S’efectua el contrast: \(\left[H_0:\ \rho = 0\right]\) i \(\left[H_1:\ \rho \neq 0\right]\), amb \(n = 116\) i \(r = 0.247\).

Si \(H_0\) és certa, aleshores la variable aleatòria \[t = \sqrt{n - 2} \cdot \frac{r}{\sqrt{1 - r^2}} = 2.721564705\]

, seguirà una \(t\) de Student amb \((n - 2)\) g.l.

qt(0.995,14) \(\rightarrow\) 2.976843

O sigui que \(P(|t| > 2.976843) = 0.01\). Com \(2.721564705 < 2.976843\), s’ha d’acceptar que la correlació mostral no és significativa, amb \(\alpha = 0.01\).

pt(2.721564705,14) \(\rightarrow\) 0.9917287

S’observa que sí que ho és per \(\alpha = 0.02\), amb:

qt(0.99,14) \(\rightarrow\) 2.624494

La correlació poblacional és \(\rho = 0\) donat que són variables independents. Però la correlació mostral \(r\) prendrà valors positius o negatius al voltant de \(\rho\).

Si \(r = ρ \pm 0.5\), aleshores, per \(n = 100\) es tindrà \[t = \sqrt{n - 2} \cdot \frac{r}{\sqrt{1 - r^2}} = \frac{7 \sqrt{6}}{3} \approx \pm 5.7155\]

qt(0.99,98) \(\rightarrow\) 2.365002

pt((7*sqrt(6)/3),98) \(\rightarrow\) 0.9999999

Per tant \(P(|t| > 2.365002) = 0.01\) i \(P(|r| > 0.5) > 0.01\)

Observació:En aquest context, l'estadístic \(t\) es fa servir en excés i no és necessari per a la resposta directa de la pregunta sobre la probabilitat demanada.

a) Són independents l’amplada i la longitud de les fulles en la població ? (amb \(\alpha = 0.01\)).

Amb R:

S’efectua el contrast: \(\left[H_0\ :\rho = 0\right]\) i \(\left[H_1\ :\rho \neq 0\right]\), amb \(n = 20\), \(r = 0.9463536\) i 18 g.l. \[t = \sqrt{n - 2} \cdot \frac{r}{\sqrt{1 - r^2}} = \sqrt{20 - 2} \cdot \frac{0.9463536}{\sqrt{1 - 0.9463536^2}} \approx 12.42535\]

qt(0.9995,18) \(\rightarrow\) 3.921646

Com \(12.42535 > 3.921646\), la correlació és molt significativa (\(\alpha = 0.001)\).

b) Es pot admetre que la correlació poblacional és \(\rho = 0.95\)?

S’efectua el contrast: \(\left[H_0:\ \rho = 0.95\right]\) i \(\left[H_1:\ \rho \neq 0.95\right]\), amb \(n = 20\), \(r = 0.9463536\) i 18 g.l.

Si \(H_0\) és certa, la variable \[Z = \frac{1}{2} \cdot log\ \frac{1 + r}{1 - r} \approx 1.7956\]

, segueix aproximadament una distribució normal, de mitjana \[E(Z) = \frac{1}{2} \cdot \log \frac{1 + \rho}{1 - \rho} + \frac{\rho}{2(n - 1)} \approx 1.8568\]

, variància i desviació estàndard \[\text{Var}(Z) = \frac{1}{n - 3} \approx 0.0588 \rightarrow \sigma(Z) \approx 0.2425\]

Tipificant \(Z\) es té \[\frac{Z - \text{E}(Z)}{\sigma(Z)} = \frac{1.7956 - 1.8568}{0.2425} \approx -0.2521\]

Amb \(\alpha = 0.05\) i \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\) es calcula:

qnorm(0.025,0,1,lower.tail=F) \(\rightarrow\) 1.959964

Com \(|-0.2521| < 1.959964\), es pot admetre \(\rho = 0.95\) com a correlació poblacional.

Amb R:

a) Respecte la plantació, es pot acceptar que augmentant 1000 plantes a cada parcel·la, l’augment esperat de producció de melons serà de 2 Tm/Ha? (amb \(\alpha = 0.01\))?

S’efectua el contrast \(\left[H_0:\ \beta_{21} = 2\right]\) i \(\left[H_1:\ \beta_{21} \neq 2\right]\), amb \(\beta_{21}\) = { Producció amb l’augment de plantes sembrades }

Si \(H_0\) és certa, la recta de regressió \(Y/X\) poblacional —sobre tota la plantació— serà \(y – E(Y) = 2(x – E(X))\), a un increment de \(x\) li correspon un increment del doble a \(y\).

També, si \(H_0\) és certa, la variable aleatòria \[t = \frac{\sigma_X \cdot \sqrt{n - 2}}{\sigma_Y \cdot \sqrt{1 - r^2}} (b_{21} - \beta_{21})\]

, seguirà una distribució \(t\)-Student amb \[\begin{align*} n &= 20 \\ b_{21} &= \frac{\sigma_Y}{\sigma_X} \cdot r = \frac{0.9717645}{1.068511} \cdot 0.9215373 \approx 0.8381 \\ \beta_{21} &= 2 \end{align*}\]

Resultant-ne \[t = \frac{1.068511 \cdot \sqrt{18}}{0.9717645 \cdot \sqrt{1 - 0.9215373^2}} \approx 12.0143\]

qt(0.995,18) \(\rightarrow\) 2.87844

Com 12.0143 > 2.87844, es pot rebutjar \(H_0\), amb una probabilitat d ‘equivocar-nos de 0.01.

Amb R:

Amb la recta de regressió \(Y = 0.83810 \cdot X + 25.43454 \pm 0.3877\)

b) Si en una parcel·la es planten 30018 plantes, trobis un interval de confiança al 95 % , de la producció de melons que cal esperar-hi.

Segons el model amb R, es té la recta de regressió: \(Y = 0.83810 \cdot X + 25.43454 \pm 0.3877\)

Si \(x = 30.018\), aleshores \(y \approx 50.59 \pm 0.3877\).

L’error típic del valor estimat, calculat manualment, és \(s_{\tilde{y}} = \sigma_Y \cdot \sqrt{1 - r^2}\) \[s_{\tilde{y}} = 0.9717645 \cdot \sqrt{1 - 0.8409} \approx 0.3877\]

Donat que la variable aleatòria \(Y\) és combinació lineal de \(X\), d’acord amb la recta de regressió, es distribuirà normalment i l’interval de confiança aproximat —per utilitzar-se característiques mostrals— per a \(Y\) al 95 % serà \[I = (50.59 \pm 1.96 \cdot 0.3877) = (50.59 \pm 0.76) = (49.83, 51.35)\]

El valor a l’enunciat és 50.59 Tm, centrat en l’interval.

Amb 998 graus de llibertat: \(P(t > 2.33009) = 0.01\)

qt(0.01, 998, lower.tail=F) \(\rightarrow\) 2.33009

Per tant \[ 2.33009 = \sqrt{998} \cdot \frac{r}{\sqrt{1 - r^2}} \implies r \approx 0.0736\]

Aleshores: \(|r| \geq 0.0736 \implies t > 2.33009\), sent significativa la correlació poblacional. Les correlaciones són doncs significatives per valors iguals o superiors a 0.0736, en valor absolut.