1. Es genera el data frame (pisos) amb les dades indicades a l’enunciat.

Amb R:

2. Es representa el diagrama de dispersió de les variables preu i superficie i es determina si pot existir una certa relació lineal entre ambdues variables.

Amb R:

S’aprecia un cert patró lineal entre les variables. S’ha de confirmar amb mètodes analítics.

3. Es calcula la recta de regressió lineal simple que considera preu como a variable dependent i superficie como a variable independent.

Amb R:

La recta de regressió lineal simple és: preu = -7.813 + 1.747 · superficie

4. S’interpreten els paràmetres de la recta de regressió.

Els dos paràmetres de la recta s’interpreten com: -7.8136 és el preu esperat d’un pis que tingui 0 m2 de superfície —el que no té cap ni peus...—. Per altra banda, per cada m² d’increment en la superfície d’un pis, s’espera un augment en el preu del pis de 1747 €.

5. Es determina si els paràmetres són o no significatius.

Amb R:

Per tant, considerant un nivell de significació del 5 %, només és significativament diferent de 0 el paràmetre superficie, donat que \(p\)-valor (2.4e-07 ) és inferior a  0.05.

6. Es valora si s’ajusta el model a les dades.

L’ajust del model a les dades és acceptable, donat que R² = 0.781.

7. S’obté la correlació lineal de Pearson entre ambdues variables.

Amb R:

El coeficient de correlació lineal de Pearson entre ambdues variables és 0.883743.

8. Es valora si la correlació és significativa.

Amb un \(p\)-valor de 2.399e-07 < 0.05, es rebutja la hipòtesi de que el coeficient de correlació lineal de Pearson entre ambdues variables pugui considerar-se 0.

9. Es troba la recta de regressió lineal, considerant també como variable independent antiguitat.

Amb R:

La recta de regressió lineal és: preu = 110.423 + 4.107 · antiguitat

10. S’ajusta un model de regressió lineal múltiple. S’estimen els paràmetres del model i s’interpreten.

Amb R:

La recta de regressió lineal múltiple és: preu = -6.82133 + 1.75516 · superficie – 0.09239 · antiguitat

11. Es contrasta la significació del model proposat.

Amb R:

L’únic paràmetre significativament diferent de cero és superfície, amb \(p\)-valor = 2.47e-06.

12. Es valora eliminar alguna variable del model.

Es pot eliminar la variable antiguitat donat que \(p\)-valor és \(0.945 > \alpha = 0.05\), per la qual cosa no es rebutja la hipòtesi nul·la de significació de la variable. Aquesta variable no és vàlida per predir el preu dels pisos.

13. S’interpreta el coeficient de determinació (R-squared).

El coeficient de determinació és 0.7811 i el de determinació corregit és 0.7553. No s’aprecien grans diferències entre ambdós coeficients.

El 78.11 % de les variacions del preu dels pisos s’expliquen per la relació lineal del model proposat. El valor d’aquest coeficient és satisfactori.

14. Es calculen els valors de les estimacions: \(\hat β_0, \hat β_1, \hat β_2\) al model de regressió.

Amb R:

El model de regressió quadràtic es pot escriure com: preu = -6.82133 + 1.75516 · superficie – 0.09239 · antiguitat

L’anàlisi de la regressió no suposa d’antuvi cap relació causa-efecte o causalitat entre les dues variables. Ens indica com estan associades les variables entre elles i permet construir un model que ho intentarà explicar. La correlació ens indica el grau de la relació entre les dues variables, però no suposa que cap alteració en l’una causi cap canvi en l’altra.

Amb R:

Es construeix un data.frame i es genera un diagrama de dispersió (núvol de punts) per veure “a cop d’ull” la possible correlació entre les variables.

S’observa clarament una possible correlació. Els punts es disposen sobre una recta de pendent positiu, el que ens suggereix una relació directa entre les dues variables X i Y.

S’efectua un anàlisi de correlació simple entre les dues variables calculant-ne el coeficient de correlació de Pearson \[r=\frac{S_{xy}}{S_x \cdot S_y}\]

Amb R:

El resultat ens suggereix de nou la possible correlació lineal entre les variables. El pas següent és trobar l’equació de la recta que la defineix. Es farà segons un model de regressió lineal simple, cercant l’ajustament a una recta \(Y = a + bx\).

Per tal d’estimar els paràmetres de la recta ens centrarem en el modelo de mínims quadrats: Per a cada observació (\(x_i,y_i\)) es calcula l’error o residu com la distància vertical entre el punt (\(x_i, y_i\)) i la recta, és a dir: \(y_i – (a + b x_i\). Per a cada recta considerada, hi ha diferents residus. S’intenta trobar la recta que minimitza la suma dels quadrats dels residus. El mètode consisteix en trobar els valors dels coeficients \(a\) i \(b\) de manera que la suma dels quadrats dels residus sigui mínima.

Amb R:

El resultat ens indica la recta de correlació: Y = 18.5452 + 0.6845 · X

Es verifica ara si hi ha una bona relació lineal, per tal d’inferir/predir amb la recta de regressió. Per tant, s’efectua un test de correlació de Pearson més complert.

Amb R:

Segons el resultat, es pot afirmar (\(p\)-value << 0.05) la bondat de l’ajust (0.7246466). S’analitzen a continuació els residus, les distàncies entre els punts estimats de la recta i els valors reals de les variables.

Amb R:

S’observa que la variància dels errors és constant.

Amb R:

S’observen els valors atípics i la independència dels errors.

