Tornar a l'index27. Anàlisis de la variància (ANOVA)
Enunciat 27.1
Una certa planta ha estat cultivada amb cinc fertilitzants diferents. Es desitja estudiar l’efecte del tipus de fertilitzant en la longitud de la planta en cm. Per a fer-ho es varen mesurar cinc sèries de 10 plantes, obtenint-se els següents resultats:
Solució
S’ha de verificar la hipòtesi nul·la: \(\left[H_0:\ m_1 = m_2 = m_3 = m_4 = m_5\right]\), les duracions mitjanes són iguals.
Sigui \(n_i = 10\) la mida de la mostra, amb \(i = \{1, 2, 3, 4,5\}\) respectivament.
Amb R:
qf(0.99, 4, 45) \(\rightarrow\) 3.767427
Com \(9.282 > 3.767427\), es rebutja \(H_0\) i s’accepta que el fertilitzant te un efecte significatiu sobre la longitud de la planta, amb una probabilitat \(\alpha = 0.01\) d’equivocar-nos.
Amb R:
Enunciat 27.2
La taula següent ens mostra les estimacions d’un índex del cost de la vida a cinc zones urbanes d’una mateixa ciutat, fetes per cinc investigadors diferents:
Es vol saber si hi ha diferències significatives entre les zones i entre els investigadors. (prenguis \(\alpha = 0.05\))
Solució
Es tracta d’un disseny de blocs aleatoritzats, perquè l’índex pot dependre de la zona i de l’investigador (efecte de bloc). Es verifica, de manera independent, cadascuna de les dues hipòtesis nul·les:
- \(H_Z\): L’efecte zona no és significatiu.
- \(H_I\): L’efecte investigador no és significatiu.
S’efectua l’anàlisi de la variància (complert):
Amb R:
qf(0.95,4,16) \(\rightarrow\) 3.006917
El valor de \(F_Z\) tal que \(P(F_Z > F_\alpha) = 0.05\) és \(F_\alpha = 3.006917\). Com \(0.8132 < 3.006917\), s’accepta \(H_Z\). No hi ha diferències significatives respecte al factor zona.
El valor de \(F_I\) tal que \(P(F_I > F_\alpha) = 0.05\) és \(F_\alpha = 3.006917\). Com \(2.6385 < 3.006917\), s’accepta \(H_I\). No hi ha diferències significatives respecte al factor investigador.
Enunciat 27.3
Es planten quatre varietats de patates, cadascuna en cinc parcel·les de la mateixa mida i tipus de terra, però tractades amb un fertilitzant diferent. El rendiment en Tm es recull a la taula següent:
Es vol saber si hi ha diferències significatives entre el rendiment de les quatre varietats de patata i si el fertilitzant n’ha tingut algun efecte, independentment de la varietat de patata. (prenguis \(\alpha = 0.05\))
Solució
Es tracta d’un disseny de blocs aleatoritzats, perquè la producció d’una determinada varietat depèn de sí mateixa i de l’eficiència del fertilitzant utilitzat (efecte de bloc). Es verifica, de manera independent, cadascuna de les dues hipòtesis:
- \(H_A\): L’efecte del fertilitzant no és significatiu.
- \(H_B\): L’efecte de la varietat no és significatiu.
S’efectua l’anàlisi de la variància (complert):
Amb R:
qf(0.95,4,12) \(\rightarrow\) 3.259167
El valor de \(F_A\) tal que \(P(F_A > F_\alpha) = 0.05\) és \(F_\alpha = 3.259167\). Com \(2.0323 < 3.259167\), s’accepta \(H_A\). No hi ha diferències significatives en l’efecte del fertilitzant.
qf(0.95,3,12) \(\rightarrow\) 3.490295
El valor de \(F_B\) tal que \(P(F_B > F_\alpha) = 0.05\) és \(F_\alpha = 3.490295\). Com \(1.6745 < 3.490295\), s’accepta \(H_B\). No hi ha diferències significatives entre les varietats de patata.
