &= \exp\left(\frac{1}{9} \cdot 21.53 - \left(\frac{0.1877}{9} \cdot 24.95\right)\right) = 6.5 \\ R^2 &= \frac{\left[\sum (\ln x_i) \cdot (\ln y_i) - \left(\frac{1}{n} \sum \ln x_i \cdot \sum \ln y_i\right)\right]^2}{\left[\sum (\ln x_i)^2 - \frac{1}{n} (\sum \ln x_i)^2\right] \left[\sum (\ln y_i)^2 - \frac{1}{n} (\sum \ln y_i)^2\right]} \\ R^2 &= \frac{\left[65.10 - \left(\frac{1}{9} \cdot 24.95 \cdot 21.53\right)\right]^2}{\left[98.01 - \left(\frac{1}{9} \cdot 24.95^2\right)\right] \left[52.56 - \left(\frac{1}{9} \cdot 21.53^2\right)\right]} = 0.9629 \end{align*}\]

L’ajustament \(S = 6.5 \cdot A^{0.1877}\) és bo:

Però és millor l’ajustament logarítmic calculat anteriorment.

a) Demostris que la correlació detectada, al considerar la població conjunta d’homes i dones, és una falsa correlació.

Amb R:

Es simulen les dades, amb R, segons l’enunciat. Al considerar la població en conjunt —homes més dones— apareix una certa correlació. Correlació que desapareix al considerar homes i dones com a diferents poblacions.

b) Interpretis gràficament.

Amb R:

A la figura s’observen clarament dues poblacions separades. També s’observa que la correlació poblacional és una interpretació equivocada. Al ajuntar ambdós núvols de punts apareix una falsa tendència lineal. La correlació errònia causada per la barreja poblacional rep el nom de fal·làcia ecològica. Relacionat també amb la paradoxa de Simpson i amb la falsa relació entre correlació i causalitat.

a) Calculis la correlació entre la posta de filles i mares.

Amb R:

El coeficient de correlació és \(r = 0.8661667\).

b) El percentatge de variació de la posta de les filles que pot explicar-se per la variació de la posta de les mares.

Siguin les variables \(X\) = "p_m", \(Y\) = "p_f", \(n = 50\).

Es calcula:

Amb R:

Es calcula el coeficient de determinació (\(R^2\)): \[R^2 = \frac{\sigma_R^2}{\sigma^2}\]

No es coneix la variància residual, però com \[\sqrt{R^2} = r = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y}\]

, es té \[\begin{align*} R^2 &= \frac{\sigma_{xy}^2}{\sigma_x^2 \cdot \sigma_y^2} \\ \sigma_{xy}^2 &= \left(\frac{\sum_{i=1}^n X_i \cdot Y_i}{n} - \overline{X} \cdot \overline{Y}\right)^2 \\ \sigma_{xy}^2 &= \left(\frac{213136}{50} - 64.14 \cdot 61.44\right)^2 = 103657.2113 \\ \sigma_x^2 &= \frac{\sum_{i=1}^n X_i^2}{n} - \overline{X}^2 = \frac{227347}{50} - 64.14^2 = 433.0004 \\ \sigma_y^2 &= \frac{\sum_{i=1}^n Y_i^2}{n} - \overline{Y}^2 = \frac{204698}{50} - 61.44^2 = 319.0864 \\ R^2 &= \frac{103657.2113}{433.0004 \cdot 319.0864} = 0.7502446878 \approx 75.02\% \end{align*}\]

Amb R, es calcula directament:

cov(p_m,p_f)^2/(sd(p_m)^2*sd(p_f)^2) \(\rightarrow\) 0.7502447

També es podia calcular a partir del valor de \(r\) de l’apartat anterior: \(R^2 =r^2 = 0.8661667 2 = 0.7502447522 ≈ 75.02 \%\)

c) Si una filla ha posat 58 ous, quina és la predicció dels ous posats per la mare?

Amb R:

Tenim la recta de regressió: \(p_m = 2.147 + 1.009 \cdot p_f = 2.147 + (1.009 \cdot 58) \approx 61\)

Seria d’esperar una posta de 61 ous per part de la mare, amb un error típic de: \(\hat{s}_1 = s_1 \cdot \sqrt{1 - R^2} = 21.01992 \cdot \sqrt{1 - 0.7502447^2} \approx \pm 13.90\) ous.

Seriem per tant dins l'interval: \((47, 75)\).

Efectuarem els càlculs amb Excel.

El valor de \(\alpha = -1.001\), comparat amb el de \(-1\) esperat teòricament per la Llei de Boyle-Mariotte, mostra un bon ajust: \(R^2 = 0.9971\), amb \(P = 0.1791 \cdot V^{-1.001}\) i, per tant, \(C = 0.1791\).