Amb R:

Es visualitza la recta de regressió.

Amb R:

El model de regressió lineal ens permet trobar el valor esperat de la variable aleatòria \(Y\) quan \(X\) pren un valor determinat. Es poden, així, fer prediccions de la variable dependent (\(Y\)) respecte als valors que pren la variable independent (\(X\)).

Amb R:

S’estudia la possible correlació entre les variables:

Amb R:

Al aplicar la funció plot sobre l’objecte que conté la informació del model s’obtenen 4 gràfics que ens ajuden a validar el model:

• Valores predits en front a residus.
• Gràfic Q-Q de normalitat.
• Valors predits en front la arrel quadrada dels residus estandarditzats (en valor absolut).
• Residus estandarditzats en front a leverages —"apalancament", distància del punt a la recta calculada—.

Els gràfics semblen indicar que els residus són aleatoris, independents i homoscedàstics. No sembla però que segueixin una distribució normal.

Per a comprovar la normalitat, s’aplica als residus el test de normalitat de Kolmogorov-Smirnov, amb la funció ks.test.

Amb R:

S’accepta normalitat amb \(\alpha = 0.05\)

Es comprova la independència dels residus:

Amb R:

No es pot descartar, segons el resultat del test de Durbin-Watson, que edat i pressió sanguínia siguin independents un de l’altre. Per tant no es pot determinar l’edat d’una dona de la població a partir de la seva pressió sanguínia.

Malgrat que segons:

Amb R:

... es podria interpretar erròniament que es pot calcular l’edat amb el model lineal: \(\text{edat} = -43.5440 + 0.6774 \cdot \text{pressio}\). Observis però que el valor de \(-43.5440\) s’hauria d’interpretar aleshores com l’edat corresponent a una persona amb pressió sanguínia \(0\), la qual cosa no té cap sentit. El terme  \(0.6774\)  ens indica que, per terme mitjà, cada mm Hg d’increment en la pressió sanguínia d’una persona suposa un incremento de \(0.6774\) en la seva edat, el que també és clarament un absurd.

Segons l’enunciat, es tenen les variables:

• resposta: l’atractiu de la parella (atractiu)
• explicativa: el sexo (dona, home)

Donat que la resposta és numèrica i s’estan comparant dues mostres independents (dones i homes), s’utilitzarà la prova paramètrica de la \(t\) d’Student si s’acompleixen els supòsits clàssics de normalitat i homoscedasticitat, i si no trobem problemes amb valors atípics (outliers).

Amb R:

A continuació s’efectuen els anàlisis descriptius previs per tal de tenir una idea de com són les nostres dades i després s’analitzen els supòsits de l’estadística clàssica per tal d’escollir com comparar els sexes —si s’han d’utilitzar proves paramètriques, no paramètriques o robustes—.

S’observen els patrons (estadística descriptiva):

Es verifica que tenim 8 casos per grup d’anàlisi (8 dones i 8 homes).

Amb R:

Es constata que es disposa realment de poques dades...

Es calculen ara alguns estadístics descriptius per la variable atractiu de la parella aconseguida segons el sexe:

Amb R:

S’observa que l’atractiu mitjà de les parelles dels homes enquestats és major que el de les dones enquestades, al igual que la mitjana —una mida de centralitat menys sensible a la presència d’outliers—. La variabilitat de l’atractiu físic de la parella és major també en els homes. Els resultats són més clars amb un gràfic:

Amb R:

S’observa clarament el que s’ha comentat prèviament. El punt que s’observa al gràfic representa una dada atípica (outlier).

L’estadística descriptiva ens pot ajudar a identificar relacions i patrons, però no ens permet extreure conclusions més enllà de les dades de que es disposa —la mostra de treball—. La estadística inferencial sí que ens permet extreure conclusions sobre la població d’estudi. Per exemple, respondre a la pregunta plantejada inicialment: “Homes i dones segueixen el mateix criteri a l’hora de seleccionar parella per l’aspecte físic?”. Es farà doncs una prova d’hipòtesi i es verificaran primer els supòsits de normalitat i homoscedasticitat de la mostra.

Amb R:

A les tres proves s’accepta la hipòtesi nul·la d’homoscedasticitat, encara que el \(p\)-value és proper a 0.05 i hem de recordar de nou només tenim 8 observacions per grup... Suposis però que es dona per bo l’estudi previ a l’estadística inferencial i es continua amb la prova \(t\) d’Student —malgrat la manca de dades i l’outlier—.

Volem avaluar si existeixen o no diferències entre sexes a la hora se seleccionar la parella pel seu atractiu físic. S’efectuarà el contrast bilateral — amb \(\mu\) la mitjana poblacional—: \(\left[H0:\ \mu_D = \mu_H\right]\) —dones i homes són igual de selectius a l’hora de seleccionar parella per l’atractiu físic— i \(\left[H1:\ \mu_D \neq \mu_H\right]\) —no ho són—.

S’utilitzarà la funció t.test() per a realitzar el contrast paramètric d’hipòtesis —en el cas d’un contrast unilateral n’hi ha prou amb afegir l’argument alternative=“less” o alternative=“greater”—.

Amb R:

El resultat ens indica que no existeixen diferències significatives entre sexes a nivell d’atracció física de les seves parelles \((t(10.06) = -1.543, p = 0.1537)\).

Això es deu a que, de mitjana, el nivell d’atracció de les parelles dels homes és major que el de les dones (66.88 en front a 60.62), però como la variància també és major (10.33 en front a 4.96), les diferències no són significatives segons les dades de que es disposa.