Enunciat 27.4
Es volen comparar tres genotips diferents de Drosophila melanogaster per tal de veure si hi ha diferències de viabilitat, sembrant 100 i 800 ous. Així, a cadascuna de sis caselles (3 genotips x 2 sembres d’ous) es varen disposar sis rèpliques, obtenint-se els següents percentatges d’ous viables:
Amb l’ajut d’un ordinador, es transformen els percentatges observats, per tal de que s’ajustin a una variable aleatòria normal, i s’obté la taula d’anàlisi de la variància. Concretament, es vol determinar si hi ha diferències de viabilitat entre els genotips, entre el nombre d’ous sembrats i amb la interacció entre el nombre d’ous sembrats i el genotip. (prenguis \(\alpha = 0.01\)).
Solució
Es tracta d’un disseny de blocs aleatoritzats, perquè la viabilitat d’un determinat genotip depèn de sí mateix i de la interacció amb els altres factors (efecte de bloc). Es contrasten, de manera independent, les tres hipòtesis nul·les:
- \(H_{GEN}\): No hi ha diferències significatives entre la viabilitat dels tres genotips.
- \(H_{OU}\): No hi ha diferències molt significatives entre la viabilitat al sembrar 100 o 200 ous.
- \(H_{GEN + OU}\): No hi ha interacció entre el genotip i el nombre d’ous sembrats, són factors independents.
Es normalitzen els percentatges amb Excel, utilitzant la funció "NORMALIZACIÓN":
S’efectua l’anàlisi de la variància (complert):
Amb R:
qf(0.99,2,30) \(\rightarrow\) 5.390346
El valor de \(F_{GEN}\) tal que \(P(F_{GEN} > F_\alpha) = 0.01\) és \(F_\alpha = 5.390346\). Com \(0.0393 < 5.390346\), s’ha d’acceptar \(H_{GEN}\). No hi ha diferències significatives entre la viabilitat dels tres genotips.
qf(0.99,1,30) \(\rightarrow\) 7.562476
El valor de \(F_{OU}\) tal que \(P(F_{OU} >F_\alpha) = 0.01\) és \(F_\alpha = 7.562476\). Com \(11.9727 > 7.562476\), s’ha de rebutjar \(H_{OU}\). Sí que hi ha diferències molt significatives entre la viabilitat al sembrar 100 o 200 ous —potser per la competència per l’aliment—.
qf(0.99,2,30) \(\rightarrow\) 5.390346
El valor de \(F_{GEN + OU}\) tal que \(P(F_{GEN + OU} >F_\alpha) = 0.01\) és \(F_\alpha = 5.390346\). Com \(0.2974 < 5.390346\), s’ha d’acceptar \(H_{GEN + OU}\). No hi ha interacció entre el genotip i el nombre d’ous sembrats, són factors independents.
Enunciat 27.5
Es disposa de quatre mostres, em mg, del pes de l’escut dorsal de larves de l’insecte paràsit Haemaphyralis leporispalustris:
Són significatives les diferències entre les quatre mostres? (consideris \(\alpha = 0.05\))
Solució
Es pretén verificar la hipòtesi nul·la: \(\left[H_0:\ m_1 = m_2 = m_3 = m_4 = m_5\right]\), els pesos mitjans són iguals. Amb \(n_i = \{ 8,10,13,6 \}\), la mida de cada mostra respectiva, amb \(i= \{ 1,2,3,4 \}\).
Amb R:
qf(0.95,3,33) \(\rightarrow\) 2.891564
El valor de \(F_0\) tal que \(P(F_0 > F_\alpha) = 0.01\) és \(F_\alpha = 2.891564\). Com \(4.853 > 2.891564\), es rebutja \(H_0\). S’accepta que hi ha diferències significatives entre les mostres.
Enunciat 27.6
Es recullen nou mostres de calcopirita, a tres localitats i a tres profunditats diferents. El percentatge aproximat de coure analitzat es mostra a la taula següent:
Es vol saber si hi ha diferències significatives entre el percentatge de coure, tant a les diferents profunditats com a les diferents localitats (prenguis \(\alpha = 0.05\)).
Solució
Es tracta d’un disseny de blocs aleatoritzats, perquè el percentatge de coure pot dependre de la profunditat i de la localitat (efecte de bloc). Es verifica, de manera independent, cadascuna de les dues hipòtesis nul·les:
- \(H_P\): L’efecte de la profunditat no és significatiu.
- \(H_L\): L’efecte de la localitat no és significatiu.
S’efectua l’anàlisi de la variància (complert):
Amb R:
qf(0.95,2,4) \(\rightarrow\) 6.944272
El valor de \(F_P\) tal que \(P(F_P > F_\alpha) = 0.05\) és \(F_\alpha = 6.944272\). Com \(1.3864 < 6.944272\), s’accepta \(H_P\). No hi ha diferències significatives respecte la profunditat.
