Amb R:

a) Trobis els tres plànols de regressió i el coeficient de correlació múltiple de \(X_3\) sobre \(X_1, X_2\).

\(X_3\) sobre \(X_1, X_2\)

Per trobar el plànol de regressió de \(X_3\) sobre \(X_1, X_2\), s’ha de resoldre el sistema —segons les dades calculades amb R— \[\begin{cases} -0.44 = \beta_1 + 0.91\beta_2 \\ -0.44 = 0.91\beta_1 + \beta_2 \end{cases}\]

Resultant-ne \(β_1 = β_2 = -0.23037\).

Alternativament, es pot calcular també com \[\beta_1 = \beta_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0.91 \\ 0.91 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -0.44 \\ -0.44 \end{pmatrix} = -0.2303664921 \]

Aleshores \[\begin{cases} b_1 = \beta_1 \frac{\sigma_3}{\sigma_1} = -0.23037 \frac{91.30}{168.54} = -0.1248 \\ b_2 = \beta_2 \frac{\sigma_3}{\sigma_2} = -0.23037 \frac{91.30}{8.71} = -2.4148 \end{cases} \]

Amb el plànol de regressió \(X_3/X_1, X_2\) \[x_3 - 356.67 = -0.1248(x_1 - 408.24) - 2.4148(x_2 - 9.55)\]

, expressat com \[x_3 = -0.1248 x_1 - 2.4148 x_2 + 430.6797\]

Per tant \[\begin{align*} R^2 &= \beta_1 r_{13} + \beta_2 r_{23} \\ R^2 &= (-0.44 \quad -0.44) \begin{pmatrix} 1 & 0.91 \\ 0.91 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -0.44 \\ -0.44 \end{pmatrix} = 0.2027 \Rightarrow R \approx 0.45 \end{align*}\]

Amb R:

Al model s'especifiquen: \[\begin{align*} R^2 &= 0.2025 \\ R &= \sqrt{0.2025} = 0.45 \\ x_3 &= -0.1178 x_1 - 2.58423 x_2 + 429.4408 \pm 81.53 \end{align*}\]

Observis que aquest model no és bo. Només explicaria el 20.56 % de les dades.

Anàlogament s’especifiquen també els altres dos plànols de regressió:

\(X_2\) sobre \(X_1, X_3\)

\[\begin{align*} x_2 &= 0.045827 x_1 - 0.005009 x_3 - 7.372354 \pm 3.589 \\ R &= \sqrt{0.8301} = 0.9111 \end{align*}\]

\(X_1\) sobre \(X_2, X_3\)

\[\begin{align*} x_1 &= 17.21859 x_2 - 0.08578 x_3 + 274.40694 \pm 69.58 \\ R &= \sqrt{0.8296} = 0.911 \end{align*}\]

Els models que expliquen millor les dades són el model2 (el 83.07 %) i el model3 (el 83.02 %). Contra més car és l’habitatge millors accessos i menys població negra.

b) Disminueix la proporció de persones afroamericanes (\(X_3\)) on el preu de l’habitatge és més alt (\(X_1\)) i millors són els accessos a les autopistes (\(X_2\))?

Efectivament, pot afirmar-se que en general disminueix, tal com indica el plànol de regressió \(X3/X1, X2\), amb coeficients de regressió negatius.

Amb R:

Les correlacions són totes molt bones. Es construeix el model de regressió múltiple:

Amb R:

Segons el model: \[\begin{align*} H &= 0.1761938 + (1.2477579 \cdot hv) + (-0.2857909 \cdot hb) + (0.1967614 \cdot A) \\ H &\approx 2.715 \end{align*}\]

L’alçada calculada és d’aproximadament 2.715 cm, amb una desviació de \(\pm 0.06031592\) cm.

