Amb R:

Altra manera de resoldre-ho, amb el test chi-quadrat amb exposicio:

Amb R:

La taula mostra la millora del model al incloure la variable independent. Al nivell de significació \(\alpha = 0.05\) és significatiu (\(0,039 < 0,05\)). En aquest cas es redueix la deviance residual a cero (model saturat).

La taula coeficients ens mostra els paràmetres del model estimat, així como la seva significació. L’estadístic \(Z\) ens permet contrastar la hipòtesi de nul·litat del paràmetre corresponent a la variable independent exposicio. S’observa que es rebutja la hipòtesi al nivell del 5%. S’admet que el factor influeix en la variable dependent.

Equació del model ajustat:

\(Ln (\text{odds}) = -2.694 + 1.596 \text{ exposicio}\)

Interpretació del paràmetre estimat:

\(\text{expossi } = 1.596\) indica el canvi esperat al logit (el logaritme de la odds o avantatge) al passar del grup de no exposats a la categoria d’exposats. El valor positiu del coeficient ens indica un augment del logit al passar de la modalitat base (no exposat) a la de exposat.

O el que és el mateix: el valor: \(e^{1.596} = 4.931\), reflexa la raó d’odds que compara exposats a no exposats. El que ens permet afirmar que el risc de patir desestabilització del paràmetre estudiat és quasi 5 cops major en els exposats que en els no exposats —observis que 4.93 és també la raó d’odds calculada a la taula 2×2: \((4 \cdot 74)/(5 \cdot 12)\)—.

Amb R:

1) Amb les dades en forma de freqüències relatives.

Amb R:

Observis que no és necessari calcular prèviament les variables. Es pot modelar directament operant amb elles. Per exemple, l’ordre anterior, és equivalent a:

Amb R:

O també:

Amb R:

2) Amb les dades en forma de vectors d’èxits i fracassos.

Amb R:

Observis que sí que han canviat els graus de llibertat, el valor de la deviance i el valor de l’estadístic AIC. Ara es disposa d’una taula de 125 files...

Suposis ara que s’han trobat els següents valors en dones treballadores:

Amb R:

S’elimina el terme menys significatiu (el de \(p\)-value més gran) que és "dosis:sexeH" ("sexeH" té un \(p\)-value més gran però no es pot treure del model abans que altra terme d’ordre superior del qual forma part - principi de jerarquia -). L’eliminació del terme d’interacció dona lloc a un nou context, dins del qual la variable "sexe" recupera importància.

Amb R:

Tant "dosis" com "sexeH" són altament significatives per explicar la variable dependent (la probabilitat d’èxit).

La deviance residual, amb un valor de 3.8027 i 7 g.l., pot prendre’s com indici de bon ajust del model. Encara que la interpretació dels resultats s’ha de fer amb molta cura. Al nostre cas la interpretació no és molt arriscada perquè les dades s’han presentat agrupades prèviament.

1) Presentació de l’equació del model en termes de logits, odds i probabilitat.

Amb R:

• Coeficient de dosis:
• 0.7972 és el canvi esperat al logit al augmentar una unitat dosis, suposades estables la resta de les variables del model.
• \(e^{0.7972}\) és la raó d’odds al augmentar una unitat dosis, suposades estables la resta de les variables del model. \(e^{0.7972} = 2.219318\). Es a dir: al augmentar una unitat dosis, la odds o avantatge d’intoxicació es duplica aproximadament per 2.22.
• Coeficient de sexe:
• 1.2467 es el canvi esperat al logit al passar d’home a dona. La raó d’odds que compara dones amb homes és igual a \(e^{1.2467} = 3.478844\). Es a dir: és 3.5 vegades l’avantatge d’intoxicació en dones que en homes.

\[\begin{aligned} \text{logit} &= \ln \left( \frac{\text{P(èxit)}}{\text{P(fracàs)}} \right) = -2.0919 + (0.7972 \times \text{dosis}) + (1.2467 \times \text{sexeH}) \\ \text{odds} &= \frac{\text{P(èxit)}}{\text{P(fracàs)}} = e^{\text{logit}} \\ \text{P(èxit)} &= \frac{e^{\text{logit}}}{1 + e^{\text{logit}}} \end{aligned}\]

2) Altres resultats de l’anàlisi del model ajustat sense interacció.

Amb R:

Comparació de models amb anova.

La funció anova permet comparar models niats. Quan s’usa en un sol model es determina la significació de cada terme afegit.

Amb R:

1) Es comprova d’altra manera que el terme interacció no és significatiu.

Amb R:

La última fila, corresponent al terme d’"interacció", presenta un \(p\)-value major que 0.05. No es pot rebutjar la hipòtesi de nul·litat o no importància del terme d’interacció per explicar la probabilitat d’ èxit ("intoxicació") La reducció de la deviance en 2.626 amb 1 g.l. no és important (\(p\)-value \(= 0.105 > 0.05\)).

2) Altra manera de comparar els models és:

Amb R:

Predicció de nous valors amb el model ajustat:

Si s’han usat a la fórmula noms de variables que impliquen el data.frame que las conté, el nou data.frame s’ha d’anomenar igual i amb els mateixos noms de variables. Es a dir: si la fórmula és "a$y~a$x", per a predir s’ha d’usar el mateix nom: "a", pel data.frame i els mateixos noms de variables, encara que els valors siguin diferents. Si s’usa només el nom de les variables a la fórmula s’ha de construir el data.frame nou amb les columnes que els noms representen a aquestes variables.

Amb R:

Representació gràfica del model

Amb R:

Predicció de valors nous per a homes

Amb R:

Predicció de valors nous per a dones

Amb R:

Diagnòstic de residus:

La representació gràfica dels valors ajustats i els residus tipus deviance, permet veure si existeixen o no anomalies a l’ajust.

Valors dels logits ajustats

Amb R:

Els residus no cauen fora de la banda (-2, 2). Pràcticament són a la banda (-1, 1), el que és bon indici d’ajust; nogensmenys sembla haver-hi una certa pauta de descens quan creixen els valors ajustats fins a un valor mitjà a partir del qual tendeixen a créixer.

El gràfic de probabilitats ajustades en funció de la dosis i sexe, mostra que al grup de dones, a valors baixos de la dosi, el model tendeix a sobreestimar la probabilitat i per a valors alts fa el contrari.

Al grup dels homes el model subestima quan les dosis són baixes i sobreestima la probabilitat quan són altes.