El valor de \(F_L\) tal que \(P(F_L > F_\alpha) = 0.05\) és \(F_\alpha = 6.944272\). Com \(12.6364 > 6.944272\), s’accepta \(H_L\). Sí que hi ha diferències significatives respecte la localitat.
Ressolució manual:
Fins ara el llenguatge R ens ha facilitat la feina. Per resoldre aquest problema de manera manual, farem una anàlisi de la variància (ANOVA) per comprovar si hi ha diferències significatives en el percentatge de coure en funció de la "localitat" i de la "profunditat". Com que tenim dues variables de classificació (localitat i profunditat), cal utilitzar un ANOVA de dos factors.
Pas 1: Formular les hipòtesis:
- Per a la localitat: \( H_{0L} \): El percentatge de coure és el mateix en totes les localitats.
- Per a la profunditat: \( H_{0P} \): El percentatge de coure és el mateix en totes les profunditats.
- Interacció: \( H_{0LP} \): No hi ha interacció entre la localitat i la profunditat en el percentatge de coure.
Pas 2: Calcular les mitjanes:
Tenim la taula —segons l'enunciat—:
Calculem la mitjana de cada factor:
1. Mitjanes per localitat:
\[\text{Mitjana Localitat 1} = \frac{27 + 33 + 40}{3} = 33.33\]
\[\text{Mitjana Localitat 2} = \frac{28 + 38 + 48}{3} = 38\]
\[\text{Mitjana Localitat 3} = \frac{24 + 40 + 37}{3} = 33.67\]
2. Mitjanes per profunditat:
\[\text{Mitjana Profunditat 1} = \frac{27 + 28 + 24}{3} = 26.33\]
\[\text{Mitjana Profunditat 2} = \frac{33 + 38 + 40}{3} = 37\]
\[\text{Mitjana Profunditat 3} = \frac{40 + 48 + 37}{3} = 41.67\]
3. Mitjana total:
\[\text{Mitjana Total} = \frac{27 + 28 + 24 + 33 + 38 + 40 + 40 + 48 + 37}{9} = 35\]
Pas 3: Calcular la Suma de Quadrats (SQ):
1. Suma de Quadrats Total (SQT):
\[SQT = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \text{Mitjana Total})^2\]
Aplicant-ho a cada valor, tenim:
\[SQT = (27 - 35)^2 + (28 - 35)^2 + (24 - 35)^2 + (33 - 35)^2 + (38 - 35)^2 + (40 - 35)^2 + (40 - 35)^2 + (48 - 35)^2 + (37 - 35)^2 = 470\]
2. Suma de Quadrats per Localitat (SQL):
\[SQL = \sum_{j=1}^{k} n_j (\text{Mitjana Localitat}_j - \text{Mitjana Total})^2 = 40.6734\]
3. Suma de Quadrats per Profunditat (SQP):
\[SQP = \sum_{i=1}^{m} n_i (\text{Mitjana Profunditat}_i - \text{Mitjana Total})^2 = 370.9734\]
4. Suma de Quadrats de l'Error (SQE):
\[SQE = SQT - SQL - SQP = 58.3532\]
Pas 4: Graus de llibertat:
- Graus de llibertat per localitat: \( k - 1 = 3 - 1 = 2 \)
- Graus de llibertat per profunditat: \( m - 1 = 3 - 1 = 2 \)
- Graus de llibertat de l'error: \( (k-1)(m-1) = 2 \times 2 = 4 \)
- Graus de llibertat totals: \( 9 - 1 = 8 \)
Pas 5: Càlcul del valor \( F \):
Per a la localitat: \[F_L = \frac{SQL / (k - 1)}{SQE / (km - k - m + 1)} = 1.394\]Per a la profunditat: \[F_P = \frac{SQP / (m - 1)}{SQE / (km - k - m + 1)} = 12.715\]Pas 6: Comparació amb el valor crític:
Consultar el valor crític de \( F \) a \( \alpha = 0.05 \) per als graus de llibertat corresponents i comparar-ho amb els valors de \( F_L \) i \( F_P \) per decidir si es rebutgen les hipòtesis nules.
qf(0.95,2,4) \(\rightarrow\) 6.944272
Pas 7: Conclusions:
Si \( F_L \) o \( F_P \) són majors que el valor crític, es rebutja la hipòtesi corresponent.