Càlcul de C pel mètode dels mínims quadrats.

S’elabora la taula següent, on \(X\) = pressió i \(Y\) = volum:

Es resol el sistema d’equacions: \[\begin{align*} \sum \log Y &= (\log \alpha \cdot n) + \left(\beta \cdot \sum \log X\right) \\ \sum (\log X \cdot \log Y) &= (\log \alpha \cdot \sum \log X) + \beta \cdot \sum (\log X)^2 \end{align*}\]

, on —segons els valors calculats pel mètode dels mínims quadrats— \[\begin{align*} -3.44 &= 9 \cdot \log \alpha - 3.28 \cdot \beta \\ +0.47 &= -3.28 \cdot \log \alpha + 1.98 \cdot \beta \end{align*}\]

Resultant \(\alpha \approx C = 0.1794\).

Amb R:

La correlació no és bona. Utilitzant Excel:

Amb R:

La recta de regressió és: \(Y = 0.2791 \cdot X + 54.5929\), tanmateix, la correlació és molt dolenta.

Amb R:

El valor del coeficient de correlació de Pearson (0.56) és a mig camí entre 0 i 1 i no ens permet decidir res sobre el contrast. L’estadístic de contrast \(t\) ens permetrà avaluar \(H_0\), rebutjant-la si \(t \geq t_{\alpha,n-2}\):

n=8; t=cp*(sqrt((n-2)/(1-(cp^2)))) \(\rightarrow\) 1.66531

qt(0.05/2,6,lower.tail=FALSE) \(\rightarrow\) 2.446912

No es pot rebutjar \(H_0\) amb \(\alpha = 0.05\), donat que \(t = 1.66531 < t_{\alpha,6} = 2.446912\)

Amb R:

Com \(p\)-value \(= 0.1469 > 0.05\), no es pot rebutjar \(H_0\), amb \(\alpha = 0.05\) i hem d’acceptar que la duració del despertar no és influïda per la duració de l’anestèsia. Ambdues variables són independents i no es poden correlacionar. Per tant no es poden ajustar les dades a la recta de regressió que ens indicaria el model: \(y = 0.02803x + 11.62385\)

Amb R:

L'estadístic de contrast de Pearson també es podia calcular manualment com:

n=6; t=cp*(sqrt((n-2)/(1-(cp^2)))) \(\rightarrow\) 1.61446

El coeficient \(\rho\) de Pearson és 0.6281193

Calculem manualment l’estadístic \(ρ_S\) d’Spearman:

Amb R:

Es calcula manualment la \(\hat \tau\)  de Kendall:

• Es calculen els rangs de \(F\) i de \(Q\), amb \(F\) ordenat de menor a major.

• Si \(R_F > R_Q\) el rang és concordant (+); Si \(R_F \leq R_Q\) el rang és discordant (-).

• Com no hi ha empats, s’aplica la fórmula general amb \(n < 10\): \[\hat{\tau} = \frac{n_c - n_d}{\binom{n}{2}} = \frac{11 - 4}{\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (6 - 1)} = \frac{7}{15} = 0.467\]

Amb R:

En tots els casos \(p\)-value > 0.05 i no es pot rebutjar \(H_0\) amb \(\alpha = 0.05\). S’ha d’acceptar que les dues notes no són relacionades.

Es contrasten les hipòtesis: \(H_0\): { El color del cabell és independent del color de la pell } i \(H_1\): { El color del cabell depèn del color de la pell }

Si les dues variables fossin independents seria d’esperar —respecte al color del cabell— una proporció de 60 i 40 % respectivament per a cadascuna d’elles. Els valors esperats serien:

Es calcula manualment l’estadístic de contrast: \[U = \frac{(25 - 21)^2}{21} + \frac{(25 - 24)^2}{24} + \cdots + \frac{(15 - 16)^2}{16} + \frac{(15 - 10)^2}{10} = 6.1757\]

, amb \(\chi^2_{0.05,(2-1)(3-1)} = 5.991465\)

qchisq(0.05,2,lower.tail=FALSE) \(\rightarrow\) 5.991465

Com \(U = 6.1757 \geq χ_{0.05, 2} = 5.991465\), es rebutja \(H_0\). El color de la pell i el color del cabell són relacionats, amb \(\alpha = 0.05\).

Es pot també calcular —amb R— com a taula de contingència:

Amb R:

Com \(p\)-value < 0.05, es rebutja \(H_0\). Observis també que \(X\)-squared \(= 6.1756 \approx U\).