Amb el millor predictor es té: \[H = 0.1932 + (1.187 \cdot hv) \approx 2.765\]

Es verifica ara la normalitat de les dades:

Amb R:

Com \(p\)-value > 0.05 no es pot rebutjar la normalitat de les dades. L’error típic és: \[\hat{s} = s \cdot \sqrt{1 - R^2} = 0.3539795 \cdot \sqrt{1 - 0.971^2} \approx \pm 0.08 \, \text{cm}\]

Per tant el valor estimat de \(H\) és \(2.765 \pm 0.08\) cm

Les correlacions entre el gruix del tronc (\(T\)) amb l’alçada (\(A\)), i el gruix del tronc (\(T\)) amb l’edat (\(E\)) són molt bones. D’on se’n desprèn que el creixement de l’arbre augmenta amb l’edat.

Per tal de correlacionar el gruix del tronc (\(T\)) amb l’alçada (\(A\)) eliminant-ne la influència del factor edat (\(E\)), es calcula la correlació parcial \(\rho_{TA \cdot E}\) \[\rho_{TA \cdot E} = \frac{\rho_{TA} - (\rho_{TE} \cdot \rho_{EA})}{\sqrt{1 - \rho_{TE}^2} \cdot \sqrt{1 - \rho_{EA}^2}} = \frac{0.912 - (0.785 \cdot 0.714)}{\sqrt{1 - 0.785^2} \cdot \sqrt{1 - 0.769^2}} \approx 0.884\]

La correlació absoluta entre \(T\) i \(A\) és 0,912, —el que indica una relació molt alta—. Tanmateix, al eliminar l’efecte de l’edat, la correlació parcial passa a un valor inferior de 0,884 —encara que segueix sent una bona correlació—.

La correlació parcial calculada es pot interpretar com una mesura de la relació lineal entre el gruix del tronc (\(T\)) i l’alçada (\(A\)) com si fos calculada sobre individus de la mateixa edat.

Amb R:

Siguin, amb \(i \in \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \}\):

• \(D_i\) la variable aleatòria que recull les despeses per alimentació de la família \(i\).
• \(I_i\) la variable aleatòria que recull els ingressos totals de la família \(i\).
• \(M_i\) la variable aleatòria que recull la mida de la família \(i\).
• \(U_i\) la variable aleatòria que recull el nombre de fills a la universitat de la família \(i\).

Aleshores, l’equació de de regressió ajustada vindrà donada per: \[D_i = 359 + 0.007247 \cdot I_i + 37.34 \cdot M_i + 5.359 \cdot U_i\]

Com \(p\)-value \(= 0.009772 < 0.05\), es rebutja \(H_0\). Al menys una de les variables independents contribueix de forma significativa a l’explicació de la variable resposta.

Per a les variables mida familiar  i nombre de fills a universitat, els valores de probabilitat són 0.1655 i 0.9034, respectivament. Ambdós valors més grans que 0.05, i per tant no es rebutja \(H_0\) de significació d’ambdues variables. Les variables mida i universitat no són vàlides per predir despeses d’alimentació mensual d’una família i per tant es poden eliminar del model.

Es calcula ara el coeficient de correlació lineal de Pearson entre les variables del data.frame, ens interessa en particular la correlació entre despeses i ingressos i es contrasta la significació d'aquesta correlació.

Posteriorment s'efectua un ajustament segons un model de regressió quadràtica.

Amb R:

El 94.65 % de les despeses d’alimentació mensual de la família és explicat pels seus ingressos mensuals.

El \(p\)-value \(= 0.001231 < 0.05\), permet rebutjar \(H_0\). La correlació lineal entre aquestes dues variables no és 0.

Segons el model de regressió quadràtica ens mostra l’equació: \[D_i = 356.2 + 0.007374 \cdot I_i + 39.15 \cdot M_i\]

Amb R:

Donat que els dos últims coeficients (\(V\) i \(A\)) no són estadísticament significatius, l’equació de regressió múltiple que en resulta és: \[\text{ACL} = 3.980398 + 0.0289 \text{SDMT}\]