El valor de \(F_P\) tal que \(P(F_P > F_\alpha) = 0.05\) és \(F_\alpha = 6.944272\). Com \(1.394 < 6.944272\), s’accepta \(H_P\). No hi ha diferències significatives respecte la profunditat.
El valor de \(F_L\) tal que \(P(F_L > F_\alpha) = 0.05\) és \(F_\alpha = 6.944272\). Com \(12.715 > 6.944272\), s’accepta \(H_L\). Sí que hi ha diferències significatives respecte la localitat.
Enunciat 27.7
Es desitja comparar quatre varietats de blat. Després de plantar les quatre varietats a quaranta parcel·les idèntiques, a 10 parcel·les per varietat, s’ha calculat la següent taula de l’anàlisi de la variància per a la variable "pes de blat":
Poden considerar-se varietats diferents de blat? (consideris \(\alpha = 0.05\))
Solució
Es verifica la hipòtesi nul·la: \(\left[H_0:\ m_1 = m_1 = \cdots = m_9 = m_10\right]\), els pesos mitjans són iguals.
Si \(H_0\) és certa, el valor \(F = 7.57/5.2 = 1.455769\) segueix una distribució \(F\) de Fisher.
qf(0.95,3,36) \(\rightarrow\) 2.866266
El valor de \(F\) tal que \(P(F > F_\alpha) = 0.05\) és \(F_\alpha = 2.866266\).
Com \(1.455769 < 2.866266\), s’accepta \(H_0\). Els pesos mitjans són iguals i per tant no són varietats diferents de blat, amb una probabilitat \(\alpha = 0.05\) d’equivocar-nos.
Enunciat 27.8
Es pretén valorar l’eficàcia de quatre models de màquina en la producció d’una determinada peça mecànica. Per a fer-ho es fa treballar als mateixos vint obrers en cadascuna de les quatre màquines per un mateix període de temps. La producció de peces es recull a la taula següent:
Són significatives les diferències entre màquines ? Es pot acceptar que les diferències entre els obrers son degudes a l’atzar ? (prenguis \(\alpha = 0.05\))
Solució
Es tracta d’un disseny de blocs aleatoritzats, perquè la producció d’una determinada màquina depèn de la mateixa màquina i de l’eficiència de l’obrer que la manega (efecte de bloc). Es verifica, de manera independent, cadascuna de les dues hipòtesis nul·les: \(H_A\): L’efecte de la màquina no és significatiu. \(H_B\): L’efecte de l’obrer no és significatiu.
S’efectua l’anàlisi de la variància (complert):
Amb R:
qf(0.95, 3, 57) \(\rightarrow\) 2.766438
El valor de \(F_A\) tal que \(P(F_A > F_\alpha) = 0.05\) és \(F_\alpha = 2.766438\). Com \(2.6545 < 2.766438\), s’accepta \(H_A\). No hi ha diferències significatives de producció entre les quatre màquines.
qf(0.95, 19, 57) \(\rightarrow\) 1.771972
El valor de \(F_B\) tal que \(P(F_B > F_\alpha) = 0.05\) és \(F_\alpha = 1.771972\). Com \(2.9369 > 1.771972\), es rebutja \(H_B\). Sí que hi ha diferències significatives de producció entre els vint obrers.
Gràficament s'observen les mateixes conclusions.
Enunciat 27.9
La taula següent ens mostra els valors de la glucèmia, en mg glucosa/dL sang, de quatre grups d’individus independents, obtingudes amb un mostreig aleatoritzat de les poblacions originals. Es vol saber si hi ha diferències significatives entre els quatre grups, amb \(\alpha = 0.05\).
Solució
Es verifiquen les hipòtesis: \(\left[H_0:\ \bar x_1 = \bar x_2 = \bar x_3 = \bar x_4\right]\) —les mitjanes de cada grup són iguals—. \(\left[H_1:\right]\) "Hi ha diferències entre algun dels grups" —sense especificar quines són les diferències—.
Amb R:
S’observa un outlier al grup 4 —el valor 154—. Els valors són més variables als grups 1 i 2. El grup més homogeni és el 3. El que té els valors més baixos és el grup 4. Es substitueixen els valors 124 i 154 pel valor mitjà del grup: 106 i es verifica la normalitat i la homoscedasticitat de les dades, finalment es realitza el test ANOVA:
qf(0.95,3,36) \(\rightarrow\) 2.866266
Els quatre grups superen la prova de normalitat de Shapiro-Wilk. S’observa que no s’acompleix la igualtat de variàncies entre grups amb el test de Bartlett, sí que s’acompleix amb el test de Levene —justet...—.
Al test ANOVA:
qf(0.95,1,38) \(\rightarrow\) 4.098172
El valor de \(F_0\) tal que \(P(F_0 > F_\alpha) = 0.01\) és \(F_\alpha = 4.098172\). Com \(2.144 < 4.098172\), s’accepta \(H_0\). No n’hi ha diferències significatives entre els grups.
Enunciat 27.10
La duració en hores de cinc sèries de bombetes elèctriques va ser la següent:
Poden considerar-se sèries de diferent duració? (consideris \(\alpha = 0.01\))
Solució
S’ha de verificar la hipòtesi nul·la: \(\left[H_0:\ m_1 = m_2 = m_3 = m_4 = m_5\right]\), les duracions mitjanes són iguals.
Les mides, \(n_i\), amb \(i = \{ 1,2,3,4,5\}\), de les mostres són: 6, 5, 5, 4 i 5 respectivament.
Es calculen \[\begin{aligned} Q_E &= \sum_i n_i \times (\overline{X}_i - \overline{X})^2 = 142135.67 \\ Q_D &= \sum_{i,j} (x_{ij} - \overline{X}_i)^2 = 50488.33 \end{aligned}\]
Obtenint-se la taula d’anàlisi de la variància:
Si \(H_0\) és certa, el valor \(F = 35534/2524 = 14.08\) seguirà una distribució \(F\) de Fisher. El valor de \(F\) tal que \(P(F > F_\alpha) = 0.01\) és \(F_\alpha = 4.43069\).
qf(0.99, 4, 20) \(\rightarrow\) 4.43069
Com \(14.08 > 4.43069\), s’ha de rebutjar \(H_0\) i acceptar que les duracions mitjanes de les cinc sèries són diferents, amb una probabilitat \(\alpha = 0.01\) d’equivocar-nos.
Un procés més exhaustiu d’ANOVA, amb R, podria ser el següent:
Amb R:
S’estudien els grups que generen les diferències:
Amb R:
A partir dels residus del model es comprova si el model ANOVA és adequat. Els supòsits que s’han d’acomplir son tres: independència, homoscedasticitat i normalitat.
Amb R:
El test de Bartlett ens indica si hi ha evidència suficient per acceptar la hipòtesi nul·la —les variàncies són iguals—. Com \(p\)-value > 0.05, s’accepta que sí.
Quan no s’acompleixen les hipòtesi exigides pel model ANOVA, és possible utilitzar la prova no paramètrica Kruskal-Wallis: hi ha diferències significatives entre les poblacions?:
Amb R:
Ens indica quin és l’estadístic de contrast, els graus de llibertat, el \(p\)-value corresponent i quin seria el valor crític que definiria les regions d’acceptació i rebuig amb un nivell de significació \(\alpha = 0.05\).
Sota \(H_0\), l’estadístic de contrast \(H\) del test de Kruskal-Wallis es distribueix com una \(\chi^2\) de graus de llibertat (\(I - 1\)) —on \(I\) és el nombre de grups de que es disposa—. S’obté així el quantil buscat:
qchisq(0.01, 5-1, lower.tail = F) \(\rightarrow\) 13.2767
Els valors de l’estadístic majors que 13.2767 seran inclosos a la regió de rebuig. En el nostre cas \(18.126 > 13.2767\).
Si s’han detectat diferències significatives, seria possible saber quins són els grups que generen aquestes diferències?:
Amb R:
Les sèries "serie1" i "serie2", així com "serie1" i "serie3", tenen diferències estadísticament significatives (\(p < 0.05\)). Això suggereix que les duracions de "serie1" són diferents de les de "serie2" i "serie3". Per contra, no hi ha diferències estadísticament significatives entre "serie1" i "serie4" o "serie1" i "serie5", ni tampoc entre qualsevol altra combinació de les sèries, ja que tots els altres valors de \(p\) són més grans que 0.05.
Jordi Coll Vera - 2022